数学Ⅰ（文理公共） -...

数学第 1 页（共 22 页）

数学Ⅰ（文理公共）

一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）．．

1．已知全集为R ，集合 1 1 2 4M ，，，3, ， 2{ 2 3}N x x x ，则M N

1．【答案】{2,3,4}

【解析】因为2{ | 2 3} { | 3 1}N x x x x x x 或，所以M N ＝{2,3,4}．

2．已知复数 z 满足 i 3 4iz （其中 i 为虚数单位），则 z = .

2．【答案】5

【解析】3 4i

(3 4i)( i) 4 3ii

z

,所以 5z .

3．某校为了解 800名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 50名同学进行检查，

将学生从1 800进行编号，现已知第 17组抽取的号码为 263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为

3．【答案】7

【解析】第一组用简单随机抽样抽取的号码为800

263 (17 1) 750

.

4．函数 ( ) ln( )2

11

2f x x

x

的定义域是．

4．【答案】 ( , )1 2

【解析】由题意2

1 0

2 0

x

x

，解得 1 2x ．

5．袋中有 2 个黄球 3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得 1分，取得白球得 2分，两人总分

和为 X ，则 X ＝3的概率是．

5. 【答案】 0.6


6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）

6. 【答案】0.8

7．将函数 sin(2 )6

y x

的图象向右平移 ( 0)m m 个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则m 的最

小值为．

7．【答案】6

【解析】将函数 sin 26

( )y x

的图象向右平移 ( 0)m m 个单位长度，可得

sin[2( ) ]6

y x m

sin(2 2 )6

x m

的图象，根据所得函数的图象关于 y 轴对称，可得


26 2

m k k

Z，，即2 3

km k

Z，．又 0m ，所以m 的最小值为

6

．

8．已知双曲线2 2 1( )x ny n R 与椭圆

2 2

16 2

x y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程

为 .

8．【答案】 3y x

【解析】椭圆2 2

16 2

x y 的焦点坐标为 ( 2, 0) ，所以

1 11 ( ) 4

3n

n ，所以双曲线方程为

22 1

3

yx ，渐近线方程为 3y x .学科网

9．公差不为零的等差数列 { }na 的前 n 项和为 nS ，若 4a 是 2a 与 7a 的等比中项, 5 50S ,则 8S 等

于．

9．【答案】 104

10．若 x ， y 满足不等式

2,

6,

2 0,

x

x y

x y

则y

x的最大值是．

10．【答案】 2

【解析】在直角坐标系内作出不等式组

2

6

2 0

x

x y

x y

，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中y

x表

示可行域内点 ( , )x y 与原点O连线的斜率，由图可知，OC 斜率最大，4

22

OCk ，所以y

x最大值为 2．


11．已知椭圆 2 2

2 21 0

x ya b

a b 的左、右焦点分别为

1F ，2F ，过

1F 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B

两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若

2 22 0AF CF ，则椭圆的离心率为．

11．【答案】5

5

12．已知 ( )f x 是定义在R 上的函数，其导函数为 ( )f ' x ，若2 ( ) ( ) 2f x f ' x ， (0) 2018f ，则不等

式2( ) 2017e 1xf x （其中e 为自然对数的底数）的解集为 .

12．【答案】 (0, )

【解析】构造函数2

( ) 1( )

e x

f xF x

，则

2 2

2 2 2

( )e [ ( ) 1] 2e ( ) 2 ( ) 2( ) 0

(e ) e

x x

x x

f x f x f x f xF x

，故

函数2

( ) 1( )

e x

f xF x

在R 上单调递增，又因为

0

(0) 1(0) 2018 1 2017

e

fF

，所以当且仅当 0x

时，2

( ) 12017

e x

f x ，即当且仅当 0x 时，

2( ) 2017e 1xf x 成立，因此不等式2( ) 2017 e 1xf x 的

解集为 (0, ) .

13．在平面内， 6AB AC BA BC CA CB ，动点 MP, 满足 | | 2AP ， MCPM ，则2|| BM 的

最大值是 .


