algebra slides
TRANSCRIPT
1 Sissejuhatus
Tahtsamad tahistused
N - koigi naturaalarvude hulk
Z - koigi taisarvude hulk
Q - koigi ratsionaalarvude hulk
R - koigi reaalarvude hulk
R∗ - koigi nullist erinevate reaalarvude hulk
Q+ - koigi positiivsete ratsionaalarvude hulk
SeegaR∗ = {x |x ∈ R, x 6= 0} = {x ∈ R |x 6= 0}Q+ = {x |x ∈ Q, x > 0} = {x ∈ Q |x > 0}
∅ - tuhi hulk
P(A) - hulga A koigi alamhulkade hulk
AB - koigi kujutuste hulk hulgast B hulka A
AB = {f | f : B → A}
AA - koigi teisenduste hulk hulgal A
A×B - hulkade A ja B otsekorrutis
A2 = A×A
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
(a, b) - jarjestatud paar
A1 × · · · ×An - hulkade A1, . . . , An otsekorrutis.
A1 × · · · ×An = {(a1, . . . , an) | a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}An = A× · · · ×A - hulga A n-s otseaste
An = {(a1, . . . , an) | a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}(a1, . . . , an) - (loplik) jada, korteez, jarjend
2 Algebralised pohistruktuurid
2.1 Algebraline tehe
Definitsioon 2.1.1. n-aarseks algebraliseks tehteks hulgal A
nimetatakse mistahes kujutust hulgast An hulka A.
n = 2 - binaarne tehe
n = 1 - unaarne tehe
n = 0 - nullaarne tehe
Definitsioon 2.1.2. Algebraliseks struktuuriks nimetataksemittetuhja hulka koos temal defineeritud algebraliste tehetega.
2.2 Ruhmoid
Definitsioon 2.2.1. Uhe binaarse tehtega algebralist struktuurinimetatakse ruhmoidiks.
Definitsioon 2.2.2. Ruhmoidi (A; ∗) uhikelemendiks nimetatakseniisugust elementi e ∈ A, et iga a ∈ A korral kehtib a ∗ e = a = e ∗ a.
Markus 1. Kui ruhmoidi tehe on korrutamine, siis uhikelementitahistatakse tavaliselt sumboliga 1.
Markus 2. Kui ruhmoidi tehe on liitmine, siis uhikelemendi asemelraagitakse nullelemendist ning viimast tahistatakse sumboliga 0.
Lause 2.2.1. Ruhmoidis on ulimalt uks uhikelement.
2.3 Poolruhm
Definitsioon 2.3.1. Binaarset tehet ∗ hulgal A nimetatakseassotsiatiivseks, kui suvaliste a, b, c ∈ A korral kehtiba ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
Definitsioon 2.3.2. Ruhmoidi, mille tehe on assotsiatiivne,nimetatakse poolruhmaks.
Lause 2.3.1. Tehte tulemus poolruhmas ei soltu sulgude paigutusest.
Kui (A; ∗) on pooruhm ja n ∈ N, siis defineerime elemendi a ∈ A
n-nda astme valemiga an = a ∗ · · · ∗ a, kus paremal esineb element a
tapselt n korda.
Lause 2.3.2. Kui (A; ∗) on poolruhm, a ∈ A ja m,n ∈ N, siiskehtivad valemid amn = (am)n ja am+n = am ∗ an.
Definitsioon 2.3.3. Binaarset tehet ∗ hulgal A nimetataksekommutatiivseks, kui suvaliste a, b ∈ A korral kehtib a ∗ b = b ∗ a.
Lause 2.3.3. Kui (A, ∗) on kommutatiivne poolruhm (st poolruhm,mille tehe on kommutatiivne), a, b ∈ A ja n ∈ N, siis kehtib valem(a ∗ b)n = an ∗ bn.
Markus. Kui poolruhma tehe on liitmine, siis an asemel kirjutamena ja nimetame seda elemendi a n-kordseks. Eelneva pohjal kehtivadigas poolruhmas (A; +) valemid (m + n)a = ma + na ja(mn)a = m(na) ning kui see poolruhm on kommutatiivne, siis kavalem n(a + b) = na + nb.
2.4 Monoid
Definitsioon 2.4.1. Monoidiks nimetatakse uhikelemendigapoolruhma.
Definitsioon 2.4.2. Monoidi (A; ·) elemendi a poordelemendiksnimetatakse niisugust elementi b ∈ A, et kehtib ab = 1 = ba.
Monoidi (A; ·) elemendi a poordelementi tahistatakse sumboliga a−1.
