LATVIJAS UNIVERSITĀTE

A. BĒRZIŅŠ

ALGEBRA

LEKCIJU KURSS

U V

( )VUu ∩ ( )vVU ∩

( )vUu ∩ ( )vVu ∩

u v

Vu∩ vU ∩

Rīga 2001

2

Bērziņš A. Algebra. Lekciju kurss. Rīga: Latvijas Universitāte, 2001. - 81 lpp.

"Algebra" ir lekciju kursa "Diskrētā matemātika un algebra" 2.daļa; tas iekļauts LU matemātikas

maģistru programmas A daļā. Aplūkojot klasiskās algebriskās struktūras (grupas, gredzenus,

laukus, moduļus, utt.), tiek definētas vispārīgās algebriskās struktūras. Tajās tiek pētītas dažādas

algebriskas konstrukcijas: apakšalgebras, morfismi, kongruences, faktoralgebras, tiešās summas.

Klasiskās algebriskās struktūras tiek interpretētas kā noteiktas signatūras algebras. Tiek aplūkotas

arī speciālas algebru klases: varietātes un kvazivarietātes. Apskatīts brīvās algebras jēdziens, lauku

un lauku paplašinājumu teorija. Kursa mērķis ir parādīt, ka dažādu matemātisku objektu pētīšanā ir

iespējama vienota algebriska pieeja.

ISBN 9984 - 725 - 05 - 7 Aivars Bērziņš, 2001

Reģ. apl. No. 2-0266.

Iespiests SIA "Mācību grāmata", Raiņa bulv. 19, Rīgā, LV - 1586, tel./fax. 7615695

3

Satura rādītājs

1. Vispārīgās algebriskās struktūras 5

1.1. Ievads 5

1.2. Algebru klases ar vienu bināro operāciju 5

1.3. Algebru klases ar divām binārajām operācijām 8

1.4. Vairākšķiru algebras 9

1.5. Būla algebras 11 2. Algebriskās konstrukcijas 12

2.1. Algebriskās konstrukcijas kopās 12

2.2. Algebriskās konstrukcijas grupās 14

2.2.1. Apakšgrupa 14

2.2.2. Grupu morfisms 15

2.2.3. Grupu tiešā summa 17

2.2.4. Blakusklases, normālā apakšgrupa, faktorgrupa (klasiskā pieeja) 18

2.2.5. Kongruences un faktorgrupas (universālā pieeja) 20

2.3. Algebriskās konstrukcijas gredzenos 22 3. ΩΩΩΩ-algebras, algebru varietātes 26

3.1. Ω-algebras (fiksētas signatūras algebras) 26

3.1.1. Ω-algebru apakšalgebru struktūra 27

3.1.2. Ω-algebru morfismi 28

3.1.3. Ω-algebru tiešais reizinājums 29

3.1.4. Kongruence Ω-algebrā 29

3.1.5. Ω-algebru faktoralgebra 30

3.2. Ω-algebru klases 32 4. Kategorijas jēdziens un komutatīvo diagrammu valoda 34

4.1. Ievads 34

4.2. Kategorijas un funktori 36

4.3. Komutatīvās diagrammas 38

4.3.1. Morfismu tipi 39

4.3.2. Universālie sākuma un beigu objekti 40

4

5. Brīvā algebra 44

5.1. Ievads 44

5.2. Brīvā Ω-algebra 44

5.3. Brīvā grupa 49

5.4. Brīvā Ābela grupa 50

5.5. Brīvā komutatīvā algebra 52 6. Lauki un to paplašinājumi 54

6.1. Lauka definīcija un piemēri 54

6.2. Lauka harakteristika 57

6.3. Komutatīvo gredzenu faktorgredzeni 58

6.4. Gredzenu reprezentācija 60 7. Algebriskie paplašinājumi 63

7.1. Vienkāršs algebrisks paplašinājums 63

7.2. Dažādi algebrisko paplašinājumu tipi 65

7.3. Teorēma par primitīvo elementu 67

7.4. Otrās pakāpes paplašinājumi 69 8. Ģeometriskās konstrukcijas 72

8.1. Ievads 72

8.2. Ģeometriskās konstrukcijas un lauku paplašinājumi 73

8.3. Neiespējamās konstrukcijas 77

8.3.1. Kuba dubultošana 77

8.3.2. Teorēma par konstruējamiem skaitļiem 78

8.3.3. Leņķa trisekcija 78

8.3.4. Regulārs septiņstūris 79

8.3.5. Regulārs desmitstūris 79

8.3.6. Riņķa kvadratūra 80

Literatūra 81

5

1. lekcija

Vispārīgās algebriskās struktūras

Grupas, gredzena, lauka, algebras, moduļa un citu algebrisku struktūru definīcijas un piemēri.

Lekcijas mērķis ir parādīt, ka šo algebrisko konstrukciju pamatā ir "reāli" matemātiski objekti, kas sastopami visās matemātikas nozarēs.

1.1. Ievads

Abstraktās algebras pirmsākums saistās ar franču matemātiķa Galuā vārdu, kurš pirmais ieveda grupas jēdzienu. Viņš izmantoja simetriju grupas jēdzienu, lai pierādītu, ka algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4 nevar atrisināt, izmantojot tikai algebriskās operācijas un radikāļa zīmi. Kopš tā laika – 19.gadsimta sākuma algebra pilnīgi pārvērtās. Ja līdz šim laikam algebras pamatobjekti bija algebriskie vienādojumi un vienādojumu sistēmas, tad tagad algebras pamatobjekti kļuva dažādas algebriskas struktūras – grupas, gredzeni, lauki, utt. Bet jau pirmais Galuā rezultāts parādīja, ka šo abstrakto struktūru pētīšana var tikt izmantota "reālu" rezultātu iegūšanā. Tagad aplūkosim algebras pamatobjektu definīcijas. Vispirms, pārejot pie konkrētiem objektiem, atzīmēsim, ka algebriskā struktūra (tālāk sauksim par algebru) sastāv no kopas A, kurā definētas operācijas un izpildās noteiktas aksiomas.

Definīcija 1.1. Par n-āru operāciju kopā A sauc attēlojumu AAn → .

Visbiežāk mēs izmantojam binārās operācijas (saskaitīšana, reizināšana, atņemšana). Atzīmēsim arī vienvietīgās (unārās) operācijas: 1, −→−→ aaaa .

Atsevišķi jānorāda, ka, ja 0=n , tad kopa nA sastāv no viena elementa un attēlojums AA →0 faktiski norāda vienu atsevišķu kopas A elementu. Tātad kāda noteikta kopas A

elementa fiksēšana var tikt uzskatīta kā 0-vietīga algebriska operācija. Aksiomas algebrā apraksta ar predikātu loģikas formulām, kurās var ievietot algebriskas identitātes; taču svarīgākās algebru klases – tā saucamās algebru varietātes tiek uzdotas ar noteikta tipa formulām, kuras izpildās visiem mainīgajiem: ( ) ( )( )nnn xxgxxfxxx KKK 1121 =∀∀∀ .

Šajā gadījumā mēs varam nelietojot loģisko simboliku nxx ∀∀ ,,1 K un saukt šīs formulas

par identitātēm. Algebru klasēm, kas aprakstītas tikai ar identitātēm, izpildās daudzas speciālas īpašības, un tāpēc algebru klases, kas aprakstītas, izmantojot tikai identitātes, ir daudz vieglāk pētīt ar algebriskām metodēm.

1.2. Algebru klases ar vienu bināro pamatoperāciju

Pāriesim pie algebrisko pamatstruktūru definīcijām, un parādīsim, ka daudzām no šīm struktūrām aksiomas var būt pierakstītas kā identitātes. Atzīmēsim arī, ka ne vienmēr tas ir iespējams. Piemēram, lauku nevar definēt, izmantojot tikai identitātes.

6

Definīcija 1.2. (Pusgrupa). Pāri , ( )⋅,G , kur G – kopa, ⋅ – bināra operācija kopā G, sauc par pusgrupu, ja tajā izpildās identitāte: ( ) ( ) cbacba ⋅⋅=⋅⋅ – asociativitāte. Nākošā būs monoīda definīcija. Sākumā gan monoīda, gan grupas definīcijas būs dotas klasiskajā variantā, izmantojot predikātu loģikas formulas; tālāk parādīsim, kā šīs formulas var izteikt kā identitātes – tātad, neizmantojot predikātu loģiku.

Definīcija 1.3. (Monoīds). Pāri ( )⋅,G , kur G – kopa, ⋅ – bināra operācija kopā G, sauc par monoīdu, ja tajā izpildās aksiomas:

( ) ( ) ( )( ) aeaaeGaGe

cbacbaGcba

=⋅=⋅∈∀∈∃

⋅⋅=⋅⋅∈∀

2

,,,1

(neitrālā elementa eksistence.)

Definīcija 1.4. (Grupa). Monoīdu ( )⋅,G sauc par grupu, ja tam izpildās aksioma

( ) exyyxGyGx =⋅=⋅∈∃∈∀ :3 (apgrieztā elementa eksistence.)

Tagad aplūkosim kā monoīda un grupas definīciju var pārveidot, izmantojot tikai algebriskas identitātes. Operācijas, kuras tiek ievestas algebrā, sauc par algebras signatūru. Gan pusgrupā, gan monoīdā, gan grupā mēs signatūrā izmantojām tikai vienu operāciju. Taču signatūru var mainīt, pievienojot jaunas operācijas. Definējot monoīdu, pievienosim 0-vietīgu operāciju – tātad atsevišķa G elementa fiksēšanu.

Definīcija 1.5. Monoīds ir kopa G, kurā definētas divas operācijas : ( )eG ,, ⋅ , kur ⋅ – bināra operācija, e – 0-vietīga operācija – kopas G elements. Kopā G izpildās identitātes:

( ) ( ) ( )( ) ..G

G

2

1

aaeea

cbacba

=⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅

Definējot grupu jāpievieno vēl viena unāra operācija: 1−→ aa .

Definīcija 1.6. Grupa ir kopa, kurā definētas trīs operācijas: ( )1,,, −⋅ eG , kur ⋅ – bināra operācija; e – 0-vietīga operācija – kopas G elements; -1 – unāra operācija. Aksiomas :

( ) ( ) ( )( )( ) .G

G

G

113

2

1

eaaaa

aaeea

cbacba

=⋅=⋅

=⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅

−−

Grupu G sauc par komutatīvu grupu (jeb Ābela grupu), ja tajā definētā binārā operācija ir komutatīva :

( ) .4 abbaG ⋅=⋅

Aplūkosim pusgrupu, monoīdu un grupu piemērus. Piemēri: 1. Naturālie skaitļi ar "+" operāciju veido pusgrupu. 2. Ja naturāliem skaitļiem pievieno 0, tad attiecībā pret "+" operāciju tie veido monoīdu (0 – neitrālais elements). 3. Veselie skaitļi, attiecībā pret "+" operāciju veido grupu. Šo skaitļu grupu sauc par veselo skaitļu aditīvo grupu.

7

4. Atlikumu grupa pēc moduļa n 1,,2,1,0 −= nZ n K

Operācija "+" ir summa pēc moduļa n. Šai grupai ir ļoti daudz pielietojumu skaitļu teorijā.

Tagad aplūkosim multiplikatīvās struktūras.

5. Naturālie skaitļi ar "⋅" operāciju veido pusgrupu. 6. Racionālie skaitļi – ∗Q (arī reālie ∗R , kompleksie ∗C ), ja no tiem izslēgts skaitlis 0, kopā ar reizināšanas operāciju veido grupu – skaitļu multiplikatīvo grupu.

Taču grupu teorija, kā jau tika pieminēts, sākās ar Galuā teoriju, kuras pamatobjekts bija simetriju grupa nS .

7. Ar Ω apzīmēsim skaitļu kopu n,,2,1 K . nS ir visu bijekciju kopa, kas attēlo

kopu Ω uz kopu Ω .

Pieraksts

=

niiii

nA

K

K

321

321 apzīmēs, ka elements 1 attēlojas par 1i , elements 2 – par 2i , ...,

n – par ni . Operācija, ko sauksim par reizināšanu, ir attēlojumu kompozīcija.

Piemēram,

=

3214

1234

2341

1234

2143

1234

=

1432

1234

2143

1234

2341

1234.

Kā redzam piemērā reizināšana šajā grupā nav komutatīva. Visos iepriekšējos piemēros grupas operācija bija komutatīva.

8. Grupas matemātikā un arī citās zinātnes nozarēs galvenokārt tiek izmantotas, lai aprakstītu objekta simetriju. Iepriekšējais piemērs (galīgas skaitļu kopas simetriju grupa) ir grupu teorijas pirmsākums. Ar I(P) Apzīmēsim visu plaknes P izometriju kopu. Izometrija ir plaknes attēlojums uz plakni, kas saglabā attālumus starp punktiem. Ar F apzīmēsim patvaļīgu figūru plaknē P. Ar S(F) apzīmēsim visu plaknes izometriju kopu, kas attēlo figūru F par figūru F:

( ) ( ) ( ) FFAPIAFS =∈= / .

Grupas ( )FS operācija ir attēlojumu kompozīcija. Piemēram, ja F ir vienādsānu trijstūris (skat. 1.zīm.),

B

A C 1 .z īm .

H

tad ir tikai divas izometrijas, kas attēlo figūru F par figūru F: identiskais attēlojums E un simetrija pret asi BH. Tātad ( ) BHSEFS ,= . Regulārs trijstūris (skat. 2.zīm.) ir daudz simetriskāks.

B

O

A C 2. zīm.

8

Tā simetriju grupa satur 6 elementus:

( ) °°

= 240120 ,,,,, OOAOCOBO RRSSSeFS .

Vienīgā ierobežotā izliektā figūra, kuras simetrijas grupa ir bezgalīga, ir riņķis. Simetrijas grupas plaši tiek pielietotas kristalogrāfijā, aprakstot kristālu struktūru.

1.3. Algebru klases ar divām binārajām pamatoperācijām.

Aplūkosim algebriskas struktūras, kuru pamatā ir divas bināras operācijas. Algebras pamatobjekts ar divām binārajām operācijām ir gredzens. Tā kā mēs gribam aprakstīt gredzenu tikai ar identitātēm, tad signatūrā būs jāpievieno vēl pretējā elementa operācija un nulles operācija.

Definīcija 1.7. Gredzens ir kopa K , kurā definētas četras operācijas: "+" – divvietīga, "⋅" divvietīga, "–" – unāra, "0" – nulvietīga (tātad fiksēts elements).

Aksiomas

(R1) ( ) ( ),cbacba ++=++

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ).

,

,

,

,0

,00

7

6

5

4

3

2

cbacbaR

cbcacbaR

cabacbaR

abbaR

aaaaR

aaaR

⋅⋅=⋅⋅

⋅+⋅=⋅+

⋅+⋅=+⋅

+=+

=+−=−+

=+=+

Definīcija 1.8. Komutatīvs gredzens ir gredzens, kurā papildus izpildās šāda aksioma: ( ) abbaR ⋅=⋅8 .

Definīcija 1.9. Komutatīvs gredzens ar 1 ir komutatīvs gredzens, kurā papildus definēta nullāra operācija (fiksēts elements 1) un izpildās šāda aksioma: ( ) .119 aaaR =⋅=⋅

Definīcija 1.10. Lauks ir komutatīvs gredzens P ar 1, kurā papildus izpildās aksioma:

( ) ( )1010 =⋅=⋅∈∃≠∈∀ abbaPbaPaG .

Elementu b sauc par elementa a apgriezto elementu un apzīmē ar 1−a .

Atšķirībā no iepriekšējām aksiomām, aksiomu ( )10G nevar pārveidot identitātes formā, jo

"apgrieztā elementa operācija" faktiski nav operācija laukā P ( tā nav definēta elementam 0); tātad to nevar ievest signatūrā, pārvēršot pēdējo aksiomu par identitāti. Protams, šī frāze nav pierādījums, ka lauka aksiomas nevarētu kādā citādā veidā pierakstīt kā identitātes, bet tas tiks pierādīts nākošajās lekcijās, aplūkojot algebru varietātes jēdzienu.

Gredzeni ir objekti, kas matemātikā ir sastopami visbiežāk. Sāksim ar klasiskajiem piemēriem (signatūrā norādītas tikai binārās operācijas). Piemēri: 1. ( )⋅+,,Z -- veselo skaitļu gredzens.

2. ( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅+ ,,,,,,,, CRQ -- racionālo, reālo, komplekso skaitļu gredzeni. Protams ir daudz (pat bezgalīgi daudz) dažādas skaitļu struktūras, kas veido gredzenus. Lekcijā par skaitļu lauku paplašinājumiem ar tiem iepazīsimies sīkāk.

9

3. [ ]( )⋅+,,xP – polinomi ar koeficientiem laukā P no viena mainīgā x.

4. [ ]( )⋅+,,,,, 21 nxxxP K – polinomi no vairākiem mainīgajiem.

5. Dažādas funkciju klases (ar noteiktu definīcijas apgabalu, nepārtrauktas, diferencējamas, bezgalīgi diferencējamas, integrējamas, utt.). Vispārīgi runājot, parasti, ja matemātikā tiek izmantoti simboli "+" un "⋅", tad aplūkojamā struktūra veido gredzenu. Tiesa, ne vienmēr gredzena definīcijā tiek iekļauta 7. aksioma (reizināšanas asociativitāte); formāli runājot mums vajadzētu runāt par asociatīvu gredzenu, jo algebrā ir vairākas struktūras, kurās 7. aksiomas vietā ieved citu aksiomu, kas raksturo gredzena reizināšanas īpašības. Tādi ir Lī gredzeni un Jordāna gredzeni. Mēs šīs struktūras neaplūkosim; tāpēc uzskatīsim, ka 7. aksioma ir iekļauta gredzena definīcijā. Visi šie piemēri bija komutatīvu gredzenu piemēri; reizināšanas operācija ir komutatīva. Taču gredzeni mēdz būt arī nekomutatīvi, un svarīgākais (universālais) nekomutatīvā gredzena piemērs ir matricu gredzens. 6. ( )kM n – kvadrātisku matricu kopa ( )nn× ar elementiem no lauka k. Kvadrātisko

matricu gredzens veidojas arī, ja matricu elementi ir noteikta gredzena elementi, piemēram, veseli skaitļi.

1.4. Vairākšķiru algebras

Pāriesim pie vispārīgākām algebriskām struktūrām. Algebrā var tikt izmantotas vairākas pamatstruktūras. Piemēram, mēs bieži izmantojam vienlaicīgi skaitļus, matricas un vektorus. Abstraktās algebras definīcija ir šāda. Definīcija 1.11. (Vairākšķiru algebra). Vairākšķiru algebra sastāv no kopām nAAA ,,, 21 K un vairākšķiru algebras operācijām.

Operācija vairākšķiru algebrā ir attēlojums: lkji AAAA →××× L:α .

Algebras aprakstā tiek norādītas arī aksiomas, kādas izpildās dotajām operācijām.

Aplūkosim vienkāršāko piemēru, kurā nepieciešami divu šķiru objekti. Tā ir lineārā telpa. Piemērs. (Lineārā telpa) Lineārās telpas apraksts satur divu šķiru elementu kopas: skaitļu kopu K un vektoru kopu V. Lineārās telpas pamatoperācijas (binārās operācijas): "+" ( ) KKK →× skaitļu summa,

"×" ( ) KKK →× skaitļu reizinājums,

" ( ) VVK →×× "λ skaitļa reizinājums ar vektoru,

"+v" ( ) VVV →× vektoru summa.

Šeit netika pieminētas unārās operācijas 1, −− un nulvietīgās operācijas 0,1,0 , kuras var ievest arī kā atvasinātas operācijas.

Piemēram, elementu 0r

var definēt kā vektoru, kuram izpildās īpašība:

xxVx =+∈∀ 0r

. Līdzīgi definējiet arī pārējās atvasinātās operācijas! Lineārās telpas pilnu aksiomu sarakstu skat., piemēram, (Kostr.). Ja lineārās telpas definīcijā skaitļu lauku aizvieto ar komutatīvu gredzenu, tad iegūstam algebrisku struktūru, ko sauc par moduli.

10

Piemērs. (Modulis) Definīcija 1.12. Moduli M pār komutatīvu gredzenu K definē šādi: Pamatkopas: MK , .

Pamatoperācijas: MKK +⋅⋅+ ,,, λ . (Precizējiet kādu šķiru objektiem pielieto katru no šīm

operācijām!) Aksiomas:

(A) ( )MKK ⋅+ ,, ir komutatīvs gredzens ;

(B) ),( MM + ir Ābela grupa;

(C) 1) ( ) xbxaxbaAxKba ⋅+⋅=⋅+∈∀∈∀ , ,

2) ( ) yaxayxaAyxKa ⋅+⋅=+⋅∈∀∈∀ , , Piemērs. (Algebra) Kā daudziem jēdzieniem matemātikā arī vārdam "algebra" ir vairākas nozīmes. Šajā gadījumā "algebra" ir konkrēts matemātisks objekts ar divu šķiru elementiem. Tātad "algebra" sastāv no skaitļu kopas – gredzena K un algebras A. Definīcija 1.13. Algebra ir kopu pāris (K, A) ar piecām pamatoperācijām: "+" – skaitļu saskaitīšana, "×" – skaitļu reizināšana,

"" A+ – algebras elementu saskaitīšanu,

"" A× – algebras elementu reizināšana,

"" λ× – algebras elementu reizināšana ar skaitli.

Aksiomas : (A) ( )×+,,K ir komutatīvs gredzens ar 1;

(B) ),,( AA + ir gredzens;

(C) 1) ( ) xbxaxbaAxKba ⋅+⋅=⋅+∈∀∈∀ , ,

2) ( ) yaxayxaAyxKa ⋅+⋅=+⋅∈∀∈∀ , ,

3) ( ) ( ) xbaxbaAxKba ⋅⋅=⋅⋅∈∀∈∀ , ,

4) ( ) yxayxaAyxKa ⋅⋅=⋅⋅∈∀∈∀ )(, , 5) xxAx =⋅∈∀ 1 . Faktiski "algebra" ir algebriska struktūra, kas vienlaicīgi ir gredzens A un modulis A pār komutatīvu gredzenu K. (C) grupas aksiomas nodrošina visu operāciju saskaņotību. Algebru piemēri: 1. [ ]( )⋅+,,xP – polinomi ar koeficientiem no lauka P no viena mainīgā x.

2. [ ]( )⋅+,,,,, 21 nxxxP K – polinomi no vairākiem mainīgajiem.

3. Dažādas funkciju klases (ar noteiktu definīcijas apgabalu, nepārtrauktas, diferencējamas, bezgalīgi diferencējamas, integrējamas, utt.). 4. ( )kM n – kvadrātisku matricu kopa ( )nn× ar elementiem no lauka k.

Kā redzam, iepriekš aplūkotie gredzenu piemēri var tikt uzskatīti arī par algebrām. Piemērs. (Trīsšķiru algebra) Pamatkopas: MVK ,, , skaitļi, vektori, matricas; Binārās operācijas: K+ : KKK →× skaitļu saskaitīšana,

KKKK →×⋅ : skaitļu reizināšana,

VVVV →×+ : vektoru saskaitīšana,

MMMM →×+ : matricu saskaitīšana,

11

MMMM →×⋅ : matricu reizināšana,

MMKKM →×⋅ : matricas reizināšana ar skaitli,

VVKKV →×⋅ : vektora reizināšana ar skaitli,

VVMMV →×⋅ : matricas reizināšana ar vektoru.

Pilns aksiomu saraksts šajā struktūrā ir ļoti liels. Tas iekļauj sevī komutatīva gredzena aksiomas skaitļiem; gredzena aksiomas matricām; lineārās sakarības starp skaitļiem un vektoriem, starp skaitļiem un matricām, starp matricām un vektoriem; dažāda tipa asociatīvos likumus starp dažādu šķiru elementiem. Neskatoties uz lielo aksiomu skaitu, izpildīt pārveidojumus šajā struktūrā ir vienkārši, jo aksiomu saraksts faktiski atbilst īpašībām, kādas izpildās "reālā" matemātiskā objektā, kad mēs veicam pārveidojumus ar skaitļiem, vektoriem un matricām.

1.5. Būla algebra

Šīs algebras pamatā ir objekts, kurš izveidojās, aprakstot izteikumu loģiku algebriskā valodā. Tā kā Būla algebru aksiomātika būtiski atšķiras no klasisko "tīri" algebrisko objektu aksiomātikas, tad aplūkosim šīs algebras pilnu aksiomu sarakstu. Rakstot aksiomu sarakstu, varam iedomāties divus klasiskos Būla algebras piemērus: 1. Kopa, kas sastāv no diviem izteikumiem , pa , un izteikumu loģikas operācijas.

2. Pamatkopa ir fiksētas kopas A visu apakškopu kopa ( )AP , ar kurām izpilda šādas operācijas: papildinājums, apvienojums, šķēlums. Definīcija 1.14. Būla algebra sastāv no vienas kopas B, kurā definētas 5 pamatoperācijas : ¬ – negācija, unāra operācija; ∨ – disjunkcija, bināra operācija; ∧ – konjunkcija, bināra operācija; 0 – nulles elements, konstante (nullāra operācija); 1 – vienības elements, konstante (nullāra operācija). Aksiomas (visas aksiomas ir identitātes): (1) abba ∧=∧ (1') abba ∨=∨ komutatīvie likumi; (2) aaa =∧ (2') aaa =∨ idempotence;

(3) ( ) ( ) cbacba ∧∧=∧∧ (3') ( ) ( ) cbacba ∨∨=∨∨ associativitāte;

(4) ( ) abaa =∨∧ (4') ( ) abaa =∧∨ absorbcijas likums; (5) aa =∧1 (5') aa =∨ 0 neitrālie elementi; (6) ( ) ( )cabacba ∧∨∧=∨∧ )( (6') ( ) ( ) ( )cabacba ∨∧∨=∧∨ distributivitāte; (7) 0=¬∧ aa (7') 1=¬∨ aa papildinājuma likums.

Šajā lekcijā tika aplūkoti dažādi algebrisko struktūru piemēri. Skaidrs, ka tādā interpretācijā mēs varam aplūkot algebras, kas sastāv no patvaļīga skaita kopām, un ievest tajās dažādas operācijas, kurām izpildās patvaļīgas aksiomas. Taču šādas struktūras, kuru aksiomātika nebāzējas uz konkrētiem piemēriem, kas saistīti ar "reāliem" objektiem, matemātikā parasti netiek pētīti. Matemātika ir instruments, kas palīdz citām zinātnēm pētīt reālo pasauli. Protams, matemātikai ir savi iekšējie attīstības virzieni, un ne vienmēr iepriekš var noteikt, kurš virziens, kāds objekts būs svarīgs zinātnes attīstībai, kāds nē. Kāda tad ir galvenā algebriskās struktūras jēdziena ievešanas loma matemātikā? Uz šo jautājumu var atbildēt pavisam konkrēti. Daudzas īpašības, konstrukcijas, teorēmas dažādās algebru klasēs ir ļoti līdzīgas. Pierādot kādu teorēmu par vispārīgām algebriskām struktūrām, mums vairs nebūs nepieciešamības to darīt katrā atsevišķā algebru klasē. Tātad "universālās algebras" mērķis ir atrast to kopīgo, kas piemīt visām algebriskām struktūrām. Tieši šim uzdevumam būs veltītas otrā un trešā lekcijas.

12

2. lekcija

Algebriskās konstrukcijas

Aplūkojot grupas un gredzenus tiek ievesti sekojoši jēdzieni: apakšalgebra, morfisms, kongruence, faktoralgebra, tiešā summa. Šie jēdzieni tiek aprakstīti tādā formā, lai tos varētu vispārināt patvaļīgām algebriskām struktūrām.

2.1. Algebriskās konstrukcijas kopās

Šajā paragrāfā aplūkosim algebriskās konstrukcijas vienkāršākajās algebriskajās struktūrās, t.i. struktūrās, kurās vispār nav algebrisko operāciju, – tātad kopās. Atcerēsimies galvenos jēdzienus šajās struktūrās.

Definīcija 2.1. (Apakškopa) Kopu A sauc par kopas B apakškopu (apzīmējam BA ⊂ ), ja ( )BxAxx ∈⇒∈∀ .

Aplūkojot attiecību ⊂ visu dotās kopas X apakškopu kopā ( )XP , iegūstam sakārtojumu (skat. [Str] ).

Definīcija 2.2. Attiecību ∝ kopā A sauc par ekvivalenci, ja tai izpildās trīs īpašības:

a) refleksivitāte: ( )xxAx ∝∈∀ ,

b) simetriskums: ( ) ( )( )xyyxAyx ∝⇒∝∈∀ , ,

c) transitivitāte: ( )zxzyyxAzyx ∝⇒∝∧∝∈∀ ,, .

Definīcija. 2.3. Par attēlojumu no kopas A kopā B sauc "likumu", kas katram kopas A elementam x piekārto vienu kopas elementu B; pieraksta

BAf →: jeb BAf

→ . Faktiski šeit uzrakstītā frāze nav definīcija, bet mēģinājums paskaidrot, kas ir attēlojums. Ceturtajā lekcijā, runājot par kategorijām, aplūkosim precīzu attēlojuma definīciju. Attēlojumu sauc par

a) injektīvu, ja ( ) ( )( )yfxfyxAyx ≠⇒≠∈∀ , ;

b) sirjektīvu, ja ( ) )( yxfAxBy =∈∃∈∀ ; c) bijektīvu, ja tas ir gan injektīvs, gan sirjektīvs.

Attēlojuma attēlu apzīmēsim ar ( )fIm .

Par attēlojuma f kodolu (apzīmēsim )(Ker f ) sauc ekvivalenci f≈ kopā A, kuru definē

šādi: ( ) ( )( )yfxfyxAyx f =⇔≈∈∀ , .

Tas nozīmē, ka elementi, kas dotajā attēlojumā attēlojas vienā elementā tiek uzskatīti par ekvivalentiem.

Definīcija 2.4. Dotas n kopas nAAA ,,, 21 K . Par šo kopu Dekarta reizinājumu sauc kopu

( ) iinn AaiaaaAAAA ∈∀=×××= /,,, 2121 KL .

Dekarta reizinājuma elementus sauksim par kortēžiem.

13

Definīcija 2.5. Par kopas A sadalījumu sauc kopas A apakškopu kopu IiAi ∈/ , kurai

izpildās šādas īpašības:

1. Ja ji ≠ , tad ∅=∩ ji AA .

2. ( )iAaiAa ∈∃∈∀ .

Izvēloties no katras kopas iA pa vienam elementam ii Aa ∈ , mēs iegūsim dotā sadalījuma

pilnu pārstāvju sistēmu Iiai ∈/ ; lietosim arī šādu pierakstu ii Aa = (tas nozīmē, ka,

uzrādot sadalījuma klases pārstāvi, mēs faktiski uzrādām arī pašu sadalījuma klasi). Piezīme. Bieži, aprakstot sadalījuma pirmo aksiomu, ir ērti to aizvietot ar šādu apgalvojumu: Ja ∅≠∩ ji AA , tad ji AA = .

