Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Alen Kovacevic

Algebarska teorija brojevaZavrsni rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Alen Kovacevic

Algebarska teorija brojevaZavrsni rad

Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

1 Algebarski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Gaussovi cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Algebarski cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Ideali u Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Ideali u Z[i] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Ideali u Z[√−5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Faktorizacija ideala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Sume kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

Sazetak.

U zavrsnom radu cemo predstaviti algebarsku teoriju brojeva. Objasnit cemozacetke teorije, razloge njena nastajanja i osnovne ciljeve. Definirat cemo al-gebarske i Gaussove cijele brojeve, upoznat cemo se s pojmovima ideala,faktorizacije i sume kvadrata, te kroz primjere pokusati ilustrirati svojstvapredstavljenih pojmova. Uvest cemo posebne algebarske strukture kako binasli rjesenja odredenih problema, poput problema nejedinstvenosti faktori-zacije. Upoznat cemo se s Lagrangeovom teorijom kvadrata, teorijom kojaje prethodila algebarskoj teoriji brojeva. Na kraju cemo povezati obradenapoglavlja i dati kratku biografiju matematicara s istaknutim postignucima uovoj grani matematike.

Kljucne rijeci:

Algebarski cijeli brojevi, jedinstvena faktorizacija, prsteni, ideali, faktoriza-cija ideala, sume kvadrata.

Abstract.

In this final paper we are going to introduce algebraic number theory. We willexplain its beginnings, reasons of its arise and main goals. We will define al-gebraic and Gaussian integers, get an insight with terms ideals, factorizationand sums of squares, and through the examples try to demonstrate proper-ties of introduced terms. We will introduce special algebraic structures tosolve specific problems, such as non unique factorization. We will get an in-sight with Lagrange’s quadratic theory, one that took place before algebraicnumber theory. Finally, we will provide the relationship between elaboratedchapters and give a short biography of a matematician with notable achieve-ments in this branch of mathematics.

Keywords:

Algebraic integers, unique factorization, rings, ideals, ideal factorization,sums of squares.

2

Uvod

Algebarska teorija brojeva vazan je dio teorije brojeva koja proucava alge-barske strukture vezane uz algebarske cijele brojeve. Ova grana matematikeskup cijelih brojeva i probleme iz klasicne teorije brojeva proucava uvodenjemspecificnih algebarskih struktura te promatranjem njihova svojstava, slicnasvojstvima cijelih brojeva. Teorija se pocela razvijati sredinom devetnaes-toga stoljeca, iako su pojmovi vezani uz ovu teoriju bili poznati i koristenicak i nesto ranije.Uvidom u problem nejedinstvenosti faktorizacije u odredenim situacijama,uvodi se pojam ideala koji cuvaju svojstvo jedinstvenosti faktorizacije. Pocinjuse proucavati faktorizacije ideala u slucajevima kada ne vrijedi jedinstvenostfaktorizacije u promatranim prstenima, posebice u prosirenjima skupa cijelihbrojeva.

U prvom poglavlju uvodimo pojam algebarskog broja i dajemo primjerkoristenja takvih brojeva prilikom rjesavanja diofantskih jednadzbi.

U sljedecem poglavlju posvecujemo se Gaussovim cijelim brojevima, vaznomprimjeru algebarskih cijelih brojeva, o kojima cemo govoriti u iducem poglav-lju. Takoder, uvodimo pojam norme i dokazujemo svojstvo jedinstvenostifaktorizacije.

Trece poglavlje zapocinjemo jednostavnim primjerom algebarskog cijelogbroja. Prisjecamo se definicije prstena, te proucavajuci prsten algebarskihcijelih brojeva Z[

√−5] uocavamo problem nejedinstvenosti faktorizacije.

Cetvrto poglavlje upoznaje nas s pojmom ideala, cija svojstva proucavamou tri prstena. Uvodimo pojam integralne domene, te trazimo veze izmeduprostih i maksimalnih ideala.

U iducem poglavlju bavimo se faktorizacijom ideala. Uvodenje pojma pro-dukta ideala omogucuje nam shvacanje nejedinstvenosti faktorizacije odredenihelemenata u ranije spomenutom prstenu Z[

√−5].

Zavrsno poglavlje zapocinjemo proucavanjem Pitagorinih trojki. Upozna-jemo se s Lagrangeovom teorijom kvadrata i uvodimo pojmove ekvivalenata iciklotomskih cijelih brojeva. Rad zavrsavamo kratkom biografijom RichardaDedekinda.

3

1 Algebarski brojevi

Cijeli brojevi smatraju se najjednostavnijim matematickim objektima, no ti-jekom vremena otkrivale su se mnoge njihove skrivene tajne. Razne granematematike, poput algebre, analize i geometrije, koristene su kako bi se pojas-nio naizgled jednostavan princip cijelih brojeva. Poznato je kako cjelobrojnarjesenja Pellove jednadzbe1 mogu biti zapisana uz pomoc iracionalnih brojevaoblika a+ b

√N . Takoder, broj 1+

√5

2pomaze2 u objasnjavaju Fibonaccijevog

niza brojeva, to jest niza zadanog na sljedeci nacin:

f(n) =

0, n = 0

1, n = 1

f(n− 1) + f(n− 2), inace

U 19. stoljecu razvijena je teorija algebarskih brojeva, s ciljem da se ra-zjasni uobicajena teorija brojeva. U tom pogledu imala je znacajan uspjeh,ali je razvila vlastitu problematiku, pa su u 20. stoljecu principi spomenuteteorije bili zacetci teorija prstena, polja i vektorskih prostora.

