algebra jec

8/18/2019 Algebra jec

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Álgebra Álgebra 7 8

TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTOSon aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son sólo

las de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicaciónentre sus variables en un número limitado de veces.Ejemplos:

z y x x z y x R

y y x

y x Q

y x x x P

..

2log42,,

424

,

42

Son expresiones algebraicas

......1

..

log23,,'

1

1

2

2

x x x A

z y x

x x z y x R

x x T

x Senx R

x x

Son expresiones algebraicas

TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica en la que no se enlaza a las variables

mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con elcoeficiente y la parte literal (parte variable)Ejemplo:

TÉRMINOS SEMEJANTES Se llaman términos semejantes de una expresión algebraica a aquellos

que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismosexponentes. Difieren, entre sí en los coeficientes.

Ejemplos:a) 3xyz2; - 3xzy2; –6xyz2 Son términos semejantes

b) 2a2b; –3a2b; 7a2b; –a2b Son términos semejantesc) np3; np3, –np3 Son términos semejantesd) –3a3b; 6ab3 No Son términos semejantes

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.

I) Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos:

. 3x; 7x2 y; xy3; 0,7 ab; x2 yz3 .

II) Polinomios: Es la expresión algebraica de dos o más términos. Ejemplos:

. 4x – 3y ; 5x2 – 3y + xy; 3xy + 5y – 3x + 6 .

Binomio:Es la expresión algebraica que consta de dos términos.Son binomios:

. 3x2 – y; 8x2 y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 .

Trinomio:Es la expresión algebraica que consta de tres términosSon trinomios:

. 3x2 – 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 – 2x2 + 6 .


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GRADO DE UNA VARIABLE El grado de una variable es el exponente de dicha variable.Ejemplo::En el término: 7x2 y3

La variable “x” es de grado 2, o segundo grado. La variable “y” es de grado 3, o tercer grado.

GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.

El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable está dado por elexponente de dicha letra.Así:9x3 y2 ...... es de tercer grado con respecto a “x”; y de segundo grado conrespecto a “y”. Grado Relativo con respecto a “x” es 3 y Grado Relativo con respecto a

“y” es 2. Grado Absoluto de un término algebraico está dado por la suma de los

exponentes de la parte literal.Así:El grado absoluto de: 9x3 y2 es: 3 + 2 = 5El grado absoluto de: 5x8 y5z–6 es: 8 + 5 – 6 = 7

GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.

El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayorexponente de dicha letra o variable en el polinomio.Así:Dado el polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3

- Grado relativo con respecto a “x” es 5. - Grado relativo con respecto a “y” es 4.

Otro ejemplo:Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2 y3z – 2x3 y4z2

- Grado relativo con respecto a “x” es: 3. - Grado relativo con respecto a “y” es: 4. - Grado relativo con respecto a “z” es: 3.

El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su término demayor grado absoluto.Así:Dado el polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3

El grado absoluto del monomio 3x2 y3 es: 2 + 3 = 5El grado absoluto del monomio 5x3 y4 es: 3 + 4 = 7El grado absoluto del monomio 7x5 y3 es: 5 + 3 = 8

Luego; el grado absoluto del polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3 es de octavo grado o de grado 8.

Otro ejemplo:Dado el polinomio:6xy2z – 5x2 y + 10xy4z2 – 7xy5

G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4G.A. del monomio 5x2 y = 2 + 1 = 3

G.A. del monomio 10xy4

z2

= 1 + 4 + 2 = 7G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6

Luego; el polinomio:6xy2z – 5x2 y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto 7 ó el polinomioes de séptimo grado.


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VALOR NUMÉRICO Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar

cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar lasoperaciones indicadas.

Ejemplo 1:¿Cuál es el valor numérico de 5ab; si: a = 3; b = 4?

Resolución:Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresión:

5ab = 5 x 3 x 4 = 60 . 5ab = 60 .

La aplicación del valor numérico tiene un campo amplísimo en eldesarrollo de toda clase de fórmulas aritméticas, geométricas, físicasquímicas, etc.

Orden de OperacionesEs de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para eldesarrollo de los ejercicios o problemas.Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operacionesque se ha de seguir es el siguiente:1. Se desarrollan las potencias o se extraen las raíces si las hay.2. Se efectúan las multiplicaciones o divisiones indicadas.3. Se hacen las sumas o restas de los términos.

Ejemplo 2:

Hallar el valor numérico del polinomio 3x2 + 5x – 6; cuando x = –2.

Resolución:Reemplazando el valor de “x” en la expresión dada, obtenemos: 3x2 + 5x – 6 = 3(–2)2 + 5 (–2) – 6

= 3(4) – 10 – 6 = 12 – 10 – 6 = –4 . 3x2 + 5x – 6 = –4 .

Ejemplo 3:

Hallar el valor numérico de la expresión:2

3

x5

6x2 Si: x = 3

Resolución:Reemplazamos el valor de “x” en la expresión dada y obtenemos:

15

16

45

48

45

654

95

6272

35

632

x5

6x22

3

2

3

. 15

16

x5

6x22

3

.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan

sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de losmonomios semejantes dados.Ejemplos: Sumar:a) 3xy2 + 7xy2 – 2xy2 = (3 + 7 – 2)xy2 = 8xy2

b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3

c) axn ym + bxn ym – cxn ym = (

cba )xn ym

Para sumar o restar dos o más monomios no semejantes, sólo se indicala suma o diferencia de ellos.Ejemplos: Sumar:a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.b) 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 + 8ab – 5b2a

= 7ab2

– 5ab2

+ 8ab = 2ab2

+ 8ab

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes

de ellos. A continuación de este producto se escriben en orden alfabético,


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todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponenteigual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplo 1:Hallar el producto de: 3x3 por 2x2

Resolución: 3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)(3 . 2) Multiplicamos los coeficientes(x3 . x2) Multiplicamos las partes literales

3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 3x3 . 2x2 = 6x5

Ejemplo 2:Hallar el producto de: 8x4 por –9x2 y3

Resolución:

8x4

. (–9x2

y3

) = 8(–9) (x4

. x2

. y3

)8x4 . (–9x2 y3) = –72x4 + 2 . y3

= - 72x6 y3

. 8x4 . (–9x2 y3) = –72x6 y3 .