Lause 2.4.1. Monoidi elemendil on ulimalt uks poordelement.
Definitsioon 2.4.3. Monoidi elementi nimetatakse pooratavaks, kuital on olemas poordelement selles monoidis.
U(A) - monoidi A koigi pooratavate elementide hulk.
Lause 2.4.2. Iga monoidi (A; ·) korral on toesed jargmised vaited:
• 1 ∈ U(A), kusjuures 1−1 = 1;
• kui a ∈ U(A), siis ka a−1 ∈ U(A), kusjuures (a−1)−1 = a;
• kui a, b ∈ U(A), siis ka ab ∈ U(A), kusjuures (ab)−1 = b−1a−1.
Markus. Kui tehteks on liitmine, siis poordelemendi asemel raagimevastandelemendist. Elemendi a vastandelemendi tahis on −a. Niisiis,a + (−a) = 0 = (−a) + a ning viimane lause votab jargmise kuju.Lause 2.4.3. Iga monoidi (A; +) korral on toesed jargmised vaited:
• −0 = 0,
• kui a ∈ A omab vastandelementi, siis ka −a omabvastandelementi, kusjuures −(−a) = a;
• kui a, b ∈ A omavad vastandelementi, siis ka a + b omabvastandelementi, kusjuures −(a + b) = (−b) + (−a).
Multiplikatiivne tahistus Aditiivne tahistus
korrutamine · liitmine +
uhikelement 1 nullelement 0
poordelement a−1 vastandelement −a
(R; +) – reaalarvude aditiivne monoid
(MatnZ; ·) – taisarvuliste elementidega n-ndat jarku ruutmaatriksitemultplikatiivne monoid
2.5 Ruhm
Definitsioon 2.5.1. Ruhmaks nimetatakse monoidi, mille igalelemendil on poordelement.
Lause 2.5.1. Iga monoidi koigi pooratavate elementide hulk on sellemonoidi tehte suhtes ruhm.
Ruhma (A; ·) korral on voimalik defineerida elemendi a astmed an
iga n ∈ Z jaoks. Nimelt a0 loetakse vordseks selle ruhmauhikelemendiga ning negatiivse astmenaitajaga aste defineeritaksevalemiga a−n = (an)−1 (siin n ∈ N). Lausete 2.3.2 ja 2.3.3 vaitedjaavad kehtima ka sel juhul.
Kui (A; ·) on ruhm ja a, b ∈ A, siis saab vaadelda vorrandeid ax = b
ja ya = b. Nende vorrandite lahendid on vastavalt x = a−1b jay = ba−1. Kui x = y, siis voib seda elementi nimetada b ja a
jagatiseks. Uldjuhul aga x 6= y.
Teoreem 2.5.1. Jargmised tingimused on samavaarsed igapoolruhma (A; ·) korral:
(1) A on ruhm.
(2) Iga a, b ∈ A korral on vorrandid ax = b ja ya = b uheseltlahenduvad selles poolruhmas A.
(3) Iga a, b ∈ A korral on vorrandid ax = b ja ya = b lahenduvadselles poolruhmas A.
Definitsioon 2.5.2. Ruhmoidi (A; ∗) elementi a nimetatakseidempotendiks, kui a ∗ a = a.
Jareldus 2.5.1. Ruhmas on ainult uks idempotent – temauhikelement.
2.6 Abeli ruhm
Definitsioon 2.6.1. Ruhma, mille tehe on kommutatiivne,nimetatakse kommutatiivseks ruhmaks ehk Abeli ruhmaks.
Abeli ruhmade uurimisel on tavaks votta ruhma tehteks liitmine.
Niels Henric Abel (1802-1829) Norra matemaatik
Lause 2.6.1. Uhe binaarse tehtega + algebraline struktuur A onAbeli ruhm, kui on taidetud jargmised tingimused:
• tehe on assotsiatiivne, st suvaliste a, b, c ∈ A korral
a + (b + c) = (a + b) + c ;
• leidub 0 ∈ A, nii et iga a ∈ A korral a + 0 = a;
• iga a ∈ A jaoks leidub −a ∈ A, nii et a + (−a) = 0;
• tehe on kommutatiivne, st suvaliste a, b ∈ A korral
a + b = b + a .
Kui (A; +) on Abeli ruhm ja a, b ∈ A, siis vorrandi a + x = b lahenditnimetatakse elementide b ja a vaheks ning tahistatakse b− a. Ilmseltb− a = b + (−a).
Jarelduse 2.5.1 pohjal saame, et Abeli ruhmas on tapselt uks elementa, mille korral a + a = a. See on ruhma nullelement 0.