Kako bismo objasnili algebarsku teoriju brojeva, potrebno je krenuti odosnovne definicije. Za broj koji je rjesenje jednadzbe oblika

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, a0, a1, . . . , an ∈ Z

kazemo da je algebarski broj. Oznaka Z za cijele brojeve potjece odnjemacke rijeci ”Zahlen”, koja znaci ”brojevi”. Ovakve brojeve ponekadzovemo obicni, ili racionalni cijeli brojevi, kako bi izbjegli podudaranje s al-gebarskim cijelim brojevima, koje cemo opisati u trecem poglavlju.

Prvi matematicari koji su algebarske brojeve koristili u teoriji brojeva bilisu Lagrange i Euler oko 1770. godine. Kako bi dokazao Fermatovu tvrdnju:

x = 5 i y = 3 su jedina pozitivna cjelobrojna rjesenja jednadzbe y3 = x2 + 2,

Euler je koristio algebarski broj√−2. Tvrdnju cemo dokazati gledajuci skup

Z[√−2] brojeva oblika a+ b

√−2, gdje su a, b ∈ Z.

Dokaz. Pretpostavimo da su x i y cijeli brojevi takvi da y3 = x2 + 2. Tadavrijedi

y3 = (x+√−2)(x−

√−2).

Buduci da se brojevi oblika a+ b√−2 obzirom na rastav i relativnu prostost

ponasaju poput obicnih cijelih brojeva te kako je njihov produkt kub y3,

1Pellovom jednadzbom nazivamo diofantsku jednadzbu oblika x2 − ny2 = 1, gdje je nprirodan broj koji nije potpuni kvadrat.

2Detaljno objasnjenje se moze pronaci u [3], poglavlje 10.

4

mozemo zakljuciti da su x +√−2 i x −

√−2 kubovi. Tada postoje a, b ∈ Z

takvi da

x+√−2 = (a+ b

√−2)3

= a3 + 3a2b√−2 + 3ab2(−2) + b3(−2

√−2)

= a3 − 6ab2 + (3a2b− 2b3)√−2.

Izjednacavajuci realne i imaginarne dijelove imamo

x = a3 − 6ab2

1 = 3a2b− 2b3 = b(3a2 − 2b2), a, b ∈ Z.

Jedini cjelobrojni produkti jednaki 1 su 1·1 i (−1)·(-1), dakle b = ±1, tea = ±1. Tada se jedina pozitivna rjesenja za x pojavljuju u slucaju kada jea = −1, b = ±1, pri cemu je x = 5 te y = 3.

Da bi smo zakljucili spomenute rezultate o brojevima x+√−2 i x−

√−2, prvo

trebamo znati da nemaju zajednickog prostog djelitelja, tj. da su relativnoprosti. U sljedecem ce poglavlju biti rijeci o normi, koja pitanje djeljivostisvodi na pitanje djeljivosti u skupu cijelih brojeva.

5

2 Gaussovi cijeli brojevi

Gaussovi cijeli brojevi su brojevi oblika a + bi, gdje su a, b ∈ Z[i]. SkupGaussovih cijelih brojeva oznacavamo sa Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}. Kakoje Z ⊂ Z[i], vidimo da je svaki cijeli broj ujedno i Gaussov cijeli broj. Uzto, neki se cijeli brojevi mogu zapisati u obliku produkta Gaussovih cijelihbrojeva, kao npr. 10 = (3 + i)(3− i), ili 25 = (4 + 3i)(4− 3i).

Na skupu Z[i] definirat cemo normu N(α), za α = a + bi ∈ Z[i] sN(α) = α · α = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2. Uocavamo da je N(α) uvijeknenegativan cijeli broj, te je N(α) = 0 ako i samo ako je α = 0.Za Gaussov cijeli broj β, β 6= 0, kazemo da dijeli Gaussov cijeli broj α, akopostoji Gaussov cijeli broj γ takav da je α = β · γ.Gaussov cijeli broj α definiramo kao prost ako je N(α) > 1 te se α ne mozeprikazati u obliku produkta Gaussovih cijelih brojeva manje norme.

Primjer 1. 4 + i je prost Gaussov cijeli broj, jer je N(4 + i) = 42 + 12 = 17,sto je prost broj.

2 nije prost Gaussov cijeli broj, jer je 2 = (1 + i)(1− i), a 1 + i, 1− i suoba norme 2, dok je 2 norme 4.

Norma ima prednost da je N(a + bi) = a2 + b2 pozitivan cijeli broj,zbog cega mozemo koristiti svojstva cijelih brojeva. Primjerice, promatramoproblem faktorizacije Gaussovog cijelog broja.