RECUERDA QUE:

an . am = an+m

POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios en un caso particular de la multiplicación de

monomios. Es una multiplicación de factores monomios iguales.

Ejemplo 1:(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .

Ejemplo 2:(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .

NOTA:P ARA HALLAR LA POTENCIA DE UN MONOMIO SE APLICAN LAS PROPIEDADES

SIGUIENTES :

. (a . b) n = a n . b n . ; . (a n ) m = a n . m .

Ejemplos:

a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3 b) (–3xy2)5 = (–3)5 . x5(y2)5 = 35x5 y10 = . 243x5 y10 c) (–4x2z)2 = (–4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2 d) (–3x2)3 . (2x)2 = (–3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = –33 . x6 . 4 . x2 = –7 . 4x8 = –108x8.

DIVISIÓN DE MONOMIOSPara hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del

dividendo entre el divisor y a continuación se escriben las letras en ordenalfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre elexponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir: 16x4 8x2

Resolución:

24

2

4

2

4

x2x

x

8

16

x8

x16

. 2x2 .

RECUERDA QUE:

nm

n

m

nm

aa

aaa

Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir: (–28x4 y6) (7x3 y2)


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Resolución:

36

3

6

3

6

x6x

x

4

24

x4

x24 . –6x3 .

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En álgebra los signos de agrupación: paréntesis ( ); corchetes [ ];llaves { }; barras ___; se usan para agrupar términos y separar operaciones.

Si un signo de agrupación es precedido por un signo positivo, éste sepuede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro delsigno de agrupación, veamos:

a + (+ b) = a + b ; a + (–b) = a – b

Ejemplo: 16x + (–8x + 9y) – 10y

= 16x – 8x + 9y – 10y= 8x – ySe suprimen los paréntesis y no cambian los signos de los términos

comprendidos entre ellos.

Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, lopodemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentrodel signo de agrupación, veamos:

a – (+ b) = a + (–b) a – (–b) = a + (+b)= a – b = a + b

Ejemplo: 10a – (6a - 7b) + 4b

=a6a10 +

b4b7

= 4a + 11bSe suprimen los paréntesis y se cambian los signos de todos los

términos comprendidos entre ellos

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Efectuar:8x – (2x - 3) – (–x + 6)

Rpta.

2. Reducir:a – (2,3b – 5,2a) – (–3,5a + 4,2b)

Rpta.

3. Simplificar:(6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x)+ x – y + z

Rpta.

4. Efectuar:

4

1 p – (p – 0,2q) + (0,222.....q –

6

3 p) + q

Rpta.

5. Reducir:12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26

Rpta.

6. Reducir: y – {– y – [– y – {– y – (– y + x)– x} + x ]} – x

Rpta.

7. Efectuar:– [ – 0,2x –[0,4x2 + (0,05x2 +0,7x)]] – x

Rpta.

8. Efectuar:{[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – (3p + q) – p}

Rpta.

9. Efectuar

4

3

a –

c7

3

b4

2

+

a4

1b

3

2c

5

4

Rpta.


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10. Simplificar:–(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y)

Rpta.

11. Reducir:–b – {– c – [– d – {– c –(–

bd ) +a} – d] – a}

Rpta.

12. Simplificar:

–{–q + [–p +3

4 q – (– 3p – 6q) +

2

1

p] – 0,3333....q}

Rpta.

13. Reducir:8x2 y + 16x2 y – 10x2 y

Rpta.

14. Reducir:17x4 y3z2 + 16x4 y3z2 – 28x4 y3z2

Rpta.

15. Reducir:10x2 y + 12xy2 + 2x2 y – 6xy2 – 8x2 y

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Hallar el grado absoluto delpolinomio:P(x;y;z) = 5x2 y3z4 + 7x4 y7z9 +9x5 y2z7

A) 14 B) 9 C) 20D) 18 E) 15

2. El monomio: 3xa+b–5 yb–3 Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2Entonces “a” vale:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3.

En el polinomioP(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7El grado absoluto es 10,entonces el valor de “m” es:

A) 6 B) 7 C) 4D) 5 E) 9

4. Si: x = 2, y = –1, el valor de laexpresión 2x2 y – 3xy2 + xy, es:

A) –16 B) –3 C) –12

D) –7 E) –4

5.

Los 3/2 de:

3

22

a2

1

x y3 ; Cuando:

1a

3 y

2x

Es:

A) 69 B) –46 C) –69

D) 60 E) –63

6. Si los términos 6xyb–3; 2xy10 son semejantes, calcular elvalor de “b”

A) 12 B) 11 C) 13D) 14 E) 10

EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ESSÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ESLA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPOENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LAVISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

D YALAY – AL– D IN – R UMI


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7. Hallar m N, sabiendo que elpolinomio P(x) es de grado 36.P(x) = 0,2[x5m+3]2 + 7 [xm+1]3

A) 3 B) 6 C) 2D) 5 E) 8

8.

La expresión:

0,2x +4

3 y +5

3 x – 0,25 y

equivale a:

A) y4

1x

5

2 B) 0,8x – 0,5y

C) 5

4 x – y D) 5

4 x + 0,5y

E) 0,6x – 0,5y

9. Al resolver:x – [x – {y – (2x – y)} + x – (– y)]Se obtiene:

A) 3x – y B) x – 3y C) x + yD) x + y E) y – x

10. Si: a = 2; b = – 4; c = – 3; d = 9;entonces el valor de

db2c

d

a

b es:

A) –67 B) –71 C) –72

D) –73 E) –77

CLAVES

1. C

2. E

3. B

4. A

5. C

6. C

7. A

8. D

9. C

10. B

TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES

CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

POTENCIACIÓNEs la operación que consiste en repetir un número denominado base,

tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente,el resultado de esto se le denomina potencia.