2.7 Ring
Definitsioon 2.7.1. Hulka R, millel on defineeritud kaks binaarsetalgebralist tehet – liitmine ja korrutamine, nimetatakse ringiks, kuion taidetud jargmised tingimused:
• (R; +) on Abeli ruhm;
• (R; ·) on monoid;
• korrutamine on liitmise suhtes distributiivne,
∀r, s, t ∈ R, r(s + t) = rs + rt ja (r + s)t = rt + st .
Markus. Monikord kasutatakse moistet ring laiemas tahenduses,seadmata nouet, et korrutamise suhtes on tegemist monoidiga.
Igas ringis on nullelement 0 (ruhma (R; +) nullelement). Ringi igalelemendil r on olemas vastandelement −r (tema vastandelementruhmas (R; +)). Ringis on olemas lahutamistehe (r − s = r + (−s)).Lause 2.7.1. Ringi suvaliste elementide r, s, t korral kehtivadvordused:
• r · 0 = 0 = 0 · r;• r(−s) = −rs = (−r)s;
• r(s− t) = rs− rt, (r − s)t = rt− st.
Lause 2.7.2. Igas ringis R kehtib jargmine nn uldistatuddistributiivsuse seadus: suvaliste r1, . . . , rm, s1, . . . , sn ∈ R korral
(m∑
i=1
ri)(n∑
j=1
sj) =m,n∑
i,j=1
risj .
Definitsioon 2.7.2. Ringi nimetatakse kommutatiivseks, kui temakorrutamistehe on kommutatiivne.
Kui ringis R kehtib 0 = 1, siis selles ringis on ainult uks element.
2.8 Korpus
Definitsioon 2.8.1. Ringi, mille nullist erinevad elemendidmoodustavad ruhma selle ringi korrutamise suhtes, nimetataksekorpuseks.
Korpuses on vahemalt kaks elementi.
Definitsioon 2.8.2. Kui r, s, t on ringi R elemendid ja r = st, siiselemente s ja t nimetatakse elemendi r teguriteks ehk jagajateks.
Definitsioon 2.8.3. Ringi nullelemendist erinavaid nullelemendijagajaid nimetatakse selle ringi nulliteguriteks.
Teoreem 2.8.1. Korpuses puuduvad nullitegurid. Lopliknulliteguriteta ring on korpus.
2.9 Jaagiklassid
Fikseerime mingi naturaalarvu n. Siis iga taisarv on uheseltavaldatav kujul a = qn + r, kus q, r ∈ Z ja 0 ≤ r < n. Arvu r
nimetatakse seejuures arvu a jagamisel n-ga tekkivaks jaagiks.
Definitsioon 2.9.1. Taisarvu a jaagiklassiks mooduli n jarginimetatakse hulka
a = {x ∈ Z | a ja x annavad n-ga jagamisel sama jaagi} .
Arvu a nimetame jaagiklassi a esindajaks. Ilmselt, kui b ∈ a, siisb = a ja vastupidi. See tahendab, iga arv, mis sisaldub mingisjaagiklassis, on vaadeldav selle jaagiklassi esindajana.
Edaspidi kasutame taisarvude jagumise tahistamiseks sumbolit |jargmiselt: suvaliste a, b ∈ Z korral a | b tahistab seda, et a on b
jagaja ehk b jagub a-ga ehk a jagab b-d.
Lause 2.9.1. Suvaliste taisarvude a ja b korral
a = b ⇔ n | a− b .
Koigi jaagiklasside hulka mooduli n jargi tahistatakse sumboliga Zn.Ilmselt |Zn| = n.
Definitsioon 2.9.2. Jaagiklasside liitmine ja korrutaminedefineeritakse valemitega
a + b = a + b, a · b = a · b .
Lause 2.9.2. Jaagiklasside liitmine ja korrutamine on defineeritudkorrektselt.
Teoreem 2.9.1. Hulk Zn on ulal defineeritud liitmise ja korrutamisesuhtes ring. See ring on korpus parajasti siis, kui n on algarv.
2.10 Alamstruktuurid
Definitsioon 2.10.1. Algebralise struktuuri A alamstruktuuriksnimetatakse hulga A alamhulka, mis on ise ka A tehete suhtes samaliiki algebraline struktuur.
Ehkki me defineerisime monoidi kui teatud lisatingimusegapoolruhma, st kui uhe binaarse tehtega algebralise struktuuri, onjargnevas otstarbekas lugeda, et monoidil on peale binaarsekorrutamistehte defineeritud ka nullaarne tehe, mis fikseeribuhikelemendi. Analoogilise kokkuleppe teeme ka ringide suhtes.