Propozicija 2.1. Svaki se Gaussov cijeli broj moze prikazati kao produktprostih Gaussovih cijelih brojeva.

Dokaz. Neka je α Gaussov cijeli broj koji nije prost. U tom slucaju postojeβ, γ ∈ Z[i], norme manje od α takvi da je α = β · γ. Ako β i γ nisu obaprosti, na isti ih nacin prikazemo u obliku produkta Gaussovih cijelih brojevamanje norme te dalje nastavimo na isti nacin. Buduci da su norme prirodnibrojevi i uz to se smanjuju pri svakom koraku, postupak se mora zaustaviti,sto nas dovodi do trazene faktorizacije.

Kako bi se uocila jedinstvenost ovakve faktorizacije, potrebno je uvestipojam invertibilnih elemenata. Za element α ∈ Z[i] kazemo da je invertibilanako postoji β ∈ Z[i] takav da je α ·β = 1. Ako takav element postoji, obicnose oznacava s α−1.Prikaz Gaussovih cijelih brojeva u obliku produkta prostih Gaussovih cijelihbrojeva jedinstven je do na poredak i mnozenje invertibilnim elementima.Kako su jedini invertibilni Gaussovi cijeli brojevi 1,−1, i,−i, prikaz je je-dinstven do na poredak i mnozenje elementima norme 1.

6

3 Algebarski cijeli brojevi

Gaussovi cijeli brojevi dobar su primjer algebarskih brojeva koji se ponasajupoput cijelih brojeva, ali i dalje ostaje nejasan sam koncept cijelog broja. Na-kon perioda Eisensteinovih i Dirichletovih istrazivanja sredinom 19. stoljeca,njemacki matematicar Richard Dedekind 1871. godine predstavio je sljedecudefiniciju:Algebarski cijeli broj je korijen jednadzbe oblika

xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, a0, a1, . . . , an−1 ∈ Z. (1)

Primjer 2. Pokazimo da je ”zlatni rez” algebarski cijeli broj.Uocimo da je je 1+

√5

2rjesenje jednadzbe x2 − x − 1 = 0, sto je normirani

polinom, pa sto prema definiciji daje trazeno.

Uocimo da definicija algebarskog cijelog broja dolazi od definicije algebar-skog broja, spomenute u poglavlju 1, s tim da su dani polinomi ogranicenina one s vodecim koeficijentom 1, to jest na normirane polinome.

Prije nastavka, prisjetimo se nekoliko definicija.Prsten je neprazan skup R na kojem su zadane dvije binarne operacije:

• Zbrajanje (a, b) 7→ a+ b, a, b ∈ R

• Mnozenje (a, b) 7→ a · b, a, b ∈ R

sa sljedecim svojstvima:

(i) U odnosu na zbrajanje, R je komutativna grupa

(ii) U odnosu na mnozenje, R je polugrupa

(iii) Mnozenje je i s lijeva i s desna distributivno u odnosu na zbrajanje

Prsten je komutativan ako je mnozenje komutativno. R se zove unitalniprsten (prsten s jedinicom) ako postoji nuzno jedinstven element 1 ∈ R ta-kav da je 1·a = a·1 = a,∀a ∈ R. Takav se element naziva jedinica prstena R.

Sredinom 19. stoljeca Eisenstein je otkrio da je skup brojeva koji zadovo-ljavaju jednadzbu (1) zatvoren obzirom na operacije zbrajanja, oduzimanjai mnozenja. Nadalje, kako algebarski brojevi nasljeduju svojstva zbrajanja,oduzimanja i mnozenja definirana na skupu C, takvi algebarski brojevi cinekomutativan prsten s jedinicom.Jos jedan razlog ogranicenja na normirane polinome je taj sto su racionalnialgebarski brojevi upravo obicni cijeli brojevi. Dokazat cemo to svojstvonormiranih polinoma.

7

Dokaz. Pretpostavimo da jednadzba (1) ima racionalna rjesenja koja nisucijeli brojevi. Tada rjesenje x zapisemo u obliku x = r

pq, gdje su r, p, q cijeli

brojevi a p je prost broj koji ne dijeli r. Ako u pocetnu jednadzbu uvrstimoovakav x, imamo

rn = −an−1rn−1(pq)− . . .− a1r(pq)n−1 − a0(pq)n.

No, to je nemoguce buduci da p dijeli desnu stranu jednadzbe, ali ne i li-jevu. Time dolazimo do kontradikcije, sto znaci da su sva racionalna rjesenjajednadzbe (1) cijeli brojevi.

U praksi je cesto tesko raditi s prstenom svih algebarskih cijelih brojeva.Manji prsten poput Z[

√−2] pomogao je u Eulerovu dokazu da y3 = x2+2 ima

samo jedno pozitivno rjesenje u Z, sto smo vidjeli u poglavlju 1. Prednostprstenova kao sto su Z[i] ili Z[

√−2] je ta sto imaju koncept norme, koja

nam dopusta definiranje prostog elementa, kao i mogucnost da pokazemoda se svaki element prstena moze faktorizirati. Ipak, nije nam zajamcenajedinstvenost takve faktorizacije.