Representación:

.

veces nBase

nAx x Ax Ax AA

""

.......

.

Ejemplos:1. 8133333

4

4

veces

x x x

2. 6422222226

6

veces

x x x x x

3.

veces n

n

nx nx nx nx nn .......

4.

veces

x x x x

5

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5.

veces

x x x x x x 7

7

33333333


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LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de Igual Base

. xa . xb = xa+b .

Ejemplos:1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2

2. Cociente de Potencias de Igual Base

. baba

x x

x

. x 0

Ejemplos:

1.

4

8

2

2 = 28–4 = 4

2.

5

6

2

2

= 2–6–(–5) = 2–1

3. Producto de Potencias de Diferente Base

. xa . ya = (x . y)a .

Ejemplos:1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2. 3 . 6 = (3 . 5)

4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes

. a

a

a

y

x

y

x

. y 0

Ejemplos:1.

3

3

3

3

4

2

4

2. 3

3

3

2

8

2

8

5. Potencia de Potencia

. c ba

c bax x

..

.

OBSERVACIÓN:( X A) B = ( X B) A = X A . B

6.

Exponente Negativo

. aa

x x

1

. . aa

x

y

y

x

. x 0 y 0

Ejemplos:

1.

2

12

1

2.

2

222

2

3

2

3

3

2


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7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

Ejemplos:

1. 13 0

xy

2. 15

y3x2

0

8. Exponente Fraccionario

. b aba

x x . b 0

Ejemplos:

1. 3 232

x x

2. 3 535

x x

9. Producto de Radicales Homogéneos

. aaa

y x y x ..

.

Ejemplos:1.

3333 205.45.4

2. 55556

5

3

5.

2

1

3

5.

2

1

10. Potencia de un Radical

. a cbca b x x . .

11. Raíz de Raíz

. c baa b c x x

..

.

OBSERVACIÓN:b aa b x x

Ejemplos:

1.

243 4x x

2. 123 44 3 101010

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

En cada caso completar:

1. x2 . x3 . x4 = ________ 2.

2

4

x

x = ________


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3. 23 . 33 . 53 = ________

4. 44

2

5 = ________

5. 6

6

10

20 = ________

6. 5232 = ________

7. 33 4.2 = ________

8. 2–3 = ________

9. 4

3

2

= ________

10. 0

3

1

2

1

= ________

11. 32

2 = ________

12. 3

4 2

2 = ________

LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN

INDELEBLE

W. S TEKEL


1. Luego de operar35 . 24 . 72 . 3–3 . 2–3 . 7–2 Se obtiene

Rpta.

2. Si xn = 3A que es igual x2n

Rpta.

3. Si xx = 2, calcular x–x

Rpta.

4. Reducir

3

3

11.27

2.33

Rpta.

5. Cual es el exponente final de ben:

41323 b.b.b ; b 0

Rpta.

6. Reducir:

10

12

5

10

23

25

3

3

2

2

5

5

Rpta.

7. Reducir: 32111 2236

Rpta.

8. Cual es el exponente de xx enx5x

Rpta.

9. Reducir:3

4

84

1425

52162

Rpta.

10.

Reducir: 2483 24 4

Rpta.


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11. Si 92 3x x , hallar x

Rpta.

12. Si x3 = 8, hallar x2

Rpta.

13. Simplificar:

n

n1n

3

33

Rpta.

14. Simplificar:

x

x x

N 5

55 1

Rpta.

15. Simplificar:

x

x x

P 4

44 12

Rpta.


1. Después de operar45 . 34 . 82 . 4–3 . 3–3 . 8–2 Se obtiene:

A) 16 B) 24 C) 48D) 8 E) 32

2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n

A)

14 B)

21 C)

49D) 16 E) 1

3.

Si xx = 5, Calcular x–x

A) 2

1 B) 3

1 C) 4

1

D) 5

1 E) 6

1

4. Reducir

3

3

11.16

3.44

A)

10 B)

12 C)

16D) 8 E) 64

5. Cual es el exponente final de“a” en:

51235 .. aaa , a 0

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

6. Reducir

13

15

10

12

21

23

5

5

3

3

7

7

A) 11 B) 22 C) 33D) 44 E) 55

7. Reducir 32111 2248

A)

32

27 B)

27

32 C)

27

16

D) 16

27 E) N.A.

8. Reducir3

484

1436

6 3253

A) 1 B) –1 C) 2D)

–2 E) 3


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9. Simplificar:

n

nn

P 6

66 1

A) 1 B) 3 C) 5D)

7 E)

9

10. Simplificar

n

nn

Q7

77 12

A) 32 B) 42 C) 49D)

21 E)

7

CLAVES

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C

6. C

7. E

8. B

9. C

10. B

SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTEPARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁSDISPUESTO A LUCHAR PARA OBTENERLO, TEASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO . SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NOES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA.

R. B ACH

TEMA: POLINOMIOS

CONCEPTOEs aquella expresión algebraica con 2 o más términos.

GRADO DE UN POLINOMIO1. Grado Relativo (GR)

Es el mayor exponente de la variable en referencia.

Ejemplo: y x xy y x x;y P 10254 254

Luego:GR(x) = 10

GR(y) = 72. Grado Absoluto (GA)

a)

Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los

monomios que lo conforman

POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello son:

1. Polinomio OrdenadoCuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:

Ejemplos:1. P(x;y) = 5x + x2 y + 4x5

Es ordenado creciente respecto a “x” 12635 822; abbaabaR


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2. Es ordenado y creciente respecto a “b” Es ordenado y creciente respecto a “a”

2. Polinomio CompletoSi existen todos los grados incluyendo el término independiente, hastaun grado determinado

Ejemplos:1. P(x) = 3x2 – 5x + 7 – 2x3

Es completo de grado 32. Q(x;y) = 3x – 2y2 + 5x2 y + x3 y4 – 2x4 y3

Es completo respecto a “x” e “y” y GR(y) = 4, GR(x) = 4

Propiedad:En todo polinomio completo

Número de términos = G.A. + 13. Polinomio Homogéneo

Es homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G.A.