Samuti lepime kokku, et lisaks binaarsele korrutamis- (liitmistehtele)on multiplikatiivse (aditiivse) ruhma tehteks ka unaarnepoordelemendi (vastandelemendi) votmise tehe.
Definitsioon 2.10.2. Olgu hulgal A antud mingi n-aarne algebralinetehe ω. Oeldakse, et hulga A alamhulk B on kinnine tehte ω suhtes,kui suvaliste a1, . . . , an ∈ B korral ka ω(a1, . . . , an) ∈ B.
Paneme tahele, et kui ω on nullaarne tehe, mis fikseerib hulga A
elemendi a0, siis alamhulga B ⊆ A kinnisus tehte ω suhtes tahendabseda, et a0 ∈ B.
Koigi meie vaadeldud algebraliste struktuuride (valja arvatudkorpus) korral kehtib vaide: struktuuri A mittetuhi alamhulk B onstruktuuri A alamstruktuur parajasti siis, kui ta on kinninestruktuuri A tehete suhtes.
Lause 2.10.1. Ruhmoidi mittetuhi alamhulk on selle ruhmoidialamruhmoid parajasti siis, kui ta on kinnine selle ruhmoidi tehtesuhtes.
Lause 2.10.2. Poolruhma mittetuhi alamhulk on selle poolruhmaalampoolruhm parajasti siis, kui ta on kinnine selle poolruhma tehtesuhtes.
Lause 2.10.3. Monoidi (A; ∗, e), kus e on uhikelement, alamhulk onselle monoidi alammonoid parajasti siis, kui ta on kinnine tehte ∗suhtes ja sisaldab elemendi e.
Lause 2.10.4. Ruhma (A; ·) mittetuhi alamhulk on selle ruhmaalamruhm parajasti siis, kui ta on kinnine korrutamise japoordelemendi votmise suhtes.
Lause 2.10.5. Ruhma (A; ·) mittetuhi alamhulk B on selle ruhmaalamruhm parajasti siis, kui iga x, y ∈ B korral ka xy−1 ∈ B.
Lause 2.10.6. Abeli ruhma (A; +) mittetuhi alamhulk on selleruhma alamruhm parajasti siis, kui ta on kinnine lahutamise suhtes.
Lause 2.10.7. Ringi alamhulk on selle ringi alamring parajasti siis,kui ta on kinnine lahutamise ja korrutamise suhtes ning sisaldab selleringi uhikelemendi.
Lause 2.10.8. Korpuse alamhulk on selle korpuse alamkorpusparajasti siis, kui ta sisaldab selle korpuse vahemalt uhe nullisterineva elemendi ning on kinnine lahutamise, korrutamise japoordelemendi votmise suhtes.
2.11 Isomorfism
Olgu antud hulk A n-aarse algebralise tehtega ω ja bijektiivnekujutus φ : A → A′. Siis kujutus φ kannab tehte ω ule tehteks ω′
hulgal A′ jargmise valemi abil:
ω′(x1, . . . , xn) = φ(ω(φ−1(x1), . . . , φ−1(xn)) . (1)
Tehes asendused yi = φ−1(xi), i = 1, . . . , n, votab valem (1) kuju
ω′(φ(y1), . . . , φ(yn)) = φ(ω(y1, . . . , yn) . (2)
Definitsioon 2.11.1. Algebralisi struktuure (A; ω1, ω2, . . . ) ja(A′; ω′1, ω
′2, . . . ) nimetatakse isomorfseteks, kui iga i korral on tehted
ωi ja ω′i seotud valemi (2) abil. Seejuures kujutust φ nimetatakseisomorfismiks.
Naeme, et kui kaks struktuuri on isomorfsed, siis sisuliselt uks neistsaadakse teisest elementide ja tehete umbertahistamise teel. Sellestjareldub, et algebralised omadused, mis kehtivad uhes kahestisomorfsest struktuurist, kehtivad ka teises.
Definitsioon 2.11.2. Ruhmoide (A; ∗) ja (B; ◦) nimetatakseisomorfseteks, kui leidub bijektiivne kujutus φ : A → B, nii etsuvaliste a1, a2 ∈ A korral
φ(a1 ∗ a2) = φ(a1) ◦ φ(a2) .
Definitsioon 2.11.3. Ringe R ja S nimetatakse isomorfseteks, kuileidub bijektiivne kujutus φ : R → S, nii et suvaliste r1, r2 ∈ R korral
φ(r1 + r2) = φ(r1) + φ(r2) ja φ(r1r2) = φ(r1)φ(r2) .