Šajā gadījumā, pierakstot kopas sadalījumu formā IiAi ∈/ , katra no sadalījuma kopām

var pierakstā tikt atkārtota vairākas reizes. Protams, ka pieraksts, kurā katra sadalījuma klase ir uzskaitīta tieši vienu reizi ir "ērtāks", taču ne vienmēr izdodas konstruktīvi aprakstīt sadalījuma klases tā, lai katra klase būtu uzskaitīta tieši vienu reizi. Sadalījumu piemēri: 1) fedcbaA ,,,,,= ; aA =1 , fcbA ,,2 = , edA ,3 = .

Kopa 321 ,, AAAB = ir kopas A sadalījums; kopa eca ,, ir viena no iespējamām šī

sadalījuma pilna pārstāvju sistēma.

2) Katrai ekvivalencei ≈ , kas definēta kopā A, viennozīmīgi atbilst kopas A sadalījums ekvivalences klasēs AxAS x ∈=≈ / . Ar xA apzīmēta visu to A elementu kopa, kuri ir

ekvivalenti ar x:

xyAyyAx ≈∧∈= / .

Pārbaudiet, ka ≈S ir kopas A sadalījums.

Otrādi, katrs kopas A sadalījums IiAS i ∈= / viennozīmīgi nosaka ekvivalenci S≈ kopā

A: ( )iiS AyAxIiyx ∈∧∈∈∃⇔≈ .

Faktiski mēs esam ieguvuši savstarpēju atbilstību starp kopas A sadalījumiem un ekvivalencēm kopā A. Tā kā patvaļīga attēlojuma BAf →: kodols ir ekvivalence kopā A, tad katram

attēlojumam f atbilst kopas A sadalījums. Šo sadalījumu apzīmēsim ar )( fKerS (kādreiz

saīsināti fS ).

Definīcija 2.6. (Faktorkopa). Kopā A dota ekvivalence ≈ . Tai atbilst kopas A sadalījums ekvivalences klasēs IxAS x ∈=≈ / .

Par kopas A faktorkopu sauc kopu, kuras elementi ir šī sadalījuma ekvivalences klases:

IxAAx ∈=≈ / .

Piezīme. Šajā pierakstā nevar atšķirt ekvivalences klašu kopas un faktorkopas formālos pierakstus. Lai tālāk nesarežģītu šos pierakstus, lietosim tos abiem jēdzieniem, bet atcerēsimies, ka sadalījuma gadījumā ar xA apzīmēta kopa, kas sastāv no kopas A

elementiem, bet faktorkopas gadījumā ar xA apzīmēts elements – faktorkopas ≈A

elements.

14

2.2. Alebriskās konstrukcijas grupās.

Atbilstošos jēdzienus, kas tika ievesti, aplūkojot kopas, tagad definēsim algebriskām struktūrām ar vienu pamatoperāciju – grupām (sīkāk par grupu teoriju skat., piem., [Varden] ). Ievestie jēdzieni netiks ilustrēti ar lielu piemēru skaitu; tos var atrast norādītajā literatūrā . Visas šīs definīcijas ir līdzīgas atbilstošajām definīcijām kopās, bet ir viena būtiska atšķirība: algebriskās konstrukcijas grupās ir saistītas ar grupas operāciju. Vārda "saistīts" nozīme tiks aprakstīta katram jēdzienam atsevišķi.

2.2.1. Apakšgrupa

Šis jēdziens atbilst apakškopas jēdzienam kopās. Definīcija 2.7. (Apakšgrupa). Saka, ka grupas G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa un pieraksta GH < , ja tai izpildās sekojošas īpašības:

a) ( )HbaHbaGba ∈⋅⇒∈∈∀ ,, ,

b) ( )HaHaGa ∈⇒∈∈∀ −1 , c) He∈ .

Vārdiski to varētu aprakstīt šādi: G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa, ja tā ir slēgta attiecībā pret visām grupas G pamatoperācijām; tāda ir frāzes "saistīts ar operācijām" jēga šajā gadījumā. Vēl iespējams arī šāds definīcijas variants: G apakškopa H ir grupas G apakšgrupa, ja tā ir grupa attiecībā pret grupas G operācijām. Apakšgrupu sakārtojums. Visu grupas G apakšgrupu kopu apzīmēsim ar ( )GA . Kopā ( )GA ir definēta attiecība "<"

(skat. def. 2.7.). Viegli pārbaudīt, ka šī attiecība ir nestingrs sakārtojums kopā ( )GA . Šim sakārtojumam izpildās vēl divas svarīgas īpašības. Lai tās varētu precīzāk formulēt, atzīmēsim, ka matemātikā aplūko ne tikai algebriskas struktūras (kopas ar operācijām), bet arī vispārīgākas struktūras, kuru pamatā ir kopas, kurās definētas gan algebriskas operācijas, gan arī dažāda veida atbilstības un attiecības (ar šiem jēdzieniem sīkāk var iepazīties [Str] ). Tātad ( )( )<,GA ir struktūra, kas sastāv no kopas un attiecības šajā kopā; attiecība ir sakārtojums. Šim sakārtojumam papildus izpildās divas īpašības:

• Sakārtotā kopā ( )( )<,GA eksistē vismazākais elements – minimums (nejaukt ar minimālo elementu !)

( ) ( ) ( )xmGAxGAm <∈∀∈∃ .

• Sakārtotā kopā ( )( )<,GA eksistē vislielākais elements – maksimums (nejaukt ar maksimālo elementu !)

( ) ( ) ( )MxGAxGAM <∈∀∈∃ .

Saprotams, ka vismazākais elements struktūrā ( )( )<,GA ir apakšgrupa e un vislielākais – G. Šīs divas apakšgrupas sauc par grupas G triviālajām apakšgrupām. Piemērs. Grupas ( )+,6Z apakšgrupu sakārtojums attēlots sakārtojuma grafa formā.

(2)

(0) Z6

(3)

Apakšgrupas: ( ) ( ) ( ) 6,3,03,4,2,02,00 Z=== .

15

Kopu teorijas operācijas ar apakšgrupām. Tā kā grupas ),( +G apakšgrupas vienlaicīgi ir arī kopas G apakškopas, tad ar tām var izpildīt visas kopu teorijas pamatoperācijas (šķēlums, apvienojums, papildinājums, starpība, simetriskā starpība). Taču no grupu teorijas viedokļa svarīga loma ir tikai tām kopu teorijas operācijām, kuras, pielietojot apakšgrupām, rezultātā dod apakšgrupu. Izrādās, ka tikai šķēluma operācija ir saskaņota ar apakšgrupu struktūru. Teorēma 2.1. Ja K un L ir grupas G apakšgrupas, tad arī kopa LK ∩ ir grupas G apakšgrupa. Piezīme. Šo toerēmu varētu formulēt šādi: Dotās grupas apakšgrupas veido struktūru, kas ir slēgta attiecībā pret kopu šķēluma operāciju. Atceroties arī apakšgrupu sakārtojuma attiecību, nonākam pie sekojošas struktūras: ( )( )∩<,,GA , "<" – bināra attiecība, "∩ " – bināra operācija kopā ( )GA . Šāda veida struktūras pēta režģu teorija (skat. [Str] ). Pierādījums. Pārbaudīsim, ka kopai LK ∩ izpildās apakšgrupas definīcijā (def. 2.7.) formulētās īpašības. Izmantojot to, ka K un L ir grupas G apakšgrupas, iegūstam: a) ( ) ( ) ( ) ( )LKyxLyxKyxLyxKyxLKyx ∩∈⋅⇒∈⋅∧∈⋅⇒∈∧∈⇒∩∈ ,,, ,

b) ( ) ( ) ( ) ( )LKxLxKxLxKxLKx ∩∈⇒∈∧∈⇒∈∧∈⇒∩∈ −−− 111 ,

c) tā kā K un L ir grupas G apakšgrupas, tad ( ) ( )LKeLeKe ∩∈⇒∈∧∈ . Teorēma pierādīta. Vingrinājums. Ar piemēriem parādiet, ka pārējās kopu teorijas operācijas nav saskaņotas ar apakšgrupu struktūru. Piemēri: 1. Pāra skaitļu aditīvā grupa ( )+,2Z ir veselo skaitļu aditīvās grupas ( )+,Z apakšgrupa.

2. Pozitīvie reālie skaitļi ( )⋅+ ,R veido multiplikatīvo grupu.

Reālie skaitļi ( )+,R veido aditīvu grupu; turklāt +R ir R apakškopa.

Bet ( )⋅+ ,R nav grupas ( )+,R apakšgrupa, jo operācijas tajās ir dažādas.

2.2.2. Grupu morfisms

Attēlojuma jēdzienam kopās atbilst morfisma jēdziens grupās. Aplūkosim divas grupas : ( )GGG eG 1,,, −⋅ un ( )HHH eH 1,,, −⋅ . Indeksi pie operācijām norāda, ka katrā grupā

definētas savas operācijas. Taču, ja tas nevarēs izraisīt pārpratumus, šos indeksus nerakstīsim, jo lielais indeksu skaits pārvērstu vienkāršas un viegli uztveramas formulas par grūti uztveramām. Aplūkosim tradicionālo grupu morfisma definīciju. Definīcija 2.8. Dotas grupas ( )1,,, −⋅ eG un ( )1,,, −⋅ eH . Attēlojumu HGf →: sauc par grupu morfismu, ja tam izpildās sekojoša īpašība: (GM1) ( ) ( ) ( )yfxfyxfGyx ⋅=⋅∈∀ , .

Visu grupas morfismu kopu no grupas G grupā H apzīmēsim ar ),(Hom HG . Piezīme. Morfisma aksiomu (GM1) vārdos parasti izsaka šādi: "Attēlojums f ir saistīts ar grupas G reizināšanas operāciju". Faktiski tas nozīmē, ka diviem elementiem no grupas G vispirms var pielietot grupas G operāciju un pēc tam rezultātu attēlot grupā H, vai arī elementus vispirms attēlot grupā H un pēc tam attēliem pielietot grupas H operāciju; rezultāts būs vienāds. Ceturtajā lekcijā šīs grūti uztveramās un viegli pārprotamās frāzes vietā lietosim komutatīvo diagrammu valodu, kurā šī neprecīzā frāze izskatīsies šādi (pamēģiniet jau tagad saskatīt uzzīmētajā diagrammā kursīvā izdalīto frāzi):

16

f × f G × G H × H

⋅G ⋅H

f G H

Mūsu mērķis ir vispārināt morfisma jēdzienu uz citām algebriskām struktūrām, kurās operācijas un aksiomas var pilnīgi ašķirties no grupas operācijām un aksiomām. Tāpēc rodas jautājums: "Kāpēc mēs morfisma definīcijā neiekļaujam analoģiskas īpašības pārējām divām grupas operācijām?". Atcerēsimies grupas sākotnējo definīciju (def. 1.4.). Šajā definīcijā grupa tika definēta kā kopa ar vienu bināro operāciju. Pārējās operācijas tika ievestas kā atvasinātas operācijas, izmantojot grupas aksiomas. Teorēma 2.2. Patvaļīgam grupu morfismam HGf →: izpildās sekojošas īpašības:

(GM2) ( ) ( )21 efef = ,

(GM3) ( ) ( )( )11 −− =∈∀ xfxfGx . Pierādījums. (GM2) No morfisma un neitrālā elementa īpašībām seko: ( ) ( ) ( ) ( )11111 efeefefef =⋅=⋅ .

Pareizinot šo vienādību ar grupas H elementu ( ) 11

−ef no kreisās puses, iegūsim:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .21212211

11

11

1111

1

eefeefeeefefef

efefefefef

=⇒=⋅⇒=⋅⋅

⇒⋅=⋅⋅−

−−

(GM3) ( ) ( ) ( ) ( )1112

−− ⋅=⋅== xfxfxxfefe . Tātad ( )1−xf ir elementa ( )xf apgrieztais elements. Teorēma pierādīta. Tātad, interesējoties tikai par grupām, morfisma definīcijā var neiekļaut īpašības (GM2) un (GM3), jo šīs īpašības var izvest no (GM1); taču tā ir tikai grupu specifika. Domājot par morfisma jēdziena vispārinājumu, vēlreiz uzrakstīsim grupu morfisma definīciju. Definīcija 2.9. (Grupu morfisms). Dotas grupas ( )1,,, −⋅ eG un ( )1,,, −⋅ eH . Attēlojumu

HGf →: sauc par grupu morfismu, ja tam izpildās sekojošas īpašības:

(GM1) ( ) ( ) ( )yfxfyxfGyx ⋅=⋅∈∀ , .

(GM2) ( ) ( )21 efef = ,

(GM3) ( ) ( )( )11 −− =∈∀ xfxfGx . Piezīme. Šo definīciju vārdiski var formulēt šādi: "Morfisms ir attēlojums no grupas G grupā H, kas ir "saskaņots" ar visām grupā definētajām pamatoperācijām." Šo frāzi precīzi apraksta morfisma aksiomas (GM1), (GM2) un (GM3). Cits precīzs šīs frāzes apraksts iespējams, izmantojot komutatīvo diagrammu valodu (skat. 4. lekc.). Speciāla veida morfismiem ir savi nosaukumi. 1) Injektīvu morfismu HGf →: sauc par monomorfismu. 2) Sirjektīvu morfismu HGf →: sauc par epimorfismu, 3) Bijektīvu morfismu HGf →: sauc par izomorfismu; grupas G un H sauc par izomorfām grupām un to pieraksta šādi: HG ≅ . 4) morfismu GGf →: sauc par endomorfismu; visu endomorfismu kopu apzīmē ar

( )GEnd .

17

5) izomorfismu GGf →: sauc par automorfismu; visu automorfismu kopu apzīmē ar

( )GAut ; šajā kopā "dabīgā" veidā var ievest reizināšanas operāciju, iegūstot grupas automorfismu grupu (skat. [Plotk] ).

Definīcija 2.10. Dots grupu morfisms HGf →: .

• Par morfisma f attēlu sauc grupas H apakškopu

( ) yxfGxHyf =∈∃∈= /Im ,

• Par morfisma f kodolu sauc grupas G apakškopu

( ) exfGxf =∈= /Ker . Piezīme. Atcerēsimies, ka, aplūkojot kopas, attēlojuma kodols tika definēts (skat. def. 2.3.) kā ekvivalence attēlojuma izejas kopā, bet grupās kodols ir vienkārši izejas kopas apakškopa. Skaidrs, ka grupas kodola definīcija šādā veidā nav vispārināma uz visām algebriskām struktūrām, jo definīcija satur konkrētu elementu (grupas neitrālo elementu), bet šāds elements var nebūt definēts algebriskajā struktūrā. Pat pusgrupu gadījumā doto definīciju nevar izmantot. Šī problēma tiks atrisināta, ievedot grupā jaunu kodola definīciju, kurā grupas kodols tiešām būs noteikta tipa ekvivalence, bet starp šo ekvivalenci un attēlojuma kodolu tradicionālajā izpratnē pastāvēs kanoniska savstarpēji viennozīmīga atbilstība. Jāatzīmē, ka grupas kodola definīcijas jaunais variants kā arī grupas faktorizācijas tradicionālās definīcijas pārveidošana jaunā formā ir paši būtiskākie jautājumi, kuri bija jāatrisina, lai algebriskajās struktūrās varētu ievest visas tradicionālās algebriskās konstrukcijas, kuras jau sen bija pazīstamas grupās un gredzenos.

Teorēma 2.3. Dots grupu morfisms HGf →: . 1. Morfisma f attēls ir grupas H apakškopa. 2. Morfisma f kodols ir grupas G apakšgrupa. Piezīme. Vēlāk tiks pierādīts, ka morfisma kodols ir speciāla veida apakšgrupa – normālā apakšgrupa. Pierādījums. 1. Pārbaudīsim, ka kopai fIm izpildās visas trīs apakšgrupas definīcijā (def. 2.7.) norādītās īpašības:

a) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ,Im

ImIm

21212121

22211121

fyyyyxfxfxxf

yxfxyxfxfyfy

∈⋅⇒⋅=⋅=⋅

⇒=∃∧=∃⇒∈∧∈

b) ( ) feeef Im221 ∈⇒= ,

c) ( )( ) ( ) ( )( )

.Im

Im1

111

fy

yxfxfGxyxfGxfy

∈

⇒==∈∃⇒=∈∃⇒∈−

−−−

2. Par fKer apgalvojumu pierādiet patstāvīgi ! Teorēma pierādīta.

2.2.3. Grupu tiešā summa

Grupu tiešā summa atbilst Dekarta reizinājuma jēdzienam kopās.

Definīcija 2.11. Dotas grupas ( ) nieG iiii ,,2,1/,,, 1 K∈⋅ − . Par šo grupu tiešo summu

sauc kopu ∏=

=××××=n

iin GGGGGG

1321 L , kurā definētas grupas signatūras

operācijas: ( Atcerēsimies, ka kopa G sastāv no kortēžiem ( )nxxx ,,, 21 K , kur ii Gx ∈ .)

18

a) ( ) ( ) ( )nnnn babababbbaaa +++=+ ,,,,,,,,, 22112121 KKK ,

b) ( )neeee ,,, 21 K= ,

c) ( ) ( )112

11

121 ,,,,,, −−−− = nn aaaaaa KL .

Grupu tiešo summu pieraksta šādi: i

n

in GGGG

121

=⊕=⊕⊕⊕ L .

Tā kā katrā no kortēža koordinātēm operācijas izpildās neatkarīgi no citām koordinātēm, tad grupas aksiomu pārbaude grupu tiešajai summai ir acīmredzama. Piemērs. Aplūkosim aditīvo grupu pēc moduļa 2: ( )222 ,0,,1,0 −+=Z un aditīvo grupu

pēc moduļa 3: ( )333 ,0,,2,1,0 −+=Z . Tad

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2,1,1,1,0,1,2,0,1,0,0,032 =⊕ ZZ .

Saskaitīšanas operācija ar pirmo koordināti izpildās pēc moduļa 2, bet ar otro koordināti – pēc moduļa 3. Aplūkosim attēlojumu

326: ZZZf ⊕→ , kur ( ) ( ) ( )( )3mod,2mod xxxf = .

Ar ( )kx mod apzīmējam skaitļa x atlikumu, dalot ar k. Uzdevumi. 1. Pierādīt, ka f ir grupu morfisms. 2. Pierādīt, ka f ir grupu izomorfisms; tātad 326 ZZZ ⊕≅ .

3. Doti savstarpēji prmskaitļi n un m. Pierādīt, ka mnnm ZZZ ⊕≅ .

2.2.4. Blakusklases, normālās apakšgrupas, faktorgrupa (klasiskā pieeja)

Dota grupa G un tās apakšgrupa H. Definīcija 2.12. Par apakšgrupas H kreiso blakusklasi grupā G sauc grupas G apakškopu

HhghgH ∈= / , kur g – patvaļīgs grupas G elements. Līdzīgi definē labo blakusklasi Hg. Lemma 2.1. gHHggHg =⇔∈ 11 . Teorēma 2.4. Dota grupa G un tās apakšgrupa H. Apakšgrupas H kreisās (labās) blakusklases veido grupas G sadalījumu: GggHSH ∈= / . Pierādījums. Skat. ([Holl], teorēma 1.5.1.) Atzīmēsim, ka grupas G sadalījumi kreisajās un labajās klasēs var nesakrist. Piemērs. Grupa ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3,1),3,2,1(,3,2,3,1,2,1,3 eS = (izmantots substitūciju pieraksts

ciklu reizinājumu formā). Apakšgrupa ( ) 2,1,eH = .

Grupas 3S sadalījums apakšgrupas H kreisajās blakusklasēs sastāv no trim divelementu

kopām: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,2,1,3,23,2,2,3,1,3,1)3,1(,)2,1(, =⋅=⋅=⋅ HHeHe .

Reizinot H ar kādu no citiem 3S elementiem, iegūsim kādu no jau aprakstītajām

blakusklasēm. Grupas 3S sadalījums apakšgrupas H labajās blakusklasēs arī sastāv no trim divelementu

kopām: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3,1,3,23,2,3,2,1,3,13,1,)2,1(, =⋅=⋅=⋅ HHeeH . Redzam, ka šie sadalījumi ir atšķirīgi. Definīcija 2.13. Grupas G apakšgrupu H sauc par grupas G normālo apakšgrupu (normālo dalītāju, invarianto apakšgrupu) un apzīmē GH < , ja ( )HggHGg =∈∀ .

19

Lemma 2.2. ( )HghgHhGgGH ∈⋅⋅∈∀∈∀⇔ −1< . Pierādījums. Pierādīt patstāvīgi vai skat. ( [Holl], lemma 2.1.1.). Piemēri. 1. Komutatīvā grupā jebkura apakšgrupa ir normālā apakšgrupa. 2. Jebkurā grupā triviālās apakšgrupas ir normālie dalītāji: GGGe << , . 3. Apakšgrupas H blakusklašu skaitu grupā G sauc par apakšgrupas indeksu un apzīmē ( )HG : ; ja ( ) 2: =HG , tad H ir normālā apakšgrupa.

4. Apakšgrupa ( ) 2,1,e nav normālā apakšgrupa grupā 3S .

Teorēma 2.5. Dots grupu morfisms HGf →: . Morfisma f kodols fKer ir grupas G normālais dalītājs.

Pierādījums. Tā kā fKer ir G apakšgrupa, tad atliek pārbaudīt tikai lemmas 2.2. nosacījumu:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) .Ker

Ker,

1

1111

fghg

egfgfgfegfgfhfgfghgf

fhGg

∈⋅⋅

⇒=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

⇒∈∈

−

−−−−

Teorēma pierādīta. Aplūkojot normālo apakšgrupu GH < , lietosim terminu "normālās apakšgrupas blakusklases", izlaižot vārdu "kreisās" vai "labās", jo šie jēdzieni sakrīt. Definīcija 2.14. Grupā G dota normālā apakšgrupa H. Teiksim, ka divi grupas G elementi x, y ir kongruenti pēc moduļa H un pierakstīsim ( )Hyx mod≡ vai yx H≡ , ja x un y atrodas vienā un tai pašā normālās apakšgrupas blakusklasē; faktiski tas nozīmē, ka yHxH = .

Piemērs. Aplūkosim veselo skaitļu aditīvo grupu ( )+,Z un tās apakšgrupu ( )+,nZ (n –

fiksēts naturāls skaitlis, nZ – skaitļa n daudzkārtņi). Tad jēdziens ( )nZyx mod≡ sakrīt ar parasto kongruences jēdzienu skaitļu teorijā. Uzdevums. Pārbaudiet, ka attiecība H≡ ir ekvivalence grupā G. Rezumējums. Grupā G dota normālā apakšgrupa H. Tai viennozīmīgi atbilst 1) grupas G sadalījums normālas apakšgrupas H blakusklasēs: HS ,

2) kongruence H≡ grupā G.

Sadalījums HS un kongruence H≡ savstarpēji viennozīmīgi atbilst viens otram. Definīcija 2.15. (Faktorgrupas klasiskā definīcija). Grupā G dota normālā apakšgrupa H. Tai atbilst kongruence H≡ . Aplūkosim faktorkopu

/ HggHGH

∈=≡ .

Definēsim tajā grupas operācijas:

( ) ( ) ( )

( ) .

,

,

11 HxxH

HeHe

HyxyHxH

def

def

H

def

−− =

==

⋅=⋅

Faktorkopa H

G≡ attiecībā pret ievestajām operācijām veido grupu, kuru sauc par grupas

G faktorgrupu pēc normālā dalītāja H un apzīmē ar HG .

20

Piezīme. Faktorkopas definīcija sevī satur apgalvojumus, kurus ir jāpierāda, lai definīcija būtu korekta. Definīcijas korektuma pierādījums. 1. Tā kā katru blakusklasi var pierakstīt dažādos veidos (izvēloties dažādus blakusklases pārstāvjus), tad vispirms jāpārbauda, ka reizināšanas un apgrieztā elementa definīcijas ir korektas – rezultāts nav atkarīgs no blakusklases pārstāvja izvēles. a) Reizināšana. Dots, ka HxHx 21 = un HyHy 21 = .

Jāpierāda, ka ( ) ( ) ( ) ( )HyHxHyHx 2211 ⋅=⋅ . Tiešām,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).222222222221

2121111111

HyHxHyxyxHyHxyHxyHx

HyxHyxHyxHyxHyHxdef

def

⋅=⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

b) Apgrieztā elementa operācijas korektumu pierādiet patstāvīgi. 2. Jāpārbauda visas trīs grupas aksiomas.

(G1) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) zHyHxHHzyxHzyxzHyHxHdefdef

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ,

(G2) ( ) ( ) ( ) xHHxexHeHxHedefdef

H =⋅=⋅=⋅ ,

(G2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H

defdefdef

eeHHxxHxxHxHxH ==⋅=⋅=⋅ −−− 111 . Definīcijas korektums pierādīts.

Uzdevums. Aprakstiet faktorgrupas ( ) ( )

( )⋅⋅+

+

∗

,,,,,,

RR

nZZ

eG

GG un izdomājiet

arī citus faktorgrupu piemērus.

2.2.5. Kongruences un faktorgrupas (universālā pieeja)

Kongruences, sadalījuma un faktorgrupas jēdzienu pamatā iepriekšējā paragrāfā bija normālās apakšgrupas jēdziens. Taču skaidrs, ka šo pieeju nevar realizēt patvaļīgās algebriskās struktūrās. Tāpēc šajā paragrāfā par pamatu izvēlēsimies kongruences jēdzienu – ekvivalenci grupā G, kas "saistīta" ar grupas operācijām. Ar katru kongruenci ir saistīts grupas sadalījums; sadalījuma klases var uzskatīt par faktorgrupas elementiem. Lai vienkāršotu kongruences jēdziena definīciju, šoreiz uzskatīsim, ka grupā ir tikai viena pamatoperācija – reizināšana, pārējās operācijas tiek ievestas kā atvasinātas operācijas. Definīcija 2.16. (Kongruence). Dota grupa ( )+,G . Ekvivalences tipa attiecību ≈ kopā G sauc par kongruenci grupā G, ja tai izpildās sekojoša īpašība: (GK1) ( )221121212121 ,,, yxyxyyxxGyyxx ⋅≈⋅⇒≈∧≈∈∀ . Piezīme. Vārdiski mēs šo aksiomu (GK1) formulējam tā: "Kongruence grupā G ir "saistīta" ar grupas bināro operāciju". Ja grupas signatūrai mēs pievienotu arī operācijas "e" un "-1", tad būtu jāpievieno arī aksioma (GK2) ( )11, −− ≈⇒≈∈∀ yxyxGyx . Speciāla aksioma nullārajai operācijai nav vajadzīga. Piemērs. Ja H ir normālā apakšgrupa grupā G, tad tai atbilstošajai kongruencei H≡ izpildās aksioma (GK1) (faktiski tas tika pierādīts klasiskās faktorgrupas definīcijas korektuma pierādījumā); tātad H≡ ir kongruence no universālās pieejas viedokļa. Tagad aplūkosim teorēmu, kas no vispārīgo algebrisko struktūru viedokļa ir pati svarīgākā šajā nodaļā. Kā mēs redzējām piemērā, tad katrai grupas normālajai apakšgrupai atbilst noteikta "universālā kongruence" H≡ . Bet vai visas grupas universālās kongruences ir šādā veidā iegūstamas? Ja tas tā nebūtu, un universālās kongruences jēdziens būtu plašāks, tad rastos arī plašāka grupu faktorizācijas iespēja, un vecā klasiskā pieeja faktiski būtu

21

jāaizmirst (tā būtu daļa no universālās faktorizācijas). Taču nākošā teorēma parādīs, ka klasiskā faktorizācija pēc būtības ir ekvivalenta ar universālo faktorizāciju un atšķiras tikai no pieraksta viedokļa. Universālais pieraksts, kura pamatā ir konguence grupā mums nepieciešams tikai tāpēc, lai pārnestu faktorgrupas jēdzienu uz citām algebriskām struktūrām.

Teorēma 2.6. Pieņemsim, ka grupā G dota kongruence ≈ . Tad grupā G eksistē viennozīmīgi noteikta normālā apakšgrupa H, kurai atbilstošā kongruence H≡ sakrīt ar doto kongruenci ≈ . Pierādījums. Aplūkosim šādu grupas G apakškopu: exGxH ≈∈= / . 1. H ir grupas G apakšgrupa. Pārbaudīsim apakšgrupas aksiomas: a) ( ) ( ) ( )HyxeeeyxeyexHyx ∈⋅⇒=⋅≈⋅⇒∧∧≈⇒∈ ),( , b) He∈ jo ee ≈ , c) ( ) ( ) ( ) ( )HxeexexHx ∈⇒=≈⇒≈⇒∈ −−− 111 . 2. H ir grupas G normālā apakšgrupa. No lemmas 2.2. seko, ka jāpārbauda apgalvojums

( )HghgHhGg ∈⋅⋅∈∀∈∀ −1 . Pārbaudīsim to:

( ) ( ) ( )HghgegggegghgehHh ∈⋅⋅⇒=⋅=⋅⋅≈⋅⋅⇒≈⇒∈ −−−− 1111 .

3. Pierādīsim, ka ekvivalences H≡ un ≈ ir vienādas. Lai to izdarītu, jāpierāda

apgalvojums: ( ) ( )( )yxyxGyx H ≈⇔≡∈∀ , . Pierādīsim to.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .yxyyeyhx

yhxehhyhxHhyHxHyx H

≈⇒=≈≈

⇒=∧≈∃⇒=∈∃⇒=⇔≡

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

1111

yxyHHyHhyHxxHHhhyxHh

hyxHhHyxexxyxyx

H≡⇒====∈∃⇒=∈∃

⇒=⋅∈∃⇒∈⋅⇒=⋅≈⋅⇒≈ −−−−

Teorēma pierādīta. Tagad varam pārformulēt faktorgrupas definīciju "universālā valodā". Definīcija 2.17. (Faktorgrupa, universālā pieeja). Dota grupa ( )1,,, −⋅ eG un kongruence ≈ grupā G. Aplūkosim faktorkopu

IiaIiAGii ∈=∈=≈ // .

( iA – sadalījuma klases – faktorkopas elementi; ia – pilnā pārstāvju sistēma; katra

klase pierakstīta vienu reizi.

Kopā ≈G definētas operācijas:

a) yxyxdef

⋅=⋅ ,

b) eedef

G =≈

,

c) ( ) 11 −−= xx

def

.

Kopa ≈G ar ievestajām operācijām veido grupu, kuru sauc par grupas G faktorgrupu un

apzīmē ( )1,,, −⋅≈ eG .

22

Definīcijas korektuma pierādījums. 1. Operācijas definētas korekti; t.i., rezultāts nav atkarīgs no ekvivalences klases pārstāvja izvēles:

a) ( )

⋅=⋅=⋅=⋅⇒≈∧≈ 222211112121 yxyxyxyxyyxx

defdef

,

c) ( ) ( ) ( )

===⇒≈

−−−− 1111yyxxyx

defdef

.

2. Ievestajām operācijām izpildās visas grupas aksiomas.

(G1) ( ) ( ) ( ) ( ) zyxzyxzyxzyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ,

(G2) xexexxxexe =⋅=⋅=⋅=⋅ , ,

(G3) exxxxexxxx =⋅=⋅=⋅=⋅ −−−− 1111 , .