Ejemplo:P(x;y) = 32x3 y4 + 20x6 y – 10x2 y5

Propiedad:Términos Semejantes:Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en loscoeficientes.

Ejemplo:T 1(x,y) = 21x7 y4

T 2(x,y) = 5 x7 y4

T 3(x,y) = 12 x7 y4

4. Polinomio IdénticosDos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valoresnuméricos para cualquier valor de la variable

Ejemplo:P(x;y) = (x + y)2 – 4xy

Q(x;y) = (x – y)2

a) Polinomio Idénticamente NuloUn polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor de suvariable el polinomio se anula.

b) Polinomio MónicoUn polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.Ejemplo:A(x) = 1 + x2 + x3

B(x) = 9x4

+ x3

+ x5

Propiedad:1. Cambio de Variable

EjemploSea P(x)=3x + 1 P(x + 1) =

P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1P(x + 1) = 3x + 3 + 1P(x + 1) = 3x + 4

2. Suma de Coeficientes

. 1P coef .

Ejemplo:Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1


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116131 2 P coef 101631 P coef

3.

Término Independiente:

. 0.. P I T .

Ejemplo:Sea: P(x) = (5X + 3)2 T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Si R(x,y) = ax2 y3 + bx4 y5

Hallar G.R.(x) = _ _ _ _ _

G.R.(y) = _ _ _ _ _

G.A. = _ _ _ _ _

2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4

3. ¿El siguiente polinomio es completo?P(x,y) = 6x3 + 5x2 y+ 4xy2 + -3x3

Con respecto a “x” _ _ _ _ _ Con respecto a “y” _ _ _ _ _

4.

¿Cuál es el coeficiente principal de:Q(x) = 5x2 + 3x4 – 2x + 3


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EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DEMATEMÁTICA

1. Calcular: (a – b) si el monomio:M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3

Resolución M(x;y) = 5x2a +b ya + 2b

G.R.(x) = 82a + b = 8 b = 8 – 2a .... (I)

G.A. = 15(2a + b) + (a + 2b) = 15

3a + 3b = 15 .... (II)

Reemplazamos (I) en (II):3a + 3(8 – 2a) = 153a + 24 – 6a =15

9 = 3a . a = 3 .

Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)b = 8 – 2(3) . b = 2 .

. a – b = 3 – 2 = 1 . Rpta. A

2. Si el grado de: F(x,y) = 2 3a a y x es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xa ya + 5

A)

16 B)

17 C)

18 D)

19 E)

20

Resolución Aplicando la propiedad:

n

p

n

m

n P m BABA ..

En el: F(x;y) = 2 3a a y x ; obtenemos:

F(x;y) = 23

2 aa

a

y x

Por dato: 22

3

2

a a

a

22

3

a

a a + 3 = 2(a – 2)

a + 3 = 2a – 4. 7 = a .

Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:

Q(x;y) = xa

. ya + 5

Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19

. El grado de: Q(x;y), es: 19 . Rpta. D

3. Calcular: “m + n”, si se sabe que el monomio: P(x;y) = 4nxm + n ym + 2n es de:G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Resolución Por dato:

G.R.(y) = 6m + n2 = 6 m = 6 – 2n .... (I)

G.A. = 10(m + n) + (m + 2n) = 10 .... (II)


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Reemplazando (I) en (II); obtenemos:2(6 – 2n) + 3n = 1012 – 4n = 3n = 10

. 2 = n .

Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)

m = 6 – 2(2) m = 2

. m + n = 2 + 2 = 4 . Rpta. B

4. Siendo F(x) = x x 82 2

Determinar: F(98)G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A)

108 B)

102 C)

98 D)

100 E)

1000

Resolución Aplicando: . (A - B)2 = A2 – 2AB + B2 .

Obtenemos:F(x) = x x x 822.2 22

F(x) = 22 244 x x x

F(x) = x + 2 de esta expresión, calculamos:F(98) = 98 + 2 = 100

. F(98) = 100 . Rpta. D

5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:i) f(0) = 5 ii) f(–1) = 3

Según ello determine f(1)A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Resolución Como f(x) es un polinomio de primer gradoSerá de la forma: f(x) = ax + b

Luego: f(0) = a(0) + b

. 5 = b .

f(–1) = a(–1) + b3 = –a + b3 = –a + 5 . a = 2 .

De la expresión: f(x) = ax + b

f(x) = 2x + 5

Calculamos: f(1) = 2(1) + 5

. f(1) = 7 . Rpta. E

6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xm yn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en “x” a 7, yen “y” a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.

A) 7 B) 13 C) 9 D) 16 E) 14

Resolución G.R.(x) = 7

m + 1 = 7 . m = 6 .

G.R.(y) = 9n + 2 = 9 . n = 7 .


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Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xm yn + 5 . yn + 2 . x

Luego el grado absoluto del polinomio es:

. m + n = 6 + 7 = 13 . Rpta. B

7. Si el grado de “A” es 8 y el grado de “B” es 4. Calcular el grado de:7 32 B.A

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Resolución Grado de “A” = 8

Grado de (A2) = 2 x 8 = 16

Grado de “B” = 4

Grado de (B3

) = 3 x 4 = 12

Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28

Grado (A2B3) = 28

Cuando la expresión está afectada por un radical el grado se dividepor el índice radical

Grado 47

28BA

7 32

. Grado 4B.A7 32

. Rpta. C

8. Indicar el grado relativo de “y en el polinomio homogéneo: mnnn y y x x x;y P 5214 42

2

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

Resolución Como el polinomio es homogéneo, el grado de cada monomio debe ser

igual, o sea:n2 + 4 = 2n + 3 = 5 – mi) n2 + 4 = 2n + 3

n2 – 2n + 1 = 0

(n – 1)2

= 0 . n = 1 .

ii) 2n + 3 = 5 – m2(1) + 3 = 5 – m5 = 5 – m . m = 0 .