Standardniji primjer prstena algebarskih cijelih brojeva je

Z[√−5] = {a+ b

√−5 : a, b ∈ Z}.

U ovom je prstenu |a+ b√−5| =

√a2 + 5b2, iz cega slijedi da je norma

N(a+ b√−5) = a2 + 5b2.

Analogno kao ranije, prost broj definiramo kao broj cija je norma veca od1 te koji se ne moze prikazati kao produkt brojeva manje norme, pa slijedikao u Z[i], da se svaki clan iz Z[

√−5] moze faktorizirati prostim brojevima

iz Z[√−5].

Slicno vrijedi da ako β dijeli α u Z[√−5], onda N(β) dijeli N(α) u Z.

Dakle, α je prost u Z[√−5] ako N(α) nije djeljiva niti s jednom normom

razlicitom od 1, to jest, niti s jednim brojem oblika a2 + 5b2 6= 1.Primjeri prostih brojeva u Z[

√−5]:

2, jer N(2) = 4,3, jer N(3) = 9,

1 +√−5, jer N(1 +

√−5) = 6,

1−√−5, jer N(1−

√−5) = 6.

Zakljucujemo da 6 ima dva razlicita rastava na proste faktore u Z[√−5]:

6 = 2 · 3 = (1 +√−5)(1−

√−5).

Njemacki matematicar Ernst Kummer tvrdio je da je pronasao ”druguvrstu brojeva” koji cuvaju svojstva jedinstvene proste faktorizacije, te ih jenazvao idealni brojevi. Danas su nam poznatiji pod nazivom ideali, o cemuce biti rijeci u sljedecem poglavlju.

8

4 Ideali

Kummer nije eksplicitno definirao svoje idealne brojeve, vec je, promatrajuciproste algebarske cijele brojeve, iz njihovog ponasanja zakljucivao o njihovimidealnim faktorima. Dedekind je pokazao da se idealni faktori mogu ostvaritiskupom stvarnih brojeva, te je te skupove nazvao ideali.Opcenito, neka je R komutativan prsten s jedinicom. Za aditivnu podgrupuI prstena R kazemo da je lijevi ideal u prstenu R ako vrijedi

a ∈ I, b ∈ R⇒ ba ∈ I,

a desni ideal u prstenu R ako vrijedi

a ∈ I, b ∈ R⇒ ab ∈ I.

Ako je I i lijevi i desni ideal u prstenu R, onda se I zove obostrani ilidvostrani ideal u R.Neka je R prsten i I dvostrani ideal u R. Tada je I podgrupa aditivnekomutativne grupe prstena R, sto nam omogucuje formiranje kvocijentnepodgrupe R/I. Elementi od R/I su elementi oblika

a+ I = {a+ b : b ∈ I}, a ∈ R,

a grupovna operacija zbrajanja zadana je s

(a+ I) + (b+ I) = (a+ b) + I, a+ I, b+ I ∈ R/I, tj. a, b ∈ R.

Operaciju mnozenja na R/I definiramo s

(a+ I)(b+ I) = ab+ I, a+ I, b+ I ∈ R/I.

Pokazimo da smo na ovaj nacin dobro definirali operaciju mnozenja, to jest,da ne ovisimo o izboru predstavnika klasa a+ I, b+ I ∈ R/I.Neka su c ∈ a+ I, d ∈ b+ I proizvoljni predstavnici klasa, tj. a+ I = c+ I ib+ I = d+ I. Tada su a− c, b− d ∈ I, pa i a(b− d), (a− c)d ∈ I, pa imamo

ab− cd = a(b− d) + (a− c)d ∈ I ⇒ ab+ I = cd+ I.

Dokazali smo da definicija mnozenja ima smisla u aditivnoj podgrupi R/I.Nadalje, to mnozenje je asocijativno i s obje strane distributivno u odnosuna operaciju zbrajanja: za a, b, c ∈ R, zbog svojstava mnozenja u R imamo:

[(a+ I)(b+ I)](c+ I) = (ab+ I)(c+ I) = (ab)c+ I = a(bc) + I =(a+ I)(bc+ I) = (a+ I)[(b+ I)(c+ I)],

9

(a+ I)[(b+ I) + (c+ I)] = (a+ I)[(b+ c) + I] = a(b+ c) + I =(ab+ ac) + I = (ab+ I) + (ac+ I) = (a+ I)(b+ I) + (a+ I)(c+ I),

[(a+ I) + (b+ I)](c+ I) = [(a+ b) + I](c+ I) = (a+ b)c+ I =(ac+ bc) + I = (ac+ I) + (bc+ I) = (a+ I)(c+ I) + (b+ I)(c+ I).

Uz tako definirane operacije, R/I je prsten i on se zove kvocijentni prstenprstena R po idealu I. U slucaju da je prsten R unitalan i jedinica mu je 1,onda je i kvocijentni prsten unitalan, te mu je jedinica 1 + I. Naime,

(1 + I)(a+ I) = 1a+ I = a+ I, (a+ I)(1 + I) = a1 + I = a+ I.