13．【答案】16

2 2( 2) 4x y 上的点P ( )x y，与点B ( 1, 3 3) 的距离的平方的1

4，

∵2 2

max| | (2 1) (3 3) 2 9 27 2 8PB ，∴2

2

max

8(| |) 16

4BM ．学科网

14．已知函数2

2

| log |, 0( )

2 , 0

x xf x

x x x

，关于 x 的方程 ( )f x m （mR）有四个不同的实数解 1x ， 2x ，

3x ， 4x 则 1 2 3 4x x x x 的取值范围为．

14．【答案】（0,1）

【解析】函数2

2

| log |, 0( )

2 , 0

x xf x

x x x

的图象如图所示，关于 x 的方程 ( )f x m 恰有四个互不相等的实根

1 2 3 4, , ,x x x x ，即函数 ( )y f x 的图象与直线 my 有四个不同的交点，则 10 m ，不妨设从左向右的

交点的横坐标分别为 1 2 3 4x x x x .当 0x 时，由对数函数的性质知 2 3 2 4log logx x ， 3 4 1x x ，当


0x 时，由2 2y x x 的对称性知 1 2 2x x ，又 1 2 0x x ，则 1 2 0x x ， 1 2( ) ( ) 2x x ，

所以 21 21 2 1 2

( ) ( )0 ( )( ) [ ] 1

2

x xx x x x

，所以，

1 2 3 40 1x x x x ，故答案为 (0,1) .

二、解答题（本大题共 6小题，共计 90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过

程或演算步骤）．

15．（本小题满分 14 分）在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c， ABC△ 的面积为 S ，

sin 3 cosa B b A .

（1）求角 A的大小；

（2）若 3a ，3

2S ，求b c 的值.

15．【答案】（1）3

A

（2）3

【解析】

（2）3

A

， 3a ， 2 2 3b c bc ∴ ，①·······8分

又3

2ABCS ，

1 3sin

2 3 2bc

∴ ，即 2bc ②·······10分

联立①②可得2( ) 9b c ，又 0b c ， 3b c ∴ .·······14分学科网

16．（本小题满分 14 分）


在正三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AA AB ,点 D 是 BC 的中点，点M 在 1CC 上，且1

1

8CM CC ．

（1）求证： 1AC ∥平面 1AB D；

（2）求证：平面 1AB D⊥平面 ABM ．

16．【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题解析：（1）记 1 1A B AB O ，连接OD .

∵四边形 1 1AA B B为矩形，∴O是 1A B 的中点，

又∵D是 BC 的中点，∴ 1 //AC OD .·······3分

又∵ 1AC 平面 1AB D，OD平面 1AB D，

∴ 1AC ∥平面 1AB D .·······6分


（2）∵ ABC△ 是正三角形，D是 BC 的中点，

∴ AD BC .

∵平面 ABC ⊥平面 1 1BB C C ，

平面 ABC 平面 1 1BBC C BC ， AD平面 ABC ，

∴ AD 平面 1 1BB C C .·······9分


由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为 60米的水底进行作业，根

据经验，潜水员下潜的平均速度为 v （米/单位时间），每单位时间消耗氧气 3( ) 110

v （升），在水底作业 10

个单位时间，每单位时间消耗氧气 0.9 （升），返回水面的平均速度为2

v（米/单位时间），每单位时间消耗

氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为 y （升）.

（1）求 y 关于 v 的函数关系式；

（2）若 15( 0)c v c ，求当下潜速度 v 取什么值时，消耗氧气的总量最少.

A

BD

M

C

1A

1B

1C

O


17．【答案】（1）23 240

9( 0)50

vy v

v ；（2） 310 2v 时，消耗氧气总量最少.

【解析】

18．（本小题满分 16 分）已知过点 (2, 2)且离心率为2

2的椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设点P 是椭圆的左准线与 x 轴的交点，过点P 的直线 l 与椭圆C 相交于 NM , 两点，记椭圆C 的左，

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右焦点分别为 1 2,F F ，上下两个顶点分别为 2 1,B B .当线段MN 的中点落在四边形1 1 2 2F B F B 内（包括边界）

时，求直线 l 斜率的取值范围．

18．【答案】（1）2 2

18 4

x y ；（2）

3 1 3 1[ , ]

2 2

【解析】

（2）椭圆C 的左准线方程为 4x ,所以点P 的坐标为（-4,0），

显然直线 l 的斜率 k 存在，所以直线 l 的方程为 ( 4)y k x ．

设点 ,M N 的坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y ，线段MN 的

中点为 0 0( , )G x y ，

由 2 2

( 4)

18 4

y k x

x y

得2 2 2 2(1 2 ) 16 32 8 0k x k x k ， ① ·······9分

由2 2 2 2 2(16 ) 4(1 2 )(32 8) 32(1 2 ) 0k k k k ，

解得2 2

2 2k ， ② ·······11分

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19．（本小题满分 16 分）已知数列{ }na 的前n 项和为 nS ， *nN 满足 1 1