Lause 2.11.1. Isomorfsus on ekvivalentsiseos koigi sama liikialgebraliste struktuuride klassil, st, ta on refleksiivne, summeetrilineja transitiivne.
Lause 2.11.2. Olgu (A; ∗) ja (B; ◦) isomorfsed ruhmoidid. Siis:
• (A; ∗) on poolruhm parajasti siis, kui (B; ◦) on poolruhm;
• tehe ∗ on kommutatiivne parajasti siis, kui tehe ◦ onkommutatiivne;
• ruhmoidis (A; ∗) leidub uhikelement parajasti siis, kui ruhmoidis(B; ◦) on leidub uhikelement;
• (A; ∗) on ruhm parajasti siis, kui (B; ◦) on ruhm;
Pidades silmas seda, et me leppisime kokku vaadelda ruhmi kuialgebralisi struktuure, millel on uks binaarne tehe (naitekskorrutamine), uks unaarne tehe (poordelemendi votmine) ja uksnullaarne tehe (uhikelement), peaksime multiplikatiivsete ruhmade G
ja G′ vahelise isomorfismi φ defineerima kui kujutuse, mis rahuldabtingimusi φ(xy) = φ(x)φ(y), φ(x−1) = (φ(x))−1, φ(1) = 1. Tegelikult,kuna nii uhikelement kui poordelemendi votmine on maaratudkorrutamisega, piisab ainult esimesest tingimusest. See tahendab,kehtib jargmine lause.
Lause 2.11.3. Olgu G ja G′ multiplikatiivsed ruhmad ningφ : G → G′ ruhmoidide isomorfism. Siis φ on ka ruhmadeisomorfism, st φ(1) = 1 ja iga x ∈ G korral φ(x−1) = (φ(x))−1.
3 Kompleksarvud
3.1 Kompleksarvude korpuse moiste ja
konstruktsioon
Eesmark: konstrueerida korpus, mis sisaldab endas korpust R jamilles on olemas
√−1.
Definitsioon 3.1.1. Kompleksarvude korpuseks nimetataksekommutatiivset korpust C, mis rahuldab jargmisi tingimusi:
(1) ta sisaldab alamkorpust L, mis on isomorfne korpusega R;
(2) temas leidub element i, mille ruut on −1;
(3) tema iga element esitub kujul a + bi, kus a, b ∈ R.
Definitsioonis esinevat elementi i nimetatakse imaginaaruhikuks.
Lause 3.1.1. Kui kompleksarvude korpus eksisteerib, siis igakompleksarv on uheselt avaldatav kujul a + bi, kus a, b ∈ R.
Teoreem 3.1.1. Kompleksarvude korpus eksisteerib ja on maaratuduheselt isomorfismi tapsuseni.
C on konstrueeritav kui ringi Mat2R alamring, mis koosneb koigistmaatriksitest
a b
−b a
, kus a, b ∈ R .
Definitsioon 3.1.2. Lauses 3.1.1 antud kuju nimetataksekompleksarvu algebraliseks kujuks.
Definitsioon 3.1.3. Kui α = a + bi on algebralisel kujul esitatudkompleksarv, siis
• reaalarvu a nimetatakse α reaalosaks;
• kompleksarvu bi nimetatakse α imaginaarosaks;
• reaalarvu b nimetatakse α imaginaarosa kordajaks.
Definitsioon 3.1.4. Kompleksarvu, mis ei ole reaalarv, nimetatakseimaginaararvuks.
Definitsioon 3.1.5. Imaginaararvu, mille reaalosa on 0,nimetatakse puhtimaginaararvuks.
Lause 3.1.2. Olgu α = a + bi ja β = c + di algebralisel kujul antudkompleksarvud. Siis:
• α = β parajasti siis, kui a = c ja b = d;
• α = 0 parajasti siis, kui a = b = 0;
• α + β = (a + c) + (b + d)i;
• α− β = (a− c) + (b− d)i;
• αβ = (ac− bd) + (ad + bc)i;
• kui β 6= 0 siis αβ = ac+bd
c2+d2 + bc−adc2+d2 i.
3.2 Kompleksarvude geomeetriline
interpretatsioon
Olgu antud tasand koos ristkoordinaadistikuga. Siis kompleksarvulea + bi seatakse vastavusse punkt koordinaatidega (a, b). Tekibuksuhene vastavus tasandi punktide ja kompleksarvude vahel.Tasandit koos kirjeldatud vastavusega nimetataksekomplekstasandiks. Seejuures x-telge nimetatakse reaalteljeks jay-telge imaginaarteljeks. Ilmselt reaalteljel asuvad parajastireaalarvud ning imaginaarteljel puhtimaginaararvud ja 0.