4.1 Ideali u ZU skupu Z poznata nam je cinjenica da

2 dijeli 6, 3 dijeli 6, (2,3)=1.

To mozemo zapisani na drugi nacin u terminima skupova

(2)={visekratnici broja 2}, (3)={visekratnici broja 3}, (6)={visekratnicibroja 6},

sto su primjeri ideala. Ekvivalentan zapis prve dvije cinjenice bio bi

(2) sadrzi (6), (3) sadrzi (6),

iz cega mozemo zakljuciti da ’dijeliti’ predstavlja ’sadrzavati’. U razmatranjucinjenice da je najveci zajednicki djelitelj brojeva 2 i 3, u oznaci (2,3), jednak1, gledat cemo novi ideal, sumu (2) i (3):

(2) + (3) = {a+ b : a ∈ (2), b ∈ (3)}.

Jasno je da (2,3) dijeli svaki clana skupa (2)+(3), te uz to

(2)+(3) ={visekratnici broja 1}=(1)=((2,3))=Z.

Za svaki a ∈ Z, skup (a)={visekratnici od a} je ocito ideal, koji se zoveglavni ideal generiran elementom a.Opcenito, u prstenu R glavni ideal je svaki ideal oblika

Ra = {ba; b ∈ R},

10

za neki a ∈ R. Za R kazemo da je prsten glavnih ideala ako je svaki idealu R glavni ideal. Integralna domena je naziv za komutativan unitalan pr-sten u kojem nema djelitelja nule.3 Integralna domena koja je prsten glavnihideala zove se domena glavnih ideala.Uvedimo pojmove prostog i maksimalnog ideala te uocimovezu s prethodnodefiniranim pojmovima. Za ideal I u prstenu R kazemo da je prost akoje I 6= R i ako iz ab ∈ I slijedi da je ili a ∈ I ili b ∈ I. Ideal I 6= R jemaksimalan ako u R ne postoji ideal J takav da je I ( J ( R.

Propozicija 4.1.1. Ideal I u prstenu R je prost ako i samo ako je kvo-cijentni prsten R/I integralna domena.

Dokaz. Pretpostavimo da je I ideal razlicit od R koji nije prost. Tada postojea, b ∈ R\I takvi da je ab ∈ I. Tada su elementi a + I i b + I kvocijentnogprstena R/I razliciti od nule, a njihov produkt ab+ I je nula u prstenu R/Ijer je ab ∈ I. Stoga, R/I nije integralna domena.Sada pretpostavimo da je I 6= R i da R/I nije integralna domena. Tadapostoje elementi a + I i b + I kvocijentnog prstena razliciti od nule, dakle,a 6= I i b 6= I, takvi da je njihov produkt ab + I nula u prstenu R/I, pa jeab ∈ I. Iz toga slijedi da I nije prost ideal.

Propozicija 4.1.2. U domeni glavnih ideala svaki nenul prost ideal je mak-simalan.

Dokaz. Neka je I 6= 0 prost ideal. Neka je I ⊂ J ⊆ R, J ideal. I = (a),J = (b) = {br; r ∈ R}. a = br ∈ I, za neki r ∈ R. b 6= I, pa je r ∈ I, paje r = ar1, iz cega slijedi da je a = bar1, a(1− br1) = 0, pa kako je I 6= (0),vrijedi da je a 6= 0, pa je 1 − br1 = 0, odakle je br1 = 1, pa je 1 ∈ J , pa jeJ = R.

Prsten Z je domena glavnih ideala. U Z su prosti ideali (0) i (p), amaksimalni ideali (p), gdje je p prost broj.Promatranje ideala u skupu Z zavrsit cemo s dvije ocite tvrdnje:

• a | b⇔ (a) sadrzi (b),

• (a) + (b) = (a, b).

Buduci da se u skupu Z ideali podudaraju s brojevima u Z, nismo saznalipuno novih informacija. Zbog toga, ideale treba promatrati u drukcijimprstenima.

3Djelitelj nule je element a 6= 0 prstena R ako postoji b ∈ R, b 6= 0 takav da je ab=0.

11

4.2 Ideali u Z[i]

Za pocetak, navedimo jedno vazno svojstvo skupa Z[i].Svojstvo djeljivosti skupa Z[i]: Za svaki α i β 6= 0 iz Z[i], postoje µ i ρiz Z[i] takvi da

α=µβ+ρ, gdje je N(ρ) < N(β).

Vidjeli smo ranije, da zbog prethodno navedenog svojstva, skupovi Z[i] i Zimaju mnoge slicnosti. Nadalje, svojstvo objasnjava zasto je svaki ideal uZ[i] oblika (β)={visekratnici od β}.Pretpostavimo da je I ideal u Z[i], te razmatramo ne-nul element β ∈ Inajmanje norme. Tada I sadrzi skup (β) visekratnika od β, buduci da idealsadrzi sve visekratnike bilo kojeg elementa. Takoder, I ne moze sadrzavatiniti jedan α 6∈ (β) zbog svojstva djeljivosti: kad bi takav α postojao, pos-tojao bi i visekratnik µβ uz 0 < N(α − µβ) < N(β). No kako je −µβ ∈ I,stoga je α − µβ ∈ I, sto je kontradikcija s izborom β kao ne-nul elementanajmanje norme.