Luego, calculamos el grado relativo de “y” G.R.(y) = 5 – m = 5 – 0 = 5

. G.R.(y) = 5 . Rpta. D

9.

Determinar “m” si el siguiente polinomio es homogéneo P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución Como el polinomio:

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

Es homogéneo:m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2

i) m + n + 4 = 2m + n + 2

. 2 = m . Rpta. B


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10.

Si el polinomio P(x;y) es idénticamente nulo, hallar m n 4 P(x;y) = (9 – n)x2 y + mxy2 + 3x2 y – 2xy2

A) 15 B) 14 C) 12 D) 225 E) 144

Resolución En primer lugar agrupamos los términos semejantes de la manera

siguiente:P(x;y) = (9 – n)x2 y + mxy2 + 3x2 y – 2xy2 P(x;y) = (9 – n + 3)x2 y + (m – 2)xy2

P(x;y) = (12 - n)x2 y + (m – 2)xy2

Para que este polinomio:P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

Sea idénticamente nulo, debe cumplirse que:

i) (12 – n) = 0 . 12 = n .

ii) m – 2 = 0 . m = 2 .

Luego: 144121212 22/42 44 mn

. 1444 m n . Rpta. E

11. Hallar A + B + C en la identidad:

Ax2 + Bx2 – Cx + B =2

1 x2 + 3x – 1

A) –3/2 B) –1/2 C) –582 D) 5/2 E) 3/2

Resolución Agrupamos los témanos de manera la siguiente:

(Ax2 + Bx2) – Cx + B =2

1 x2 + 3x – 1

(A + B)x2 – Cx + B =2

1 x2 + 3x – 1

Identificando:

i) . 2

1BA .

ii) –C = 3 . C = -3 . iii) . B = –1 .

Luego: A +B + C =2

1 + (–3)

. 2

5 c ba . Rpta. C

T U ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO YAMBOS SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO ESPÍRITU SANTO; SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA

TIERRA. ERES MI COMPAÑERO EN EL SENDERO DE LA VIDAY MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA

VERDAD OCULTA. ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUETE AME COMO HERMANO...

K AHIL G IBRÁN


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1. Sean:R(x,y) = 3x3 y6 H(x,y) = 10xa + 1 y4 Términos semejantes; hallar

a + bRpta.

2. Si el coeficiente principal de:P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + aEs cinco, calcular su términoindependiente.

Rpta.

3.

Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1, unpolinomio de 3er grado,calcular P(2)

Rpta.

4. Sean:P(x) = ax2

Q(x) = 3xa + 2Si P y Q tienen el mismocoeficiente, calcular elexponente “x” en Q

Rpta.

5. Si P(x) = x2001 – 3x2000 + 1.Hallar P(3)

Rpta.

6. SeaP(x) = (a + 3) xa + 3x + 5, unpolinomio cúbico, calcular sucoeficiente principal

Rpta.

7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c; c 0

Además P(1) = 0, hallarc

ba .

Rpta.

8. Sea: P(x) = ax + b ; a 0Además P(2) = a, calcular:a + b

Rpta.

9. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = bCalcular b – a

Rpta.

10. Si f(x) = 122

x

x

, hallar 3f f

Rpta.

11.

Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4.Hallar n2

Rpta.

12. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3.Hallar P(0) + P(1)

Rpta.

13. Sea P(x) = x2 + x – a2, P(a) = 3.Hallar el términoindependiente de P(x)

Rpta.

14. Sea P(x) = 2x + 3, HallarP(x–2)

Rpta.

15. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x)

Rpta.

ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE; LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ

MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANAPUEDE OFRECERTE.

F RANCISCO J ARAMILLO


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1. Sean:P(x,y) = 4x4 ym

Q(x,y) = 10xn+2 y5,Hallar m + n,

Si son términos semejantes

A) 2 B) 3 C) 7D)

8 E)

1

2. Si el coeficiente principal de:Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k,es 5, calcular su términoindependiente:

A) 8 B) 6 C) 3D) 1 E) 5

3. Sea: R(x) = xn + nx2 +3

n x + n,

un polinomio de 3er grado,calcular P(3)

A)

30 B)

40 C)

50D) 60 E) 70

4. Sean:A(x) = Kx2

B(x) = 5xk+3

Si A y B tienen el mismo

coeficiente, calcular elexponente de x en “B”

A)

6 B)

7 C)

8D) 16 E) 1

5. Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3.Hallar Q(2)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

6. Sea:R(x) = (K + 2) xK–1 + 3x2 + 6

Un polinomio de 5to grado,hallar el coeficiente deltérmino principal.

A) 2 B) 4 C) 6

D)

8 E)

9

CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN , VALE LA PENA HACERLA DESPACIO.

G IPSY R OSE LEE

7. Sea:P(x) = ax3 + bx2 + cx + dAdemás

P(1) = 0, Hallard

c ba

A) 0 B) 1 C) –1D) 5 E) 4

8.

Si P(x) = ax2 + b, a 0 y

además P(3) = a, Calculara

b

A) 5 B) 6 C) –7D) 8 E) –8

9. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1)

A) 3x-2 B) 2x+3 C) 3x+2D) 3x E) 2

10. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x)A) 3x+5 B) 5x+3 C) 3x–5D) 3x E) 5

CLAVES

1. C

2. C

3. D

4. C

5. C

6. D

7. C

8. E

9. C

10. C


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3. Si a + b = 16, Simplificar:22

2 babaQ 4. Simplificar

3 33 baab3baN PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Simplificar:22

2 y xy x N

Rpta.