Definitsioon 3.2.1. Kompleksarvu α = a + bi kaaskompleksarvuksnimetatakse kompleksarvu α = a− bi.
Seega antud kompleksarvule ja tema kaaskompleksarvule vastavadpunktid komplekstasandil asetsevad summeetriliselt reaaltelje suhtes.
Lause 3.2.1. Suvaliste kompleksarvude α ja β korral kehtivadvalemid:
α + β = α + β, αβ = αβ .
Uleminekul ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele saamekompleksarvu trigonomeetrilise kuju.
Definitsioon 3.2.2. Kompleksarvu mooduliks nimetatakse tallekomplekstasandil vastava punkti kaugust koordinaatide alguspunktist.
Kompleksarvu α moodulit tahistatakse sumboliga |α|.
Definitsioon 3.2.3. Kompleksarvu argumendiks nimetatakse nurkareaaltelje positiivse suuna ja sellele kompleksarvule vastava punktikohavektori vahel.
Igal kompleksarvul on uheselt maaratud moodul, mis on mitte-negatiivne reaalarv. Argument on olemas vaid nullist erinevatelkompleksarvudel. See voib olla mistahes reaalarv, kuid ta ei oleantud kompleksarvuga uheselt maaratud.
Kui kompleksarv α = a + bi on antud algebralisel kujul, siis temamoodul on
√a2 + b2 ja tema argumendi tangens on b
a .
Kui kompleksarvu α moodul on r ja argument on φ, siisa = r cosφ ja b = r sin φ, millest
α = r(cos φ + i sin φ) . (3)
Kompleksarvu esitust kujul (3) nimetatakse kompleksarvutrigonomeetriliseks kujuks.
Lause 3.2.2. Kompleksarvude korrutamiseks tuleb nende moodulidkorrutada ja argumendid liita. Kompleksarvude jagamiseks tulebnende moodulid jagada ja argumendid lahutada.
Jareldus 3.2.1. (Moivre’i valem) Iga taisarvu n korral
(r(cos φ + i sin φ))n = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)) .
Abraham de Moivre, inglise paritolu prantsuse matemaatik,1667–1754.
Jareldus 3.2.2. Iga nullist erineva kompleksarvu α korral
α−1 =α
|α|2 .
3.3 Kompleksarvude juurimine
Definitsioon 3.3.1. Kompleksarvu α n-nda astme juureksnimetatakse kompleksarvu β, mille korral βn = α.
Lause 3.3.1. Igal nullist erineval kompleksarvul on tapselt n
erinevat n-nda astme juurt. Need arvutatakse valemist:
n√
r(cos φ + i sin φ) = n√
r(cosφ + 2kπ
n+ i sin
φ + 2kπ
n) ,
kus k = 0, 1, . . . , n− 1.
Definitsioon 3.3.2. Uhejuureks nimetatakse juurt kompleksarvust 1.
Tulenevalt lausest 3.3.1 esituvad koik n-nda astme uhejuured kujul
cos2kπ
n+ i sin
2kπ
n,
kus k = 0, 1, . . . , n− 1.
Lause 3.3.2. Koigi uhejuurte hulk on ruhma C∗ alamruhm.
Lause 3.3.3. Koigi n-nda astme uhejuurte hulk on ruhma C∗
alamruhm, mis on isomorfne ruhmaga (Zn; +).
Definitsioon 3.3.3. n-nda astme algjuureks nimetatakse n-ndaastme uhejuurt, mille astmetena esituvad koik n-nda astme uhejuured.
Lause 3.3.4. Kompleksarv cos kπn + i sin kπ
n on n-nda astme algjuurparajasti siis, kui k ja n on uhisteguriteta.
4 Vektorruum
4.1 Vektorruumi moiste ja lihtsamad omadused
Kokkulepe. Siit alates, kui ei vaideta vastupidist, on koik korpusedkommutatiivsed.
Definitsioon 4.1.1. Hulka V nimetatakse vektorruumiks ule korpuseK, kui on taidetud jargmised tingimused:
• hulgal V on defineeritud liitmistehe, mille suhtes V on Abeliruhm;
• iga α ∈ K jaoks on hulgal V defineeritud unaarne tehe, midanimetatakse korrutamiseks elemendiga α; sealjuures elementidev ∈ V ja α ∈ K korrutist tahistatakse αv;
• suvaliste α, β ∈ K ja v ∈ V korral (αβ)v = α(βv);
• suvaliste α, β ∈ K ja v ∈ V korral (α + β)v = αv + βv;
• suvaliste α,∈ K ja v, w ∈ V korral α(v + w) = αv + αw;
• iga v ∈ V korral 1v = v.