Prema tome, svaki ideal u Z[i] sastoji se od svih visekratnika nekog ele-menta β ∈ Z[i], sto je, kako smo ranije pokazali, skup istog oblika kao Z[i].Isto vrijedi i za glavne ideale u bilo kojem Z[

√−n]: svi imaju isti (pravokutni)

oblik. Stovise, skup (β) visekratnika od β sastoji se od sume elemenata β iβ√−n, koji opisuju pravokutnik istog oblika kao pravokutnik opisan generi-

rajucim elementima 1 i√−n iz Z[

√−n].

4.3 Ideali u Z[√−5]

Z[√−5] sadrzi ideal koji nije istog oblika kao sam Z[

√−5]. To je i za

ocekivati, buduci da smo ranije pokazali nejedinstvenost proste faktorizacijeu Z[

√−5], zbog cega odmah ne vrijedi i svojstvo djeljivosti. No, s druge

strane, olaksavajuca cinjenica je ta sto se nedostatak spomenutog svojstvamoze vidjeti.Jedan takav ideal je suma I glavnih ideala (2) i (1 +

√−5),

(2) + (1 +√−5) = {2m+ (1 +

√−5)n : m,n ∈ Z},

ciji je dio prikazan Slikom 1.

12

Slika 1: Ideal (2) + (1 +√−5) u Z[

√−5]

Vidljivo je da I, koji se sastoji od crnih tocaka, nije pravokutnog oblika poputZ[√−5], koji se sastoji od bijelih i crnih tocaka. Prema tome, clanovi ideala I

nisu visekratnici niti jednog β ∈ Z[√−5]. Mozemo reci da su oni visekratnici

”idealnog broja”-broja izvan Z[√−5].

13

5 Faktorizacija ideala

U skupu Z smo vidjeli da ’dijeliti’ jednako ’sadrzavati’, zbog

a | b⇔ (a) sadrzi (b).

U Z[√−5] rekli smo da se ideal (2) + (1 +

√−5) ponasa poput zajednickog

djelitelja od 2 i 1 +√−5, zbog

(2) + (1 +√−5) sadrzi (2), (2) + (1 +

√−5) sadrzi (1 +

√−5).

Zaista, mozemo ocekivati da je (2)+(1+√−5) generiran najvecim zajednickim

djeliteljem od 2 i 1+√−5 u Z[

√−5], buduci da u Z uvijek vrijedi da (a)+(b) =

((a, b)).Ne samo to, mozemo ocekivati cak i da je (2) + (1 +

√−5) prost. U Z smo

uocili da je p prost ako i samo ako je ideal (p) maksimalan, tj. jedini idealkoji sadrzi (p) je upravo Z. Uzrok tomu je taj sto je bilo koji a 6∈ (p) relativnoprost s p, pa stoga vrijedi ma + np = 1, za neke m i n, te je 1 u svakomidealu koji sadrzi i a i p.Dokazimo da je (2) + (1 +

√−5) maksimalan ideal. Pretpostavimo da vrijedi

a = m + n√−5 6∈ (2) + (1 +

√−5), sto znaci da je m paran. No, tada

je a − 1 ∈ (2) + (1 +√−5), stoga je 1 u svakom idealu koji sadrzi i a i

(2) + (1 +√−5). Takav ideal je, zbog svega navedenog, upravo Z[

√−5].

Mozemo zakljuciti sljedece: ako ideali u Z[√−5] imaju svojstva djeljivosti kao

ideali u Z, tada je (2)+(1+√−5) generiran najvecim zajednickim djeliteljem

od 2 i 1 +√−5, te je prost. Dedekind je 1871. ponudio definiciju produkta

ideala.Ako su A i B ideali, tada

AB = {a1b1 + a2b2 + . . .+ akbk : a1, a2, . . . , ak ∈ A, b1, b2, . . . , bk ∈ B}.

AB je ideal, te standardni koncept djeljivosti odgovara i u ovakvom razma-tranju, tj. B dijeli A ako postoji ideal C takav da je A = BC. Produkt idealaomogucava nam da napokon shvatimo nejedinstvenost proste faktorizacije od6 u Z[

√−5],

6 = 2 · 3 = (1 +√−5)(1−

√−5),

tako sto razdijelimo obje strane na produkt prostih ideala. Imamo sljedece:

• (2) je kvadrat prostog ideala (2) + (1 +√−5),

• (3) je produkt ideala (3) + (1 +√−5) i (3) + (1−

√−5), koji su prosti,

• 1 +√−5 je produkt ideala (2) + (1 +

√−5) i (3) + (1 +

√−5),

• 1−√−5 je produkt ideala (2) + (1 +

√−5) i (3) + (1−

√−5).