2. Reducir: 2bbabaP

Rpta.

3. Simplificar:

x bax abbx ax

N

2

Rpta.

4. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallara2 + b2

Rpta.

5. Si 31 x

x , hallar2

2

x

1x

Rpta.

6. Sabiendo que:(x + 1)2 =3, Calcular x2 + 2x – 2

Rpta.

7. Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 0.

calcular2

b

a

Rpta.

8. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1,calcular (x + y)2

Rpta.

9. Si a + b = 4 y ab = 3, hallara3 + b3

Rpta.

10. Si: a – b = 2 y ab = 15, Hallara 3 – b3

Rpta.


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11. Simplificar:

158

53

2

x x

x x N

Rpta.

12.

Reducir:P = (x + 4) (x + 2) – 6x – 8

Rpta.

13. Si: 4ª2 – 4a + 1 = 0, calcular:4a + 3

Rpta.

14. Reducir(x + 1) (x – 1) + (x + 2)x +(x + 3) (x + 1) – x2

Rpta.

15. SI 31 a

a , hallar3

3 1

a

a

Rpta.


1. Simplificar:

22 y x y x N

A)

xy 2

B)

xy 4

C)

4xyD) 5xt E) xy

2.

Reducir: 2y y x y x Q

A) x B) x2 C) xyD) y2 E) y

3. Simplificar:

x x

x x N

9

2054

2

A) 0 B) 1 C) 4D) 8 E) 14

4. Si: x + y = 5 y x . y = 6,Hallar x2 + y2

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

5. Si: 4x

x , Hallar

2

2 1

x x

A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16

6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36,hallar x2 + 4x – 2

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

7. Si (a + 3b) (a – 3b) = 0, b 0,

calcular2

b

a

A) 3 B) 6 C) 9D) 12 E) 15

8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallara3 + b3

A) 36 B) 72 C) 144D) 216 E) 108


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9. Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3,hallar (a + b)2

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

10. Si x – y = 4Simplificar:

xy y x N 42

A) 5 B) 3 C) 2D) 1/2 E) 4

CLAVES

1. A

2. A

3. B

4. C

5. C

6. C

7. C

8. B

9. E

10. E

EL ÉXITO CONSISTE EN UNA SERIE DE PEQUEÑOSESFUERZOS DIARIOS.

MAMIE MC C ULLOUGH

TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIOPara dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los

términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:

Ejemplo:

2

25

2

73

2

56

2

257356

7

35

7

21

7

42

7

352142

xy

y x

xy

y x

xy

y x

xy

y x y x y x

= 6x5 y3 – 3x2 y5 + 5x4

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOSPara dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor según la misma letra, dejandoespacios para los términos que faltasen.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término deldivisor para obtener el primer término del cociente.

3. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y elproducto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada término deeste producto debajo de su semejante cambiando de signo.

4. Se divide el primer término del residuo, entre el primero término deldivisor, para obtener el segundo término del cociente.

5. Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este productose resta del residuo anterior.

6. Se divide el primer término del segundo residuo, entre el primertérmino del divisor para obtener el tercer término del cociente.

7. Se continúa análogamente a los pasos anteriores hasta que el residuosea un polinomio de menor grado que el divisor.


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Método de HornerPrimeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y

otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la verticalse colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de lavertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propiosigno en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de

coeficientes del divisor con el signo cambiado.

Ejemplo:Dividir: 2x4 – x3 + 4x2 + 5x – 1 entre 2x2 + x – 1

Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre loscoeficientes del dividendo, el número de columnas a contar de derecha aizquierda es igual al grado del divisor, ésta raya servirá para separar elcociente del residuo. Además se traza otra recta horizontal para colocardebajo de ella la respuesta.

En el ejemplo:

Para empezar a dividir 1. Se divide el primer término del dividendo entre el número encerrado en

un círculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal yse multiplica por cada uno de los número que estén a la izquierda, de laraya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productosdebajo de los números que le siguen al primero.

2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el númeroencerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de laraya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.

3. La operación se realiza hasta completar el resultado correspondiente atodas las columnas, después de la 2da raya vertical, luego de esa raya lasuma de las columnas ya no se divide entre el número encerrado en lacircunferencia.

LA DESGRACIA ABRE EL ALMA A UNA LUZ QUE LAPROSPERIDAD NO VE.

LACORDAIRE


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Ejemplo:Dividir6x5 + 7x4 – 18x3 + 10x2 + 7x – 9 entre 3x3 + x2 + 2

Q(x ) = _ _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _ _

Método de Ruffini

Este método es aplicable a divisores de la forma: (x a) y con ciertasrestricciones a divisores de la forma (axn b).

1. Divisor de la forma (x a)Para dividir por el Método de Ruffini, se trazan dos rayas que seintersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendocon su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de lavertical se coloca el valor de “x” que anula al divisor.

Ejemplo:Dividir:x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2

Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:

Q(x) = x2 + 1R(x) = –3

Ejemplo:Dividirx5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x – 2

Q(x) = _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _

TEOREMA DEL RESTOEste método se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin

necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de laforma ax b o transformable a ella.Procedimiento:1. Se iguala al el divisor a cero encontrándose un valor de la variable.2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo

obteniéndose un resultado el cual será el residuo


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Ejemplo:Calcular el residuo del divisor:3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3

Igualamos el divisor a cerox – 3 = 0

. x = 3 . Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo 3x 3 – 5x2 + 7Residuo (R) = 3(3)3 – 5(3)2 + 7

= 3 . 27 + 5 . 9 + 7= 81 – 45 + 7 = 43

Ejemplo:Calcular el residuo de dividir:x3 + +2x2 – x + 2 entre 2x – 1

Igualamos el divisor a cero2x – 1 = 0 . x = _ _ .

