Repblica Bolivariana de Venezuela.

Universidad del Zulia.

Facultad de Ingeniera.

Escuela de Geodsica.

Departamento de Mediciones y Clculos Geodsicos.

Clculo de Compensacin II.

Prof. Antonio Gonzlez.Modelo general de Colocacin

por Cuadrados Mnimos.Br. Daniela A. Obeso H.

CI: 19.844.749.Maracaibo, Octubre de 2013.Ajustes Mnimos Cuadrados:

1.1. Modelos matemticos de ajustes.

1.2. Descomposicin general de un observable.

1.3. Principio de mnimos cuadrados.Modelo general de Colocacin Mnimos Cuadrados:

2.1. Modelo funcional.

2.2. Modelo estocstico.

2.3 Aplicaciones.I.-Ajustes Mnimos Cuadrados:

1.1.- Modelos matemticos de ajustes:

En todo problema geodsico aparecen involucrados tres tipos de elementos de carcter fundamental. En primer lugar estn los que llamamos parmetros, son incgnitas del problema, magnitudes que nos representan aquello que deseamos determinar. En segundo lugar estn los observables que son aquellas magnitudes que podemos determinar directa o indirectamente por observacin. En tercer lugar estn las funciones o relaciones matemticas establecidas entre los parmetros y los observables. Al conjunto de parmetros, observables y funciones 10 llamamos modelo matemtico.

Entonces, mediante un modelo matemtico trataremos de describir o representar una situacin o fenmeno fsico o geomtrico con el que intentaremos explicar la realidad del problema.

El modelo matemtico suele considerarse constituido por dos partes: el modelo funcional y el modelo estocstico.

El modelo funcional o determinista establece las propiedades fsicas o geomtricas del problema dando las relaciones matemticas, entre las variables involucradas de forma implcita o explcita, independientemente de los de los valores numricos que tomen dichas variables; estar constituido por las funciones que relacionen los parmetros con los observables incluyendo algunas constantes propias del fenmeno estudiado si ello fuera necesario. En forma implcita general podemos escribir un modelo funcional como:

F(X,L) = o, (1. 1 )tambin puede adoptar una forma explcita en L:

L = F (X) (1.2)

o en X:

X = F (L) (1. 3)

o, en ausencia de parmetros, la forma de un modelo condicin:F (L)=0 (1. 4)

En estas expresiones F es un conjunto de funciones, que pueden ser la misma en cada caso, X son los parmetros, que son variables independientes entre s y que no se pueden observar, salvo en el caso trivial del modelo (1.3) y L son los observables, variables del problema a las que se les podr asignar valores por observacin.

El modelo estocstico establece las caractersticas o propiedades estocsticas de las variables aleatorias involucradas en el modelo funcional. La necesidad del modelo estocstico surge del hecho inicial de que las observaciones que entran en el problema son variables aleatorias, al ser el resultado de un proceso de medida en el que incuestionablemente se cometen errores de observacin; adems otras variables del modelo como los parmetros, e incluso las propias funciones pueden tener tambin carcter aleatorio. El modelo estocstico se especifica generalmente dando la esperanza matemtica de las variables aleatorias que intervengan y sus matrices de varianza-covarianza.

Las variables X, L Y las funciones F constituirn tres espacios matemticos formados por todos los elementos que se puedan presentar de cada clase. As, el conjunto de todos los posibles vectores solucin X constituye el espacio de parmetros que supondremos de dimensin n. El conjunto de todos los posibles vectores de observaciones L constituye el espacio de observaciones que supondremos de dimensin m. Y el conjunto de todos los posibles vectores de funciones F constituyen el espacio de funciones de dimensin c.

Para un tratamiento adecuado, desde un punto de vista matemtico, de nuestros modelos en los problemas de ajuste que hemos de plantear es necesario un buen conocimiento de la estructura de estos tres espacios, cuyas propiedades juegan un papel fundamental en la teora y en nuestras aplicaciones.