2.3. Algebriskās konstrukcijas gredzenos

Īsumā aplūkosim, kā veidojas algebriskās konstrukcijas gredzenos – struktūrās ar divām binārajām operācijām. Šajā paragrāfā tiks dotas tikai definīcijas, teorēmu formulējumi, paskaidrojumi un daži piemēri; ar teorēmu pierādījumiem var iepazīties, piem., [Kostr.]. Gredzens ir algebriska struktūra (algebra, vārda ''algebra" plašajā nozīmē). To veido:

1) Kopa, kuru apzīmēsim ar K.

2) Gredzena signatūras Ω operāciju kopa KΩ .

Gredzena un arī jebkuras algebras signatūra Ω ir algebras pamatoperāciju apraksts: tiek uzskaitīti visu operāciju nosaukumi (vārdi, apzīmējumi) un operāciju aritātes. Formāli to var aprakstīt šādi:

( ) ( ) ( ) nn aopaopaop ,,,,,, 2211 K=Ω .

Operācijas vārds – iop ir jebkura simbolu virkne.

Operācijas aritāte – ia ir vesels nenegatīvs skaitlis.

Gredzena signatūra: ( ) ( ) ( ) ( ) 2,,1,,0,0,2, ⋅−+=Ω . Gredzena operāciju kopa: KKKKK ⋅−+=Ω ,0,,

KKKKKKKKK KKKK →×⋅∈→−→×+ :,0,:,: . Piezīme. Aplūkojot gredzenu ar vieninieku (unitāru gredzenu), gredzena signātūrai pievienojas vēl viena nullāra operācija.

3) Gredzena aksiomas ir predikātu loģikas formulas, kurās par bāzes termiem tiek izmantotas vienādības gf = , kur f un g ir gredzena signatūrā uzrakstāmas formulas. Gredzena aksiomas aprakstītas definīcijā 1.7. Definīcija 2.18. Par gredzena K apakšgredzenu sauc gredzena K apakškopu L, kura ir slēgta attiecībā pret visām gredzena signatūras operācijām ( apzīmējam KL < ): 1) ( )IyxLyxKyx ∈+⇒∈∈∀ ,, ,

2) LK ∈0 ,

3) ( )( )LxLxKx ∈−⇒∈∈∀ ,

4) ( )LyxLyxKyx ∈⋅⇒∈∈∀ ,, .

23

Piezīme. Aplūkojot unitāro gredzenu klasi, būtu jāpievieno arī aksioma, ka apakšgredzens L satur gredzena K vieninieku. Līdz ar to, izvēloties algebru klasi, kuru mēs aplūkojam (gredzenus vai unitārus gredzenus), apakšgredzena jēdziens ir jāinterpretē dažādi. Piemērs. Aplūkosim veselo skaitļu gredzenu Z un tā apakškopu 2Z. Gredzenu klases signatūrā 2Z ir gredzena Z apakšgredzens, bet unitāro gredzenu klases signatūrā 2Z nav gredzena Z apakšgredzens.

Definīcija 2.19. Doti gredzeni ( )KK Ω, un ( )LL Ω, (Ω -- gredzenu klases signatūra). Attēlojumu LKf →: sauc par gredzenu morfismu, ja f ir saskaņots ar visām gredzena signatūras operācijām: 1) ( ) ( ) ( )yfxfyxf +=+ ,

2) ( ) 00 =f ,

3) ( ) ( )xfxf −=− ,

4) ( ) ( ) ( )yfxfyxf ⋅=⋅ . Unitāro gredzenu klases signatūrā papildus jāpievieno aksioma 5) ( ) 11 =f . Lai nerastos pārpratumi, morfismus unitāro gredzenu klasē sauc par unitāriem morfismiem. Piemērs. Aplūkosim reālo skaitļu gredzenu ( )RR Ω, un otrās kārtas kvadrātisko matricu

gredzenu ( ) ( )( )RMRM2

,2 Ω gredzenu klases signatūrā Ω. Definēsim attēlojumu

( )RMRf 2: → ar formulu ( )

=

00

0xxf .

Viegli pārbaudīt, ka attēlojums ir saistīts ar gredzena signatūras operācijām; tātad f ir gredzenu morfisms.

Bet šis morfisms nav unitārs morfisms, jo ( )

=

00

011f nav vienības elements matricu

gredzenā. Taču, ja aplūkosim gredzenu fIm , tad ( )1f būs vienības elements šajā matricu gredzena apakšgredzenā fIm . Analoģiski grupām, arī gredzenu klasē tiek aplūkoti dažādi morfismu veidi; tos neanalizēsim, jo šīs definīcijas tiks vispārīgā formā ievestas patvaļīgās algebru klasēs. Gredzenu tiešo summu definē kā gredzenu kopu Dekarta reizinājumu, operācijas izpildot neatkarīgi katrai kortēža koordinātei atsevišķi. Tagad aplūkosim pašu būtiskāko jēdzienu gredzenu teorijā – ideālu. Šis jēdziens ir pamatā gredzena kongruences un faktorgredzena definīcijām klasiskajā variantā; faktiski ideāla loma gredzenu klasē ir analoģiska normālās apakšgrupas lomai grupu klasē. Definīcija 2.20. (Ideāls). Gredzena K apakškopu I sauc par gredzena K ideālu un apzīmē

KI < , ja tai izpildās sekojošas īpašības: (I1) ( )IyxIyxKyx ∈+⇒∈∈∀ ,, ,

(I2) IK ∈0 ,

(I3) ( )( )IxIxKx ∈−⇒∈∈∀ ,

(I4) ( )IxyIyxIxKyx ∈⋅∧∈⋅⇒∈∈∀ , . Piezīme. Uzmanīgi aplūkojiet aksiomu (I4). Tā ir vienīgā atšķirība ideāla un apakšgredzena definīcijās ( lai reizinājums būtu ideāla elements, pietiek, ka viens no reizinātājiem pieder ideālam!). Definīcija 2.21. Par gredzenu morfisma LKf →: kodolu sauc gredzena K apakškopu

( ) 0/Ker =∈= xfKxf .

24

Teorēma 2.7. Gredzenu morfisma LKf →: kodols ir gredzena K ideāls. Pierādījums. Jāpārbauda, ka kopai fKer izpildās visas ideāla definīcijā norādītās īpašības:

(I1) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .000

0,0Ker,

Iyxyfxfyxf

yfxffyx

∈+⇒=+=+=+

⇒==⇒∈

Līdzīgi pārbauda pārējās īpašības. Definīcija 2.22. Dots ideāls I gredzenā K. Saka, ka divi elementi Kyx ∈, ir kongruenti

pēc moduļa I un pieraksta yx I≡ vai )(mod Iyx ≡ , ja ( ) Iyx ∈− . Definīcija 2.23. (Kongruence, universālā pieeja). Ekvivalenci ≈ gredzenā K sauc par kongruenci, ja tā ir "saistīta" ar visām gredzena signatūras operācijām, kuru aritāte nav 0: (1) ( ) ( )22112121 yxyxyyxx +≈+⇒≈∧≈ ,

(3) ( ) ( ) ( )( )yxyx −≈−⇒≈ ,

(4) ( ) ( )22112121 yxyxyyxx ⋅≈⋅⇒≈∧≈ . Teorēma 2.8. 1. Attiecība I≡ ir ekvivalence gredzenā K.

2. Ekvivalencei I≡ atbilstošais sadalījums IS sastāv no ideāla I, blakusklasēm:

KxxKxIxS I ∈=∈+= // .

3. Attiecība I≡ ir kongruence gredzenā K.

4. Jebkurai kongruencei ≈ gredzenā K atbilst viennozīmīgi noteikts gredzena K ideāls I, kuram atbilstošā kongruence I≡ sakrīt ar kongruenci ≈. Pierādījums. 1. Pierada ar formālu ekvivalences trīs aksiomu pārbaudi.

2. Pēc definīcijas: ekvivalencei atbilstošā sadalījuma klase x sastāv no visiem gredzena K elementiem, kas ir ekvivalenti ar x; tātad

( )

( ) ( ) .//

//

IxixyIiKyixyIiKy

IxyKyxyKyx I

+=+=∈∃∈==−∈∃∈

=∈−∈=≡∈=

Prasītais pierādīts. 3. Pierāda, pārbaudot, ka ekvivalencei izpildās kongruences definīcijā (def. 2.23.) norādītās īpašības. Pārbaudīsim sarežģītāko no šīm īpašībām:

(4)

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ).,

,

112211221122

2111211121112221

212112212121

yxyxIyxyxiyxyxIi

iiyiixyxiyixyxIii

iyyixxIiiyyxx

I

I

⋅≡⋅⇒∈⋅−⋅⇒+⋅=⋅∈∃

⇒⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅∈∃

⇒+=∧+=∈∃⇒≡∧≡

Pierādījumā elementu i izvēlējāmies vienādu ar ( )211121 iiyiix ⋅+⋅+⋅ ; tas, ka i pieder ideālam I seko no ideāla definīcijas. 4. Dota kongruence ≈. Aplūkojam gredzena K apakškopu 0/ ≈∈= xKxI .

Jāpārbauda, ka I ir ideāls un tam atbilstošā kongruence I≡ sakrīt ar kongruenci ≈. Pierādījums analoģisks teorēmas 2.6. pierādījumam. Piezīme. Šīs teorēmas būtība ir sekojoša: "universālā kongruence" un uz tās bāzes veidotā "universālā faktorizācija" gredzenu gadījumā sakrīt ar tradicionālo gredzena faktorizāciju pēc ideāla. Faktorizācija ir svarīgākais un arī konstruktīvi sarežģītākais no šajā lekcijā aplūkotajiem pamatjēdzieniem. Redzam, ka gredzenu gadījumā visa faktorizēšanas teorija var balstīties uz ideāla jēdziena, kas ir daudz vienkāršāks un dziļi izpētīts. Protams, pārejot uz vispārīgām algebriskām struktūrām, par pamatu būs jāizvēlas "universālā kongruence". Bet ar to ideāla loma nebeidzās. Starp visām algebrisko struktūru klasēm (algebru klasēm) var izdalīt algebru klašu grupu, kurās iespējams definēt jēdziena "ideāls" vispārinājumu.

25

Tas iespējams gadījumā, ja algebru klases signatūra satur operācijas ( )−+ ,0, , attiecībā pret kurām algebra veido Ābela grupu. Lekciju beigsim ar faktorgredzena definīciju. Definīcija 2.24. (Faktorgredzens). Gredzenā K dota kongruence ≈ . Aplūkosim faktorkopu

IiaIiAKii ∈=∈=≈ // .

( iA – sadalījuma klases – faktorkopas elementi; ia – pilnā pārstāvju sistēma; katra

klase pierakstīta vienu reizi).

Kopā ≈K definētas operācijas:

a) yxyxdef

+=+

b) 00def

K = ,

c) xxdef

−=− ,

d) yxyxdef

⋅=⋅ .

Kopa ≈K ar ievestajām operācijām veido gredzenu, kuru sauc par gredzena K

faktorgedzenu un apzīmē

Ω≈ ≈

KK , .

Faktorgredzena definīcijas korektumu pārbauda analoģiski faktorgrupas definīcijas korektuma pārbaudei. Uzdevums. Dots gredzens K un tā ideāls I. Aprakstīt kongruenci I≡ , sadalījumu IS un

faktorgredzenu IK sekojošos gadījumos:

1. K<0 , 2. KK < , 3. ZZ <3)3( = ,

4. ( ) [ ]xRx <12 + ,

[ ]xR – polinomu gredzens ar reāliem koeficientiem no viena mainīgā,

( )12 +x – ideāls , kas sastāv no visiem polinomiem ( )xf , kuri dalās ar ( )12 +x . (Tā

saucamais galvenais ideāls, kura veidotājelements ir polinoms 12 +x ).

26

3. lekcija

ΩΩΩΩ-algebras, algebru varietātes.

Balstoties uz otrajā lekcijā aplūkotajām konstrukcijām grupās un gredzenos, tiek ievesti šo konstrukciju vispārinājumi patvaļīgās Ω-algebrās – algebrās ar fiksētu signatūru. Tiek aplūkotas speciālas algebru klases: varietātes un kvazivarietātes.

3.1. ΩΩΩΩ-algebras (fiksētas signatūras algebras)

Iepriekšējo lekciju piemēros mēs faktiski jau bijām nonākuši pie algebriskās struktūras (algebras) un algebru klases definīcijām. Faktiski algebru nosaka kopa (mēs pētīsim tikai vienšķiru algebras; nav būtisku atšķirību starp vienšķiru un vairākšķiru algebrām, taču tas ļoti sarežģī definīciju un teorēmu pierakstu un to saturs kļūst grūtāk izprotams), operācijas un aksiomas. Sāksim ar pašu vispārīgāko algebru klasi, klasi, kuru nosaka tikai signatūra – operāciju saraksts un netiek formulētas nekādas operāciju īpašības – aksiomas. Definīcija 3.1. Par signatūru sauc pāri ( )aa ,Ω=Ω , kur

Ω ir patvaļīga kopa (operāciju nosaukumu kopa), 0: Na →Ω -- attēlojums, kas norāda katras operācijas aritāti.

Piezīme. Turpmāk aΩ vietā rakstīsim vienkārši Ω.

Definīcija 3.2. Par dotās signatūras Ω algebru jeb vienkārši par ΩΩΩΩ-algebru sauc pāri ( )AAA Ω=Ω , , kur

A – patvaļīga kopa – algebras elementu kopa, Ω∈=Ω ωω /AA , ( ) AAa

A →ωω : – algebras operāciju kopa.

Piezīme. Katram signatūras Ω operācijas nosaukumam algebrā ( )AA Ω, ir definēta atbilstošās aritātes algebriska operācija. Visas iepriekšējās lekcijās aplūkotās (vienšķiru) algebras ir Ω-algebru piemēri. Tomēr atzīmēsim dažas nianses. Ja signatūra satur tikai galīgu operāciju nosaukumu skaitu (un, protams, mūs pamatā interesē tieši šādas algebras), tad signatūru var aprakstīt uzskaitot visas operācijas un noradot to aritātes. Aplūkosim signatūras ( ) 2,1 ⋅=Ω , ( ) ( ) 0,,2,2 e⋅=Ω , ( ) ( ) ( ) 1,,0,,2, 1

3−⋅=Ω e .

Tad pusgrupa ir 1Ω -algebra, bet nav 2Ω -algebra un 3Ω -algebra;

monoīds ir 1Ω -algebra un 2Ω -algebra, bet nav 3Ω -algebra;

grupa ir gan 1Ω -algebra, gan 2Ω -algebra, gan 3Ω -algebra.

Konkrētu algebru var interpretēt kā Ω-algebru dažādos veidos. Piemēram, gredzenu K var interpretēt kā 1Ω -algebru, uzskatot par pamatoperāciju (vienīgo operāciju, kas jādefinē šajā signatūrā) gan reizināšanu, gan saskaitīšanu; var izvēlēties arī atvasinātu operāciju: piemēram, definējot ( ) ( )yxyx −+=− un aplūkojot pāri ( )−,K , iegūstam vēl vienu K

interpretāciju kā 1Ω -algebru.

27

3.1.1. ΩΩΩΩ-algebru apakšalgebru struktūra

Definīcija 3.3. Dota signatūra Ω. Saka, ka Ω-algebra ΩB ir Ω-algebras ΩA apakšalgebra

un apzīmē ΩΩ < AB , ja (1) B ir A apakškopa, (2) ( )BA B ωωω =Ω∈∀ |)( .

Otrā īpašība norāda, ka operācijas apakšagebrā ΩB ir Ω-algebras ΩA operācijas; tikai sašaurināts to definīcijas apgabals. Visu Ω-algebras ΩA apakšalgebru kopu apzīmēsim ar ( )ΩASub . Šī kopa veido interesantu matemātisku struktūru, ar kuru sīkāk var iepazīties ([Kon], 2.4, 2.5). Atzīmēsim tikai dažas svarīgākās ( )ΩASub īpašības.

Definīcija 3.4. Dota sakārtota kopa ( )p,A un tās apakškopa X (p – nestingrs sakārtojums). Kopas A elementu m sauc par apakškopas X precīzu apakšējo robežu (infīmu) un apzīmē

( )Xinf , ja ( )myXyAy pp ⇒∈∀ ; Xy p nozīmē, ka ( )xyXx p∈∀ .

Līdzīgi definē arī precīzu augšējo robežu ( )Xsup . Ne visiem sakārtojumiem un ne visām apakškopām eksistē infīmi un suprēmi. Taču apakšalgebru sakārtojumā tie eksistē. Nākošajā teorēmā atzīmētas dažas no apakšalgebru struktūras svarīgākajām īpašībām. Teorēma 3.1. Dota algebra ΩA .

1. ( )( )<Ω ,Sub A ir sakārtota kopa.

2. ( )ΩASub ir slēgta attiecībā pret šķēluma operāciju:

a) )(Sub)(Sub, ΩΩ ∈∩⇒∈ AYXAYX ,

b) ( )( )( ) ( )

∈⇒∈∈∀

∈ΩΩ I

Iiii XXIi ASubASub .

3. Jebkurai kopas ( )ΩASub apakškopai IiXM i ∈= / eksistē precīza apakšējā robeža,

un to atrod šādi: ( ) I

IiiXM

∈

=inf .

4. Jebkurai kopas ( )ΩASub apakškopai ( ) IiXM i ∈∈= Ω /ASub eksistē precīza

augšējā robeža, un to atrod šādi: apzīmēsim ( ) YXIiYU i <∈∀∈= Ω /ASub , tad

( ) ( )UM infsup = .

5. Kopā ( )ΩASub eksistē maksimums – algebra ΩA .

6. Kopā ( )ΩASub eksistē minimums. Ar ( )0AΩ apzīmēsim algebras ΩA nullāro operāciju

kopu – algebras ΩA konstanšu kopu. Tad visu algebras ΩA tādu apakšalgebru šķēlums,

kuras satur visas ΩA konstantes, ir ( )ΩASub minimums. Pierādījums. 1. a) Refleksivitāte ir acīmredzama. b) Simetriskums. Aplūkosim algebras ΩA un ΩB ; tad

( ) ( ) ( )BAABBAABBA =⇒⊂∧⊂⇒<∧< ΩΩΩΩ . Arī operācijas šajās kopās ir vienādas: ( )AAAB AB ωωωωω ===Ω∈∀ .

Tātad ΩΩ = BA .

c) Transitivitāte. ( ) ( ) ( )CACBBACBBA ⊂⇒⊂∧⊂⇒<∧< ΩΩΩΩ .

28

Operācijas ir saskaņotas, jo ( )ABCC AABA ωωωωω ===Ω∈∀ .

2. a) Aplūkosim ( )ΩΩΩ ∈ ASub,CB . Acīmredzami ( ) ACB ⊂∩ . Definēsim kopā ( )CB∩

Ω-algebras struktūru: ( ) ( )( )CBACB ∩=Ω∈∀ ∩ ωωω . Jāpārbauda, ka operācija definēta

korekti, t.i., ka ( )( ) ( )CBCB ∩⊂∩ωIm . Tiešām

( )( ) ( ) ( )( ) ( )CBCBCB ∩⊂∩⊂∩ ωωω ImImIm .

b) punkta pierādījums ir analoģisks a) punkta pierādījumam un atšķiras tikai ar garāku formālo pierakstu. 3. Aplūkosim kopas ( )ΩASub apakškopu ( ) IiXM i ∈∈= Ω /ASub . No 2.b) seko, ka

IIi

iXX∈

Ω = ir algebras ΩA apakšalgebra. Pieņemsim, ka ΩY ir kopas M apakšējā robeža,

t.i. ( )ΩΩΩ <∈∀ ZYMZ . Jāpierāda, ka ΩΩ < XY . Tiešām

( ) ( )

=⊂⇒⊂∈∀⇒<∈∀

∈ΩΩΩΩ

Ω

XZYZYMZZYMZMZ

I .

Algebrās ΩX un ΩY operācijas ir saskaņotas, jo faktiski tās ir algebras ΩA operāciju

sašaurinājumi. Tātad ΩΩ < XY . 4. Pierādījums līdzīgs iepriekšējā punkta pierādījumam. 5. Acīmredzams apgalvojums. 6. Apzīmēsim

( )I

ΩΩ∈ΩΩ =

AX

XmASub

. Acīmredzami ΩmA ir kopas ( )ΩASub minimums, jo

( ) ( )ΩΩΩΩ <∈∀ XmAX ASub . Teorēma pierādīta. Sekas. No teorēmas 1., 3. un 4. punktiem seko, ka ( )( )<Ω ,Sub A ir sakārtota kopa, kurā

jebkuriem diviem elementiem )(Sub, ΩΩΩ ∈ AYX eksistē ΩΩ YX ,inf un ΩΩ YX ,sup . Šāda veida sakārtotas kopas sauc par struktūrām (atkal redzam, ka kārtējais matemātiskais termins – "struktūra" tiek izmantots kā šaurā tā plašā nozīmē).

3.1.2. ΩΩΩΩ-algebru morfismi

Atzīmēsim, ka universālajā algebrā ērti lietot pierakstu, kurā attēlojuma vai operācijas simbols rakstīts aiz mainīgo saraksta. Definīcija 3.5. Dotas Ω-algebras ΩA un ΩB , attēlojums BAf →: un ( )nΩ∈ω . Saka, ka

attēlojums f saskaņots (saistīts) ar operāciju ω, ja

( ) ( )( ) ( )( )BnAnn fafafafaaaAaaa ωω KKK 212121 ,,, =∈∀ .

Attēlojumu f sauc par ΩΩΩΩ-algebru morfismu, ja f ir saskaņots ar visām operācijām Ω∈ω .

Tāpat kā grupās tiek definēti speciāla veida morfismi: epimorfismi, monomorfismi, izomorfismi, endomorfismi un automorfismi (skat. 2. lekc.). Morfisma BAf →: kodols ir attiecība f≡ kopā A, kuru definē šādi:

yfxfyx f =⇔≡ .

Viegli pārbaudīt, ka f≡ ir ekvivalence.

Ja eksistē monomorfisms BAf →: , tad saka, ka algebru ΩA var ievietot algebrā ΩB .

Ja eksistē epimorfisms BAf →: , tad saka, ka algebra ΩB ir algebras ΩA morfisks attēls.

Ω-algebras ΩA endomorfismu kopu apzīmē ar ( )ΩAEnd ;

29

Ω-algebras ΩA automorfismu kopu apzīmē ar ( )ΩAAut .

Ja BAf →: un CBg →: ir Ω-algebru morfismi, tad attēlojumu kompozīcija

(reizinājums) CAgf →:o , kuru definē ar formulu ( ) ( )gxfgfx =o arī ir Ω-algebru morfisms.

Teorēma 3.2. Dota Ω-algebra ΩA .

1. ( )( )o,End ΩA ir monoīds.

2. ( )( )o,Aut ΩA ir grupa. Pierādījums ir formāla monoīda un grupas aksiomu pārbaude. Sīkāk ar šo struktūru uzbūvi var iepazīties [Plotk].

3.1.3. ΩΩΩΩ-algebru tiešais reizinājums

Algebrā pastāv divi jēdzieni: tiešā summa un tiešais reizinājums. Ja algebru skaits ir galīgs, tad šie jēdzieni sakrīt; taču ja algebru skaits ir bezgalīgs, tad šie jēdzieni ir būtiski atšķirīgi. Šajā paragrāfā aplūkosim tikai algebru tiešo reizinājumu, ko var uzskatīt par Dekarta reizinājuma tiešu vispārinājumu. Fiksēsim signatūru Ω un visas algebras

Definīcija 3.6. Aplūkosim Ω-algebru saimi ( ) IiiA ∈ . Ar P apzīmēsim šo kopu Dekarta

reizinājumu ar projekcijām ii AP →:ε . Jebkuru P elementu a viennozīmīgi nosaka tā

projekcijas iaε un jebkura elementu saime ( ) iAia ∈ viennozīmīgi nosaka elementu Pa∈ ,

kuram ( )( )iaaIi i =∈∀ ε . (Protams, ja I ir galīga kopa, tad varam lietot arī klasisko

pierakstu: ( ) ( ) ( )( )maaaa ,,2,1 K= ). Tātad, ja Paaa n ∈,,, 21 K , tad katrai signatūras

operācijai ( )nΩ∈ω varam definēt ωnaaa K21 , norādot operācijas rezultāta katras

projekcijas (koordinātes) vērtību: ( ) ( )( ) ( ) iiniiin aaaaaa ωεεεεω KK 2121 = . (*)

Iegūto Ω-algebru ( )PP Ω, sauc par algebru ( ) IiiA ∈ tiešo reizinājumu un apzīmē ar ∏∈Ii

iA .

Vienādība (*) parāda, ka projekcijas ii AP →:ε ir Ω-algebru morfismi.

3.1.4. Kongruence ΩΩΩΩ-algebrā

Definīcija 3.7. Ekvivalences tipa attiecību ≈ kopā A sauc par kongruenci ΩΩΩΩ-algebrā ΩA ,

ja tā ir saistīta ar visām operācijām ( )nΩ∈ω , t.i., ja

( ) ( ) ( )( )ωωω nnkk bbbaaabank KKK 2121,,2,1 ≈⇒≈∈∀Ω∈∀ .

Kongruencei ≈ atbilstošo sadalījumu apzīmēsim ar IiaIiAS ii ∈=∈=≈ // .

Teorēma 3.3. Ω-algebru morfisma BAf →: kodols ir kongruence Ω-algebrā ΩA .

Pierādījums. Jāpārbauda, ka ekvivalence fKer ir saistīta ar visām signatūras Ω operācijām.

Tiešām, ja ( )nΩ∈ω , tad

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) .21212121

2121

ωωωω

ωω

nfnnn

nn

kkkfk

bbbaaafbbbfaaa

fbfbfbfafafa

fbfakbak

KKKK

KK

≡⇒=

⇒=

⇒=∀⇒≡∀

Teorēma pierādīta.

30

Algebras ΩA visu kongruenču kopu apzīmēsim ar ( )ΩAKon . Šajā kopā var ievest attiecību

p . Teiksim, ka kongruence 1≈ ir kongruences 2≈ apakškongruence un pierakstīsim

21 ≈≈ p , ja ( ) ( )( )babaAyx 21, ≈⇒≈∈∀ . Tā kā kongruence ir attiecība kopā A, tad tām ir definēta šķēluma operācija. Nākošajā teorēmā formulētas galvenās kongruenču kopas īpašības. Teorēma 3.4. Aplūkosim algebras ΩA visu kongruenču kopu ar attiecību p :

( )( )p,Kon Ω= AK A .

1. AK ir sakārtota kopa.

2. AK ir slēgta attiecībā pret šķēluma operāciju:

a) AA KYXKYX ∈∩⇒∈, ,

b) ( )( )

∈⇒∈∈∀

∈I

IiAiAi KXKXIi .

3. Jebkurai kopas AK apakškopai IiXM i ∈= / eksistē precīza apakšējā robeža, un to

atrod šādi: ( ) I

IiiXM

∈

=inf .

4. Jebkurai kopas AK apakškopai IiKXM Ai ∈∈= / eksistē precīza augšējā robeža,

un to atrod šādi: apzīmēsim YXIiKYU iA p∈∀∈= / , tad

( ) ( )UM infsup = .

5. Kopā AK eksistē maksimums – vienības kongruence e≈ ; šajā kongruencē visi ΩA

elementi tiek uzskatīti par kongruentiem. 6. Kopā AK eksistē minimums – nulles kongruence 0≈ ( faktiski tā ir vienādība algebrā

ΩA ). Teorēmas pierādījums ir analoģisks teorēmas 3.1. pierādījumam.

3.1.5. ΩΩΩΩ-algebras faktoralgebra

Definīcija 3.8. Dota Ω-algebra ΩA un tās kongruence ≈ . Aplūkosim faktorkopu

IiaIiAAii ∈=∈=≈ // .

Katrai ( )nΩ∈ω kopā ≈A definēsim n-āru operāciju

≈Aω :

ωω nAn xxxxxx KK 2121 =≈

.

Ω-algebru

Ω≈=≈ ≈

ΩA

AA , sauc par Ω-algebras ΩA faktoralgebru pēc kongruences

≈. Jāpārbauda definīcijas korektums; tas nozīmē, ka jāpārbauda, ka operācijas rezultāts nav atkarīgs no sadalījuma klases pārstāvja izvēles:

( )( ) ( )( ) ( )⇒≈⇒≈∀⇒=∀ AnAniiii yyyxxxyxiyxi ωω KK 2121

≈≈

=== AnnnAn yyyyyyxxxxxx ωωωω KKKK 21212121 .

Korektums pierādīts.

Uzdevums. Aprakstiet faktoralgebras e

A≈

Ω un 0≈

ΩA .

31

Dota Ω-algebra ΩA un tās kongruence ≈. Aplūkosim attēlojumu ≈→ AAkan : , kur

( ) aakan = . No faktoralgebras definīcijas seko, ka kan ir morfisms, turklāt tas ir epimorfisms. Šo morfismu sauc par kanonisko morfismu no algebras uz faktoralgebru. Lai nesarežģītu pierakstu turpmāk algebru ΩA bieži apzīmēsim vienkārši ar A.

Teorēma 3.5. ( Teorēma par morfismiem)

Dots Ω-algebru morfisms BAf →: . Tad eksistē vienīgais morfisms ( ) BfA →Ker:ϕ ,

kuram izpildās vienādība fkan =ϕo ; šis morfisms ir monomorfisms, un, tātad,

( ) ( )ffA ImKer ≅ .

Pierādījums. Lai labāk saprastu pierādījumu, attēlosim visus aplūkojamos morfismus "komutatīvas diagrammas" veidā.

fA B

kanϕ

A / Ker(f)

No dotā seko, ka ( ) ( ) afaafkanaafkana =⇒=⇒= ϕϕϕo . Redzam, ka attēlojums ϕ ir

viennozīmīgi noteikts ar formulu ( ) ( )afafAa =∈∀ ϕKer . Skaidrs, ka šādam attēlojumam

izpildās prasītā vienādība. Jāpārbauda sekojoši punkti: 1. Attēlojums nav atkarīgs no sadalījuma klases pārstāvja izvēles. Tiešām,

( ) ( )ϕϕ bbfafaba ===⇒= . 2. Attēlojums ir morfisms (saskaņots ar visām algebras operācijām):

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )ϕωϕωω

ωωϕϕϕ

nnn

nn

aaaaaafaaa

fafafaaaa

KKK

KK

212121

2121

==

==

3. Attēlojums ir monomorfisms:

( ) ( ) ( ) ( )bababfafba f =⇒≡⇒=⇒= ϕϕ .

Teorēma pierādīta. Šī teorēma pēc būtības apgalvo, ka dotās algebras morfisko attēlu kopa un algebras faktoralgebru kopas ir vienādas. Rezumējums. Visas otrajā lekcijā aplūkotās konstrukcijas tagad ir definētas patvaļīgām Ω-algebrām. Mēs redzam, ka ir trīs būtiski atšķirīgas metodes, kā no dotām Ω-algebrām izveidot jaunas Ω-algebras: 1) aplūkot Ω-algebras apakšalgebras, 2) aplūkot Ω-algebru saimes tiešo reizinājumu , 3) aplūkot Ω-algebras morfiskos attēlus jeb faktoralgebras.