Naeme, et vektorruum on algebraline struktuur, millel on defineerituduks binaarne tehe ja niipalju unaarseid tehteid, kuipalju on korpusesK elemente. Kui vaadeldakse vektorruumi V ule korpuse K, siishulga V elemente nimetatakse vektoriteks ja korpuse K elementeskalaarideks. Korpust K nimetatakse vektorruumi V pohikorpuseks.
Kuna vektorruum on Abeli ruhm liitmise suhtes, siis on igasvektorruumis nullvektor 0, igal vektoril v on vastandvektor −v, ningsaab raakida vektorite lahutamisest: v − w = v + (−w).
Lause 4.1.1. Igal vektorruumil V ule korpuse K on jargmisedomadused:
• iga α ∈ K ja v ∈ V korral αv = 0 siis ja ainult siis, kui α = 0 voiv = 0;
• iga α ∈ K ja v ∈ V korral (−α)v = −αv = α(−v);
• suvaliste α ∈ K ja v, w ∈ V korral α(v − w) = αv − αw;
• suvaliste α, β ∈ K ja v ∈ V korral (α− β)v = αv − βv;
• suvaliste α1, . . . , αm ∈ K ja v1, . . . , vn ∈ V korral
(m∑
i=1
αi)(n∑
j=1
vj) =m,n∑
i,j=1
αivj .
4.2 Vektorruumi alamruum
Definitsioon 4.2.1. Vektorruumi V alamruumiks nimetataksealamhulka W ⊆ V , mis on vektorruumi V tehete suhtes ise kavektorruum (ule sama pohikorpuse, mis vektorruumil V ).
Lause 4.2.1. Vektorruumi mittetuhi alamhulk on selle vektorruumialamruum parajasti siis, kui ta on kinnine liitmise ja skalaarigakorrutamise suhtes.
Definitsioon 4.2.2. Olgu V vektorruum ule korpuse K,v1, . . . , vn ∈ V ja α1, . . . , αn ∈ K. Siis avaldist
α1v1 + · · ·+ αnvn
nimetatakse lineaarkombinatsiooniks vektoritest v1, . . . , vn.
Definitsioon 4.2.3. Kui V on vektorruum ule korpuse K ja A onmistahes alamhulk vektorruumis V , siis koigi lineaarkombinatsioonidehulka hulka A kuuluvatest vektoritest nimetatakse alamhulga A
lineaarkatteks. Viimast tahistame L(A).
Lause 4.2.2. Kui A on vektorruumi V alamhulk, siis L(A) onvektorruumi V alamruum. Veel enam, L(A) on vahim V nendealamruumide seas, mis sisaldavad alamhulka A.
4.3 Lineaarne soltuvus
Edaspidi raagime tihti antud vektorruumi vektorite susteemidest.Selle all peame silmas vektorite komplekte, kus on oluline jarjekord javoib esineda ka korduvaid liikmeid. Rangelt vottes on vektorruumi V
n-elemendiline vektorite susteem lihtsalt hulga V n element.
Definitsioon 4.3.1. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks,kui tema koik kordajad on nullid.
On selge, et triviaalse lineaarkombinatsiooni vaartus on alatinullvektor.
Definitsioon 4.3.2. Vektorite susteemi nimetatakse lineaarseltsoltuvaks, kui leidub mittetriviaalne lineaarkombinatsioon sellesusteemi vektoritest, mille vaartus on nullvektor.
Seega on vektorite susteem lineaarselt soltumatu parajasti siis, kuiainult triviaalne lineaarkombinatsioon selle susteemi vektoritestvordub nullvektoriga.
Lause 4.3.1. Lineaarselt soltuva (soltumatu) vektorite susteemiumberjarjestamisel saadav susteem on ka lineaarselt soltuv(soltumatu).
Lause 4.3.2. Uhest vektorist koosnev susteem on lineaarselt soltuvparajasti siis, kui see vektor on 0.
Lause 4.3.3. Vektorite susteem, mis sisaldab lineaarselt soltuvatalamsusteemi, on ise ka lineaarselt soltuv.
Jareldus 4.3.1. Nullvektorit sisaldav vektorite susteem onlineaarselt soltuv.
Jareldus 4.3.2. Lineaarselt soltumatu vektorite susteemi igaalamsusteem on lineaarselt soltumatu.
Lause 4.3.4. Vektorite susteem v1, . . . , vn, kus n ≥ 2, on lineaarseltsoltuv parajasti siis, kui tema mingi vektor avaldub selle susteemiulejaanud vektorite lineaarkombinatsioonina.