ReemplazandoResiduo (R) = _ _ _ _ _

NO SE MIDE EL AMOR POR EL NÚMERO DE CARICIAS, SINO POR LA FRECUENCIA CON QUE UNO Y EL OTRO SECOMPRENDEN

H. S PENCER


1. Indicar el residuo de lasiguiente división

2

3242 67

x

x x x

Rpta.

2. Efectuar la siguiente divisiónIndicar el residuo

1

4456 23

x

x x x

Rpta.

3. Indicar el términoindependiente del resto de lasiguiente división

123

6262

23

x x

x x x

Rpta.

4. Indicar la suma de

coeficientes del cociente luegode efectuar:

1x3x2

10x20x3xx22

234

Rpta.

5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15

nx

nx nx x

2

42 23

Rpta.

6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entrex + 3, el residuo es:

Rpta.

7. Hallar el cociente en:

13

12623

345

x x

x x x x

Rpta.

8. Cual es el valor que deberá

tener “K” para que al dividir4x5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2,el residuo sea cero

Rpta.


29/37



9. El cociente de la siguientedivisión:x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3es:

Rpta.

10. Hallar el residuo en

2

6352 34

x

x x x

Rpta.


352

276538

2

34

x x

x x

Rpta.

12. Hallar el coeficiente deltérmino cuadrático en:

32

372 34

x

x x x

Rpta.

13. Hallar el cociente aplicandoHorner

5

107272

245

x x

x x x x

Rpta.

14. Hallar el cociente aplicandoRuffinix4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2

Rpta.

15. Hallar el cociente aplicandoHorner

6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3entre 3x3 – 5x2 + 3

Rpta.

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.


1. Indicar el residuo en lasiguiente división:

1

32 23

x

x x

A) 1 B) –1 C) 0D) 2 E) –2

2.

Efectuar la siguiente división:

12

26 2

x

x x

E indicar el cociente

A) x+1 B) 3x–2 C) 3x+2D) 2x+3 E) 2x–3

3. Indicar el términoindependiente del resto en lasiguiente división

9x3

27x9x6 2

A) 1 B) 2 C) –2D) 3 E) 0

4. Calcular la suma decoeficientes del cociente,después de efectuar.

8

56152

x

x x

A) 5 B) –5 C) 6D) –6 E) 7

5. Calcular “n” si el resto de ladivisión es cero

418112

23

x

nx x x

A) 12 B) 36 C) 42D) 6 E) 24

6. Al dividir:

3

1273

36

x

x x

El residuo es:

A)

x3–4 B) X3+4 C) x2–5D) x2–3 E) 2x3+1


30/37




3x4x

9x14x10x2

23

A) x+1 B) x–1 C) x+6D) x–6 E) x+7

8. Dividir usando Horner

4 y5 y2 y3

y84 y3 y10 y3 y9 y523

23645

e indicar la suma decoeficientes del cociente

A) 0 B) 1 C) –1D) 2 E) 3

9. Dividir usando Ruffini2x3 – 11x2 + 18x – 24 entrex- 4e indicar el términoindependiente del cociente

A)

1 B)

3 C)

6D) 9 E) –3

10.

Dividir usando Horner

x x

x x x x

27

215831

3

562

e indicar el coeficiente deltérmino cúbico

A) 0 B) 1 C) –1

D) 2 E) –2

CLAVES

1. C

2. B

3.

D

4. D

5. E

6. A

7. D

8.

B

9. C

10. B

TEMA: COCIENTES NOTABLES

CONCEPTOSon ciertos cocientes que se escriben por simple inspección,

sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.

1. Cociente de la diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia elos mismos

. y x y x

y x

22

. . y x y x

y x

22

.

Ejemplos:

1. 11

12

x

x

x

2. 33

92

x

x

x

3. 22

42

x

x

x

4. 8

642

x

x = _ _ _ _ _

5. 4

162

x

x = _ _ _ _ _

6. 5

252

X

x = _ _ _ _ _

2. Cociente dela suma o diferencia de cubos entre la suma o diferenciade los mismos

. 2233

y xy x y x

y x

. . 2233

y xy x y x

y x

.


31/37



Ejemplos:

1. 422

8 23

x x

x

x

2. 1644

64 23

x x

x

x

3. 9327 23

x x

x x

x

4. 5

1253

x

x = _ _ _ _ _

5. 6

2163

x

x = _ _ _ _ _

6. 10

10003

x

x = _ _ _ _ _

En general: los cocientes notables son de formay x

y x nn

Se presentan 3 casos:1er caso

. 432234 y xy y x y x x y x

y x nn

.

Ejemplos:

1. 43223455

y xy y x y x x y x

y x

2. y x

y x

66

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2do caso

. 1n34n23n2n1nnn

y..... yx yx yxx yx

yx

.

Ejemplos:

1. 5432234566

y xy y x y x y x x y x

y x

2. y x

y x

55 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2do caso

. 1n34n23n2n1nnn

y...... y.x y.x y.xx yx

yx

.

Ejemplos:

3. 5432234566 yxy yx yx yxx yx yx

4. y x

y x

55

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3er caso Se cumple sólo si n es impar

.

1342321......

nnnnnnn

y y x y x y x x y x

y x

.

Ejemplos:

1. 43223455

y xy y x y x x y x

y x


32/37



2. y x

y x

77

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

En general

Sea:

y x y x

nn

El número de términos es nn 1

El término de lugar “K” es:

T k = xn–K . yK–1

Para que una expresión de la forma

qn

pm

y x

y x

Sea cociente notable ante todo deberá cumplirse que:

q

p

n

m

NO VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIRÉ, NI ME

SIGAS, NO TE GUIARÉ; SOLO CAMINA A MI LADO YSEAMOS AMIGOS.

E. W HITE


1. Efectuar

2

325

x

x y hallar la suma de

coeficientes del resultado

Rpta.

2. Calcular el tercer término de:

13

184 4

x

x

Rpta.

3. Calcular el segundo término de

35

27125 3

x

x

Rpta.