32

3.2. ΩΩΩΩ-algebru klases

Skaidrs, ka aplūkojot visu Ω-algebru kopu, kurā operācijām nepiemīt nekādas īpašības – aksiomas, mēs nevarēsim iegūt nopietnus algebriskus rezultātus; tāpēc mēs tagad pievērsīsimies Ω-algebru kopas apakškopām, sauksim tās par klasēm. Ja kāda no aplūkojamām klasēm satur algebru A, tad uzskatīsim, ka tā satur arī visas algebrai A izomorfās algebras un būtībā uzskatīsim izomorfās algebras par vienādām. Īpašu interesi izraisa algebru klases, kuras ir slēgtas attiecībā pret iepriekšējā iedaļā aplūkotajām konstrukcijām. Visu Ω-algebru klasi apzīmēsim ar ( )Ω . Definīcija 3.9. 1. Saka, ka algebru klase ( )ΩK ir S-slēgta ( slēgta attiecībā pret apakšalgebrām), ja

( )( ) ( )( )Ω∈⇒∧Ω∈ KBABKA < .

2. Saka, ka algebru klase ( )ΩK ir P-slēgta ( slēgta attiecībā pret tiešajiem reizinājumiem), ja

( )( )( ) ( )

Ω∈⇒Ω∈∈∀ ∏

∈

KAKAIiIi

ii .

3. Saka, ka algebru klase ( )ΩK ir Q-slēgta ( slēgta attiecībā pret faktoralgebrām), ja

( ) ( )( )( ) ( )( )Ω∈≈⇒≈∈∧Ω∈ KAAKA Kon .

4. Algebru klases, kas ir S-slēgtas, P-slēgtas un Q-slēgtas sauc par algebru varietātēm.

5. Algebru klases, kas ir S-slēgtas un P-slēgtas sauc par algebru kvazivarietātēm.

Otrajā lekcijā faktiski bija pierādīts, ka tādas algebru klases, kā pusgrupas, monoīdi, grupas, gredzeni ir algebru varietātes. Lauku klase nav algebru varietāte, jo lauku tiešais reizinājums nav lauks. Parasti tiek aplūkotas algebru klases, kurās izpildās noteiktas aksiomas. Aprakstīsim, ko mēs saprotam ar vārdu "aksioma" Ω-algebru klasē. Precīzas šo jēdzienu definīcijas tiek aplūkotas predikātu loģikas un algebriskās loģikas kursos. Dotās signatūras Ω terms. Fiksējam mainīgo kopu X; parasti izvēlas sanumurējamu kopu

KK ,,,, 21 mxxxX = . Definēsim kopu ( )XT ,Ω induktīvi;

1. Dotās signatūras konstantes un mainīgie Xx∈ ir termi (bāzes termi). 2. Ja nttt ,,, 21 K ir termi un ( )nΩ∈ω , tad ωnttt K21 arī ir terms.

3. Visi termi ir iegūstami ar pirmajos divos punktos aprakstītajām operācijām. Vienādība dotajā signatūrā ir izteiksme 21 tt = , kur 1t un 2t ir termi. Predikātu loģikas formula dotās signatūras algebrām ir predikātu loģikas formula, kurā par bāzes predikātiem izmantotas vienādības dotajā signatūrā. Uzskatīsim, ka algebru klašu aksiomas ir pierakstītas tieši šādā veidā. Šīm predikātu loģikas formulām jābūt slēgtām, tas nozīmē, ka visi mainīgie formulā ir saistīti (ar kvantoriem). Konkrētā Ω-algebrā šī predikātu loģikas formula pārvēršas par izteikumu. Ja visas aksiomas ir patiesi izteikumi konkrētā algebrā, tad uzskatām, ka algebra pieder algebru klasei, kas aprakstīta ar aksiomām. Ω-algebru klases, kas aprakstītas tikai ar aksiomām, sauc par aksiomatizējamām algebru klasēm. Identitātes ir aksiomas, kuras pierakstāmas šādā formā: ( ) ( )( )nnn xxxtxxxtxxx ,,,,,,,,, 21221121 KKK =∀ .

Parasti, pierakstot identitātes, formulā atstāj tikai algebrisko vienādību. Kvaziidentitātes ir aksiomas, kuras pierakstāmas šādā formā: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )vuvuvuvuxx mmn =⇒=∧∧=∧=∀ KK 22111 ,, ,

šeit vuvu ii ,,, ir termi, kas atkarīgi no mainīgajiem nxxx ,,, 21 K .

33

Teorēma 3.6. Dota Ω-algebru klase ( )ΩK , kura aprakstīta ar identitātēm ID (identitāšu

kopa). Tad ( )ΩK ir algebru varietāte. Piezīme. Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums (Birhhofa teorēma).Tā ir viena no universālās algebras svarīgākajām teorēmām, taču tās pierādījums ir ļoti sarežģīts un izmanto metodes, kas mūsu kursā netiek aplūkotas. Pierādījums. 1. ( )ΩK ir S-slēgta. Pieņemsim, ka algebra B ir algebras A apakšalgebra un 21 tt =

patvaļīga ( )ΩK identitāte; tad

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ).,,,,,,

,,,,,,

12111

12111

mmm

mmm

xxtxxtBxx

xxtxxtAxx

KKK

KKK

=∈∀

⇒=∈∀

Prasītais pierādīts. 2. ( )ΩK ir P-slēgta. Pierādījums seko no tā, ka tiešā reizinājuma katrai koordinātei identitātes izpildās; tātad izpildās arī reizinājuma kortēžiem. 3. ( )ΩK ir Q-slēgta. Ja ≈ ir kongruence algebrā A un vu = identitāte, kas izpildās algebrā

A, tad ( ) ( ) ( ) ( )mmmm xxvxxvxxuxxu ,,,,,,,, 1111 KKKK === ; tātad izpildās arī jebkurā

faktoralgebrā. Teorēma pierādīta. Līdzīgi pierāda sekojošu teorēmu.

Teorēma 3.7. Dota Ω-algebru klase ( )ΩK , kura aprakstīta ar kvaziidentitātēm KID

(kvaziidentitāšu kopa). Tad ( )ΩK ir algebru kvazivarietāte. Arī šīs teorēmas apgrieztais apgalvojums ir patiess. Sīkāk ar algebru varietāšu, kvazivarietāšu un citu aksiomatizējamo algebru klašu teoriju var iepazīties, piem., ([Kon], 4., 6., nodaļas). Tālākais mūsu mērķis ir parādīt, ka visas galīgi bāzētas Ω-algebras kā arī visas galīgi bāzētas Ω-algebras fiksētā algebru varietātē faktiski var iegūt no vienas Ω-algebras izmantojot definētās konstrukcijas. Algebru, kas būs pamatā visu dotās algebru varietātes algebru izveidošanai sauksim par universālo algebru. Lai šos jēdzienus varētu precīzi pierakstīt un uzskatāmi demonstrēt, nākošajā lekcijā tiks aplūkots viens no vispārīgākajiem matemātiskajiem objektiem, kurš apraksta ne tikai algebriskas struktūras, bet ir sastopams praktiski visās matemātikas nozarēs. Šis objekts ir kategorija . Komutatīvo diagrammu valoda, kas raksturīga kategoriju teorijai, palīdzēs mums labāk izprast aplūkojamo algebrisko konstrukciju būtību.

34

4. lekcija

Kategorijas jēdziens un komutatīvo diagrammu valoda.

Lekcijā dots priekšstats par vienu no universālākajām matemātiskajām teorijām – kategoriju teoriju, kuras objekti var būt patvaļīgas matemātiskas struktūras. Parādīts kā komutatīvo diagrammu valoda palīdz uzskatāmi pierakstīt sarežģītus apgalvojumus, kas saistīti ar attēlojumu kompozīcijām

Izpratne ir viena realitātes tipa pārveidošana citā realitātes tipā.

Klods Levī-Strauss.

4.1. Ievads

Šīs lekcijas mērķis ir dot vispārīgu priekšstatu par kategorijas jēdzienu un kategoriju teorijas vietu matemātikā. Sākumā atzīmēsim, ka visās matemātikas nozarēs ir divi svarīgākie jēdzieni, uz kuriem bāzējās aplūkojamā teorija: 1) objekti: parasti tās ir kopas ar zināma veida struktūru; kopu teorijā – kopas, algebrā – Ω-algebras, topoloģijā – topoloģiskās telpas, matemātiskajā analīzē – reālie vai kompleksie skaitļi, skaitļu teorijā – veselie skaitļi, diferenciālajā ģeometrijā – diferencējamas varietātes, utt.;

2) funkcijas jeb attēlojumi no viena objekta otrā ( BAf

→ ); kopu teorijā – attēlojumi, algebrā – morfismi, topoloģijā – nepārtraukti attēlojumi, matemātiskajā analīzē – funkcijas, skaitļu teorijā – funkcijas, kas atbilst veselām izteiksmēm, diferenciālajā ģeometrijā – diferencējami pārveidojumi, utt. . Divdesmitā gadsimta sākumā, kad daudzas matemātiskās teorijas bija jau ļoti sīki izpētītas, radās nepieciešamība atrast vienotu pamatu visām matemātikas teorijām. Protams, ka šis pamats bija kopa. Jebkuras matemātiskās teorijas pamatobjekts tika interpretēts kā kopa ar noteiktu matemātisku struktūru. Kopu teorijas fanāti pavisam neuztraucās par to, ka jebkurā matemātiskā teorijā ir nepieciešami arī attēlojumi. Šo jautājumu viņi atrisināja ļoti vienkārši, definējot attēlojumu kā divu kopu Dekarta reizinājuma apakškopu, kurai izpildās funkcionālā īpašība. Formāli viss bija pareizi, bet šī definīcija izsvītroja no matemātikas pamatjēdzienu saraksta pēc būtības pašu svarīgāko jēdzienu matemātikā – attēlojumu. Attēlojuma interpretācija kopu teorijas valodā ir pretrunā ar cilvēka izpratni par attēlojuma būtību. Kopa ir fiksēts nekustīgs objekts; attēlojums ir kopas pārveidojums – tā ir kustība. Ja formālā definīcija neatbilst cilvēka intuitīvajam priekšstatam par definējamo jēdzienu, cilvēks neizprot šo jēdzienu un faktiski nevar izprast arī visu matemātisko teoriju, kas balstīta uz neizprastiem jēdzieniem. Vienīgais, ko viņš var darīt ir izpildīt formālus pārveidojumus šajā teorijā kā robots (taču robota darbu daudz veiksmīgāk var realizēt mūsdienu datori). Kategoriju teorijas galvenā ideja ir par matemātikas bāzes jēdzieniem izvēlēties gan kopas gan attēlojumus. Jāsaka, ka attīstot kategoriju teoriju, radās arī otra galējība: ņemot par pamatu attēlojuma jēdzienu (bultiņu – kustību), nekustīgos objektus – kopas uzskatīt par atvasinātiem jēdzieniem (bultiņas izeja un ieeja). Arī šo pieeju var precīzi formalizēt, taču nevar saskaņot ar cilvēka psiholoģiju un intuīciju. Tāpēc klasiskajā kategoriju teorijā ir divi pamatjēdzieni – kopas un attēlojumi (objekti un morfismi). Kategoriju teorija ir viena no matemātiskām teorijām, kas saistīta ar visiem matemātikas virzieniem; tāpēc atcerēsimies dažas epizodes no matemātikas vēstures. Lai gan matemātika

35

ir viena no vecākajām zinātnēm, joprojām nav pat aptuvena apraksta – definīcijas, kas atbildētu uz jautājumu: "Kas ir matemātika?". Pareizāk sakot tādu definīciju ir daudz, bet katru no tām atbalsta tikai daļa no matemātiķiem vai arī citu zinātņu pārstāvjiem. Viena no matemātikas definīcijām atrodama K. Marksa līdzgaitnieka F. Engelsa darbos: "Matemātika ir zinātne par skaitļiem un ģeometriskām formām". Protams, ka šī definīcija ir smieklīga no mūsdienu matemātikas viedokļa; kas tad tādā gadījumā ir Galuā teorija, automātu teorija, kopu teorija, utt. ? Skaidrs, ka nevar aprakstīt matemātiku, norādot objektus, ko matemātika drīkst pētīt. Diemžēl, mēģinot atrast kādu mūsdienīgāku matemātikas aprakstu, atšķīru Latvijas padomju enciklopēdijas 6. sējuma 498. lappusi un izlasīju frāzi: "Matemātika ir zinātne par reālās pasaules kvantitatīvām attiecībām un telpiskām formām". Faktiski tā ir F. Engelsa definīcija jaunā redakcijā. Divdesmitā gadsimta pirmajā pusē, kad daudzās matemātikas nozarēs ielauzās kopu teorija, parādījās iespēja uz kopu teorijas bāzes veidot visu matemātiku. Šeit īpaši vajadzētu atzīmēt izcilo franču matemātiķu grupu, kas strādāja ar pseidonīmu Nikola Burbaki, un 1935. gadā nolēma "aksiomātiski aprakstīt visu matemātiku". Rezultātā 40 gadu laikā iznāca apmēram 40 šī darba sējumi; protams, šo darbu var uzskatīt par pašu universālāko matemātikas aprakstu pasaulē. 1949. gadā Burbaki paziņoja: "Visas matemātiskās teorijas var uzskatīt par vispārīgās kopu teorijas paplašinājumiem ... es apgalvoju, ka uz šī fundamenta var uzbūvēt visu mūsdienu matemātikas ēku". Šo frāzi var uztvert kā vēl vienu mēģinājumu paskaidrot kas ir matemātika. Tā ir zināmā mērā pretstats F. Engelsa definīcijai. Šeit nav neviena vārda par to, ar ko jānodarbojas matemātikai, bet ir mēģinājums (ja ne priekš citiem, tad vismaz priekš sevis) uzlikt "tabū" jautājumam par to kādus jēdzienus jāizvēlas par matemātikas pamatjēdzieniem. Līdzīgi izteicās arī slavenais matemātiķis P. Koens, kurš 1963. gadā atrisināja slaveno kontinum-hipotēzi (šis rezultāts izraisīja sprādzienu kopu teorijas attīstībā): "Analizējot matemātiskos spriedumus, loģiķi ir nākuši pie pārliecības, ka kopas jēdziens ir pats svarīgākais matemātikā". Par laimi šī frāze, kuru izteicis klasiskās formālās matemātikas pārstāvis ir tik neformāla, ka no formālistu viedokļa nesatur nekādu informāciju. Domāju, ka arī pārējiem matemātiķiem, kas matemātiku neuztver tikai kā abstraktu formulu virkņu formālu pārveidojumu virkni, bet gan kā zinātnes nozari, kas, pastāvīgi attīstās un kopā ar citām zinātnes nozarēm palīdz cilvēkam pareizāk izprast un pārveidot pasauli, kurā mēs dzīvojam, vajadzētu šajā jautājumā piekrist formālistu uzskatam: " Citētā frāze nesatur nekādu informāciju ." ( Protams, arī pēdējais apgalvojums nav "pareizs". Psihologi daudz ko varētu pateikt par cilvēku, kurš uzrakstījis citēto frāzi). Jāatzīmē tomēr, ka tieši franču matemātiķi bija arī vieni no pirmajiem, kas pamanīja, ka kopu teorijas absolutizēšana neveicina matemātikas attīstību. Renē Toms rakstīja: " Vecā Burbaki cerība redzēt kā visas matemātiskās struktūras dabīgā veidā tiek iegūtas no kopu hierarhijas, no to apakškopām un kombinācijām, neapšaubāmi ir tikai ilūzija." Līdz ar kategoriju teorijas izveidošanos Koena apgalvojums vairs nelikās tik absolūts. Varbūt, ka ir iespējams kategoriju teorijas valodā aprakstīto matemātiku kaut kādā veidā formāli uzrakstīt kopu teorijas valodā un pierādīt abstraktas teorēmas par šo teoriju "izomorfismu", bet faktiski tas maz ko dotu matemātikas attīstībai. Daudz svarīgāks ir uzdevums atrast tādu formālu un precīzu pieeju matemātikai, kurā definētie pamatjēdzieni būtu pēc iespējas tuvāki cilvēka intuitīvajiem priekšstatiem par pasauli. Tikai tādā gadījumā realizēsies tās cilvēka smadzeņu darbības iespējas, ar ko cilvēka domāšana atšķiras no datora darbības. Jāatzīst, ka kopu teorijas valoda ir ļoti ērta un precīza pētot dažādas matemātiskās struktūras. Sevišķi svarīga loma kopu teorijai ir uzdevumos, kas saistīti ar atsevišķa matemātiskā objekta iekšējās struktūras analīzi (objektu uztveram kā elementu kopu un analizējam likumsakarības starp kopas elementiem). Taču, analizējot noteiktas klases visu objektu (piemēram, algebru vai topoloģisko telpu) savstarpējās sakarības, svarīgāka ir

36

attēlojumu un attiecību analīze starp objektiem, nekā konkrēta objekta elementu saraksts (mēs pat varam aizmirst, ka objekts sastāv no elementiem; ). Precīzāk varētu teikt šādi: matemātikai, kas vēlas aprakstīt reālo pasauli jāaplūko arī objekti, kuriem nepastāv jēdziens "objekta elements". Šāda pieeja raksturīga mūsdienu fizikai, sevišķi kvantu mehānikai. Neviens no fiziķiem nemēģinās aprakstīt elementāro daļiņu kā atsevišķu nedalāmu elementu vai elementu kopu. Vispār fiziķi labprāt runās par objektu "elektrons" un par viņa mijiedarbībām ar citiem objektiem (tikai neprasiet viņiem: "No kā sastāv elektrons un kas tur ir iekšā?). Ja Jums sveša kvantu mehānika, tad vismaz pamēģiniet aprakstīt kaķi kā elementu kopu. Droši vien tas nav vienkārši. Jums būs jāpiekrīt, ka frāze "suns ķer kaķi" cilvēkam ir saprotamāka nekā frāze "par kaķi sauc kopu, kuras elementus definējam šādi: ...". Nekādā gadījumā nepretendējot uz kategoriju teorijas kā vienīgās un absolūtās matemātikas bāzes teorijas lomu, atzīmēsim tikai to, ka atsevišķu (īpaši globālu) matemātisku uzdevumu risināšanā kategoriju valoda ir daudz piemērotāka nekā kopu teorijas valoda.

4.1. Kategorijas un funktori

Definīcija 4.1. Kategorija K sastāv no 1) objektu klases Ob(K); 2) katram objektu pārim ( )KBA Ob, ∈ atbilstošas morfismu kopas ),(Hom BA ;

3) morfismu kompozīcijas likuma : ( )KCBA Ob,, ∈∀ definēta morfismu kompozīcija:

( ) ( ) ( )CACBBA ,Hom,Hom,Hom →× . Kategorijā izpildās aksiomas: ( Kat 1.) Kopām ),(Hom BA un )','(Hom BA nav kopīgu elementu, izņemot gadījumu, kad

'AA = un 'BB = ; šajā gadījumā morfismu kopas sakrīt.

( Kat 2.) Katram objektam ( )KA Ob∈ atbilst vienības morfisms ( )AA,Hom∈Āe , kuram

izpildās sekojošas īpašības:

a) ( ) ( )ffeBAf A =⋅∈∀ ,Hom ,

b) ( ) ( )fefABf A =⋅∈∀ ,Hom .

( Kat 3.) Morfismu kompozīcija ir asociatīva: ja ( )BAf ,Hom∈ , ( )CBg ,Hom∈ ,

( )DCh ,Hom∈ , tad ( ) ( )hgfhgf ⋅⋅=⋅⋅ .

Jāatzīmē, ka piemēros, kuri bija pamatā kategoriju teorijas izveidošanai, pamatobjekti tiešām bija kopas ar noteiktu matemātisku struktūru un morfismi – attēlojumi, kas saskaņoti ar šo struktūru. Aplūkosim daļu no šiem klasiskajiem piemēriem, lai ilustrētu to, cik plašs ir kategoriju teorijas pielietojumu lauks.

37

Kategorija Objekti Morfismi

Set Visas kopas Visi attēlojumi starp kopām

Finset Visas galīgas kopas Visi attēlojumi starp galīgāmkopām

Nonset Visas netukšās kopas Visi attēlojumi starp netukšāmkopām

Top Visas topoloģiskās telpas Nepārtraukti attēlojumi starptopoloģiskām telpām

Vect Lineārās telpas (pār fiksētulauku)

Lineārie operatori

Mon Monoīdi Monoīdu morfismi

Grp Grupas Grupu morfismi

ΩΩΩΩ -alg Dotās signatūras algebras Algebru morfismi

Met Metriskās telpas Saspiedošie attēlojumi

Man Bezgalīgi diferencējamasvarietātes

Gludie attēlojumi

Top Grp Topoloģiskās grupas Nepārtrauktie morfismi

Pos Sakārtotas kopas Monotonie attēlojumi

Plane Fiksēta plakne Plaknes izometrijas

Iepriekšējos piemēros objekti bija elementu kopas un morfismi – noteikta veida attēlojumi. Tagad aplūkosim piemērus, kuros objektiem nebūs elementu un morfismi būs abstraktas bultiņas. Piemēri. 1. Kategorija 1. Tās objektu kopa satur vienu objektu, ko apzīmēsim ar a; morfismu kopa

( ) faa =,Hom . No kategorijas definīcijas seko, ka Aef = . Šīs kategorijas objektus un morfismus var attēlot diagrammas veidā.

f

a

2. Kategorija 2. ( ) 2,0Ob =2 ; ( ) 00,0Hom e= ; ( ) 11,1Hom e= ; ( ) f=1,0Hom ;

( ) ∅=1,0Hom . Diagramma:

0 f 1

3. Diskrētās kategorijas. Vispirms atzīmēsim, ka katram kategorijas objektam x eksistē vienīgais vienības morfisms xe . Tiešām, ja e' būtu otrs objekta x vienības morfisms, tad no

38

(Kat 2.) sekotu '' eeee xx =⋅= . Diskrētā kategorija sastāv no patvaļīgas objektu kopas

Ob(D) un morfismu kopām: ( ) ( ) ( )xexxx =∈∀ ,HomOb D un ( )( )∅=≠∀ yxyx ,Hom .

4. Kategorija N0. Kategorija sastāv no viena objekta N0 un bezgalīga morfismu (bultiņu) skaita: ( ) skaitlis vesels0,/,Hom 00 ≥= nnNN . Divu morfismu kompozīciju definē

šādi: nmnndef

+=⋅ ; morfismu kompozīcijas asociativitāte seko no skaitļu saskaitīšanas

asociativitātes. Definīcija 4.2. Par kovariantu funktoru F no kategorijas K1 kategorijā K2 sauc likumu, kas 1) katram K1 objektam x piekārto K2 objektu xF, 2) katram kategorijas K1 morfismam ( )yxf ,Hom∈ piekārto kategorijas K2 morfismu

( )yFxFfF ,Hom∈ , tā, ka izpildās sekojošas aksiomas: (Fun 1) ( ) ( )xFx eFex =∈∀ K1Ob ,

(Fun 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )gFfFFgfzygyxf ⋅=⋅∈∀∈∀ ,Hom,Hom . Piemēri. 1. Identisks funktors KE no kategorijas K kategorijā K.

2. Aplūkosim funktoru Set Grp→:F . Katrai grupai ( )1,,, −⋅ eG piekārtosim tās kopu G. Katru grupas morfismu uzskatīsim par kopu attēlojumu. Šādu funktoru sauc par dzēsošo funktoru (tas ir identisks attēlojums, kas aizmirst par grupas struktūru).

Uzdevumi. 1. Aprakstīt kovariantu funktoru, kas attēlo grupu kategoriju Grp monoīdu kategorijā Mon. 2. Aprakstīt kovariantu funktoru, kas attēlo visu gredzenu kategoriju Ring Ābela grupu kategorijā Ab. Jāatceras, ka jebkurš gredzens attiecībā pret saskaitīšanas operāciju veido Ābela grupu. 3. Aprakstīt visu grafu kategoriju Graph un definēt funktoru , kas attēlo Graph kategorijā Set.

Definīcija 4.3. Funktoru F no kategorijas K1 kategorijā K2 sauc par kategoriju

izomorfismu, ja eksistē tāds funktors G no kategorijas K2 kategorijā K1, ka

1KEGF =⋅ un 2KEFG =⋅ .

1KE un 2KE -- identiskie funktori kategorijās K1 un K2.

4.3. Komutatīvās diagrammas

Kategorijas objektus un morfismus ir ērti attēlot diagrammu (orientētu grafu) veidā, apzīmējot objektus ar punktiem, bet morfismus ar bultiņām. Piemēram, morfismu kompozīciju varētu attēlot šādi:

f A B

h g

C

Teiksim, ka šī diagramma ir komutatīva, ja hgf =⋅ ; tātad neatkarīgi no tā, pa kādu ceļu mēs no viena objekta "aizejam" uz otru objektu, rezultāts (morfisms) būs viens un tas pats.

39

Definīcija 4.4. Par diagrammu sauksim punktu (objektu) kopu, daži no kuriem ir savienoti ar bultiņām (morfismiem). Teiksim, ka diagramma ir komutatīva, ja jebkuri divi ceļi šajā grafā, kas sākas no viena objekta un beidzas vienā objektā, nosaka morfismu kompozīcijas, kas ir vienādi morfismi. Parasti diagrammas sastāv no trijstūriem vai četrstūriem. Trijstūrveida komutatīvu diagrammu jau aplūkojām. Aplūkosim četrstūrveida diagrammu.

f A B

k g

D m C

Šī diagramma ir komutatīva, ja mkgf ⋅=⋅ .

4.3.1. Morfismu tipi

Atcerēsimies, ka, aplūkojot algebras, mēs definējām dažāda tipa morfismus: monomorfisms, epimorfisms, izomorfisms, endomorfisms, automorfisms. Kā šos jēdzienus definēt patvaļīgās kategorijās? Skaidrs, ka endomorfismu un automorfismu definēt nav sarežģīti, jo tie ir morfisms un izomorfisms, kuriem sakrīt izejas un ieejas objekti. Vienkārša ir arī izomorfisma definīcija. Definīcija 4.5. Dota kategorija K. Morfismu BAf →: , ( )KObBA ∈, sauc par

izomorfismu ja eksistē tāds morfisms ABg →: , ka Aegf =⋅ un Befg =⋅ . Sarežģītāk ir definēt monomorfismu un epimorfismu. Jāatcerās, ka klasiskajās definīcijās, kad objekti ir kopas, kas sastāv no elementiem, monomorfisma un epimorfisma definīcijās tiek izmantoti šo kopu elementi. Atcerēsimies, ka 1) monomorfisms f ir morfisms, kuram no vienādības yfxf = seko vienādība yx = ,

2) epimorfisms BAf →: ir morfisms, kuram ( )yxfAxBy =∈∃∈∀ . Mums šie jēdzieni jādefinē, neizmantojot elementa jēdzienu. Pieņemsim, ka BAf →: ir monomorfisms kategorijā, kuras objekti ir kopas; aplūkosim patvaļīgus morfismus

ACg →: un ACh →: un patvaļīgu Cx∈ . Tad, ja visiem Cx∈ izpildās vienādība

( ) ( ) fxgfxh = , tad arī visiem Cx∈ izpildās vienādība xgxh = ; tas nozīmē, ka morfismi h un g ir vienādi. Tagad varam šo īpašību pārformulēt, neizmantojot elementa jēdzienu.

Definīcija 4.6. Kategorijas K morfismu BAf →: sauc par monomorfismu, ja jebkuram

objektam ( )KObC∈ un jebkuriem morfismiem ACh →: un ACg →: no vienādības fgfh ⋅=⋅ seko vienādība gh = .

Līdzīgi, analizējot epimorfisma īpašības kategorijā, kuras objekti ir kopas, iegūstam epimorfisma definīciju.

Definīcija 4.7. Kategorijas K morfismu BAf →: sauc par epimorfismu, ja jebkuram

objektam ( )KObC∈ un jebkuriem morfismiem ACh →: un CBg →: no vienādības gfhf ⋅=⋅ seko vienādība gh = .

Ir būtiska atšķirība starp monomorfisma, epimorfisma un izomorfisma jēdzieniem klasiskajā situācijā, kad objekti ir kopas, un vispārīgajā situācijā. Teorēma 4.1. 1. Ja BAf →: ir kategorijas K izomorfisms, tad f ir gan monomorfisms gan epimorfisms.

40

2. Kategorijas K morfisms BAf →: , kas ir gan monomorfisms gan epimorfisms ne obligāti ir kategorijas izomorfisms.

Pierādījums. 1. Pieņemsim, ka f ir izomorfisms; tad tam eksistē apgrieztais izomorfisms 1−f . Pieņemsim, ka morfismiem h un g izpildās vienādība gfhf = ; pareizinot šo

vienādību no labās puses ar 1−f , iegūsim

( ) ( ) ( ) ( ) ghffgffhffgffh =⇒⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅⋅ −−−− 1111 . Pierādīts, ka f ir monomorfisms. Pieņemsim, ka f ir izomorfisms; tad tam eksistē apgrieztais izomorfisms 1−f . Pieņemsim, ka morfismiem h un g izpildās vienādība fgfh = ; pareizinot šo vienādību no kreisās puses

ar 1−f , iegūsim

( ) ( ) ( ) ( ) ghgffhffgffhff =⇒⋅⋅=⋅⋅⇒⋅=⋅ −−−− 1111 . Pierādīts, ka f ir epimorfisms.

2. Pietiek parādīt kategorijas piemēru, kurā morfisms, kas ir gan monomorfisms gan epimorfisms, nav izomorfisms. Aplūkosim kategoriju 2 (skat. diagrammu).

a b

0 f 1

Pārbaudīsim, ka morfisms f ir monomorfisms. Dota vienādība fyfx ⋅=⋅ , kur x, y ir kategorijas morfismi. viegli redzēt, ka abi šie reizinājumi ir definēti tikai, ja ayx == ; tātad f ir monomorfisms. Līdzīgi pārbauda, ka f ir dotās kategorijas epimorfisms. Taču f nav izomorfisms, jo tam neeksistē apgrieztais morfisms.

Uzdevumi. Pierādīt, ka patvaļīgā kategorijā 1) ja f un g ir monomorfismi, tad gf ⋅ ir monomorfisms, 2) ja gf ⋅ ir monomorfisms, tad f ir monomorfisms, 3) ja f un g ir epimorfismi, tad gf ⋅ ir epimorfisms, 4) ja gf ⋅ ir epimorfisms, tad g ir epimorfisms. Pierādīsim pirmo apgalvojumu. Dots, ka ( ) ( )gfygfx ⋅⋅=⋅⋅ ; x, y, f, g kategorijas K morfismi, turklāt, f un g ir monomorfismi. Jāpierāda, ka yx = .

No dotā seko, ka ( ) ( ) gfygfx ⋅⋅=⋅⋅ . Tā kā g ir monomorfisms, tad fyfx ⋅=⋅ ; tā kā f ir monomorfisms, tad yx = . Apgalvojums pierādīts.