1 2

n nS S

n n

，且 1 1a ，正

项数列{ }nb 满足 2 2 *

1 1 ( )n n n nb b b b n N ，其前 7项和为 42．

（1）求数列{ }na 和{ }nb 的通项公式；

（2）令 n nn

n n

b ac

a b ，数列{ }nc 的前n 项和为 nT ，若对任意正整数n ，都有 2nT n a ，求实数a 的取值

范围；

（3）将数列{ },{ }n na b 的项按照“当n 为奇数时， na 放在前面；当n 为偶数时， nb 放在前面”的要求进行

排列，得到一个新的数列： 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6, , , , , , , , , ,a b b a a b b a a b b，，求这个新数列的前n 项和 nP ．

19．【答案】（1） , 2n na n b n ；（2）4

3a ；（3）

2

2

2

1 3, 2

4 2

6 3, 4 3

4

6 5, 4 1

4

n

n n n k

n nS n k

n nn k

， *kN

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试题解析：（1）∵ 1 1

1 2

n nS S

n n

，∴数列{ }nS

n是首项为 1，公差为

1

2的等差数列，

∴1 1 1

1 ( 1)2 2 2

nSn n

n ，即

*( 1)( )

2n

n nS n

N ，

∴*

1 1

( 1)( 2) ( 1)1( )

2 2n n n

n n n na S S n n

N ，

又 1 1a ，∴ *( )na n n N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵ 2 2

1 1n n n nb b b b ，∴ 1 1( )( 1) 0n n n nb b b b ，又 0nb ，∴ 1 1n nb b ，∴数列 nb 是等差数

列，且公差为 1d ，设 nb 的前n 项和为 nB ，

∵7 1

7 67 1 42

2B b

，∴ 1 3b ，∴ *3 ( 1) 2( )nb n n n N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知2 1 1

2 2( )2 2

n nn

n n

b a n nc

a b n n n n

，

∴ 1 2

1 1 1 1 12 2(1 )

3 2 4 2n nT c c c n

n n

1 1 1 1 12 2(1 ) 2 3 2( )

2 1 2 1 2n n

n n n n

，

∴1 1

2 3 2( )1 2

nT nn n

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

设1 1

3 2( )1 2

nRn n

，则 1

1 1 42( ) 0

1 3 ( 1)( 3)n nR R

n n n n

，

∴数列{ }nR 为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

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∴min 1

4( )

3nR R ，

∵对任意正整数n，都有 2nT n a 恒成立，∴4

3a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分


已知函数2

( )ln

xf x

x ．

（1）求曲线 ( )y f x 与直线2 0x y 垂直的切线方程；

（2）求 ( )f x 的单调递减区间；

（3）若存在 0 [e, )x ，使函数 21 e( ) eln ln ( )

2 2

ag x a x x x f x a

成立，求实数a 的取值范围．

20．【答案】（1）22 e 0x y ；（2）减区间为 (0,1)和 (1,e)；（3）

2e

2a .

【解析】

试题分析：（1）求出导数 '( )f x ，令1

( )2

f x ，求出切点坐标，可得切线方程；（2）令 ( ) 0f x 解出 ( )f x

的单调递减区间；（3）由已知得 21( ) e ln ( e)

2g x a x x a x ，分离常数，存在 0 [e, )x 使函数

21( ) e ln ( e)

2g x a x x a x a 成立，使 min( )g x a 即可，对 ( )g x 进行求导，利用导数判断函数的单

调性得到其最小值.

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（3）因为 2 21 e 1( ) eln ln ( ) eln ( e)

2 2 2

ag x a x x xf x a x x a x

，

由已知，若存在 0 [e, )x 使函数 21( ) eln ( e)

2g x a x x a x a 成立，

则只需满足当 [e, )x 时， min( )g x a 即可．·······9分

又 21( ) eln ( e)

2g x a x x a x ，

则2e ( e) e ( )( e)

'( ) ( e)a x a x a x a x

g x x ax x x

，·······10分

①若 ea ，则 '( ) 0g x 在 [e, )x 上恒成立，

所以 ( )g x 在[e, ) 上单调递增，

22

min

1 e( ) (e) e e e( e)

2 2g x g a a ，

∴2e

2a ，又∵ ea ，∴

2ee

2a ．·······13分

②若 ea ，则 ( )g x 在[e, )a 上单调递减，在[ , )a 上单调递增，

所以 ( )g x 在[e, ) 上的最小值是 ( )g a ，·······15分

又∵2e

( ) (e) 02

g a g ，而 e 0a ，所以一定满足条件，

综上所述，a的取值范围是2e

2a ．·······16分学科网

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数学Ⅱ（理科加试）

21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，

则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修 4-1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分）

如图， , ,A B E 是⊙O 上的点，过 E 点的⊙O 的切线与直线 AB 交于点P ， APE 的平分线和 ,AE BE 分别

交于点 ,C D .