Desde un primer momento es necesario darse cuenta de que un modelo matemtico, tal como el F(X, L) o por ejemplo, se verifica exactamente para los valores X de los parmetros y los valores L de las observaciones que entonces llamaremos valores ajustados. Las observaciones reales l no coinciden con los valores L porque adolecen del error de observacin, a su diferencia que representamos por el vector v la llamaremos vector de errores residuales, y escribiremos:

L = l + v (1. 5)

Donde el signo ms es convencional. Adems, los valores L que verifican el modelo tampoco son los valores verdaderos de los observables de manera que los errores v no son los errores verdaderos. Evidentemente, con los valores verdaderos de los observables, LV y con los valores verdaderos de los errores, E, tendramos una relacin anloga a la (1.5):LV = l + E (1 .6)pero LV y E son por principio imposibles de conocer o determinar.1.2.- Descomposicin general de un observable:

En los problemas de ajuste es muy importante conocer las caractersticas de los observables. Cuando en un cierto instante T y en un cierto lugar P efectuamos una observacin o medida, lo que pretendemos hacer es obtener el valor que en ese instante y en ese lugar toma una cierta variable, por ello se han definido los observables como aquellas cantidades fsicas o geomtricas susceptibles de observacin, es decir, que de forma directa o indirecta pueden ser obtenidas como resultado de una observacin u operacin de medida.

La geodesia nos proporciona una gran cantidad de observables como por ejemplo: direcciones, ngulos, distancias, diferencias de altitudes, gravedades, direcciones y distancias a satlites, diferencias de distancias, etc.

Efectuada una observacin, lo que obtenemos es un nmero que representa el valor que en un instante y en un lugar toma un observable, pero este valor est en cierto modo enmascarado por el error de observacin que est incluido en el nmero obtenido. As pues, en toda observacin aparece una componente genuinamente aleatoria, que es el error de observacin, junto al valor del observable. As se ha supuesto en (1.5).

El conocimiento que se tenga, por otra parte, del observable en cuestin, e independientemente de que se mida o no, nos llevar a asignarle una cierta constitucin; as en su forma ms general podemos considerarlo compuesto por una parte determinista que incluir el valor esperado del observable y posiblemente una parte aleatoria que sea propia del fenmeno estudiado y nada tenga que ver con el error de observacin. Entonces, en vez (1.5) podemos escribir:

L = l + r + s (1. 7)

Donde L es el valor ajustado del observable, l es el valor observado, r es el error aleatorio de medida que ahora llamamos ruido y s es otra parte aleatoria propia del campo en el que se realiza el experimento, que no depende del sistema o equipo de medida y que llamaremos seal.

Con esta descomposicin, la parte aleatoria completa del observable, que seguiremos llamando residual v, est constituida por el ruido y la seal:

v = r + s (1. 8)

En conformidad con (1.5). El ruido r lo constituyen cantidades aleatorias estadsticamente independientes de esperanza matemtica cero, las seales por su parte sern cantidades aleatorias estadsticamente dependientes de media cero.

Un hecho diferencial es que al repetir varias veces observaciones en un mismo punto, los diferentes valores del ruido sern distintos, aunque su esperanza matemtica ser E{r}=0, mientras que la seal en ese punto deber ser la misma, por lo que E{s}=s; esta seal cambiar cuando cambiemos de punto de observacin y en todo el espacio considerado su media ser M{s}= 0, siendo entonces lgico tomar M{r}= r. Evidentemente, si como hace Moritz (1980) definimos la media total M = EM resulta M{r}=0 y M{s} = 0, es decir con respecto a esta media total ambas cantidades son centradas.

Una ltima cuestin puede ser el considerar la existencia en e el propio observable de una parte sistemtica que indicar alguna tendencia o sesgo de la propia observacin y esta parte debidamente formulada podra entrar a formar parte de la expresin (1.7); este sera el caso de sistematismos instrumentales o efectos perturbadores de la observacin como por ejemplo la refraccin atmosfrica. La expresin

(1.7) supone que las observaciones han sido corregidas de efectos sistemticos lo que es corriente en geodesia. 1.3.- Principio de mnimos cuadrados:

Los problemas de ajuste o compensacin en geodesia surgen del hecho de que en general se dispone, despus de la fase de observacin, de ms observaciones de las estrictamente necesarias para la resolucin del problema geodsico planteado, adems, estas observaciones siempre adolecen de los inevitables errores de observacin que son desconocidos.

Si consideramos un modelo matemtico regular en el que estas observaciones se toman como valores de los observables, desde un punto de vista algebraico y debido a la superabundancia indicada, tendremos varias posibilidades de obtener soluciones aproximadas del problema, tantas como combinaciones podamos efectuar con las observaciones tomadas en nmero mnimo necesario para que cada sub-modelo particular pueda resolverse. Ahora bien, ninguna de estas soluciones particulares resolver exactamente el problema general debido a la existencia de los errores de observacin. Es entonces cuando entran en juego los errores residuales que vienen a ser las discrepancias o diferencias entre los valores tericos proporcionados por el modelo (observaciones ajustadas) y los valores numricos obtenidos con las observaciones reales. A cada conjunto de soluciones o valores ajustados corresponder un conjunto de errores residuales que hacen el modelo consistente y como, adems de los parmetros, los residuales son incgnitas del problema nos encontramos con ms incgnitas que ecuaciones y por tanto con infinitas soluciones del modelo lineal o linealizado.