14

Promotrimo prvu tvrdnju: Faktorizacija ideala 2: (2) = [(2) + (1 +√−5)]2.

Polazimo od definicije produkta ideala na sljedeci nacin:

4 = 2 · 2 ∈ [(2) + (1 +√−5)]2

2 + 2√−5 = 2 · (1 +

√−5) ∈ [(2) + (1 +

√−5)]2

−4 + 2√−5 = (1 +

√−5)2 ∈ [(2) + (1 +

√−5)]2.

Zbrajajuci elemente 4, 2 + 2√−5 i −4 + 2

√−5, uocavamo da je

2 ∈ [(2) + (1 +√−5)]2. Slijedi da su svi visekratnici od 2 u [(2) + (1 +

√−5)]2,

tj. [(2) + (1 +√−5)]2 sadrzi (2).

Obratno, svaki element iz [(2) + (1 +√−5)]2 je suma produkata elemenata

oblika 2m i (1 +√−5)n. Svaki produkt koji ukljucuje 2m je visekratnik od

2, kao i svaki produkt koji ukljucuje (1 +√−5)2 = −4 + 2

√−5. Stoga, svaki

element iz [(2)+(1+√−5)]2 je visekratnik od 2, pa slijedi da [(2)+(1+

√−5)]2

sadrzi (2), pa slijedi (2) = [(2) + (1 +√−5)]2.

15

6 Sume kvadrata

Povijest algebarske teorije brojeva mozemo pratiti od Babilonskog otkricaPitagorinih trojki.4 Nije poznato kako su Babilonci bili sposobni generiratitakve trojke, ali metodu generiranja mozemo prepoznati u tzv. Diofantovomidentitetu, koji govori da je produkt sume dva kvadrata suma dva kvadrata,tj. da vrijedi

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)

2.

Identitet cemo dokazati faktoriziranjem sume dva kvadrata, nakon cega gru-piramo dva faktora s negativnim, te dva faktora s pozitivnim predznakom:

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1 − b1i)(a2 + b2i)(a2 − b2i)(a2 + b2i)

= (a1 − b1i)(a2 − b2i)(a2 + b2i)(a2 + b2i)

= [a1a2 − b1b2 − (a1b2 + b1a2)i] · [a1a2 − b1b2 + (a1b2 + b1a2)i]

= (a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2.

Identitet nam omogucava da slozimo dvije Pitagorine trojke, (a1, b1, c1) i(a2, b2, c2) kako bi dobili trecu (a1a2−b1b2, a1b2 +b1a2, c1c2). No, ovom meto-dom vecu pozornost posvecujemo parovima brojeva (a, b), posebno sumamaa2 + b2, nego trojkama (a, b, c). Diofant je navodio primjer kako je 65 sumadva kvadrata buduci da je 65 = 5 · 13, a 5 i 13 su sume dva kvadrata. Stogaje ocito da, ukoliko zelimo razumjeti koji su brojevi suma dva kvadrata, mo-ramo pogledati njihove faktore, pa se zbog toga problem svodi na odredivanjeprostih brojeva koji su suma dva kvadrata.Fermat je ustvrdio da se svaki prost broj oblika p = 4n+ 1 moze prikazati uobliku sume dva kvadrata p = a2 + b2, za neke a, b ∈ Z.

Lagrangeova teorija kvadrata, jedan od prvih dokaza prethodnog Ferma-tovog teorema, prethodila je algebarskoj teoriji brojeva. Potaknuta je trimaFermatovim teoremima, koji govore o prostim brojevima p oblika x2 + y2,x2 + 2y2 i x2 + 3y2:

p = x2 + y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 4),p = x2 + 2y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 8) ili p ≡ 3 (mod 8),

p = x2 + 3y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 3),

4Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) nazivamo Pitagorina trojka ako vrijedi

x2 + y2 = z2.

16

te problemom kojeg Fermat nije uspio rijesiti: okarakterizirati proste brojeveoblika x2 + 5y2. Ustvrdio je cudnu pojavu, da prosti brojevi koji nisu oblikax2 + 5y2, kao npr. 3 i 7, tvore produkt koji jest spomenutog oblika.

Lagrange je dokazao prva tri teorema, te pomocu vlastite teorije o ek-vivalenciji kvadrata objasnio drugacije ponasanje za x2 + 5y2. Ako naszanimaju brojevi oblika ax2 + bxy + cy2, trebamo istraziti brojeve oblikaa′x′2+b′x′y′+c′y′2, dobivene iz ax2+bxy+cy2 zamjenom varijabli na sljedecinacin:

x′ = px+ qy, y′ = rx+ sy, gdje su p, q, r, s ∈ Z i ps− qr = ±1.

