lgebra de Boole

lgebra de Boole (tambin llamada lgebra booleana) en informtica y matemtica, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lgicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), as como el conjunto de operaciones unin, interseccin y complemento.

Se denomina as en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemtico ingls autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lgico, inicialmente en un pequeo folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El lgebra de Boole fue un intento de utilizar las tcnicas algebraicas para tratar expresiones de la lgica proposicional. Ms tarde fue extendido como un libro ms importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (tambin conocido como An Investigation of the Laws of Thought o simplemente The Laws of Thought ), publicado en 1854.

Las interpretaciones respectivas de los smbolos 0 y 1 en el sistema de lgica son Nada y Universo. George Boole

En la actualidad, el lgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el mbito del diseo electrnico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseo de circuitos de conmutacin elctrica biestables, en 1948. Esta lgica se puede aplicar a dos campos:

Al anlisis, porque es una forma concreta de describir cmo funcionan los circuitos.Al diseo, ya que teniendo una funcin aplicamos dicha lgebra, para poder desarrollar una implementacin de la funcin.

Funciones Lgicas- Cuando se combinan proposiciones se forman funciones lgicas o Proposiciones lgicas.- Por ejemplo: si la bombilla no est fundida y el interruptor est dado, la luz est encendida.- Las dos primeras proposiciones son las condiciones de las que depende la proposicin la luz est encendida. sta es cierta slo si las dos primeras lo son.- Por tanto, una funcin lgica calcula el valor de una variable (dependiente) a partir de otra u otras variables (independientes). La funcin lgica puede ser bastante larga y compleja, por lo que interesa simplificarla lo ms posible.

La simplificacin se puede obtener a partir de ciertas reglas bsicas o propiedades de Algebra de Boole.

Las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa son bastante intuitivas, puesto que existen igualmente en la suma de nmeros naturales a la que estamos acostumbrados; lo mismo ocurre con la propiedad a 0 = 0.

El resto de propiedades tal vez s necesiten de una mayor explicacin.

Ejemplos de simplificacin de funciones lgicas utilizando el lgebra de Boole.Propiedad conmutativa:

a + b = b + aab = ba

Propiedad asociativa:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

a (b c) = (a b) c = a b c

Propiedad distributiva:

a (b + c) = ab + aca + bc = (a + b)(a + c)

Propiedades de la inversin:

a + a' = 1a a' = 0

Idempotencia:

a + a = aa a = a

Absorcin:

a + ab = aa (a + b) = a

Otras propiedades:

a + 1 = 1a 0 = 0

Puertas Lgicas- Puertas Lgicas: circuitos que aceptan valores lgicos a la entrada y producen valores lgicos a la salida. Un circuito que realiza una operacin lgica determinada (NOT, AND, OR) se llama puerta lgica.

- Lgica Combinatoria: cuando en un circuito lgico el estado de las salidas depende slo del estado de las entradas, es decir combinaciones de diferentes valores lgicos a la entrada de un circuito lgico hacen que aparezcan distintos valores lgicos a la salida. En este curso se tratar la Lgica Combinatoria.- Lgica Secuencial: si el estado de la salida depende del estado de las entradas y tambin del estado anterior del circuito. Esta lgica no se tratar en este curso.

LEYES Y TEOREMAS BSICOS DEL LGEBRA DE BOOLE LEYES Y TEOREMAS BSICOS DEL LGEBRA DE BOOLE Leyes fundamentales El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es nico.Ley de idempotencia: A + A = A y A A = A Ley de involucin: (A')' = ALey conmutativa: A + B = B + A y A B = B A Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A (B C) = (A B) C Ley distributiva: A + B C = (A + B) (A + C) y A (B + C) = A B + A C Ley de absorcin: A + A B = A y A (A + B) = A Ley de De Morgan: (A + B)' = A' B' y (A B)' = A' + B' Principio de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relacin o ley lgica le corresponder su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unin con los de interseccin, y de los 1 con los 0.

TEOREMAS FUNDAMENTALES ALGEBRA DE BOOLETEOREMA 1: CONMUTATIVIDAD A+B = B+A y A.B = B.ATEOREMA 2: ASOCIATIVIDAD (A+B)+C = A+(B+C) y (A.B).C = A.(B.C)TEOREMA 3: IDENTIDAD A+0 = A y A.1 = ATEOREMA 4: IDENTIDAD DE LOS NEUTROS 0 Y 1 A+1 = 1 y A.0 = 0TEOREMA 5: DISTRIBUTIVA (A+B).C = (A.C) + (B.C) y (A.B)+C = (A+C).(B+C)TEOREMA 6: COMPLEMENTO A+A' = 1 y A.A' = 0TEOREMA 7: COMPLEMENTO DE 1 Y 0 0' = 1 y 1'=0TEOREMA 8: IDEMPOTENCIA A+A = A y A.A = ATEOREMA 9: ABSORCION A+(A.B) = A y A.(A+B) = ATEOREMA 10: INVOLUCION A'' = A (complemento del complemento de A es igual a A)TEOREMA 11: LEYES DE MORGAN (A+B)' = A'.B' y (A.B)' = A'+B'TEOREMA 12: (NO TIENE NOMBRE, SE LE DICE TEOREMA 12 NOMAS) A+(A'.B) = A+B y A.(A'+B) = A.B

Universidad Mariano Glvez de GuatemalaIngeniera en SistemasSptimo Ciclo

Ing. Electrnica Digital

Algebra De Boole-Definiciones Logicas-Teoremas Basicos Y PropiedadesFunciones booleanas

Wilson Alvaro Leonardo Tahuico2490-11-3954

wilsonleotaker@hotmail.com

Salam, Baja Verapaz 07 de abril de 2015