Evidentemente, de entre las infinitas soluciones posibles deseamos la "mejor" y para obtenerla necesitamos algn criterio adicional. Este criterio adicional es el principio de mnimos cuadrados justificado plenamente por el anlisis matemtico y la estadstica (Sevilla, 1986). Este principio establece en su forma elemental que la suma de los cuadrados de los errores residuales debe ser mnima; con la mtrica euclidea ordinaria esto es: (1.9)y si dicha mtrica viene definida en el espacio de observaciones por la matriz P, matricialmente escribimos: (1.10)

En definitiva la solucin ptima de un problema de ajuste o compensacin es aquella que adems de satisfacer exactamente las ecuaciones del modelo en su forma lineal de lugar a unos errores residuales que satisfagan el principio de mnimos cuadrados.II.-Modelo general de Colocacin Mnimos Cuadrados:

2.1.- Modelo funcional:

El modelo general de colocacin constituye un caso muy general de mnimos cuadrados, su caracterstica principal es que adems de los parmetros y los errores de observacin permite estimar otras cantidades aleatorias de gran inters en muchos problemas geodsicos. El observable L lo suponemos en la forma (1.7) que incluye en la observacin t una parte aleatoria de esperanza matemtica cero que sern los errores de observacin o ruido r, y otra parte tambin aleatoria de media cero o seal s, siendo r y s incorrelados. Entonces con respecto de la observacin tomamos (2.1)

Suponemos, por parte que nos encontramos ante un modelo explicito en L lineal, L= F (X) que en su forma lineal escribimos:

(2.2)

Con la misma notacin que en la seccin anterior. Entonces, con (2.1) y (2.2) el toma la forma: (2.3)

y llamamos t: (2.4)

podemos escribir:

(2.5)

Para completar el planteamiento del problema de colocacin, supondremos m observaciones l (y por tanto m ruidos r, y m seales s en puntos de observacin) y n parmetros x con m>n para disponer de observaciones superabundantes: supondremos, adems, que deseamos estimar seales en puntos que pueden ser los mismos (seales s) o distintos de los de observacin, el vector de seales en los puntos distintos lo representamos por z y lo supondremos de dimensin k y tambin incorrelado con r.

Entonces, la determinacin de los parmetros x es un problema de ajuste, la de la seal z en puntos distintos a los de observacin una prediccin y la eliminacin del ruido un problema de filtrado. La combinacin en un solo procedimiento del ajuste, la prediccin (interpolacin o extrapolacin) y el filtrado constituye el problema de colocacin general (Moritz, 1980).

Transformemos la expresin (2.5) para tener en cuenta todas las seales. Introducimos una matriz B definida de la siguiente forma:(2.6)

Esto es, constituido por tres cajas, una primera caja con la (mxm)-matriz unidad cambiada de signo, otra segunda con la (mxk)-matriz de ceros y una tercera con otra (mxm)-matriz unidad cambiada de signo. Definimos asimismo un vector v, formado por toda la parte aleatoria de nuestro problema, de la forma: (2.7)Entonces es evidente que: (2.8)De manera que el modelo (2.5) toma la forma estndar: (2.9)

Formalmente las ecuaciones de condicin as obtenidas para la colocacin (2.9) responden a un modelo de ajuste mixto de observaciones con condiciones y parmetros y este hecho nos va a servir para obtener de forma inmediata las estimaciones mnimos cuadrados de los parmetros, de las seales y del ruido y sus correspondientes precisiones a posteriori.

2.2.- Modelo estocstico:

Supongamos de momento que la varianza de referencia a priori de las observaciones es la unidad. Entonces las matrices cofactor coincidirn con las matrices covarianza a priori. En particular sabemos que con respecto a la media total M introducida en 1.2 se verifica: (2.10)

Donde por (2.7) la matriz de covarianza viene dada por matrices en la forma: (2.11)

Por lo que debemos analizar por separado las matrices covarianza de la seal, Css, Czz, del ruido Crr y cruzadas Csz, Csr, Czr, que por sus especiales caractersticas hemos representado por la letra C, evitando la utilizacin de que se usa ordinariamente para cantidades genuinamente a1eatorias (como los errores de observacin).