求证：(1) DE CE ；

(2) CA PE

CE PB ．

21．【答案】A．证明见解析．

【解析】

(2)∵ PDB EDC ， EDC ECD ，

∴ PDB PCE .

又 BPD EPC ，∴ PBD△ ∽ PEC△ ，∴PC PE

PD PB .

同理 PDE PCA△ ∽△ ，

∴CA PC

DE PD ，∴

PE CA

PB DE .又DE CE ，∴

CA PE

CE PB ．·······10分

数学第 16 页（共 22 页）

B．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）

已知二阶矩阵M 有特征值 8 及对应的一个特征向量 1

1

1e

，并且矩阵M 将点 ( 1,3) 变换为 (4,16)，

求矩阵M ．

21．【答案】B．2 3

5 6M

C．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）

以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线 l 的参数

方程是

1

2

33

2

x t

y t

（ t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ．

（1）写出直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线 l 与曲线C 相交于 A， B 两点，点M 为 AB 的中点，点 P 的极坐标为 (4 3, )3

，求 | |PM 的

值．

21．【答案】C．（1） 3 3 0x y ，2 4x y ；（2）3

【解析】

试题分析：（ 1）根据加减消元法，将直线参数方程化为普通方程 3 3 0x y ，根据

cos , sinx y 将极坐标方程化为直角坐标方程2 4x y （2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦

数学第 17 页（共 22 页）

达定理得到M 点坐标，又点P 的直角坐标为 (2 3,6) ，所以根据两点间距离公式得 | |PM 的值．

D．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）

若实数 , ,x y z满足4 3 12 1x y z ，求2 2 2x y z 的最小值.

21．【答案】D． 1

169

【解析】

试题分析：利用柯西不等式，得2 2 2 2 2 2 2(4 3 12 ) (4 3 12 ) ( )x y z x y z ，从而有

2 2 2x y z 的

最小值.

试题解析：由柯西不等式，得2 2 2 2 2 2 2(4 3 12 ) (4 3 12 ) ( )x y z x y z ，·······3分

即2 2 2 2 2 24 3 12 4 3 12x y z x y z ，

又因为4 3 12 1x y z ，所以2 2 2

2

1 1

13 169x y z ，·······8分

当且仅当4 3 12

x y z ，即

4 3 12, ,

169 169 169x y z 时取等号. ·······9分

综上，2 2 2

min

1( )

169x y z . ·······10分

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[必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、

证明过程或演算步骤．


底面是正方形的四棱锥中P ABCD 中，侧面PAD 底面 ABCD，且 PAD△ 是等腰直角三角形，其中

PA PD ， ,E F 分别为线段 ,PC DB的中点，问在线段 AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G 的

余弦值为3

3，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.

22．【答案】存在，G 为 AB 的中点.

【解析】

数学第 19 页（共 22 页）

z

Oy

x

则有 (0,0,1), ( 1,0,0), (1,0,0)P D A ，假设在 AB 上存在符合题意的点 (1, ,0),0 2G a a ，

则 (1,0, 1), ( 1,0, 1), (2, ,0)PA PD DG a ,

因为侧面PAD 底面 ABCD，交线为 AD，且底面是正方形，

所以CD 平面PAD，则CD PA ，

又 PD PA ，所以PA平面PDC ，即平面PDC 的一个法向量为 (1,0, 1)PA m ,·······4分


设 i 为虚数单位，n 为正整数， [0,2 ) ．

（1）用数学归纳法证明： (cos isin ) cos isinn n n ；

（2）已知 3 iz ，试利用（1）的结论计算10z .

23．【答案】（1）详见解析；（2）512(1+ 3i) .

【解析】

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试题分析：（1）数学归纳法的证明需要两个步骤，第一步，需验证初始值，第二步，假设当 kn 时，等式

成立，需证明当 1 kn 时，等式也成立，在证明过程中需要使用假设的结论；

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