Takve kvadratne forme Lagrange je nazvao ekvivalentnima i uocio je da imajujednaku diskriminantu: b2 − 4ac = b′2 − 4a′c′. Nadalje, otkrio je da su svekvadratne forme s diskriminantom:

−4 ekvivalentne x2 + y2,−8 ekvivalentne x2 + 2y2,−12 ekvivalentne x2 + 3y2,

ali da postoje dvije neekvivalentne kvadratne forme s diskriminantom -20:spomenuta x2 + 5y2 i 2x2 + 2xy + 3y2. Lagrangeovo objasnjenje za bro-jeve oblika x2 + 5y2 polazi od tvrdnje da su prosti brojevi oblika x2 + 5y2

kongruentni 1 ili 9 modulo 20, dok su prosti brojevi oblika 2x2 + 2xy + 3y2

kongruentni 3 ili 7 modulo 20. Produkt potonjih prostih brojeva je kongru-entan 1 ili 9 modulo 20 te je oblika x2 + 5y2.

Gauss je ustvrdio da se teorija kvadrata, do neke razine, moze zami-jeniti teorijom kvadrata cijelih brojeva. Njegova teorija u Z[i] uistinu jezamjena za Lagrangeovu teoriju kvadrata, ali Gauss je bio svjestan da unekim slucajevima odgovarajuci kvadrati cijelih brojeva nemaju jedinstvenufaktorizaciju. Buduci da nije mogao rijesiti ovaj problem, ranije spomenutuKummerovu definiciju idealnog broja mozemo smatrati rjesenjem ovog pro-blema.Ne zna se koliko je Kummer uspio razviti svoju teoriju idealnog broja uprstenima kao npr. Z[

√−5], buduci da se intenzivnije bavio algebarskim

cijelim brojevima viseg stupnja, takozvanim ciklotomskim cijelim brojevima.Kao sto im ime sugerira, potjecu iz teorije kruzne podjele, gdje rjesenja1, ζn, ζ

2n, . . . , ζ

n−1n jednadzbe

xn − 1 = 0

predstavljaju n jednako rasporedenih tocaka na jedinicnoj kruznici. Brojevi

a0 + a1ζ1 + a2ζ22 + . . .+ an−1ζ

n−1n , gdje su a0, a1, . . . , an−1 ∈ Z,

17

tvore prsten Z[ζn] ciklotomskih cijelih brojeva.U Kummerovo vrijeme smatralo se da je Z[ζn] kljuc Fermatovog posljed-

njeg teorema, koji kaze kako ne postoje tri pozitivna cijela broja a, b, c kojizadovoljavaju jednadzbu an + bn = cn, za bilo koji n ≥ 3. Razlog takvomvjerovanju je misljenje da ako su a, b, c ∈ Z takvi da an + bn = cn, onda n-tapotencija an + bn ima faktorizaciju od n linearnih clanova iz Z[ζn]. To jebila osnova mnogih pogresnih dokaza, no Kummer je uocio netocnost takvihargumenata, buduci da se jedinstvena faktorizacija na proste brojeve ne is-punjava u Z[ζn]. Pokazao je da se to ostvaruje za n ≥ 23, te je kreirao teorijuidealnih brojeva u pokusaju da popravi prijasnje pogreske. Dedekindova pre-rada Kummerove ideje dovela je do koncepta ideala, jednog od nezamjenjivihpojmova danasnje algebre.

Na samom kraju izdvojimo kratki zivotopis njemackog matematicara Ric-harda Dedekinda. Richard Dedekind roden je 1831. godine u akademskoj obi-telji u Braunschweigu, rodnom gradu Carla Friericha Gaussa. Matematika gaje pocela zanimati tijekom srednje skole, nakon sto je dosao do zakljucka dakemija i fizika nemaju dovoljno logike u sebi. Pohadao je isto sveuciliste kaoi Gauss, prije nego sto se prikljucio Sveucilistu u Gottingenu 1850. Nakonsto se sprijateljio s Riemannom, zapoceo je zapazeni akademski uspjeh. Bioje zadnji Gaussov ucenik, cija je teorija brojeva inspirirala njegov dalji rad,kao uostalom i mnoge njemacke matematicare 19. stoljeca.

Tijekom godina rada, bivao je razocaran malim entuzijazmom drugih ma-tematicara. Njegova teorija ideala u pocetku nije bila opceprihvacena, noraznim teorijama, poput karakterizacije prirodnih brojeva kao induktivnogskupa te teorije o realnim brojevima, poznatoj kao Dedekindovi rezovi, do-prinio je i drugim granama matematike. Za svoj je rad primio brojne pocastii uvrstenje u mnoga renomirana sveucilista diljem Europe. Dedekind je osimvaznih teorema, dokaza i teorija, matematici ostavio sasvim novi pristup jas-nog izrazavanja, koji je inspirirao buduce generacije. Umro je 1916. u dobiod 84 godine.

18

Literatura

[1] H. Kraljevic: Algebra, skripta, Odjel za matematiku Sveucilista J.J.Strossmayerau Osijeku, 2007.

[2] I. Matic: Uvod u teoriju brojeva, skripta, Odjel za matematiku SveucilistaJ.J.Strossmayera u Osijeku, 2011.

[3] J. Stillwell: Mathematics and Its History, Third Edition, Springer, 2010.

[4] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dedekind.html

19