En primer lugar como la seal y el ruido son variables incorreladas, los trminos Csr, Czr, y Crs, Crz, son cero y (2.11) queda reducida a: (2.12)

En segundo lugar, si consideramos las propias observaciones l cuya parte aleatoria es s+r, como Csr = 0 resulta:

(2.13)

Es decir, la matriz covarianza de las observaciones es la suma de las matrices covarianza de la seal y del ruido en los puntos de observacin.

En lo que sigue supondremos conocidas y de rango completo todas las matrices covarianza de las seales y del ruido que figuran en (2.12), las primeras pueden obtenerse por el clculo en el campo de las seales y la segunda por la precisin de las medidas. Es decir, todas las funciones covarianza han de ser definidas positivas.Propiedades de la Colocacin por Cuadrados Mnimos: La solucin expresada anteriormente tiene las siguientes propiedades:

El resultado es independiente del nmero P de las cantidades de las seales a ser calculadas.

Tanto las observaciones y cantidades calculadas pueden ser completamente heterogneas.

Las observaciones pueden ser sin error o afectadas por errores de mediciones (ruido).

El mtodo es invariante con respecto a las transformaciones lineales de los datos o de los resultados.

La solucin es ptima en el sentido de que se obtienen los mejores resultados precisos obtenidos sobre la base de los datos avalados.

2.3- Aplicaciones:

Existen varias aplicaciones del Mtodo de Colocacin por Cuadrados Mnimos. Entre las cuales se encuentran las siguientes:

Transformaciones de la Geodesia y Fotogrametra:

Consideramos dos redes locales con puntos comunes. Transformamos un sistema al otro; permanecen discrepancias residuales o perturbaciones, que son irregulares pero bastantes correlacionadas.

Ax: Frmula de transformacin.S: Discrepancias de residuales.N: Efectos de errores de las mediciones.L: Mediciones terrestres de distancias o ngulos horizontales y verticales o mediciones de las coordenadas en el equipo fotogramtrico.

Determinacin del Campo Gravitatorio Terrestre:

Si usamos solamente mediciones de una misma manera, resolvemos un problema de la interpolacin. Pero la colocacin no est restringida a este caso; podemos utilizar datos heterogneos. Aprovechemos y una seal bsica, por ejemplo, el potencial de la perturbacin (la diferencia entre el potencial gravitatorio terrestre y un potencial del campo gravitatorio normal). Las seales de todos los puntos se construyen por:

T = B * T

Siendo:

B: Una matriz de funcionales (en forma lineal), que describen la dependencia entre T y otras seales del campo; tenemos por ejemplo, entre anomalas y T la conexin siguiente (en aproximacin esfrica):

T + 2 T + g = 0

r R

Con:

R: 6.371 km. Radio de la esfera de referencia.

/r: Derivada radial.

T: Valores de la seal fundamental.

g: Anomala gravimtrica, valores de la seal de datos heterogneos.

Determinacin de los Armnico Esfricos de datos Satelitales.

Consideramos las observaciones a satlites desde estaciones terrestres de rastreo, por instancia de: observaciones fotogrficas de ascensin recta y declinacin , mediciones electrnicas de distancias d a el satlite y la velocidad radial r por el efecto Doppler (actualmente integrado para obtener una diferencia de distancia (d2 d1).

El movimiento del satlite r (t) , r (t) en un sistema de referencia sigue la siguiente ecuacin:

D2 r = - r + FiDt2 r3

Con r (to) = ro , r (to) = ro

En donde - r: es el trmino Kepleriano

R3

Fi: Representa todas las fuerzas.

Como:

a.- Fuerzas Gravitacionales:

Debido al neopotencial grad (u - /r)

Debido a la deformacin de la tierra elstica bajo accin del sol y la luna.

b.- Fuerzas no gravitacionales:

Drag atmosfrico.

Presin directa de la radiacin solar.

Presin indirecta de la radiacin (efecto Albedo de la tierra)

c.- Fuerzas Aparentes:

Debido al cambio del sistema de referencia (coriolis y fuerzas complementarias). Mediciones Gravimtricas:

L: Lecturas del gravmetro.

S: Anomala de gravedad.

N: Errores de la lecturas.

Ax: Algunos parmetros sistemticos. Por ejemplo, la frmula de la gravedad normal o variaciones del equipo.

Mediciones de Satlites:

L: Mediciones pticas o electrnicas al satlite.

Ax: rbita normal del satlite.

S: Perturbaciones de las rbita causadas por efectos del campo gravitacional terrestre.

N: Efectos aleatorios. Por ejemplo, errores de medicin.