41

4.3.2. Universālie sākuma un beigu objekti

Definīcija 4.8. Dota kategorija K. Par kategorijas universālo sākuma objektu sauc tādu objektu K0 , ka jebkuram ( )KObA∈ eksistē vienīgais morfisms Af K →0: .

Par kategorijas universālo beigu objektu sauc tādu objektu K1 , ka jebkuram ( )KObA∈

eksistē vienīgais morfisms KAf 1: → .

Ievērosim, ka kategorijā var neeksistēt ne sākuma ne beigu objekti. Tāda, piemēram, ir kategorija, kas satur vienu objektu A un morfismus ( ) aeAA ,,Hom = , eaa =⋅ . Uzdevums. Pierādīt, ka jebkuri divi kategorijas sākuma objekti (beigu objekti) ir savā starpā izomorfi.

Piemēri. 1. Kategorijā Set sākuma objekts ir tukša kopa, bet beigu objekts vienelementa kopa. 2. Kategorijā Grp gan sākuma objekts gan beigu objekts ir grupa, kas sastāv no viena neitrālā elementa. 3. Kategorijā 2 sākuma objekts ir 0, bet beigu objekts ir 2. 4. Diskrētā kategorijā D nav ne sākuma objektu ne beigu objektu, jo ne no viena objekta neiziet morfismi, kas ietu uz citu objektu.

Nākošais mūsu uzdevums ir vispārināt patvaļīgām kategorijām Dekarta reizinājuma jēdzienu (Ω-algebrās šā jēdziena vispārinājums ir tiešais reizinājums). Ļoti rūpīgi izanalizējiet šo piemēru, jo pārnesot kategoriju teorijā daudzus jēdzienus, ko mēs pazīstam no kopu teorijas vai no Ω-algebru teorijas, mums jārīkojas analoģiski. Galvenā problēma ir tā, ka kopu teorijas definīcijās tiek izmantoti kopu elementi, bet kategoriju teorijā šāds jēdziens nepastāv. Tātad, aplūkojot kādu kopu teorijas jēdzienu, mums jāatrod tāda raksturīga šī jēdziena īpašība, kas ir formulējama, neizmantojot elementa jēdzienu un viennozīmīgi raksturo šo jēdzienu. Atcerēsimies kopu Dekarta reizinājuma definīciju. Par kopu A, B Dekarta reizinājumu sauc kopu ( ) BbAabaBAP ∈∈=×= ,/, ; Dekarta reizinājumam atbilst divi attēlojumi

ABApA →×: un BBApB →×: , kur ( ) apba A =, un ( ) bpba B =, . Šos attēlojumus

sauc par projekcijām. Tiešo reizinājumu Ω-algebru klasē definē ievedot Ω-algebras signatūras operācijas atbilstošo kopu Dekarta reizinājumam.

Teorēma 4.2. Dotas kopas A, B un šo kopu Dekarta reizinājums BAP ×= . 1. Ja C ir patvaļīga kopa, ACf A →: un BCf B →: -- patvaļīgi attēlojumi, tad eksistē vienīgais tāds attēlojums PCf →: , kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

P

pA pB

f

fA fB

A C B

tas nozīmē, ka AA fpf =⋅ un BB fpf =⋅ .

2. Pieņemsim, ka Q ir kopa, AQqA →: un BQqB →: ir tādi attēlojumi, ka jebkurai

kopai C ar attēlojumiem ACf A →: un BCf B →: eksistē vienīgais attēlojums f, kuram

42

izpildās vienādības AA fqf =⋅ un BB fqf =⋅ . Tad eksistē vienīgais izomorfisms

PQk →: , kuram izpildās vienādības AA qpk =⋅ un BB qpk =⋅ . Piezīme. Šajā teorēma ir aprakstīta Dekarta reizinājuma raksturīgā īpašība (īpašība, kas izpildās tikai divu kopu Dekarta reizinājumam) neizmantojot kopas elementa jēdzienu. Pierādījums. 1. Ņemsim patvaļīgu Px∈ . No dotā seko

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )∗=⇒

=⋅=

=⋅=BA

BBB

AAA xfxfxfxfpfxpxf

xfpfxpxf,

Tātad attēlojums f ir noteikts viennozīmīgi; viegli pārbaudīt, ka attēlojumam, kurš uzdots ar formulu ( )∗ izpildās nosacījumā prasītās īpašības. 2. No dotā seko, ka eksistē vienīgais attēlojums PQk →: un vienīgais attēlojums

QPh →: tādi, ka AA qpk =⋅ , BB qpk =⋅ , AA pqh =⋅ , BB pqh =⋅ . No šejienes seko,

ka attēlojumam ( ) QQhk →⋅ : izpildās īpašības ( ) AA qqhk =⋅⋅ un ( ) BB qqhk =⋅⋅ . No dotā seko, ka attēlojums no kopas Q kopā Q ar šādām īpašībām ir vienīgais; protams, ka identiskajam attēlojumam QQeQ →: šīs īpašības izpildās, tātad Qehk =⋅ . Līdzīgi

pamatojam, ka Pekh =⋅ . Tātad k un h ir apgriezti attēlojumi; tas nozīmē, ka k ir izomorfisms. Teorēma pierādīta.

Tagad doto teorēmu pārformulēsim kategoriju teorijas valodā. Aplūkosim kategoriju Set un fiksēsim divus objektus A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju Pr(A,B). 1. Tās objekts ir patvaļīga kopa C un attēlojumu pāris ACcA →: , BCcB →: .

2. Morfisms ( )DCf ,Hom∈ ir attēlojums DCf →: , kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

D

dA dB

A f B

cA cB

C

Tagad teorēmas 4.2. apgalvojumu var formulēt šādi: "Kategorijā Pr(A,B) eksistē universālais beigu objekts; šo objektu sauksim par kopu A un B Dekarta reizinājumu". Esam nonākuši pie tiešā reizinājuma definīcijas patvaļīgā kategorijā. Definīcija 4.9. Dota kategorija K un tās objekti A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju Pr(A,B). 1. Tās objekts ir patvaļīgs kategorijas K objekts C un morfismu pāris ACcA →: ,

BCcB →: .

2. Kategorijas Pr(A,B) morfisms ( )DCf ,Hom∈ ir attēlojums DCf →: , kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

43

D

dA dB

A f B

cA cB

C

Universālo beigu objektu šajā kategorijā sauc par objektu A un B tiešo reizinājumu.

Definīcija 4.10. Dota kategorija K un tās objekti A un B. Aplūkosim jaunu kategoriju Kopr(A,B). 1. Tās objekts ir patvaļīgs kategorijas K objekts C un morfismu pāris CAcA →: ,

CBcB →: .

2. Kategorijas K morfisms ( )DCf ,Hom∈ ir attēlojums DCf →: , kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

D

dA dB

A f B

cA cB

C

Universālo sākuma objektu šajā kategorijā sauc par objektu A un B koreizinājumu.

Piemēri. 1. Kategorijā Grp grupu tiešais reizinājums ir grupu tiešā summa . Komutatīvu grupu kategorijā arī koreizinājums ir grupu tiešā summa 2. Kategorijā Set tiešais reizinājums ir kopu Dekarta reizinājums. Kopu koreizinājums ir kopu A un B disjunktīvais apvienojums; ja kopām A un B nav kopīgu elementu, tad disjunktīvais apvienojums ir parastais kopu apvienojums; ja tām ir kopīgi elementi, tad izvēlamies nešķeļošas kopas A' un B', kas ir izomorfas atbilstoši kopām A un B ( ': AAf → un ': BBg → bijekcijas). Tad '' BA∪ kopā ar injekcijām '': BAAf ∪a un

'': BABg ∪a ir kopu A un B koreizinājums. 3. Aplūkosim kategoriju Kat(n). Tās objekti ir skaitļi 0, 1, 2, ... , n. Morfismus definējam šādi: a) ja ji > , tad ( ) ∅=ji,Hom ;

b) ja ji ≤ , tad ( ) jiji ,,Hom = , (tātad sastāv no vienīgā morfisma).

Morfismu kompozīcija faktiski noteikta viennozīmīgi: kikjji ,,, =⋅ .

Šajā kategorijā divu objektu i un j tiešais reizinājums ir ( )ji,min , bet koreizinājums ir

( )ji,max . 4. Kategorijā Field (objekti – lauki, morfismi – gredzenu morfismi) neeksistē ne objektu reizinājumi ne koreizinājumi. Ar šo piemēru analīzi var iepazīties ([Goldb] 3.8, 3.9).

44

5. lekcija

Brīvā algebra

Lekcijā aplūkots brīvās algebras jēdziens dažādās algebru klasēs. Šajā

gadījumā universālā pieeja atļauj tikai definēt aplūkojamo objektu; tā eksistence un konstrukcija ir jāapraksta katrā algebru klasē atsevišķi.

Lai tie, kas atnāks pēc manis, uzdod jautājumu, kāpēc es izdomāju šīs prātam nesaprotamās konstrukcijas un kā tās var apvienot vienā filozofijā; mani apmierina tas, ka es šīs konstrukcijas izveidoju ar pārliecību, ka tās palīdz izprast cilvēka domāšanu.

L. E. J. Brauers. 5.1. Ievads

Dabīgas Ω-algebru klases (kopas, monoīdi, grupas, gredzeni, lauki, utt.) veidojas kā abstrakti objekti, kuros izpildās īpašības (aksiomas), kas piemīt aplūkojamo objektu klasei. Piemēram, grupas aksiomas tika iegūtas, aplūkojot substitūciju grupas nS īpašības. Taču

pēc tam rodas jautājums: "Kā aprakstīt visus dotās klases objektus?". Ir vairākas konstrukcijas, ar kurām mēs no dotajiem objektiem varam iegūt citus objektus no dotās algebru klases. Šīs konstrukcijas ir dotās algebras apakšalgebru šķēlums, algebru tiešā summa un tiešais reizinājums, kā arī algebras faktorizācija. Izrādās, ka daudzās klasiskajās algebru klasēs visas šīs klases algebras var iegūt, no vienkārši konstruējamām algebrām (brīvajām algebrām), izmantojot tikai faktorizācijas operāciju. Brīvā algebra faktiski ir objekts, kurā doti sākuma elementi, ar tiem var izpildīt visas algebras operācijas, un par vienādiem elementus uzskata tikai, ja to vienādība seko no algebru klases aksiomām

5.2. Brīvā ΩΩΩΩ-algebra

Šajā lekcijā aplūkosim brīvās algebras jēdzienu dažādās algebru klasēs. Šoreiz galvenā uzmanība tiks pievērsta nevis formālai brīvās algebras definīcijai patvaļīgā algebru klasē, bet brīvās algebras konkrētai realizācijai. Visvienkāršāk šī konstrukcija ir realizējama visu Ω-algebru klasē ( )Ω . Ar X apzīmēsim patvaļīgu kopu, kuras elementus sauksim par mainīgajiem. Ar C apzīmēsim Ω-algebras konstanšu simbolu kopu. Definīcija 5.1. Par Ω-algebras brīvo termu algebru no mainīgajiem X sauksim kopu ( )XF ,Ω , kuras elementus – termus definēsim induktīvi.

1. Ω-algebras konstanšu simboli un mainīgie Xx∈ ir Ω-algebras termi; šos termus sauc par bāzes termiem. 2. Ja nttt ,,, 21 K ir Ω-algebras termi un ( )nΩ∈ω -- n-vietīgas operācijas simbols, tad

ωnttt K21 ir Ω-algebras terms.

3. Visus Ω-algebras termus var iegūt atkārtoti pielietojot definīcijas pirmos divus punktus.

Kopā ( )XF ,Ω definēsim visas Ω-algebras operācijas. Ja ( )XFttt n ,,,, 21 Ω∈K un

( )nΩ∈ω , tad ωω n

def

Fn tttttt KK 2121 = .

( )XF ,Ω ar ievestajām operācijām veido Ω-algebru, ko sauc par dotās signatūras brīvo

termu algebru no mainīgajiem X, jeb vienkārši par brīvo ΩΩΩΩ-algebru.

45

Piezīme. Kaut gan tas nav nepieciešami, bieži, lai formula būtu labāk pārskatāma, jauno termu iekļauj iekavās: ( )ωnttt K21 ; arī binārās operācijas simbols parasti tiek rakstīts starp

termiem; t.i., +ab vietā rakstām ( )ba + . Faktiski terms ir izteiksme, kuru var uzrakstīt dotās signatūras algebrā, sākot no pamatelementiem – mainīgajiem un konstantēm.

Uzdevumi. 1. Ω-algebrā, kuras signatūra ir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1,2,,1,,0,0,2, ⋅−+=Ω , dotās neformāli pierakstītās formulas pierakstīt kā formālus termus:

a) ( ) ⋅+−+−=− ababba 2 , b) += 112 , c) ( ) ?2 =+− zyx ,

d) ( ) ?23 =+− yxbax ,

e) .?2222 =− dcba 2. Dotos formālos termus pierakstīt neformālā veidā: a) baba 211 +=+⋅+ , b) ?111 =−⋅++− aa , c) ?=+⋅+−+−⋅ xyxyaa , d) ?=⋅⋅⋅⋅abcde . e) ?=⋅++⋅+abcdef .

Terma vērtība. Pieņemsim, ka t ir terms brīvajā termu algebrā ( )XF ,Ω . Aplūkosim

konkrētu Ω-algebru A . Ja ( )nxxxtt ,,, 21 K= , nxxx ,,, 21 K -- mainīgie, kas izmantoti

terma t pierakstā, tad ar ( )naaat ,,, 21 K apzīmēsim algebras A elementu, kas iegūts,

aizvietojot termā ( )nxxxt ,,, 21 K mainīgos nxxx ,,, 21 K ar elementiem naaa ,,, 21 K un

terma t operāciju simbolus ar atbilstošajām operācijām algebrā A. Nākošajā definīcijā uzskatīsim, ka X ir sanumurējama kopa.

Definīcija 5.2. Dota Ω-algebra A un tās apakškopa AS ⊂ . Ar S apzīmēsim algebras A

apakškopu ( ) ( ) SaXFtaaatS in ∈Ω∈= ,,/,,, 21 K . Skaidrs, ka S ir algebras A

apakšalgebra; to var definēt arī kā mazāko algebras A apakšalgebru, kas satur kopu S. Apakšalgebru S sauksim par kopas S ģenerēto apakšalgebru un kopu S par

apakšalgebras S veidotājsistēmu jeb bāzi. Ja AS = , tad S sauc par algebras A bāzi.

(atcerieties, ka arī termins "bāze" algebrā tiek lietots neviennozīmīgi; piemēram, lineāro telpu gadījumā par bāzi sauc tikai minimālo veidotājsistēmu).

Faktiski apakšalgebra S sastāv no visiem algebras A elementiem, ko var iegūt no S

elementiem, izmantojot algebras operācijas.

Piemēri.

1. Grupā G fiksēsim elementu a. Tad Znaaa n ∈== / , ir cikliskā apakšgrupa,

kuras veidotājelements ir a.

2. Aplūkosim polinomu gredzenu [ ]yxR , ; tad [ ]xZx = . Ja polinomus [ ]yxR , aplūkojam

kā R-algebru (tātad atļauta arī polinoma reizināšana ar reālu skaitli), tad [ ]xRx = .

46

3. Racionālo skaitļu lauka veidotājsistēma sastāv no viena skaitļa 1. Tiešām, jebkuru pozitīvu racionālu skaitli var iegūt no skaitļa 1, izmantojot summas, reizināšanas un apgrieztā elementa operācijas:

1

111111

−

+++⋅

+++= 43421 L43421 L

nmn

m;

Negatīvos racionālos skaitļus iegūst, izmantojot pretējā elementa operāciju.

4. Ja lauku R aplūko gredzenu kategorijā, tad šim gedzenam neeksistē galīga bāze; R-algebru kategorijā lauka R bāze sastāv no viena elementa 1.

Uzdevumi 1. Pierādīt, ka kopa ( ) njijiji ,,2,1,,/. K∈≠ ir substitūciju grupas nS veidotājsistēma.

2. Pierādīt, ka grupas nS veidotājsistēma ir kopa, kas satur tikai divus elementus

( ) ( ) n,,2,1,2,1 K .

3. Pierādīt, ka substitūciju grupas veidotājsistēma satur vismaz divus elementus.

Protams, katrai algebrai eksistē bāze; katrai algebrai A par bāzi var izvēlēties visu algebras A elementu kopu. Taču pētot algebru ir izdevīgi izvēlēties pēc iespējas mazāku bāzi. Algebras, kurām eksistē galīgas bāzes, sauc par galīgi bāzētām algebrām. Aplūkosim Ω-algebru klasi, kurām ir "fiksēta" bāze. Lai to izdarītu aplūkosim jaunu kategoriju. Fiksēsim kopu X un algebras signatūru Ω. Ar ( )X,Ω apzīmēsim sekojošu kategoriju:

1. Tās objekti ir pāri ( )AfA, , A – Ω-algebra , AXf A →: -- attēlojums no kopas X kopā

A; turklāt AfIm ir algebras A bāze. Šādu objektu apzīmēsim ar AXAf

→ ; ja tas nevar izsaukt pārpratumus, tad objektu apzīmēsim vienkārši ar A.

2. Kategorijas morfisms h ir Ω-algebras A morfisms Ω-algebrā B, kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

A fA

X h (∗)

fB

B

Protams, brīvo termu algebra ( )XF ,Ω kopā ar dabīgo attēlojumu ( )XFXFf

,Ω→ (katrs

mainīgais pats ir terms) ir kategorijas ( )X,Ω objekts.

Kopas IixX i ∈= / elementu attēlus algebrā A apzīmēsim ar ia , Ii∈ . Kopa Iiai ∈/

ir algebras A bāze. Algebru A sauksim par X-bāzētu Ω-algebru. Ja X ir galīga kopa, tad algebru A sauksim par galīgi bāzētu Ω-algebru.

Teorēma 5.1.

1. Algebra ( )XF ,Ω ir kategorijas ( )X,Ω universālais sākuma objekts; (tas nozīmē, ka

katram kategorijas ( )X,Ω objektam – algebrai A eksistē vienīgais morfisms

( ) AXFk A →Ω,: , kuram iAi akx = ).

47

2. Morfisms Ak ir epimorfisms.

Pierādījums. Aplūkosim patvaļīgu kategorijas ( )X,Ω objektu – algebru A. Pieņemsim, ka

( ) AXFk A →Ω,: ir dotās kategorijas morfisms; tad no diagrammas ( )∗ komutativitātes

seko, ka iAi akx = . Tā kā morfisms Ak ir saskaņots ar visām Ω-algebras operācijām un

terms veidojas kā atkārtota šādu operāciju pielietošana bāzes termiem, tad ( ) ( ) ( )nAnAAAn aaatkxkxkxtkxxxt ,,,,,,,,, 212121 KKK == .

Tas nozīmē, ka jebkura brīvās termu algebras elementa attēls ir viennozīmīgi noteikts; formāla pārbaude parāda, ka attēlojums, ko apraksta ar uzrādīto vienādību ir Ω-algebru morfisms. Teorēmas pirmais punkts pierādīts. Lai pierādītu teorēmas 2. punktu jāpierāda, ka ( ) Ak A =Im . Ievērosim, ka

( ) ( ) ( ) XFtaaatkxxxtk nAnA ,/,,,,,,Im 2121 Ω∈=⊃ KK . Tā kā ia ir algebras A bāze,

tad Ak A =Im . Teorēma pierādīta.

Secinājums 1. Jebkura X-bāzēta Ω-algebra ir brīvās termu algebras ( )XF ,Ω faktoralgebra. No pierādītās teorēmas seko, ka jebkura X-bāzēta Ω-algebra A ir brīvās termu algebras ( )XF ,Ω morfiskais attēls. No teorēmas par morfismiem (3.5.) seko, ka algebra A ir

algebras ( )XF ,Ω faktoralgebra.

Secinājums 2. Jebkurai Ω-algebrai A eksistē tāda mainīgo kopa X, ka algebra A ir algebras ( )XF ,Ω faktoralgebra.

Tas seko no tā, ka katrai algebrai A eksistē bāze.

Iegūto rezultātu analīze. Šajā vispārīgākajā situācijā mums izdevās aprakstīt visas algebras kā fiksētas un konstruējamas algebras ( )XF ,Ω faktoralgebras. Taču šī vispārīgā situācija, lai gan formāli ir ļoti sarežģīta (patvaļīgs skaits patvaļīgu operāciju), faktiski ir pati vienkāršākā, jo Ω-algebras operācijas nav saistītas ne ar kādām aksiomām. Tas nozīmē, ka visi formāli uzrādītie termi šajā situācijā ir dažādi brīvās termu algebras elementi. Izvēloties brīvo termu algebru par pamatobjektu, katru Ω-algebru var aprakstīt kā brīvās termu algebras faktoralgebru (vienā klasē apvienojas termi, kas ir vienādi dotajā algebrā). Taču patvaļīgās algebru klasēs, kuras tiek aprakstītas ar aksiomām, atšķirīgi uzrakstītie termi var būt vienādi kā dotās algebru klases elementi. Piemēram, grupu klasē izpildās šādas vienādības: eaa =⋅ −1 , ( ) ( )zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅ , un arī

citas: ( ) ( ) ( )( ) yxbayxba ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ , ... . Uzdevums. Pierakstiet šīs vienādības formālā brīvo termu valodā. Protams, no teorēmas 5.1. seko, ka jebkuru grupu var iegūt kā noteiktas signatūras

( ) ( ) ( ) 1,,0,,2, 1−⋅=Ω e brīvās termu algebras faktoralgebru. Taču šis apgalvojums ir ļoti mazefektīvs no praktiskā pielietojumu viedokļa divu iemeslu dēļ. 1. Brīvās termu algebras objekts ir ļoti sarežģīta konstrukcija, kas pat grupu gadījumā vienu grupas elementu apraksta bezgalīgi daudzos veidos. Piemēram, sekojoši termi brīvo termu algebrā ir dažādi objekti, bet jebkurā grupā tie ir vienādi elementi (notiek faktorizācija pēc grupas aksiomām):

( ) cba ⋅⋅ , ( )cba ⋅⋅ , ( ) ( )( ) ( )( )( )cebaxxee ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −− 11 , utt. Tas nozīmē, ka, aplūkojot grupu kategoriju, šos termus vajadzētu uzskatīt par vienādiem; tātad termu algebru būtu jāfaktorizē pēc kongruences, kurā termi, kuru vērtības ir vienādas jebkurā grupā, tiktu uzskatīti par vienādiem. Diemžēl faktorizēšana vispārīgajā gadījumā ir nekonstruktīva operācija: neeksistē algoritms, kas atļautu noskaidrot kādi termi ir vienādi

48

algebrā, kurā izpildās noteiktas aksiomas. Tomēr dažās algebru klasēs tāda faktorizācija ir iespējama un jebkurā ekvivalences klasē var norādīt viennozīmīgu un viennozīmīgi pierakstāmu klases pārstāvi, kas apraksta doto faktorizācijas klasi. Šajā gadījumā mēs iegūstām dotās algebru klases brīvo objektu (tas, protams, ir saistīts ar mainīgo kopas X elementu skaitu). Līdz ar to pirmā konstruktīvā problēma būtu atrisināta. Šādā algebru klasē katrai kopai X eksistē universāls objekts ar mainīgo kopu X , kura faktoralgebras veido visu dotās algebru klases objektu kopu. 2. Otra problēma ir vēl sarežģītāka. Pat, ja fiksētā Ω-algebru klasē fiksētai mainīgo kopai X eksistē konstruktīvs universāls objekts (tātad jebkura Ω-algebra ir universālās algebras faktoralgebra), iegūtais faktorobjekts var nebūt konstruktīvs. Tāda situācija ir iespējama, piemēram, grupu varietātē. Precizēsim šo problēmu. Pieņemsim, ka ( )XF ,Ω -- brīvā algebra dotajā algebru klasē. Tās objekti ir precīzi aprakstāmi un katrs pieraksts apzīmē vienu elementu. Jebkura Ω-algebra A (ar bāzi AXf ) ir šīs algebras faktoralgebra; bet faktoralgebras elementi ir sākotnējās algebras elementu kopas. Tātad, lai noskaidrotu, vai

divi elementi faktoralgebrā ( ) AXF ≅≈Ω, ir vienādi, jāmāk noskaidrot, vai divi elementi

x, y ir ekvivalenti brīvajā algebrā ( )XF ,Ω . Ekvivalence ir uzdota ar algebras aksiomām. Izrādās, ka šī problēma vispārīgajā gadījumā nav atrisināma. Daudzās klasisko algebru klasēs (pusgrupās, grupās, gredzenos, utt.) pirmā problēma (universāla objekta eksistence) ir atrisināma. Taču otrā problēma ir neatrisināma daudzās klasisko algebru klasēs (piemēram, grupu un asociatīvo gredzenu klasēs). Kā pozitīvu faktu var atzīmēt to, ka šī problēma ir atrisināta galīgi bāzētu komutatīvo gredzenu un komutatīvo algebru klasēs. Aplūkosim brīvās algebras definīciju fiksētā algebru klasē.

Definīcija 5.3. (Brīvā algebra). Dota Ω-algebru klase K un mainīgo kopa X. Aplūkosim jaunu kategoriju ( )X,K :

1. Tās objekti ir pāri ( )AfA, , K∈A , AXf A →: -- attēlojums no kopas X kopā A;

turklāt AfIm ir algebras A bāze. Šādu objektu apzīmēsim ar AXAf

→ ; ja tas nevar izsaukt pārpratumus, tad objektu apzīmēsim vienkārši ar A. 2. Kategorijas morfisms h ir Ω-algebras A morfisms Ω-algebrā B, kuram sekojoša diagramma ir komutatīva:

A fA

X h (∗)

fB

B

Universālo izejas objektu kategorijā ( )X,K sauc par algebru klases K brīvo algebru ar veidotājkopu X.

Teorēma 5.1. apgalvo, ka visu Ω-algebru klasē eksistē brīvās algebras jebkurai veidotājkopai X.

49

5.3. Brīvā grupa

Atcerēsimies, ka grupas signatūra ir ( ) ( ) ( ) 1,,0,,2, 1−⋅=Ω e un grupu klasi G nosaka aksiomas – identitātes: (G1) ( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ , (G2) xexxe =⋅=⋅ , (G3) exxxx =⋅=⋅ −− 11 . No pirmās grupas aksiomas seko, ka, rakstot jebkuru termu patvaļīgā grupā, mēs varam nelietot iekavas. Aplūkosim X-bāzētu grupu kategoriju ( )X,G .

Aplūkosim kopu ( ) ekZkxxXxxxxXF iiiiikn

kk n ∪≠∈≠∈⋅⋅⋅= + 0,,,/, 12121 LG . Šajā

kopā definēsim grupas signatūras operācijas: 1. reizināšana: a) reizināšana ar e nemaina elementu;

b) ( ) ( ) ryyyxxx mnn lm

llkn

kn

k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −− LL 2111

2111 ,

α) ja 1yxn ≠ , tad mnn lm

llkn

kn

k yyyxxxr ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −− LL 2111

2111 ,

β) ja 1yxn = un 01 ≠+ lkn , tad mnn lm

llkn

kn

k yyxxxr ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= +−− LL 2111

211 ,

γ) ja 1yxn = un 01 =+ lkn , tad ( ) ( )mn lm

lkn

k yyxxr ⋅⋅⋅⋅⋅= −− LL 211

211 ; šajā gadījumā atkal

jāatgriežas pie reizinājuma definīcijas α) un β) punktiem. Tā kā mainīgo skaits ir samazinājies, tad šis process beigsies. Šeit vēl ir jāatzīmē, ka γ) variantā kāda no iekavām var būt tukša; uzskatām, ka tukšs reizinājums ir vienāds ar e.

2. Neitrālais elements ir e.

3. Apgrieztais elements: ( ) 122112

1

21kkk

nkn

kk xxxxxx nn −−−−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ LL .

Kopa ( )XF ,G ar ievestajām operācijām veido grupu. Šis (šķietami vienkāršais) apgalvojums ir jāpierāda. Precīzs pierādījums nav vienkāršs, un ar to var iepazīties ([Holl] 7.1.).

Teorēma 5.2. Grupu klasē G jebkurai mainīgo kopai X eksistē brīvā algebra (brīvā grupa). Šī grupa ir ( )XF ,G .

Pierādījums. Grupas ( )XF ,G elementu kopa un operācijas ir aprakstītas. Atliek pierādīt,

ka ( )XF ,G ir universāls objekts X-bāzēto grupu klasē ( )X,G . Aplūkosim patvaļīgu

objektu (grupu) šajā klasē: AXAf

→ . Brīvā grupa šajā kategorijā ir aprakstāma šādi:

( )XFXFf

,G→ . Aplūkosim komutatīvo diagrammu:

F(G, X) fF

X h (**)

fA

A

Jāpierāda šāda grupu morfisma h eksistence un unitāte. Aplūkosim patvaļīgu F(G, X) elementu nk

nkk xxxg ⋅⋅⋅= L2121 . Tā kā h ir grupu morfisms,

tad elementa a attēls ir noteikts viennozīmīgi:

50

( ) nn kn

kkkn

kk aaahxxxgh ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= LL 21212121 , kur

( ) ( ) iAiFiFii afxhfxhfxhx ==⋅== .

Jāpārbauda, ka h ir grupu morfisms; pierādījumu skat. ([Holl] 7.1.).

5.4. Brīvā Ābela grupa

Ābela grupas ir grupas, kurām papildus izpildās komutativitātes aksioma: ( )xyyxAyx ⋅=⋅∈∀ , . Aplūkosim Ābela grupas, kurām eksistē galīga bāze

nxxxX ,,, 21 K= . No Ābela grupas komutativitātes likuma seko, ka jebkuru X-

bāzētas elementu a var uzrakstīt formā nkn

kk xxxa ⋅⋅⋅= L2121 , Zk i ∈ . Acīmredzami šādiem

elementiem izpildās īpašības:

1) ( ) ( ) nnnn lkn

lklkln

llkn

kk xxxxxxxxx +++ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ LLL 22112121212121 ,

2) 002

01 nxxxe ⋅⋅⋅= L

3) ( ) nn kn

kkkn

kk xxxxxx −−−−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ LL 2121

21

1

21 .

Kopu ( ) ZkxxxXF ikn

kk n ∈⋅⋅⋅= /, 2121 LAb ar definētajām operācijām sauksim par brīvo

Ābela grupu ar veidotājelementiem nxxx ,,, 21 K .

Teorēma 5.3. Ābela grupu klasē Ab jebkurai mainīgo kopai X eksistē brīvā algebra (brīvā

Ābela grupa). Šī grupa ir ( )XF ,Ab .

Pierādījums. Faktiski grupas ( )XF ,Ab eksistence jau ir pierādīta. Pieņemsim, ka A ir

patvaļīga Ābela grupa ar veidotājsistēmu ia un AXf A →: attēlojums, kura attēls ir A

veidotājsistēma, tātad iAi afx = . Definēsim attēlojumu ( ) AXFh →,: A ar formulu:

( ) nn kn

kkkn

kk aaahxxx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ LL 21212121 , kur ii ahx = .

Lai pierādītu, ka ( )XF ,A ir brīva algebra (Ābela grupu klasē) ir jāpierāda, ka sekojoša diagramma ir komutatīva un attēlojums h ir viennozīmīgi noteikts.