4. Desarrollar

x

82xE

3

Rpta.

5. Desarrollar

1

163 4

x

x N

Rpta.

6.

Si:

23

11

y x

y x mm

, es C.. Hallar “m”

Rpta.

7. Hallar el término de lugar 34en

y x

y x

4848

Rpta.

8. Hallar el término de lugar 25

en

a x

a x

4040

Rpta.


33/37



9. Hallar el valor de “n” para que:

23

25

y x

y x nn

sea Cociente

Notable

Rpta.

10. Hallar el valor de “P” para que:

44

64

P

P

y x

y x , sea C.N

Rpta.

11. Efectuar:

y x

y x

2

64 66

e indicar el cuartotérmino

Rpta.

12. Cual es el tercer término en elcociente

y x

y x

2

322

510

Rpta.

13. Cual es el quinto término deldesarrollo de:

12

164 6

x

x

Rpta.

14. ¿Cuál es la suma decoeficientes del desarrollo delcociente:

1

17

x

x

Rpta.

15. Hallar el término central deldesarrollo

33

1551

y x

y x

Rpta.


1. Hallar la suma de coeficientes

del desarrollo de:

y x

y x

2

32

2

510

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

2. Calcular el cuarto término deldesarrollo de:

y x

y x

99

A) x3 y3 B) –x3 y3 C) x4 y4 D) –x2 y3 E) –x3 y2

3. Calcular el quinto tercer

término del desarrollo de:

x y x y

88

A)

y4x3 B)

y3x4 C) – y3x4

D) – y4x3 E) x4 y4

4. Desarrollar y dar el valornumérico del tercer términopara x = 2 del siguienteCociente Notable

1

163 4

x

x

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

5. Si:

43

213

y x

y x nn

, es un Cociente

Notable, hallar “n”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

6. Hallar el término de lugar 47en

y x

y x

6161

A) x13x15 B) x12 y43 C) x14 y46 D) x11 y51 E) x15 y40


34/37


35/37



6 - 15 32 5

M.C.D. (6,15) = 3

El menor exponente de x es 2 el factor común es 3x2 Luego3x2 (2x – 5)

3. Factorizar:3x2 y + 6xy2 – 3x2 y2

2. Factor Común PolinomioEl factor común es un polinomio.

Ejemplo:5a(x – y) + 10b2 (x – y)

Se procede de igual forma que en el caos anteriorM.C.D.(5x10) = 5

Factorizando tenemos5(x – y) (a + 2b2)

POR EL BRILLO DE LOS OJOS, DESDE EL COMIENZO DELOS TIEMPOS, LAS PERSONAS RECONOCEN A SUVERDADERO AMOR.

B RIDA


1. Factorizar:7x + 7y

Rpta.

2. El factor común de x2 – x2 y es:

Rpta.

3. Factorizar24x3 – 16x2 + 8x

Rpta.

4. Factorizar:18x3 + 6x2 y + 4xy2 – 10xy

Rpta.

5. Al factorizar16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, seobtiene:

Rpta.

6. Factorizar:

5

1

5

1x

Rpta.

7. Factorizar:–a – b + 2(a + b)

Rpta.

8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar

mx + my

Rpta.

9. Factorizar:1 – x + 2y(1 – x)

Rpta.

10. Factorizar(a + b)x – (a + b)y – a – b

Rpta.


36/37



11. Factorizar:(ax – bx + cx) + (ay – by - cy) – a + b – c

Rpta.

12. Factorizar:4x4 y – 2x5 + 6x3 y2 – 2x2 y3

Rpta.

13. Factorizar:12n5m4 – 18n3m7

Rpta.

14. Factorizar:–x2 y – 4x2

Rpta.

15.

Factorizar: y3 + ny3

Rpta.


1. En la expresión7x2 y3 + 14x3 y2 El factor común es:

A)

x

2

y

2

B)

7xy C)

7x

2

y

2

D) x3 y3 E) 7x3 y3

2. En la siguiente expresiónx2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar,el factor común es

A) m . n B) m2n C) mn2 D) m2 . n2 E) m3n2

3. Si factorizamos9y2 – 81yel factor que no es monomioes:

A)

9 – y B) y2 – 9 C) y – 9D) y + 9 E) 9y

4. Uno de los factores de:

(a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3),es:

A) 2a + 3b + 3 B) 2a + b + 3C) 2a – 4b + 3 D) 2a +bE) 2a – b

5. Después de factorizar(3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)Uno de los factores es:

A) 7x–3 B) 7x+3 C) 7x+1D) 7x–1 E) 7x+5

6. Si a – b = 5 y m = 4, hallar elvalor de ma – mb

A) 10 B) 20 C) 30D) 15 E) 16

7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallarel valor de(p + q)x + (p + q)y

A) 16 B) 3 C) 48D) 16 E) 12 19

8. Si: m + n = 4; a – b = 2, hallar

el valor de:(m + n)a – (m + n)b

A) 10 B) 16 C) 8D) 4 E) 5


37/37



9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallarel valor de:(p + q)x2 + (p + q)y2

A) 10 B) 15 C) 17D) 9 E) 5

10. Factorizar(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)(x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)Uno de los factores es:

A) x(a + b) B) x2(a + b)

C)

x(a + b)

2

D)

– y(a

2

+ b

2

)E) x(a2 – b2)

CLAVES

1. C

2. D

3. C

4.

5. B

6. B

7. C

8. C

9. B

10. D

ÍNDICE

PÁG.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................... 7

T EORÍA DE EXPONENTES ................................................................................................ 20

POLINOMIOS ..................................................................................................................... 30

PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 47

DIVISIÓN ALGEBRAICA ................................................................................................... 54

T EOREMA DEL RESTO ........................................................................................ 58

COCIENTES NOTABLES .................................................................................................... 66

FACTORIZACIÓN (I) ........................................................................................................ 74

algebra jec

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