F(A, X) fF

X h (**)

fA

A

Tā kā h ir grupu morfisms, tad ( ) ( ) ( ) nnn kn

kkn

kkn

k aahxhxhxx ⋅⋅=⋅⋅=⋅ LLL 111111 ; tas

nozīmē, ka morfisms h ir viennozīmīgi noteikts. Tieša pārbaude parāda, ka h ir grupu morfisms. Teorēma pierādīta.

Vēlreiz aplūkosim situāciju, kad brīvās Ābela grupas veidotājsistēma ir galīga kopa. Tādā

gadījumā ( )XF ,Ab sastāv no viennozīmīgi noteiktiem elementiem nkn

kk xxx L2121 , Zk i ∈ .

Skaidrs, ka šo elementu viennozīmīgi apraksta veselo skaitļu kortēžs ( )nkkk ,,, 21 K . Šo

kortēžu var aprakstīt kā Ābela grupas nZZZZ =⊗⊗⊗ K elementu (šajā gadījumā nav

51

atšķirības starp tiešo summu un reizinājumu). Tātad eksistē attēlojums no Ābela grupas

( )XF ,Ab Ābela grupā nZ . Viegli pārbaudīt, ka dotais attēlojums ir grupu morfisms (reizinot pakāpes atbilstošie kāpinātāji summējas); acīmredzami šis attēlojums ir sirjektīvs un injektīvs. Tātad esam pierādījuši teorēmu.

Teorēma 5.4. Ja X ir galīga kopa, tad brīvā Ābela grupa ar veidotājsistēmu X ir izomorfa Ābela grupu ( )+,Z tiešajam reizinājumam.

Kā bija atzīmēts iepriekšējās lekcijās Ābela grupās (arī patvaļīgās grupās) eksistē gan tiešās summas gan tiešie reizinājumi. Šajā lekcijā mēs dosim tikai priekšstatu par šiem jēdzieniem. Sīkāku analīzi skat. ([Konn] 4.2.). Tātad galīgi bāzētu Ābela grupu gadījumā šie jēdzieni ir ekvivalenti. Tagad aplūkosim šo jēdzienu definīcijas, kad Ābela grupu kopa ir bezgalīga; Šo kopu var aprakstīt šādi: IiAi ∈/ , I – bezgalīga indeksu kopa.

Definīcija 5.4. Dota bezgalīga Ābela grupu kopa IiAi ∈/ ; par šīs grupu saimes tiešo

reizinājumu sauc grupu ( ) ∏∈

∈=Ii

iiii AaaA / . Operācijas šajā grupā tiek izpildītas

neatkarīgi katrai koordinātei.

Aplūkosim bezgalīgu ciklisko grupu iC reizinājumu ( )∏∈

≅∈=Ii

niii ZZnxCC / .

Neformāli runājot, šī grupa sastāv no bāzes elementu ix "bezgalīgiem reizinājumiem". Tā

kā grupā nepastāv bezgalīgi reizinājumi, tad elementi ix nav šīs grupas bāze. No

elementiem ix var iegūt tikai tos grupas ∏∈Ii

iC elementus, kuri satur galīgu skaitu

elementu ix .

Tātad ievestais objekts ir pārāk liels, ja tā elementus sākam konstruēt no sākotnējiem elementiem Iiix ∈ . Tāpēc Ābela grupu kategorijā tiek aplūkota sekojoša konstrukcija.

Definīcija 5.5. Dota bezgalīga Ābela grupu kopa IiAi ∈/ ; par šīs kopas tiešo summu

sauc grupu ( ) allalmoust for ,/ IieaAaaA iiiiiIi

∈=∈=∈⊕ . Tātad faktiski kopa i

IiA

∈⊕

sastāv no visiem galīgiem reizinājumiem knn

ki

ki xxx 1

22

11 ⋅⋅⋅ L , kur Xxil ∈ .

Acīmredzot galīga skaita Ābela grupu gadījumā tiešais reizinājums un tiešā summa ir ekvivalenti jēdzieni, bet bezgalīga skaita Ābela grupu gadījumā tie ir atšķirīgi. Atceroties kategoriju teoriju var pierādīt, ka Ābela grupu tiešais reizinājums atbilst kategoriju teorijas reizinājuma jēdzienam, bet Ābela grupu tiešā summa atbilst kategorijas teorijas koreizinājuma jēdzienam. Sīkāk ar šiem jēdzieniem var iepazīties ([Konn] 3.5, 3.6.) Uzdevumi. 1. Pierādīt, ka 632 ZZZ ≅⊕ . (Jāparāda, ka elements ( ) 321,1 ZZ ⊕∈ ir grupas 32 ZZ ⊕

veidotājelements) 2. Pierādīt, ka grupa 42 ZZ ⊕ nav izomorfa grupai 8Z .

3. Pierādīt, ka nmmn ZZZ ≅⊕ , ja n un m ir savstarpēji pirmskaitļi.

52

5.5. Brīvā komutatīvā algebra

Komutatīvā algebra nedaudz atšķiras no objektiem, kurus mēs pētījām šajā nodaļā. Formāli komutatīvā algebra ir vairākšķiru algebra: tās definīcija satur skaitļu lauku K un algebru A. Taču, lai vienkāršotu situāciju, mēs šo objektu interpretēsim kā vienšķiru algebru, uzskatot, ka visi skaitļi ( lauka K elementi) ir dotās algebras fiksēti elementi – konstantes. Tātad, aplūkojot polinomu algebru [ ]yxK , uzskatīsim, ka skaitļi Ka∈ ir nulltās pakāpes polinomi. Šāda interpretācija atļaus mums formāli vairākšķiru algebru uzskatīt par vienšķiru algebru, kurā ir fiksēta bezgalīga konstanšu kopa – kopa K. Protams jāatceras, ka šajā kopā skaitļiem izpildās visas lauka aksiomas; taču no monomorfisma [ ]yxKK ,→ eksistences seko, ka operācijas ar skaitļiem var izpildīt atbilstoši polinomu operācijām. Tādejādi mēs komutatīvo K-algebru kopu varam uzskatīt par vienšķiru algebru ar sekojošu signatūru :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2,,1,,0,0,2, k⋅−+=Ω , Kk ∈ . Šādu algebru klases sauc par algebrām ar fiksētu konstanšu kopu. Doto algebru klasi apzīmēsim ar Kom(K). Šī sarežģītā definīcija faktiski apraksta matemātisko objektu, kas ir visbiežāk sastopamais visās matemātiskajās teorijās sākot no skolas algebras pamatkursa. Visas veselās izteiksmes, kas izmantotas skolas algebras kursā ir brīvās algebras elementi šajā Ω-algebru klasē. Šajā algebru klasē aplūkosim n-bāzētas algebras Kom (K,n); t.i. algebras, kurām eksistē galīga bāze, kas sastāv no n elementiem. Algebrā aprakstīsim brīvo objektu, kas atbilst mainīgo kopai nxxxX ,,, 21 K= . No

algebras aksiomām seko, ka jebkuru algebras ( )( )nKA ,Kom∈ elementu f var aprakstīt

formā ∑∈

⋅=K

kn

kkiii

n

naaaf

α

α LK21

21 21 . Šeit elementi ia ir elementu ix attēli morfismā, kura

eksistence aprakstīta universālā objekta definīcijā. No šī apraksta ir skaidrs, ka algebra, kuras kopa sastāv no elementiem

∑∈

⋅=K

kn

kkiii

n

nxxxf

α

α LK21

21 21

ir universāls objekts šajā algebru kategorijā. Šo algebru apzīmēsim ar [ ]XK un sauksim par polinomu algebru no mainīgajiem X ar koeficientiem laukā K. Faktiski mēs esam pierādījuši teorēmu:

Teorēma 5.5. Komutatīvo algebru klasē ( )( )XK ,Kom brīvā algebra ir polinomu algebra no mainīgajiem X.

Šis ir viens no nedaudzamajiem gadījumiem, kad ne tikai pati brīvā algebra [ ]XK , bet arī visas tās faktoralgebras ir konstruktīvi objekti. Šī apgalvojuma pierādījums ir saistīts ar Grebnera bāzes eksistenci; tās definīcija, eksistences pierādījums un konstruktīvs algoritms tās atrašanai tiek aplūkots konstruktīvās algebras kursā.

Piemērs. Komutatīvo R-algebru klasē aplūkosim brīvo algebru, kuras veidotājsistēma sastāv no viena elementa x: ( ) ( )xR ,Kom . Faktiski šī algebra ir polinomu algebra no viena

mainīgā x ar koeficientiem laukā R. Šajā algebrā aplūkosim ideālu ( )12 += xI . Aplūkosim faktoralgebru

[ ]( ) ( ) ( ) [ ] xRxfIxfx

xR ∈+=+

/12 .

Izdalot polinomu ( )xf ar polinomu 12 +x ar atlikumu iegūstam:

53

( ) ( ) ( ) ( )bxaxqxxf ++⋅+= 12 .

Atlikums ir polinoms, kura pakāpe ir mazāka par 2. No uzrakstītās vienādības seko, ka

( ) ( ) IbxaIxf ++=+ . Tātad aplūkojamo faktorgredzenu [ ]( )12 +x

xR var aprakstīt šādi:

[ ]( ) ( ) RbaxbaRbaIbxax

xR ∈+=∈++=+

,/,/12 .

Šajā pierakstā katrs gredzena [ ]( )12 +x

xR elements ir viennozīmīgi pierakstīts formā bia +

(ar i apzīmējām elementu x ). Atzīmēsim, ka

( ) 111222 −=−+== xxi gredzenā [ ]( )12 +x

xR .

Tātad aplūkojamais faktorgredzens faktiski ir komplekso skaitļu lauks

1,,/ 2 −=∈+= iRbabiaC .

54

6. lekcija

Lauki un to paplašinājumi

Lekcijā aprakstīti lauku un komutatīvu gredzenu paplašinājumi. Kā galvenos rezultātus ir jāuzskata primitīvā lauka jēdziens kā arī iespēja galīgus lauka paplašinājumus realizēt matricu gredzenā.

6.1. Lauka definīcija un piemēri

Algebriskais objekts – lauks jau vairākas reizes ir parādījies mūsu lekcijās. Pirms dosim šā jēdziena definīciju, jāatzīmē, ka lauks ir visas matemātikas (vismaz skaitļu matemātikas pamatobjekts). Šeit jāatzīmē, ka skaitļa jēdziens matemātikā veidojās pakāpeniski: 1) Sākumā bija naturālie skaitļi N (vēlāk, pievienojot šim objektam arī 0 elementu, ieguvām naturālos skaitļus ar 0 – 0N ). Šajā kopā varēja izpildīt saskaitīšanas un reizināšanas

operācijas. 2) Pirmā pretruna bija saistīta ar to, ka naturālo skaitļu kopā nebija definēta atņemšanas operācija. Šī problēma tika viegli atrisināta, ievedot negatīva skaitļa jēdzienu un nonākot pie kopas Z – veselo skaitļu kopas. No mūsdienu matemātikas viedokļa tika izveidots veselo skaitļu gredzens – algebriska struktūra, kurā var izpildīt saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operācijas. Ievērosim, ka saskaitīšanas un reizināšanas operācijas skaitļu kopās ir komutatīvas, tātad saskaitāmo un reizinātāju secībai nav nozīmes. 3) Nākošā problēma bija saistīta ar to, ka praksē bija nepieciešama arī dalīšanas operācija:

ba (šī problēma radās pašās vienkāršākajās sadzīves situācijās, kad kopīgi iegūtā manta

bija jāsadala vienādās daļās). Tādā veidā radās racionālās daļas. Līdz ar to radās arī racionālo skaitļu kopas Q jēdziens; ar daļu aritmētiku mēs iepazīstamies pamatskolas kursā. No algebriskā viedokļa šeit jāatzīmē divas nianses:

a) daļu ba var definēt, ja elementam b ir definēts apgrieztais elements; t.i. elements

1−b , tāds, ka 11 =⋅ −bb ; tādā gadījuma varam definēt 1−⋅= baba un pārbaudīt, ka

visas operācijas ar daļām ba izpildās atbilstoši prasītajām īpašībām;

b) elementam 0 nevar piekārtot elementu 10− , kura ievešana gan loģiski gan aritmētiski neizsauktu pretrunas skaitļu aritmētikā.

Šī vienkāršā pretruna (punkts b))no algebras viedokļa ir ļoti nopietna. Tieši šī iemesla dēļ lauku teorija neiekļaujas vispārīgo algebru varietāšu teorijā un lauku teorija ir īpašs matemātikas virziens, kas nepieciešams praktiski visu matemātisko teoriju attīstībai, bet kā objekts neiekļaujas pat vienkāršākajā algebras struktūrā – algebru varietāšu jēdzienā. Tālākā skaitļu kopas attīstība bija saistīta ar vairākām pretrunām, kas parādīja, ka aplūkojamais objekts neatbilst realitātei. Šādas pretrunas nevis norāda dotās teorijas aplamumu, bet dod iespēju matemātiķiem vispārināt šo teoriju, pieskaņojot to realitātes prasībām. Šeit būtu jāatzīmē divi galvenie skaitļu kopas paplašinājuma virzieni. Tie ir saistīti ne tikai ar skaitļa jēdziena vispārinājumu. Šie divi virzieni noteica arī skaitļu teorijas (un arī visas matemātikas, jo nav matemātikas bez skaitļiem,) attīstību divos virzienos.

1. Pirmo pieeju varētu nosaukt par diskrēto pieeju. Tās pamatā ir "absolūti neapgāžama" ideja: "Katru apgalvojumu cilvēks var pierakstīt tikai diskrētā veidā (tiešām, apgalvojuma pierakstu matemātikā mēs esam spiesti pierakstīt formālu simbolu virknē)".

55

To, ka diskrētais pieraksts ne vienmēr var precīzi atspoguļot aprakstāmo objektu, mēs varētu pārliecināties, noklausoties izcilu muzikantu koncertu tiešā izpildījumā un salīdzināt to ar ierakstu kompaktdiskā. No Pitagora teorēmas seko, ka kvadrāta, kura mala ir vienāda ar 1, diagonāles kvadrāts ir vienāds ar 2. Vienkārši var pierādīt, ka nav tāda racionāla skaitļa, kura kvadrāts būtu vienāds ar 2. Tātad kvadrāta diagonāles garumu nevar aprakstīt racionāls skaitlis. Algebriskās skaitļu teorijas pieeja bija sekojoša: apzīmēsim ar α "skaitli", kuram izpildās

vienādība 22 =α . Tālāk aplūkosim skaitļu lauku ( ) QbabaQ ∈+= ,/2 α , kurā algebriskos pārveidojumus izpildām pēc parastajiem aritmētikas likumiem, papildus ievērojot vienādību 22 =α . Šo lauku var algebriski aprakstīt kā polinomu gredzena [ ]xQ faktorgredzenu:

[ ] [ ]( )2

2 2 −≅

xxQQ .

Viegli pārbaudīt, ka šādā objektā var saskaņoti izpildīt visas aritmētiskās operācijas. Protams, ka šī pieeja noveda pie vispārinājumiem, kuros racionālo skaitļu laukam tika

pievienoti elementi m d kā arī patvaļīga algebriska vienādojuma ( )xf sakne α. Šādu objektu formālās definīcijas tiks aplūkotas turpmākajās lekcijās.

2. Otrā ideja racionāla skaitļa un šī skaitļu lauka vispārināšanai bija "nepārtrauktā" pieeja. Nepārtrauktās idejas pamatā bija doma, ka visus skaitļus var sakārtot uz skaitļu ass. Tātad, katram veselam skaitlim n atbilst skaitļu ass punkts ( )n . Viegli konstruēt arī visus

racionālos skaitļus ( )nm . Šāda interpretācija labi saskaņojās ar cilvēka psiholoģisko uztveri

par kvantitātes jēdzienu. Problēmas, kas radās algebriskajā skaitļu teorijā (teiksim skaitļa

2 eksistence) bija atrisinātas; uz skaitļu ass (izmantojot Pitagora teorēmu) varēja atzīmēt

punktu, kura vērtība ir 2 . Vispār, reāls skaitlis tagad bija virkne KKK ,,,,, 2101 knn aaaaaa −−−− – skaitļa pieraksts decimālajā, binārajā vai jebkurā

pozicionālajā sistēmā. Šajā pierakstā slēpjas pati būtiskākā "pretruna" starp diskrēto un nepārtraukto matemātiku. Diskrētajā pierakstā apzīmējumam

KKK ,,,,, 2101 knn aaaaaa −−−− nav jēgas, jo tas nav galīgi pierakstāms. Nepārtrauktajā

matemātikā šim pierakstam ir jēga (nepārtrauktajā matemātikā netiek prasīts, lai konkrēts objekts būtu konkrēti pierakstīts; turklāt ir iespējams šo objektu aprakstīt konkrētam skaitlim k; tas dod iespēju nepārtraukto skaitļa pierakstu uztvert par abstraktu objektu, kuram, atkarībā no nepieciešamās precizitātes, var piekārtot "diskrētu" skaitli ar aptuveni atbilstošām aritmētiskajām īpašībām. Šī pieeja deva iespēju izveidot abstraktu reālā skaitļa jēdzienu, kura precīzs pieraksts nevar būt diskrētajā matemātikā realizējams (tas būtu pretrunā ar informācijas daudzuma jēdzienu). Rezultātā mēs ieguvām divas skaitļu teorijas: 1) teoriju, kas atzīst tikai skaitļu kopas vispārinājumus, kas izmanto tikai diskrēto matemātiku un 2) teoriju, kas atzīst reālos skaitļus un dažādus nekonstruktīvus reālo skaitļu paplašinājumus. Kā jau katra šāda pretruna, tā nav jāuztver kā matemātiska pretruna ( vai, jo vairāk, kā matemātikas gals), bet gan kā jautājums: "Kā atrisināt šo problēmu?". Pirmo problēmu izdevās atrisināt diezgan vienkārši. Algebriskos skaitļus, kas bija konkrētu polinomu saknes izdevās aprakstīt kā reālus vai kompleksus skaitļus, kurus var aprēķināt ar patvaļīgu precizitāti. Nākošā problēma apvienoja gan diskrēto pieeju gan nepārtraukto pieeju. Izrādījās, ka vienādojuma 012 =+x sakne, kas no diskrētās pieejas nav sliktāks objekts kā vienādojuma

56

022 =−x sakne, nevar būt attēlots kā reāls skaitlis uz skaitļu ass. Tad nepārtrauktās matemātikas veidotāji ieveda abstraktu simbolu i, kuru definēja kā skaitli, kura kvadrāts ir " 1− ". Acīmredzot, šajā momentā viņi aizmirsa par strīdu starp nepārtraukto un diskrēto matemātiku. Jāsaka, ka viņiem paveicās; jo izrādījās, ka skaitļu kopā

[ ] 1,,/ 2 −=∈+== iRbabiaiRC tagad bija iespējams atrisināt jebkuru algebrisku vienādojumu.

Teorēma 6.0. ( Komplekso skaitļu algebras pamatteorēma). Jebkuram polinomam ( )xf , kura pakāpe ir ne mazāka par 1, komplekso skaitļu laukā C eksistē skaitlis Cc∈ , kas ir šī polinoma sakne.

Pirmais šo teorēmu pierādīja ģeniālais vācu matemātiķis Gauss. No šīs teorēmas seko, ka jebkuru polinomu ar kompleksiem koeficientiem var uzrakstīt kā lineāru polinomu reizinājumu: ( ) ( ) ( ) ( )ncxcxcxaxf −⋅⋅−⋅−⋅= L21 .

Tātad, risinot algebriskus vienādojumus, tālākā komplekso skaitļu paplašināšana nebija nepieciešama. Jāatgādina tikai, ka gan lauks R , gan lauks C nav konstruktīvi objekti: tas nozīmē, ka jebkura to realizācija datoros ir saistīta ar aptuveno aritmētiku. Tagad aplūkosim lauka definīciju.

Definīcija 6.1. Par lauku P sauc komutatīvu gredzenu ar vieninieku ( tā signatūra aprakstīta iepriekšējās lekcijās), kuram papildus izpildās šāda īpašība:

( )10 =⋅∃≠∀ yxyx .

Piemēri. 1. Skaitļu lauki: Q – racionālo skaitļu lauks, R – reālo skaitļu lauks, C – komplekso skaitļu lauks, un dažādi šo lauku apakšlauki.

2. Skaitļu lauks ( ) QbabaQ ∈−+=− ,/55 ; šo lauku var aprakstīt kā polinomu

gredzena [ ]xQ faktorgredzenu:

( ) [ ]( )5

5 2 +=−

xxQQ .

3. Skaitļu lauks ( ) QcbacbaQ ∈+⋅+= ,,/77 3 23α , kur α ir kubiskā vienādojuma

073 =−x sakne. 4. Racionālo daļu lauks ( )nxxxK ,,, 21 K – tās ir visas racionālās izteiksmes, kuras var

uzrakstīt izmantojot norādītos mainīgos.

5. Skaitļu lauks pēc moduļa p: 1,,2,1,0 −= pZ p K – tas ir galīgs lauks, kurā operācijas

tiek izpildītas pēc moduļa p.

Katrā algebru klasē mēs definējām vairākus pamatjēdzienus, kas dod iespēju no dotajām algebrām izveidot jaunu algebru. Nekādas problēmas nerodas, aplūkojot apakšlauka

definīciju; piemēram, lauks ( )3Q ir reālo skaitļu R apakšlauks. Otra metode – tiešais reizinājums ir absolūti nepiemērojama lauku teorijā, jo lauku tiešais reizinājums nav lauks. Piemēram, ( ) QbabaQQ ∈=× ,/, ir komutatīvs gredzens, bet apgrieztais elements šajā

gredzenā eksistē tikai tiem elementiem ( )ba, , kuriem 0≠a un 0≠b . Redzam, ka šajā gredzenā apgrieztais elements nav definēts visiem nenulles elementiem; tātad tas nav lauks. Arī lauka faktorizēšana nevar dot jaunus objektus.

57

Teorēma 6.1. Jebkurā laukā K eksistē tikai divi ideāli: nulles ideāls un vienības ideāls K. Pierādījums. Pieņemsim, ka ideāls I nav nulles ideāls. Tādā gadījumā eksistē Ia∈ , 0≠a . Šim elementam eksistē apgrieztais elements, un no ideāla definīcijas seko, ka

Iaa ∈⋅= −11 ; bet tādā gadījumā arī jebkurš lauka elements 1⋅= kk pieder ideālam I. Tas nozīmē, ka šajā gadījumā KI = .

Faktorizēšana pēc nulles ideāla nemaina lauku, bet faktorizēšana pēc vienības ideāla pārvērš lauku par triviālu objektu – gredzenu, kas sastāv tikai no viena – nulles elementa, un tas nav lauks, jo lauka definīcijā tiek pieprasīts, lai vienības elements nebūtu vienāds ar 0. Atliek aplūkot lauku morfismus. Lauka morfismu definē kā gredzena morfismu (tas, ka apgrieztais elements attēlojas apgrieztajā elementā viegli izriet no gredzenu morfisma definīcijas). Tātad katra lauku morfisma LKf →: kodols ir lauka K ideāls. Tā kā

patvaļīgam laukam K ir tikai divi ideāli 0 un K, tad iespējami divi gadījumi:

1) Ja LKf →: un KKerf = , tad attēlojums ir triviāls (visi elementi attēlojas nulles elementā). Šajā gadījumā 0Im =f un attēlojuma rezultātā pazūd visa informācija par sākotnējo lauku; turklāt, attēls nav lauks, jo laukā vienības elements nav vienāds ar nulles elementu; tātad gredzens fIm nav lauks.

2) Ja LKf →: un 0=Kerf , tad attēlojums ir injektīvs; tas nozīmē, ka fK Im≅ un lauku K faktiski var uzskatīt par lauka L apakšlauku, bet lauku L par lauka K

paplašinājumu. Tātad lauku situācijā morfisma jēdziens reducējas uz lauka paplašinājuma jēdzienu.

Definīcija 6.2. Lauku K sauc par primitīvu, ja tas nesatur citus apakšlaukus. Lai varētu aprakstīt visus primitīvos laukus, mēs ievedīsim lauka harakteristikas jēdzienu.

6.2. Lauka harakteristika

Ar 1⋅n apzīmēsim lauka K elementu 43421 Kreizesn

111 +++ .

Definīcija 6.3. Dots lauks K. Mazāko naturālo skaitli p, kuram izpildās vienādība 01 =⋅p sauc par lauka K harakteristiku. Ja šāds skaitlis p neeksistē, tad saka, ka lauka harakteristika ir 0. Atzīmēsim, ka 1⋅n nav reizināšanas operācija laukā K , bet tikai summas 43421 K

reizesn

111 +++

apzīmējums. Iespējamas divas situācijas: 1) Starp elementiem 1⋅k ir vienādi elementi; tas nozīmē, ka eksistē mk > , kuriem

( ) 0111 =⋅−⇒⋅=⋅ mkmk . Tātad eksistē tāds naturāls skaitlis n, kuram izpildās vienādība 01 =⋅n . Pierādīsim, ka šajā gadījumā p ir pirmskaitlis. Pieņemsim pretējo, ka 1,1, ≠≠⋅= knknp .

Tādā gadījumā ( ) ( ) ( ) 0111 =⋅⋅⋅=⋅ knp ; tā kā laukā nav nulles dalītāji, tad 01 =⋅n vai 01 =⋅k , bet tas ir pretrunā ar to, ka p ir mazākais elements, kuram 01 =⋅p . Tātad lauka

harakteristika var būt tikai pirmskaitlis. Šāda lauka piemērs ir lauks 1,,2,1,0 −= pZ p K ;

operācijas tiek izpildītas pēc moduļa p. Viegli pārbaudīt, ka šis lauks ir primitīvs, jo tas nesatur netriviālus apakšlaukus. 2) Visi elementi Zkk ∈⋅ /1 ir dažādi; tad lauks K satur gredzenu, kas ir izomorfs gredzenam Z .

58

Tā kā laukā ir iespējama arī elementu dalīšana, tad K satur arī racionālo skaitļu lauku Q. Arī racionālo skaitļu lauks ir primitīvs, jo visus tā elementus var iegūt no elementa 1, atkārtoti pielietojot lauka operācijas. Faktiski mēs esam pierādījuši sekojošu teorēmu:

Teorēma 6.2. Jebkurš lauks ir primitīva lauka paplašinājums. Primitīvi lauki ir lauks Q un lauki pZ jebkuram pirmskaitlim p.

Tiešām, atkarībā no tā kāda ir lauka harakteristika, lauks satur vai nu lauku pZ vai lauku Q.

Ja lauks ir lauka Q paplašinājums, saka, ka tā harakteristika ir 0, ja lauks ir lauka pZ

paplašinājums, tad saka, ka lauka harakteristika ir p. Tagad fiksēsim pamatlauku K , un pārējos laukus L uzskatīsim par lauka K paplašinājumiem. Arī šajā situācijā veidojas objekts, ko formāli vajadzētu uzskatīt par vairākšķiru objektu, bet atkal ir vienkārša iespēja lauku L uzskatīt par vienšķiru objektu, visus apakšlauka K elementus uzskatot par konstantēm. Tātad mēs varam aplūkot divus lauku tipus (lauku paplašinājumu tipus): 1) racionālo skaitļu lauka Q paplašinājumi ( lauki ar harakteristiku 0);

2) lauka pZ paplašinājumi (lauki ar galīgu harakteristiku).

Ar K apzīmēsim pamatlauku; tad ar L vai LK ⊂ apzīmēsim patvaļīgu lauka K paplašinājumu. Par paplašinājuma L automorfismu grupu sauksim kopu

( ) xxfKxLf =∈∀∈ /Aut ; automorfismu reizinājumu definējam kā attēlojumu kompozīciju. Tātad lauka paplašinājuma automorfisms ir identisks attēlojums bāzes laukā. Aplūkosim vienu no svarīgākajiem lauku paplašinājumiem algebrā: CR ⊂ .

RbabiaC ∈+= ,/ ir komplekso skaitļu lauks.

Pieņemsim, ka f ir lauka C automorfisms pār lauku R. Tad ( ) ( )ifbafbia +=+ . Atliek

noskaidrot if vērtību. No vienādības ( ) ( )2211 iffif ==−=− seko, ka pastāv divas iespējas: a) iif = ; šajā gadījumā f ir identisks attēlojums;

b) iif −= ; šajā gadījumā ( ) ( )biafbia −=+ , un attēlojums f piekārto kompleksam skaitlim z tā saistīto skaitli.

Redzam, ka komplekso skaitļu laukā eksistē divi automorfismi: identiskais attēlojums un saistītā skaitļa piekārtojums. Vispārīgā gadījumā patvaļīga lauka paplašinājumu LK ⊂ raksturo tā automorfismu grupa

( )LKAut . Ja šis paplašinājums ir normāls (ar normāla paplašinājuma jēdzienu un Galuā teoriju var iepazīties literatūrā [Lang] 8.1.)), tad šo grupu sauc arī par paplašinājuma Galuā grupu .

6.3. Komutatīvo gredzenu faktorgredzeni

Komutatīvus gredzenus no lauka atšķir viena, bet ļoti būtiska īpašība; komutatīvos gredzenos nav definēta dalīšanas operācija. Viena no īpašībām, kas neļauj realizēt elementu dalīšanu it nulles dalītāju eksistence.

Definīcija 6.4. Saka, ka gredzena elementi a, b ir nulles dalītāji, ja 0,0 ≠≠ ba , bet to reizinājums 0=⋅ba . Gredzenu, kuram neeksistē nulles dalītāji sauc par veseluma apgabalu.

59

Skaidrs, ka komutatīvā gredzenā, kas ir lauks, šāda situācija nav iespējama. Šāda situācija nav iespējama arī veselo skaitļu gredzenā (tāpat arī racionālo, reālo un komplekso skaitļu laukā). Piemēri. 1. Gredzenā 6Z nulles dalītāji ir elementi 2 un 3 , jo 032 =⋅ .

2. Matricu gredzenā ( )RM 2 nulles dalītāji ir matricas

=

00

11A un

−−=

11

11B , jo

0=⋅ BA .

Uzdevumi.

1. Pierādiet, ka nZ ir veseluma apgabals tad un tikai tad, kad n ir pirmskaitlis.

2. Pierādiet, ka matricu gredzenā ( )RM n nulles dalītāji ir tās un tikai tās matricas, kuru

determinanti nav vienādi ar 0.

Veseluma apgabalos principiāli atšķirīga ir vienādojumu risināšanas teorija. Aplūkosim tikai vienu piemēru. Jāatrisina vienādojums 0232 =+− xx reālo skaitļu laukā. Mēs pārveidojam vienādojumu formā ( ) ( ) 021 =−⋅− xx ; tā kā reālo skaitļu laukā skaitļu reizinājums var būt nulle tikai, ja kāds no reizinātājiem ir 0, tad mēs secinām, ka ( ) ( ) 0201 =−∨=− xx , no šejienes atrodot divus atrisinājumus 2,1 == xx .

Tagad atrisināsim šo vienādojumu gredzenā 6Z . Šajā gadījumā izmantosim tiešās pārlases

metodi. Sastādot tabulu, iegūstam:

x ( ) ( )6mod232 +− xx

0 21 02 03 24 05 0

Redzam, ka šajā gadījumā vienādojumam ir 4 atrisinājumi. Nulles dalītāja jēdziens ir tieši saistīts ar primitīvā ideāla jēdzienu.

Definīcija. 6.5. Ideālu I komutatīvā gredzenā K sauc par primitīvu ideālu, ja no tā, ka Iba ∈⋅ seko, ka ( ) ( )IbIa ∈∨∈ .

Viegli pārbaudīt, ka veselo skaitļu gredzenā galvenie ideāli, ko veido pirmskaitļi, un polinomu gredzenos galvenie ideāli, ko veido primitīvi polinomi, veido primitīvus ideālus.

Teorēma 6.3 I ir primitīvs ideāls gredzenā K tad un tikai tad, ja IK ir veseluma apgabals.

Pierādījums. Pieņemsim, ka I nav primitīvs ideāls. Tādā gadījumā eksistē elementi Ia∉

un Ib∉ , kuru reizinājums Iba ∈⋅ . Tātad 0=⋅ba gredzenā IK , bet 0≠a un 0≠b

gredzenā IK ; līdz ar to pierādīts, ka I

K nav veseluma apgabals.

Otrādi; pieņemsim, ka I ir primitīvs ideāls. Tad vienādība 0=⋅ba nozīmē, ka Iba ∈⋅ . Tā

kā ideāls ir primitīvs, tad ( ) ( )IbIa ∈∨∈ ; tas nozīmē, ka 00 =∨= ba ; tātad IK ir

veseluma apgabals.

Analoģiski var pierādīt sekojošu teorēmu (pierādījumu skat. [Zar], 2.4.).

60

Definīcija 6.6. Gredzena K ideālu sauc par maksimālo ideālu, ja neeksistē tāds gredzena K ideāls J, kuram KJI

≠≠⊂⊂ .

Teorēma 6.4. Dots komutatīvs gredzens ar vieninieku K. Tā faktorgredzens IK ir lauks

tad un tikai tad , kad ideāls I ir gredzena maksimālais ideāls.

Aplūkosim patvaļīgu lauku L un tā paplašinājumu KL ⊂ . Kā jau tika pieminēts šo objektu var aplūkot kā vienšķiru algebru, uzskatot visus L elementus par konstantēm. No lauka aksiomām seko, ka K ir lineāra telpa pār lauku L. Ar E apzīmēsim lineārās telpas K bāzi pār lauku L. Ja E ir galīga kopa, tad teiksim, ka K ir galīgs lauka L paplašinājums. Galīga

paplašinājuma piemēri ir ( )2QQ ⊂ un CR ⊂ . Bezgalīga lauka paplašinājuma piemērs ir

( )xRR ⊂ . Galīgos lauku paplašinājumus aplūkosim nākošajā lekcijā; faktiski tad būs pierādīts, ka jebkuru galīgu lauka paplašinājumu var iegūt no pamatlauka, pievienojot tam noteikta algebriska vienādojuma sakni.

Uzdevumi. 1. Vai lauki ( )2Q un ( )5Q ir izomorfi ? 2. Vai jebkurš galīgs veseluma apgabals K ir lauks ? 3. Pierādīt, ka jebkurš komutatīvs gredzens K, kurš sastāv no 5 elementiem ir vai nu izomorfs gredzenam 5Z , vai tas ir gredzens ar triviālo reizināšanu (t.i. 0, =⋅∀ baba )

4. Gredzena K elementu x sauc par nilpotentu, ja 0=∈∃ nxNn . Pierādīt:

a) ja x ir nilpotents elements, tad ( )x−1 ir apgriežams elements;

b) gredzens mZ satur nilpotentus elementus tad un tikai tad, kad m dalās ar kāda

naturāla skaitļa 1>n kvadrātu.

5. Pierādīt, ka matricu kopa

− ab

ba, 3, Zba ∈ veido lauku no 9 elementiem, kura

multiplikatīvā grupa ir cikliska 8-elementu grupa.

6.4. Gredzena reprezentācija

Mēs aplūkosim gredzenus, kuri ir fiksētu lauku – teiksim lauku Q, R, C vai pZ

paplašinājumi. Katru šādu paplašinājumu LK ⊂ var aplūkot kā lineāru telpu pār lauku K. Aplūkosim situāciju, kad L ir galīgi bāzēta lineāra telpa pār lauku K. Tādā gadījumā katru L elementu var aprakstīt kā lineāru kombināciju no telpas L bāzes elementiem; t.i.,

Kaeaeaeal inn ∈+++= ,2211 L . Tātad faktiski katrs L elements ir n-dimensionālas

lineārās telpas nK elements. Jādefinē ir tikai L elementu reizināšana. Tā kā gredzenā izpildās lineārie un distributīvie likumi, tad

( )∑∑∑ ⋅=⋅== ji

jiji

n

jjj

n

iii eebaebea

,11

;

tas nozīmē, ka jādefinē tikai bāzes elementu reizinājumi. Katram telpas L elementam l atbilst lineārs operators:

( ) xlxlLLl ⋅=→ ,: .

Šā lineārā operatora matricu apzīmēsim ar l .

61

Faktiski mēs esam aprakstījuši attēlojumu ( )KMLf n→: . Aprakstītais attēlojums ir

injektīvs gredzenu morfisms, un to sauc par gredzena L regulāro reprezentāciju matricu gredzenā ( )KM n . No šejienes seko teorēma.

Teorēma 6.5. Jebkurš gredzens, kurš ir galīgs lauka K paplašinājums ir izomorfs matricu gredzena ( )KM n apakšgredzenam.

Tas dod mums iespēju uzskatīt matricu gredzenu kā universālu gredzenu, kura apakšgredzeni realizē visus gredzenus, kas ir galīgi lauka K paplašinājumi.

Piemēri. 1. Aplūkosim reālo skaitļu lauku R. Aplūkosim vienādojuma 012 =+x sakni. Apzīmēsim šo "skaitli" ar i. Lineārās telpas [ ]iR bāze sastāv no elementiem 1 un i.. Lauks [ ]iRC = , kā lineāra telpa pār lauku R ir divdimensionāla telpa; tā bāze ir vektori 1 un i. Aprakstīsim reizināšanas operāciju šiem elementiem:

ii ⋅+⋅=⋅

⋅+⋅=⋅

1101

001111;

tātad elementam "1" atbilst matrica

=

10

011 .

Reizinot ar elementu i iegūstam sakarības:

( ) iii

ii

⋅+⋅−=⋅

⋅+⋅=⋅

011

1101;

elementam "i" atbilst matrica

−=

01

10i .

Patvaļīgam kompleksam skaitlim bia + atbilst matrica

−

ab

ba.

Aprakstītā atbilstība ir komplekso skaitļu reprezentācija matricu gredzenā. Šie lauki ir savā starpā izomorfi un aprēķini abos objektos noved pie vienādiem rezultātiem. Lai gredzena reprezentācijas jēdziens kļūtu skaidrāks, aplūkosim dažus uzdevumus. Uzdevumi. 1. Aprakstīt doto gredzenu regulārās reprezentācijas:

a) ( )( )2Q ,

b) ( )( )3 5Q ,

c) ( )( )01/ 3 =−−αααQ .

Aplūkosim piemēru b). Ar k apzīmēsim elementu 3 5 ; gredzens ( )( )3 5Q ir 3-dimensionāla

telpa pār lauku Q. Tās bāze ir vektori 1, k, 2k . Aprakstīsim šo elementu matricas:

22

2

2

10101

01101

001111

kkk

kkk

kk

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

Tātad

=

100

010

001

1 .

62

22

2

2

0015

1010

01101

kkkk

kkkk

kkk

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

.

Tātad

=

010

001

500

k .

222

22

22

0510

0015

10101

kkkk

kkkk

kkk

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

.

Tātad

=

001

500

050ˆ2k .

Patvaļīgu šā lauka elementu 2ckbkax ++= var aprakstīt ar matricu

=++

abc

cab

bca

ckbka 5

552 .

Šajā piemērā parādīts kā konstruktīvi var strādāt ar lauka ( ) [ ]( )5

5 33

−≅

xxKQ elementiem.

63

7. lekcija

Algebriskie paplašinājumi.

Lekcijā aplūkoti dažādi algebrisko paplašinājumu veidi: vienkāršs algebrisks paplašinājums, salikts algebrisks paplašinājums, paplašinājums ar galīgu skaitu algebriskiem elementiem, galīgs paplašinājums. Pierādīts, ka visi šie paplašinājumu veidi ir ekvivalenti. Galvenais rezultāts ir teorēma par primitīvo elementu. Atsevišķi aplūkoti otrās pakāpes paplašinājumi.

7.1. Vienkāršs algebrisks paplašinājums

Iepriekšējā lekcijā tika aplūkoti dažādi lauku paplašinājumi. Mūsu tagadējais mērķis ir paplašināt lauku ar algebriskiem elementiem. Sāksim ar pamatdefinīciju.

Definīcija 7.1. Pieņemsim, ka L ir lauka K paplašinājums. Saka, ka elements L∈α ir algebrisks pār lauku K, ja eksistē tāds nenulles polinoms ( ) [ ]xKxf ∈ , kura sakne ir α . Katram algebriskam elementam eksistē mazākās pakāpes polinoms, kura sakne ir α . Šo polinomu sauc par algebriskā elementa minimālo polinomu. Ja pamatlauks K ir racionālo skaitļu lauks, tad α sauc par racionālu skaitli.

Piemēram skaitļa 2 minimālais polinoms laukā Q ir polinoms 22 −x . Izdalot minimālo polinomu ar tā vecāko koeficientu, mēs varam iegūt minimālo polinomu, kura vecākais loceklis ir vienāds ar 1; šādus polinomus sauc par unitāriem polinomiem. Algebriski ir arī

skaitļi 5 3 , 3 72 + , utt. Šo skaitļu minimālie polinomi ir 35 −x un ( ) 7223 −−x . Taču ne

visi algebriskie skaitļi ir iegūstami, izmantojot aritmētiskās operācijas un radikāļa zīmes. Piemēram, vienādojuma 15 −− xx saknes nav "aprakstāmas radikāļos". Uz jautājumu, kādu vienādojumu saknes var " izteikt radikāļos" , atbild Galuā teorija. Izrādās, ka vispārīgu algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir augstāka par 4, nevar atrisināt radikāļos. Svarīgs ir arī šāds jautājums: "Vai eksistē dotā lauka K paplašinājums, kurš satur fiksēta primitīva polinoma ( )xp sakni?". Tāds lauks vienmēr eksistē, jo

[ ]( )( )xp

xKL =

ir lauka K paplašinājums, kurā x ir polinoma ( )xp sakne. Šis apgalvojums faktiski ir pierādīts teorēmā 7.2.

Teorēma 7.1. 1. Ja α ir algebrisks skaitlis pār lauku K, ( )xm tā minimālais polinoms un ( )xf --

patvaļīgs polinoms, kura sakne ir α , tad ( )xf dalās ar ( )xm . 2. Katram algebriskam skaitlim α eksistē vienīgais unitārais minimālais polinoms. 3. Minimālais polinoms ir primitīvs polinoms.

Pierādījums. 1. Izdalīsim polinomu ( )xf ar polinomu ( )xm ar atlikumu:

( ) ( ) ( ) ( )xrxqxmxf +⋅= , turklāt ( )( ) ( )( )xmxr degdeg < .

Ievietojot vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību ( ) 0=αr . Tā kā ( )xm ir elementa α

minimālais polinoms, tad vienādība ( ) 0=αr var izpildīties tikai, ja ( )xr ir nulles

polinoms. Tātad ( )xf dalās ar ( )xm .

64

2. Pieņemsim, ka ( )xm1 un ( )xm2 ir divi elementa α minimālie polinomi. No iepriekšējā

punkta seko, ka ( )xm1 dalās ar ( )xm2 un ( )xm2 dalās ar ( )xm1 . Tā kā abi polinomi ir unitāri, tad tie ir vienādi. 3. Pieņemsim pretējo, ka ( ) ( ) ( )xgxfxm ⋅= , kur polinomu f un g pakāpes ir lielākas par 0.

Ievietojot vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību ( ) ( ) ( )ααα gfm ⋅==0 . Tā kā laukā nav

nulles dalītāju, tad ( ) ( ) 00 =∨= αα gf ; taču tā ir pretruna, jo mēs būtu atraduši polinomu,

kura pakāpe ir mazāka par polinoma ( )xm pakāpi un kura sakne ir α .

Aplūkosim mazāko lauka K paplašinājumu, kas satur algebrisku elementu α . Elementa α minimālo polinomu apzīmēsim ar ( ) 01

11 mxmxmxxm n

nn ++++= −

− L Lauka K

paplašinājumu apzīmēsim to ar ( )αK . Aplūkosim kopu

KkakkkkA in

n ∈⋅++⋅++= −− /11

2210 Lαα , kur ( )( )xmn deg= .

Skaidrs, ka visi A elementi pieder laukam ( )αK . Turklāt šie elementi ir viennozīmīgi pierakstīti. Tiešām, no vienādības

` 1110

1110

−−

−− +++=+++ n

nn

n lllkkk αααα LL sekotu vienādība

( ) ( ) ( ) 01111100 =+++−+− −−−

nnn lklklk αα L ;

bet tā kā α minimālā polinoma pakāpe ir n, tad 111100 ,,, −− === nn lklklk K . Tā kā

elementam α izpildās vienādība 011

1 mmm nn

n −−−−= −− ααα L , tad kopā A nav jāiekļauj

lielākas α pakāpes. Viegli pārbaudīt, ka šajā kopā var izpildīt saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operācijas; izpildot reizināšanas operāciju, iegūtais polinoms no α ir jāizdala ar atlikumu ar α minimālo polinomu. Piemērs. Aplūkosim racionālo skaitļu lauka Q paplašinājumu ar skaitli α , kura minimālais polinoms ir 13 −− xx . Tad kopa A sastāv no skaitļiem 2

210 αα ⋅+⋅+ kkk . Aprēķināsim

reizinājumu ( ) 2422 1 αααα +=+⋅ ;

šis "polinoms" jāizdala ar "polinomu" 13 −−αα . Pareizāk būtu teikt, ka jāizdala polinoms 24 xx + ar polinomu 13 −− xx , un pēc tam x vietā jāievieto α .

( ) ααααααα ++⋅−−=+ 2324 21 .

Tātad ( ) αααα +=+⋅ 222 21 . Uzdevumi.

1. Aplūkosim lauku ( ) [ ]( )15 −−

≅xx

xQQ α ; tātad skaitļa α minimālais polinoms ir

15 −− xx . Aprēķināt : a) ( ) ( )21 24 +⋅+ αα ,

b) 1−α . ( Lielumiem jābūt izteiktiem kā polinomiem no α , kuru pakāpe nepārsniedz 4).

2. Pierādīt, ka skaitlis 52 + ir algebrisks pār lauku Q un atrast šī skaitļa minimālo polinomu.

Teorēma 7.2. Dots algebrisks elements α no lauku paplašinājuma LK ⊂ , kura minimālais polinoms ir ( ) 01

11 mxmxmxxm n

nn ++++= −

− L .

65

Kopa ( ) KkkkkK in

n ∈++⋅+= −− /1110 ααα L veido lauku; tas ir mazākais lauks, kas

satur elementu α .

Piezīme. No lauka ( )αK apraksta seko, ka ( ) [ ]( )( )xm

xKK ≅α .

Pierādījums. Faktiski jau ir pierādīts, ka šī kopa veido komutatīvu gredzenu ar vieninieku. Vienīgais, kas ir jāpierāda, ir apgrieztā elementa eksistence jebkuram nenulles elementam. Aplūkosim patvaļīgu gredzena ( )αK elementu ( )αh , ( ) nh <deg . No teorēmas par Eiklīda

algoritmu seko, ka polinomu ( )xh un ( )xm lielāko kopīgo dalītāju ( )xd var izteikt formā

` ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxmxfxhxd ⋅+⋅= .

Tā kā ( )xm ir primitīvs polinoms un ( ) ( )mh degdeg < , tad ( ) 1=xd . Esam ieguvuši vienādību

( ) ( ) ( ) ( )xgxmxfxh ⋅+⋅=1 . Ievietojot šajā vienādībā x vietā α , iegūstam vienādību ( ) ( ) 1=⋅ αα fh .

Tas nozīmē, ka elementam ( )αh eksistē apgrieztais elements ( )αf . Teorēma pierādīta.

No lauka ( )αK elementu pieraksta seko, ka ( )αK ir lineāra telpa pār lauku K, kuras bāze

sastāv no elementiem 1,,,1 −nαα K , tātad ( )αK ir n-dimensionāla lineāra telpa; t.i.,

( )( ) nKK =:α .

7.2. Dažādi algebrisku paplašinājumu tipi

Aplūkosim dažādus algebrisku paplašinājumu tipus. (1) Vienkāršs algebrisks paplašinājums. (2) Paplašinājums ar galīgu skaitu algebriskiem elementiem. Aplūkosim lauku K un galīgu skaitu algebriskus elementus mααα ,,, 21 K pār lauku K.

Mazāko lauka K paplašinājumu, kas satur elementus mααα ,,, 21 K apzīmēsim ar

( )maK αα ,,, 21 K un sauksim par lauka K paplašinājumu ar elementiem mααα ,,, 21 K .

(3) Salikts algebrisks paplašinājums. To definē šādi: ( )( ) ( )mK ααα K21 ,

kur elements 1+kα ir algebrisks pār lauku ( )( ) ( )kK ααα K21 . Piemēram, mēs varam laukam

Q vispirms pievienot skaitli 5 , bet pēc tam pievienot skaitli 3 532 + . (4) Galīgs algebrisks paplašinājums. Šis jēdziens bija definēts jau iepriekšējā lekcija; tas nozīmē, ka mēs aplūkojam paplašinājumu LK ⊂ , kuram ( )KL : ir galīgs skaitlis (L ir galīgi dimensionāla telpa pār K). (5) Algebrisks paplašinājums. Tas ir paplašinājums LK ⊂ , kuram jebkurš L elements ir algebrisks pār lauku K.

Mūsu uzdevums ir parādīt, ka pirmie četri no šiem jēdzieniem ir ekvivalenti; piektais – algebriskais paplašinājums ir plašāks jēdziens.

66

Teorēma 7.3. (2), (3) un (4) paplašinājumu tipi ir savā starpā ekvivalenti.

Pierādījums. (3)(2) ⇒ . Acīmredzami, ka elements 1+kα , kurš ir algebrisks pār lauku K ir algebrisks arī

par šī lauka paplašinājumu ( )( ) ( )kK ααα K21 ; par polinomu, kura sakne ir 1+kα un

koeficienti pieder laukam ( )( ) ( )kK ααα K21 var izvēlēties polinomu, kura sakne ir 1+kα un

koeficienti pieder laukam K. Tātad paplašinājumu ( )maK αα ,,, 21 K , protams, var uzskatīt

arī par saliktu paplašinājumu ( )( ) ( )mK ααα K21 .

(4)(3) ⇒ . Vispirms pierādīsim sekojošu lemmu: Lemma. (Galīgu paplašinājumu tornis). Ja MKL ⊂⊂ ir divu galīgu paplašinājumu tornis, ( ) rLK =: un ( ) sKM =: , tad ML ⊂ ir galīgs paplašinājums un ( ) srLM ⋅=: .

No dotā seko, ka K ir lineāra telpa pār L ar bāzi raaa ,,, 21 K un M ir lineāra telpa pār K

ar bāzi sbbb ,,, 21 K . Pierādīsim, ka M ir lineāra telpa pār L ar bāzi ji ba ⋅ . No dotā seko,

ka jebkuru M elementu var uzrakstīt formā

∑=

∈⋅=s

jjjj Llblm

1

, , tā kā ∑=

=r

iiijj akl

1

, tad

∑∑= =

=s

j

r

ijiij bakm

1 1

.

Tātad jiba ir telpas M veidotājsistēma pār lauku L. Jāpierāda, ka šie vektori ir lineāri

neatkarīgi. Pieņemsim, ka

01 1

=∑∑= =

s

j

r

ijiij bak .

No tā, ka jb ir telpas M bāze pār lauku K seko, ka 01

=∑−

i

r

iij ak visiem j. No tā, ka ia ir

telpas K bāze pār lauku L seko, ka 0=ijk visiem i un j. No šejienes seko, ka vektori jiba

ir lineāri neatkarīgi. Lemma pierādīta. Saliktu algebrisku paplašinājumu var uzskatīt par vienkāršu algebrisku paplašinājumu torni:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )mKKKK αααααα KK 21211 ⊂⊂⊂⊂ . Tā kā katrs vienkāršs algebrisks

paplašinājums ir galīgs paplašinājums (teorēma 7.2), tad arī šo paplašinājumu tornis ir galīgs paplašinājums.

(2)(4) ⇒ . Dots galīgs algebrisks paplašinājums LK ⊂ . Tas nozīmē, ka eksistē galīga L

bāze pār K , kopa maaa ,,, 21 K . Pierādīsim, ka visi šie elementi ia ir algebriski pār K.

Izvēlēsimies vienu no tiem a (faktiski tas var būt jebkurš galīgā paplašinājuma elements). Aplūkosim 1+m elementu maa ,,,1 K . Šie 1+m elementi ir lineāri atkarīgi m-

dimensionālā telpā L. Tātad 010 =+++ mmakakk L ; tas nozīmē, ka a ir polinoma

( ) mm xkxkkxf +++= L10 sakne, tātad a ir algebrisks elements pār lauku K. Bet tādā

gadījumā ( )maaaKL ,,, 21 K= , kur ia ir algebriski elementi pār lauku K. Tas nozīmē, ka L

ir algebrisks paplašinājums pār lauku L ar galīgu algebrisku veidotājelementu skaitu. Pie viena ir pierādīts arī, ka katrs galīgs paplašinājums ir algebrisks, jo katram elementam a eksistē minimālais polinoms.

Viegli pārbaudīt, ka patvaļīgs algebrisks paplašinājums var nebūt galīgs; piemēram

paplašinājums ( )KK ,,,3,2 ipQ nav galīgs paplašinājums, jo paplašinājums

67

( )ipQ ,,3,2 K ir i2 -dimensionāla lineāra telpa; tātad turpinot elementu kp

pievienošanu lineārās telpas dimensionalitāte kļūst lielāka par jebkuru skaitli.

7.3. Teorēma par primitīvo elementu

Atliek noskaidrot vienu jautājumu: "Vai katrs salikts algebrisks paplašinājums ir vienkāršs algebrisks paplašinājums?".

Izrādās, ka tas tiešām tā ir; šī ir viena no nozīmīgākajām teorēmām algebrisko paplašinājumu teorijā.

Teorēma 7.4. (Teorēma par primitīvo elementu). Jebkurš lauka K paplašinājums, kuru veido galīga algebrisku skaitļu sistēma ir vienkāršs algebrisks paplašinājums. (K ir bezgalīgs lauks)

Pierādījums. Protams, ka pietiek šo teorēmu pierādīt divu algebrisku skaitļu gadījumā. Aplūkosim lauku paplašinājumu ( )βα ,KL = , kur

α minimālais polinoms ir ( )xf un tā saknes ir na ααα ,,, 21 K= ;

β minimālais polinoms ir ( )xg un tā saknes ir mββββ ,,, 21 K= .

Aplūkosim βαδ c+= , kur Kc∈ un k

icβαδ −

≠ ; ( )1,1 ≠≠ ki . Protams, ka šāds elements

c eksistē, jo nedrīkst izpildīties tikai galīgs skaits nevienādību. Lauks ( )δK ir lauka ( )βα ,K apakšlauks. Aplūkosim divus polinomus ar koeficientiem

laukā ( )δK :

( )cxf −δ ; šī polinoma saknes ir 1β (jo 11 αβδ =− c ) un skaitļi c

iαδ −;

( )xg ; šī polinoma saknes ir nβββ ,,, 21 K .

Šiem polinomiem ir kopīga sakne 1β . Citu kopīgu sakņu šiem polinomiem nav, jo no

vienādības c

ik

αδβ

−= seko vienādība

k

icβαδ −

= , bet tas ir pretrunā ar elementa c izvēli.

Tātad šo polinomu lielākais kopīgais dalītājs ir ( )β−x , un to var izteikt formā

( ) ( ) ( ) ( ) ( )βδ −=+− xxsxgxrcxf .

Visu polinomu koeficienti pieder laukam ( )δK . Ievietojot šajā vienādībā 0=x , iegūstam,

ka elements β pieder laukam ( )δK . No vienādības βδα c−= seko, ka arī elements α

pieder laukam ( )δK . Tātad pierādīts, ka ( ) ( )δβα KK ⊂, . Līdz ar to pierādīta arī šo lauku vienādība. Teorēma pierādīta.

Praktiski, izvēloties elementu c, var ņemt jebkuru elementu un ar varbūtību 1 tas apmierinās norādītās vienādības. No aprēķinu viedokļa nav skaidrs vai izvēlēties vairākus vienkāršākus algebriskus elementus, vai izmantot vienu, bet sarežģītāku algebrisko elementu.

Piemērs. Aplūkosim lauku ( )3,2K ; apzīmēsim 2=α un 3=β . Par primitīvo elementu δ izvēlēsimies elementu βαδ += . Atradīsim šī elementa minimālo polinomu

un izteiksim elementus 2 un 3 ar primitīvo elementu δ .

Lauks ( )3,2K ir lineāra telpa pār K, kura bāze ir skaitļi 6,3,2,1 .

68

Elementa δ minimālā polinoma pakāpe šajā laukā ir 4. Tāpēc izteiksim šā elementa pirmās

četras pakāpes kā vektorus telpā ( )3,2K :

( )

( ) ( )

( ) ( ).62049

625625

,603921110

62532

,62302015

62532

,60312110

,603020111

224

23

22

+

=+⋅+=⋅=

⋅+++⋅

=+⋅+=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅

=+=+=

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅=

δδδ

δδδ

δ

δ

No šejienes iegūstām δ pakāpes kā vektorus telpā ( )3,2K .

( )( )( )( )( )20,0,0,49

0,9,11,0

2,0,0,5

0,1,1,0

0,0,0,11

4

3

2

=

=

=

=

=

δ

δ

δ

δ

Lai atrastu sakarību starp šiem vektoriem, jāatrisina homogēna vienādojumu sistēma:

)|200200

0|09010

0|011010

0|490501

⇔

)|02000

0|200200

0|09010

0|490501

⇒

1,0,10,0,1 01234 ==−=== xxxxx .

No šejienes seko, ka elementa δ minimālais polinoms ir ( ) 110 24 +−= xxxh .

Lai atrastu izteiksmes kā izteikt 2 un 3 ar δ , jārisina šādas vienādojumu sistēmas:

αδδδ =⋅+⋅+⋅+⋅ 33

2210 1 xxxx :

0|0200

0|9010

1|11010

0|0501

Iegūstam atrisinājumu ( ) αδδ =−⋅ 3

2

1. Varam pārbaudīt šo vienādību, pārbaudot identitāti

( ) ( ) 232322

1 3=

+−+⋅ .

69

Līdzīgi var iegūt 3 izteiksmi, izmantojot 32 +=δ . Šeit ir ļoti būtisks jautājums

(konstruktīvajā algebrā): "Kādus elementus izmantot vienkāršāk: divus vienkāršus 2 un

3 , vai vienu sarežģītu 32 +=δ ?". Atbilde nav viennozīmīga, un, atkarībā kādi ir aplūkojamie uzdevumi, aprēķināšanas ātrums var būt lielāks gan pirmajā gan otrajā gadījumā. Uzdevumi. 1. Atrast lauka ( )5,2Q primitīvo elementu δ un izteikt elementus 2 un 5 ar elementu δ .

2. Sareizināt elementu ( )532 + ar ( )523 + , uzrakstot to kā lauka ( )5,2Q

elementu un arī kā lauka ( )δQ elementu

3. Atrast elementa ( )52 + apgriezto elementu. Uzrakstot to kā lauka ( )5,2Q

elementu un arī kā lauka ( )δQ elementu.

4. Atrast lauka ( )3 3,3Q primitīvo elementu δ un izteikt 3 un 3 3 ar šo elementu.

7.4. Otrās pakāpes paplašinājumi

Vienkāršākie algebriskie paplašinājumi ir otrās pakāpes (jeb, tā saucamie kvadrātiskie) paplašinājumi. Aplūkosim lauku K un algebrisku elementu α , kura minimālais polinoms ir

( ) qpxxxf ++= 2 . Ievērosim, ka 2

Dpx

±−= , kur qpD 42 −= . Ja D ir kvadrāts laukā

K, tad lauka K paplašinājums ( )αK sakrīt ar pašu lauku. Ja D nav kvadrāts laukā K, tad

lauka K paplašinājums ( )αK sakrīt ar paplašinājumu ( )DK . Tātad visi otrās pakāpes

paplašinājumi reducējas uz D pievienošanu laukam K. Atzīmēsim, ka komplekso skaitļu lauks C ir reālo skaitļu lauka R kvadrātisks paplašinājums ar algebrisku skaitli i , kura kvadrāts ir vienāds ar –1. Precīzāk,

[ ]( )12 +

≅x

xRC .

Šeit vajadzētu aplūkot divus paplašinājuma veidus:

1) Gredzena paplašinājums [ ] KbaDbaDK ∈+= ,/ ,

2) Lauka paplašinājums ( ) KbaDbaDK ∈+= ,/ . Pirmajā gadījumā nav iespējama dalīšanas operācija. Aplūkosim lauka paplašinājumus, un tikai atsevišķos gadījumos atzīmēsim gredzenu paplašinājumu atšķirīgās īpašības.

Vispirms aprakstīsim lauka ( )DK automorfismu grupu. Tā kā

( ) DbfaDbaf +=+ ,

tad automorfismu f nosaka D attēls. No vienādības

( ) ( ) ( )2DfDDfDfD =⋅==

seko, ka ( ) DDf = vai ( ) DDf −= .

Pirmajā gadījumā iegūstam identisku attēlojumu ( ) ( )DbaDbaf +=+ .

Otrajā gadījumā iegūstam saistīto attēlojumu ( ) ( )DbaDbaf −=+ .

Apzīmēsim saistītā skaitļa Dbax += attēlu ar x . Šī attēlojuma īpašības seko no automorfisma īpašībām.

70

1. ( ) ( )yxyx ±=± ,

2. ( ) yxyx ⋅=⋅ ,

3. y

xy

x = .

No šejienes seko teorēma.

Teorēma 7.5. Dots lauka paplašinājums DKK ⊂ un racionāla funkcija

( ) ( )nn xxKxxf ,,,, 11 KK ∈ . Tad ( ) ( )nn xxfxxf ,,,, 11 KK = .

Šīs teorēmas apgalvojums izpildās arī gredzena paplašinājumiem, ja funkcija ( )xf ir polinoms. Aplūkosim uzdevumus, kura pierādījumā izmantota šī teorēma. Uzdevumi. 1. Vai eksistē tādi racionāli skaitļi dcba ,,, , kuriem izpildās vienādība:

( ) ( ) 2432222

+=+++ dcba ? Atrisinājums. Ja izpildās šāda vienādība, tad izpildās arī saistītā vienādība:

( ) ( ) 2432222

−=−+− dcba . Taču šī vienādība nav iespējama, jo vienādības kreisā puse ir pozitīvs skaitlis, bet vienādības labā puse ir negatīvs skaitlis.

2. Pierādiet, ka jebkuram naturālam skaitlim n skaitli ( )n12 − var uzrakstīt formā

mm −+1 , kur m ir naturāls skaitlis.

Atrisinājums. No vienādības ( ) 221 bam

+=+ un saistītās vienādības

( ) 221 bam

−=− iegūstam , ka ( ) ( ) 222121 bamm

−=+− , jeb ( )mba 122 −=− . Tātad pāra skaitlim n izpildās vienādība

( ) 2222 2122212 bbbaban

−+=−=−=− , bet nepāra skaitlim n izpildās vienādība

( ) 2222 12212 aaabban

−+=−=+−=− .

3. Atrast skaitļa ( )10032 + pirmos trīsdesmit ciparus aiz komata.

Atrisinājums. Tā kā ( )10032 + un ( )100

32 − ir saistīti skaitļi, tad

( ) ( )1001003232 −++

ir vesels skaitlis. Ņemot vērā, ka

( ) ( )30100

100100

10

1

2

15,032 <=<− ,

iegūstam, ka skaitļa ( )10032 + pirmie 30 cipari aiz komata ir devītnieki.

Teorēma 7.6. Aplūkosim lauka paplašinājumu ( )DKK ⊂ un tā elementu x. Tad

xx + un xx ⋅ ir lauka K elementi. Skaitli xx ⋅ sauc par skaitļa x normu un apzīmē ar |||| x .

Pierādījums. ( ) ( ) aDbaDba 2=−++ ; ( ) ( ) 22 DbaDbaDba −=−⋅+ .

71

Uzdevumi. 1. Dots, ka skaitļus x un y var izteikt formā 22 5ba + , kur a un b veseli skaitļi. Pierādīt, ka šādā formā var izteikt arī skaitli yx ⋅ .

Pierādījumā izmantojiet to, ka skaitlis 22 5ba + ir algebriskā skaitļa 5−+ ba norma.

2. Pierādīt, ka vienādojumam 12 22 =− yx eksistē bezgalīgi daudz atrisinājumu veselos skaitļos.

Skaitļu gredzenā 2Q jāatrod skaitlis, kura norma ir vienāda ar 1. Kāpinot šo skaitli patvaļīgā naturālā pakāpē, atradīsim bezgalīgu dotā vienādojuma atrisinājumu sēriju. 3. Pierādīt, ka naturālu skaitli n var izteikt formā 22 yx + (x, y – veseli skaitļi) tad un tikai tad, kad tādā formā var izteikt skaitli 2n. Nākošajā lekcijā aplūkosim kvadrātisko paplašinājumu pielietojumus ģeometrisko konstrukciju uzdevumos.

72

8. lekcija

Ģeometriskās konstrukcijas.

Lekcijā parādīts, ka ģeometrisko konstrukciju iespējamība ir saistīta ar algebrisko lauku paplašinājumu teoriju un dots neliels vēsturisks ieskats šīs teorijas attīstībā.

Tas, kurš neatzīst Eiklīda ģeometriju atgādina cilvēku, kas, atgriezies no svešām zemēm, sāk nievāt savu māju.

G. Forders

8.1. Ievads

Konstruktīvās problēmas ģeometrijā vienmēr ir interesējušas matemātiķus. Ko var konstruēt ar lineālu un cirkuli? Šeit jāatzīmē, ka lineālu nevar izmantot kā mērinstrumentu, bet ar to var tikai novilkt taisni. No skolas kursa zināms, ka ar šiem instrumentiem var izpildīt dažādas konstrukcijas: pagarināt nogriezni n reizes, sadalīt nogriezni m daļās (no šejienes seko, ka sākot no vienības nogriežņa, var iegūt nogriezni ar patvaļīgu racionālu garumu), vilkt perpendikulu pret taisni, vilkt paralēlu taisni, sadalīt leņķi divās vienādās daļās, utt. Šāds konstruējamo ierīču ierobežojums (lineāls un cirkulis) ir saistīts ar senām tradīcijām, kuras klasiskās ģeometrijas pārstāvji ir atnesuši līdz mūsdienām. Izmantojot citas ģeometrisko konstrukciju ierīces (taisnleņķa trijstūri, lineālu ar paralēlām malām, riņķi, kas var ripot pa jebkuru jau uzzīmētu līkni un atzīmēt plaknē jebkura sava punkta trajektoriju, utt), iespējams konstruēt daudzus ģeometriskos objektus, kuri ir nekonstruējami ar cirkuli un lineālu; piemēram, atļaujot riņķa līnijai ripot pa taisni (kas reālā dzīvē ir iespējams), vienkārši ir konstruēt skaitli π , līdz ar to atrisinot klasiskajā ģeometrijā neatrisināmo riņķa kvadratūras problēmu. Jāatzīmē, ka matemātiskā teorija par konstrukcijām ar citām ģeometriskām ierīcēm ir praktiski neizpētīta. Mēs šajā lekcijā aplūkosim tikai konstruktīvos uzdevumus, kuros izmantots tikai cirkulis un lineāls. Viena no slavenākajām klasiskajām problēmām konstruktīvajā ģeometrijā ir Apolona problēma : dotas trīs riņķa līnijas; jākonstruē riņķa līnija, kas pieskaras dotajām riņķa līnijām. Šī senā problēma mūsu dienās ir atrisināta. No visām konstruktīvajām problēmām ģeometrijā vislielāko interesi izsauca regulāra n-stūra konstruēšana. Vienkārši konstruēt regulāru n-stūri, ja 6,4,3=n . Ja 5=n , konstrukciju aplūkosim šajā lekcijā. Taču šajā lekcijā tiks pierādīts arī, ka prasītā konstrukcija nav iespējama, ja 7=n . Jāatzīmē arī trīs senās klasiskās konstruktīvās ģeometrijas problēmas. 1. Leņķa trisekcija. Zīmējumā doto leņķi sadalīt trīs vienādās daļās. 2. Kuba dubultošana. Konstruēt kuba malu, kura tilpums ir divas reizes lielāks par dotā kuba tilpumu. Faktiski

uzdevums reducējas uz skaitļa 3 2 konstruēšanas iespējamību. 3. Riņķa kvadratūra. Konstruēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā riņķa laukumu. Šis uzdevums ir saistīts ar skaitļa π konstruēšanas neiespējamību. Daudzu gadsimtu garumā šīs problēmas neizdevās atrisināt. Rezultātā tās deva impulsu vienam no interesantākajiem virzieniem matemātikā – idejai, ka mēdz būt uzdevumi, kurus

73

nav iespējams atrisināt. Līdz ar to matemātikā parādījās jauns ļoti sarežģīts uzdevums: "Kā pierādīt, ka viena vai otra matemātiska problēma ir neatrisināma?". Algebrā analoģisks jautājums parādījās sakarā ar problēmu, kā atrisināt algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4. Jau 16. gadsimtā tika atrastas formulas, kas ļauj trešās un ceturtās pakāpes vienādojumu saknes izteikt ar vienādojuma koeficientiem, izmantojot aritmētiskās operācijas un n-tās pakāpes radikāļa zīmi. Līdzīgas formulas tika meklētas arī piektās un augstākas pakāpes algebriskiem vienādojumiem. Bet tikai 19. gadsimta sākumā itāļu matemātiķim Rufini (1765. – 1822.) un norvēģu matemātiķim Ābelam (1802. – 1829.) radās ideja – pierādīt, ka vispārīgu algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir lielāka par 4, nevar "atrisināt radikāļos". Šo apgalvojumu pierādīja ģeniālais franču matemātiķis Galuā (1811. – 1832.). Savos darbos Galuā ieveda grupas jēdzienu (faktiski viņš aplūkoja lauku paplašinājuma automorfismu grupu), kas kļuva par pamatu visai mūsdienu algebrai. Viņš ne tikai ieveda jaunu algebrisku objektu un izpētīja tā īpašības, bet, izpētot to, atgriezās pie sākotnējā uzdevuma – algebriska vienādojuma sakņu formulas. Rezultātā viņš pierādīja, ka vispārīgu algebrisku vienādojumu, kura pakāpe ir augstāka par 4 nevar "atrisināt radikāļos". Ievērosim, ka atsevišķus augstas pakāpes algebriskus vienādojumus ir iespējams atrisināt radikāļos. Piemēram, izmantojot substitūciju 5xt = , var atrisināt vienādojumu

065 510 =+− xx . Galuā teorija precīzi par katru vienādojumu atļauj noskaidrot vai šī vienādojuma saknes ir pierakstāmas, izmantojot vienādojuma koeficientus aritmētiskās operācijas un radikāļa zīmi, vai nē. Jautājumu par regulāra n-stūra konstruēšanas iespējamību faktiski atrisināja vācu matemātiķis Gauss. Viņš pētīja jautājumu par to, kādiem pirmskaitļiem p iespējams konstruēt regulāru p-stūri. Atbilde bija tik pārsteidzoši interesanta, ka Gauss visu savu mūžu nolēma veltīt tikai matemātikai. Izrādījās, ka konstrukcija ir iespējama tad un tikai

tad, kad p ir Fermā pirmskaitlis – tātad 122 +=n

p . Pirmie Fermā pirmskaitļi ir 3, 5, 17, 257, 65537. Viegli pierādīt, ka uzkonstruējot n-stūri un m-stūri (n un m ir savstarpēji pirmskaitļi), ir iespējams konstruēt arī nm-stūri. Tā kā jebkuru leņķi var sadalīt divās vienādās daļās, tad var dubultot n-stūra malu skaitu. Rezultātā mēs iegūstam apgalvojumu: regulārs n-stūris ir konstruējams, ja

mk pppn ⋅⋅⋅⋅= L212 ,

kur ip ir dažādi Fermā pirmskaitļi.

Protams ģeometrisko konstrukciju teorijai ir vairāk teorētiska nekā praktiska nozīme, jo uzkonstruēt, piemēram, regulāru n-stūri ar patvaļīgu precizitāti var izmantojot tuvinātās metodes. Taču šie sarežģītie uzdevumi deva lielu impulsu visas matemātikas attīstībai, un it īpaši algebras, algebriskās ģeometrijas un algebrisko skaitļu teorijas attīstībai. Daudz mazāk pētīta ir ģeometrisko konstrukciju teorija ar citiem instrumentiem. Ir iespējams izveidot mehāniskus instrumentus, ar kuriem var konstruēt parabolas, hiperbolas, elipses un arī patvaļīgas algebriskas līknes. Taču joprojām nav vispārīgas definīcijas, kas ir konstruējama līkne vai virsma; nav arī aprakstītas līkņu klases, ko iespējams konstruēt, izmantojot noteikta veida instrumentus.

8.2. Ģeometriskās konstrukcijas un lauku paplašinājumi

Lekcijā aplūkosim kā ģeometriskās konstrukcijas saistītas ar algebru –, precīzāk, ar lauku paplašinājumu teoriju. Mēs aplūkosim tikai klasiskās ģeometriskās konstrukcijas, tātad konstrukcijas, kuras var izpildīt ar lineālu un cirkuli. Uzskatīsim, ka konstrukcijas tiek izpildītas koordinātu plaknē, kurā atzīmēts vienības nogrieznis. Jebkurš ģeometrisks zīmējums sastāv no trim pamatelementiem.

74

1. Punkts P, kuru apraksta divi skaitļi – punkta koordinātes ( )yx, .

2. Taisne t, kuru apraksta lineārs vienādojums 0=++ CByAx , 022 ≠+ ba . Ja 0≠B , tad taisnes vienādojumu var pārveidot formā baxy += . Veicot konstrukcijas, varam uzskatīt, ka neviena no taisnēm "nejauši" nebūs paralēla Oy asij; tātad arī patvaļīgu taisni raksturo divi skaitļi a un b. 3. Riņķa līnija; to apraksta ar divām riņķa centra koordinātēm ( )yx, un riņķa rādiusu r.

Definīcija 8.1. Plaknē atzīmēts vienības nogrieznis. Saka, ka reāls skaitlis a ir konstruējams, ja plaknē var uzkonstruēt nogriezni ar garumu a .

Viegli pārbaudīt sekojošu apgalvojumu: "Ja uzkonstruēti punkta, taisnes vai riņķa līnijas raksturojošie skaitļi, tad var ģeometriski uzkonstruēt prasīto objektu. Un otrādi: ģeometrisko objektu raksturojošie lielumi (punkta koordinātes ( )yx, , taisnes vienādojuma

baxy += koeficienti ( )ba, , riņķa līnijas centra koordinātes ( )yx, un rādiuss r) ir konstruējami skaitļi."

Teorēma 8.1. Dots zīmējums Pic – elementāro objektu kopa koordinātu plaknē. Dotajā zīmējumā konstruējamo skaitļu kopa ( )PicKon ir lauks, kas satur racionālo skaitļu lauku.

Pierādījums. Jāpierāda, ka ( )PicKon ir slēgts attiecībā pret saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un apgrieztā elementa operācijām. 1) Atliekot uz vienas taisnes nogriežņus aAB = un bBC = , atkarībā no virziena izvēles, iegūstam nogriezni BC, kura garums ir skaitļu a un b summa vai starpība. 2) Skaitļu reizināšana. Doti nogriežņi, kuru garumi ir x un y; konstruēt skaitli, kura garums ir xy. No punkta O novilksim divus patvaļīgus starus (skat. zīm. 8.1.).

C y

A 1

O x B D

zīm. 8.1.

Uz pirmā stara atzīmēsim punktus A un C tā, lai 1=OA un yOC = . Uz otra stara atzīmēsim punktu B tā, lai xOB = . Novelkam taisni ABCD || . No trijstūru OAB un OCD līdzības iegūstam:

xyODy

ODx

OC

OD

OA

OB=⇒=⇒= .

Skaitļu reizinājums uzkonstruēts. 3) Apgrieztais skaitlis. Dots nogrieznis ar garumu x. Uzkonstruēsim taisnleņķa trijstūri AHC ar katetēm xAH = un 1=HC ; papildināsim zīmējumu līdz taisnleņķa trijstūrim ACB (skat. zīm. 8.2.).

75

C

1

A x H B

zīm. 8.1.

No trijstūru BHC un CHA līdzības iegūstam:

xAH

HCHB

AH

HC

HC

HB 12

==⇒= .

Apgrieztais skaitlis konstruēts. Teorēma pierādīta.

Ar ( )PicQ apzīmēsim mazāko lauku, kas satur visus sākotnējā zīmējuma Pic pamatelementu raksturojošos lielumus. Jā sākotnējo elementu nav, tad aplūkojam lauku Q. No teorēmas 8.1. seko, ka visi skaitļi no lauka ( )PicQ ir konstruējami. Taču izrādās, ka konstruējami ir arī citi skaitļi.

Teorēma 8.2. Ja skaitlis 0>x ir konstruējums dotajā zīmējumā, tad arī skaitlis x ir konstruējums dotajā zīmējumā.

Pierādījums. Uz fiksētas taisnes atliekam nogriežņus xAH = un 1=HB . Konstruējam nogriežņa AB viduspunktu O; velkam riņķa līniju ar centru punktā O un rādiusu OA. Velkam perpendikulu ABHC⊥ . Esam ieguvuši taisnleņķa trijstūri ABC (skat. zīm. 8.3.).

C

A x O H 1 B

zīm. 8.3.

No trijstūru AHC un CHB līdzības iegūstam:

xHBAHHCHBAHHCHB

HC

HC

AH=⋅=⇒⋅=⇒= 2 .

Teorēma pierādīta.

Pieņemsim, ka P ir lauks un PD∈ , bet PD ∉2 . Tad lauks

( ) PbaDbaDP ∈+= ,/

ir otrās pakāpes lauka P paplašinājums. Pierādītā teorēma apgalvo: "Ja lauka P elementi ir

dotajā zīmējumā konstruējami skaitļi, tad arī lauka ( )DP elementi ir dotajā zīmējumā konstruējami skaitļi.

76

Teorēmas sekas. Zīmējuma sākotnējo pamatelementu raksturojošo lielumu veidoto lauku apzīmēsim ar ( ) 0PPicQ = . Ja nPPP ⊂⊂⊂ L10 , kur 1+⊂ ii PP ir kvadrātiski

paplašinājumi, tad visi lauka nP elementi ir konstruējami.

Mēs esam pierādījuši, ka konstruējami ir skaitļi, kurus var izteikt izmantojot racionālos skaitļus, dotā zīmējuma pamatobjektu raksturojošos lielumus, aritmētiskās operācijas un kvadrātsaknes zīmi.

Uzdevums. Plaknē dots vienības nogrieznis. Uzkonstruēt plaknē nogriežņus, kuru garumi

ir 3 , 35 − , 376 ++ .

Tagad pierādīsim apgriezto teorēmu.

Teorēma 8.3. (Teorēma par konstruējamiem skaitļiem). Koordinātu plaknē dots zīmējums Pic. Šī zīmējuma objektu raksturojošo elementu lauku apzīmēsim ar ( ) 0PPicQ = . Skaitlis x ir konstruējams dotajā zīmējumā, ja eksistē tāds lauku

paplašinājumu tornis

nPPP ⊂⊂⊂ L10 ,

ka visiem 1,,1,0 −∈ ni K 1+⊂ ii PP ir kvadrātisks lauka iP paplašinājums, un skaitlis x

pieder laukam nP .

Piezīme. Šī ir galvenā teorēma konstruējamo skaitļu teorijā; faktiski tā apraksta kādi skaitļi ir konstruējami dotajā zīmējumā.

Pierādījums. Lai pierādītu šo teorēmu, ir jāpierāda, ka, izpildot vienu elementāro konstrukciju, zīmējuma objektu raksturojošo lielumu lauks P vai nu nemainās, vai arī tas

tiek paplašināts ar skaitli D , PD∈ . Vispirms jāatzīmē, ka var izpildīt arī šādas konstrukcijas: 1) izvēlēties patvaļīgu punktu, 2) vilkt patvaļīgu taisni (iespējams arī, ka caur norādītu punktu), 3) vilkt patvaļīgu riņķa līniju (iespējams ar norādītu centru vai rādiusu). Visos šajos gadījumos varam uzskatīt, ka nenoteiktie raksturojošie lielumi tiek izvēlēti no konstruējamā lauka P. Tāpēc jāaplūko tikai piecas pamatkonstrukcijas . 1. Vilkt taisni caur diviem dotiem punktiem. Doti konstruējami punkti ( )111 , yxA un ( )222 , yxA ; tas nozīmē, ka Pyyxx ∈2121 ,,, .

Vilksim taisni caur punktiem 1A un 2A . Taisnes vienādojums ir

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−.

Redzam, ka visi taisnes vienādojuma koeficienti pieder laukam P. 2. Atrast divu neparalēlu taišņu krustpunktu. Divu taišņu 11 bxay += un 22 bxay += krustpunkta koordinātes ( )yx, atrodam no vienādojumu sistēmas:

21

1221

21

12

22

11 ,aa

babay

aa

bbx

bxay

bxay

−

−=

−

−=⇒

+=

+= .

Redzam, ka arī šajā gadījumā konstruējamā objekta lielumi – punkta koordinātes atrodas sākotnējā laukā P. 3. Riņķa līnijas konstruēšana. Šī konstrukcija nemaina konstruējamo lielumu lauku.

77

4. Riņķa līnijas un taisnes krustpunkts.

Riņķa līnijas vienādojums ir ( ) ( ) 221

21 ryyxx =−+− ;

Taisnes vienādojums baxy += .

Skaitļi barxx ,,,, 21 pieder laukam P. Riņķa līnijas un taisnes krustpunktu koordinātes atrodam no vienādojumu sistēmas

( ) ( )

+=

=−+−

baxy

ryyxx 221

21 .

Ievietojot pirmajā vienādojumā y vietā izteiksmi bax + , iegūstam kvadrātvienādojumu no x. Ja D ir šī vienādojuma diskriminants, tad abi skaitļi x un y pieder lauka P kvadrātiskam paplašinājumam ( )DP . 5. Divu riņķa līniju krustpunkts. Dotas divas riņķa līnijas, kuru vienādojumi ir

( ) ( ) 21

21

21 ryyxx =−+− un ( ) ( ) 2

22

22

2 ryyxx =−+− . Šo riņķa līniju krustpunktu koordinātes atrodam no vienādojumu sistēmas

( ) ( )( ) ( )

=−+−

=−+−2

22

22

2

21

21

21

ryyxx

ryyxx.

Atņemot no pirmā vienādojuma otro, iegūstam lineāru vienādojumu no x un y . Tātad varam izteikt baxy += , Pba ∈, . Redzam, ka uzdevums ir reducējies uz 4. punkta uzdevumu. Tātad konstruējamo punktu koordinātes pieder lauka P kvadrātiskam paplašinājumam. Teorēma pierādīta.

8.3. Neiespējamās konstrukcijas

8.3.1. Kuba dubultošana

Senajā uzdevumā bija prasīts uzkonstruēt kuba šķautni, kura tilpums ir divas reizes lielāks

par dotā kuba tilpumu. Faktiski bija jākonstruē skaitlis 3 2 .

Teorēma 8.4. Skaitlis 3 2 nav konstruējams. Sekas. Kuba dubultošanas uzdevums nav atrisināms.

Pierādījums. Pieņemsim pretējo, ka skaitlis 3 2 ir konstruējams. Tad eksistē tāds kvadrātisku paplašinājumu tornis

kFFFQ ⊂⊂⊂= L10 , ka kF∈= 3 2α .

No visiem kvadrātisko paplašinājumu torņiem, kas satur skaitli 3 2 , izvēlēsimies torni ar mazāko pakāpienu skaitu k. Tātad kF∈α , bet 1−∉ kFα . Tā kā kF ir lauka 1−kF kvadrātisks paplašinājums, tad

wqp +=α , 1,, −∈ kFwqp .

Jāatzīmē, ka visi lauki iF , kas veidojas konstrukcijas gaitā ir reālo skaitļu lauka R

apakšlauki.

Apzīmēsim ar α skaitļa α saistīto skaitli wqp −=α paplašinājumā kk FF ⊂−1 . No

vienādības 023 =−α seko saistītā vienādība 022 33=−=− αα . Tas nozīmē, ka arī

78

skaitlis wqp − ir vienādojuma 23 −x reāla sakne. Taču vienādojumam 023 =−x ir

tikai viena reāla sakne, jo funkcija 23 −= xy ir monotoni augoša funkcija. Tātad

.0=⇒−=+ wqwqpwqp

Redzam, ka 1−∈= kFpα , bet tā ir pretruna. Teorēma pierādīta.

8.3.2. Teorēma par konstruējamiem skaitļiem

Teorēma 8.5. Pieņemsim, ka F ir lauks, kas satur sākotnējā zīmējuma visu objektu raksturojošos elementus. Aplūkosim skaitli α , kura minimālā polinoma ( )xf pakāpe ir n. Ja n nav divnieka pakāpe, tad skaitlis α nav konstruējams dotajā zīmējumā.

Pierādījums. Pieņemsim, ka α ir konstruējams skaitlis. Tad eksistē tāds kvadrātisko paplašinājumu tornis

kFFFFF ⊂⊂⊂⊂= L210 ,

ka kF∈α ; tātad ( ) kFF ⊂α .

No lemmas par galīgu paplašinājumu torni (skat. teorēmu 7.3.) seko, ka

( ) kk FF 2: = .

No galīgu lauku paplašinājumu īpašībām iegūstam vienādību:

( ) ( )( ) ( )( )FFFFFF kkk :::2 αα ⋅== .

Tātad ( )( )FF :α ir skaitļa k2 dalītājs – tātad divnieka pakāpe. Paplašinājuma ( )αFF ⊂ pakāpe sakrīt ar elementa α minimālā polinoma pakāpi. Tātad elementa α minimālā polinoma pakāpe ir divnieka pakāpe. teorēma pierādīta.

8.3.3. Leņķa trisekcija

Otrs senais uzdevums ir leņķa trisekcija. Plaknē uzzīmēts leņķis; ar cirkuli un lineālu sadalīt to trīs vienādās daļās. Jāpierāda, ka vispārīgajā gadījumā to izdarīt nevar. Ja eksistētu vispārīga metode kā sadalīt patvaļīgu leņķi trīs vienādās daļās, tad no °60 leņķa, kuru var uzkonstruēt jebkurā zīmējumā, mēs varētu iegūt °20 lielu leņķi.

Aplūkosim zīmējumu, kura sākotnējo objektu raksturojošie lielumi ir racionāli skaitļi. Pierādīsim, ka šajā zīmējumā nav iespējams konstruēt °20 lielu leņķi. Pieņemsim pretējo, ka šāds leņķis ir konstruējams; tad iespējams arī konstruēt skaitli °= 20cosa .

Ievietojot formulā 333 cos3cos4cos ααα −= leņķi °= 60α iegūstam vienādību

aa 342

1 3 −= .

Secinām, ka skaitlis a ir vienādojuma 0168 3 =−− xx sakne. Šis polinoms ir primitīvs pār lauku Q. Ja tas sadalītos reizinātājos, tad viens no reizinātājiem būtu lineārs, un vienādojumam būtu racionāla sakne. Viegli pārbaudīt, ka šim vienādojumam nav racionālu

sakņu (jāpārbauda skaitļi b

a, kur ba, – veseli skaitļi , a ir skaitļa 1 dalītājs, b ir skaitļa 8

dalītājs). Tātad polinoms 168 3 −− xx ir primitīvs pār lauku Q. Tas nozīmē, ka ( )aQQ ⊂ ir kubisks paplašinājums, un no teorēmas 8.5. seko, ka skaitlis a nav konstruējams. Līdz ar

79

to pierādīts, ka vispārīgajā gadījumā nav konstruējams leņķis, kas ir viena trešdaļa no dotā leņķa.

8.3.4. Regulārs septiņstūris

Šajā paragrāfā pierādīsim, ka nav iespējams ar cirkuli un lineālu konstruēt regulāru 7-stūri. Regulāra 7-stūra virsotnes komplekso skaitļu laukā var tikt aprakstītas kā vienādojuma

017 =−z saknes (mēs interpretējam kompleksos skaitļus kā punktus kompleksajā plaknē). Viena no vienādojuma saknēm ir 1=z , bet pārējās ir vienādojuma

011

1 234567

=++++++=−−

zzzzzzz

z

saknes. Dalot ar 3z , iegūstam vienādojumu:

0111

22

33 =+++++

zz

zz

zz . (*)

Ievietojot z

zy1

+= , iegūstam vienādojumu:

01223 =−−+ yyy .

Mēs zinām, ka viena no vienādojuma (*) saknēm ir skaitlis ϕϕ sincos iz += , 7

2πϕ = .

No šejienes iegūstam vienādību ϕcos21=+=

zzy .

Tātad, ja konstruējams ir regulārs 7-stūris, tad konstruējams ir arī leņķis ϕ , līdz ar to arī

skaitlis ϕcos2=y . Taču ( )yQ ir kubisks lauka Q paplašinājums, jo vienādojumam

01223 =−−+ yyy nav racionālu sakņu. No teorēmas 8.5. seko ka skaitlis y nav konstruējams; līdz ar to pierādīts, ka konstruējams nav arī regulārs 7-stūris.

8.3.5. Regulārs desmitstūris

Lai konstruētu regulāru 10-stūri, jāmāk konstruēt °36 leņķis. Aplūkosim vienādmalu trijstūri ABC, kuram °=∠=∠°=∠ 72,36 CBACABACB (skat. zīm. 8.4.).

C

K

A B

zīm. 8.4.

Novilksim leņķa A bisektrisi AK. Uzskatīsim, ka 1== BCAC un xAB = . Tā kā AKB ir vienādsānu trijstūris

( °=∠=∠ 362

1CABKAB , KBAKBAKABAKB ∠=°=∠−∠−°=∠ 72180 ),

un arī AKC ir vienādsānu trijstūris

80

( CAKCABACK ∠=∠=°=∠2

136 ),

tad KCAKABx === . Atzīmēsim, ka trijstūri ACB un KAB ir līdzīgi. Tātad

01011

1 22 =−−⇒=−−⇒−

=⇒= xxxxx

x

xKB

AB

AB

CB.

No šejienes 2

15 −=x (otra vienādojuma sakne ir negatīvs skaitlis).

Tātad regulāra 10-stūra mala, kurš ievilkts riņķa līnijā ar rādiusu 1, ir konstruējams

skaitlis. Protams izejot no 10-stūra var konstruēt arī regulāru 5-stūri. Skaitli 5 var konstruēt kā taisnleņķa trijstūra hipotenūzu, kura malas ir 1 un 2. No šī skaitļa, atņemot 1 un izdalot ar 2, iegūstam 10-stūra malas garumu.

8.3.6. Riņķa kvadratūra

Ir pierādīts, ka kuba kvadratūras un leņķa trisekcijas konstrukcijas nav iespējamas. Taču riņķa kvadratūras neiespējamības pierādījums ir sarežģītāks. Ar ( )PicQ mēs apzīmējām lauku, kuru veido sākotnējā zīmējuma pamatobjektu raksturojošie lielumi. Riņķa kvadratūras gadījumā šis lauks ir racionālo skaitļu lauks. No teorēmas 8.3. seko, ka konstruējami ir tikai skaitļi, kas pieder lauka Q kvadrātisko paplašinājumu tornim. Protams, ka visi šādi skaitļi ir algebriski. Kvadrātisko paplašinājumu tornis ir galīgs lauka Q paplašinājums, tātad algebrisks paplašinājums. Lai pierādītu, ka riņķa kvadratūras konstrukcija nav iespējama, jāpierāda, ka skaitlis π nav algebrisks, tātad transcendents skaitlis. Tehnisko aparātu, kas nepieciešams, lai pierādītu, ka π ir transcendents skaitlis izveidoja Šarls Ermits (1822. – 1905.) ; viņš arī pierādīja, ka skaitlis e ir transcendents. Izmantojot Ermita metodi F. Lindenmans 1882. gadā pierādīja, ka arī skaitlis π ir transcendents. Līdz ar to bija pielikts punkts arī pēdējai no trim seno konstrukcijas uzdevumu problēmai.

81

LITERATŪRA. [Holl] M. Holl. Grupu teorija. (tulkojums krievu valodā), Maskava 1962.g.

[Kon] P.M. Cohn. Universal algebra. (tulkojums krievu valodā), Maskava 1968.g.

[Goldb] R. Goldblat. Topoi, The categorial anaysis of logic. North-Holland Publ. Comp.,

Amsterdam, New York, Oksford. 1979. (Tulkojums krievu valodā, Maskava, 1983.)

[Plotk] B. Plotkin. Algebrisko sistēmu automorfismu grupas. Maskava 1970.g. (kr.v.)

[Kostr] A.I. Kostrikins. Ievads algebrā. Maskava 1977.g. (kr. v.)

[Strazd] I. Strazdiņš. Diskrētā matemātika. Rīga 1980.g.

[Varden] Van der Warden. Algebra (tulkojums krievu valodā). Maskava 1966.g.