Markus. Kui vektor v esitub mingite vektorite v1, . . . , vn
lineaarkombinatsioonina, siis oeldakse ka, et v esitub lineaarseltvektorite v1, . . . , vn kaudu
Jareldus 4.3.3. Vektorite susteem, mis sisaldab monda vektoritmitmekordselt, on lineaarselt soltuv.
4.4 Vektorite susteemide ekvivalentsus
Definitsioon 4.4.1. Mingi vektorruumi kahte vektorite susteeminimetatakse ekvivalentseteks, kui kummagi susteemi iga vektoravaldub lineaarselt teise susteemi kaudu.
Lause 4.4.1. Kaks vektorite susteemi on ekvivalentsed parajasti siis,kui neil on vordsed lineaarkatted.
Jareldus 4.4.1. Vektorite susteemide ekvivalentsus onekvivalentsiseos, st ta on refleksiivne, summeetriline ja transitiivne.
Definitsioon 4.4.2. Vektorite sustemi alamsusteemi nimetatakseselle susteemi maksimaalseks lineaarselt soltumatuks alamsusteemiks,kui ta on lineaarselt soltumatu ja kui teda rangelt sisaldavad antudsusteemi alamsusteemid on koik lineaarselt soltuvad.
Lause 4.4.2. Iga vektorite susteem on ekvivalentne iga omamaksimaalse lineaarselt soltumatu alamsusteemiga.
Teoreem 4.4.1. Kui kaks lineaarselt soltumatut vektorite susteemion ekvivalentsed, siis neis on vordne arv vektoreid.
Jareldus 4.4.2. Mistahes vektorite susteemi igas kahesmaksimaalses lineaarselt soltumatus alamsusteemis on vordne arvvektoreid.
Definitsioon 4.4.3. Vektorite susteemi astakuks nimetataksevektorite arvu tema maksimaalses lineaarselt soltumatusalamsusteemis ja arvu 0, kui susteem koosneb vaid nullvektoreist.
Lause 4.4.3. Ekvivalentsete vektorite susteemide astakud on vordsed.
4.5 Baas ja moode
Definitsioon 4.5.1. Vektorruumi alamhulka nimetatakse sellevektorruumi moodustajate susteemiks, kui temasse kuuluvate vektoritekaudu avalduvad lineaarselt koik selle vektorruumi vektorid.
Kokkulepe. Lepime kokku, et edaspidi koigis vektorruumides, midame vaatleme, on olemas loplik moodustajate susteem.
Definitsioon 4.5.2. Vektorruumi baasiks nimetatakse temalineaarselt soltumatut moodustajate susteemi.
Teoreem 4.5.1. Vektorruumi igas kahes baasis on vordne arvvektoreid.
Definitsioon 4.5.3. Vektorruumi mootmeks ehk dimensiooniksnimetatakse vektorite arvu tema baasis. Vektorruumi V moodettahistame dim V .
Lause 4.5.1. Vektorruumi mistahes vektorite susteemi astak vordubselle susteemi lineaarkatte mootmega.
Lause 4.5.2. Kui vektorruum sisaldab nullist erinevat vektorit, siistema igast loplikust moodustajate susteemist saab valja valida sellevektorruumi baasi.
Lause 4.5.3. Vektorruumi iga lineaarselt soltumatu vektoritesusteem on taiendatav selle vektorruumi baasiks.
4.6 Vektorruumide isomorfism
Definitsioon 4.6.1. Vektorruume V1 ja V2 ule korpuse K
nimetatakse isomorfseteks, kui leidub bijektiivne kujutus φ : V1 → V2,nii et
• suvaliste x, y ∈ V1 korral φ(x + y) = φ(x) + φ(y),
• suvaliste x ∈ V1 ja α ∈ K korral φ(αx) = α(φ(x)) .
Lause 4.6.1. Isomorfism kujutab lineaarselt soltuva (soltumatu)vektorite susteemi lineaarselt soltuvaks (soltumatuks) vektoritesusteemiks.
Lause 4.6.2. Iga n-mootmeline vektorruum ule korpuse K onisomorfne vektorruumiga Kn.
Jareldus 4.6.1. Kaks vektorruumi ule korpuse K on isomorfsedparajasti siis, kui nende mootmed on vordsed.
Lause 4.6.2 toestuses seadsime vektorile v ∈ V vastavusse kordajatejada (α1, . . . , αn), mis tekib, kui esitame v valitud baasivektoritee1, . . . , en lineaarkombinatsioonina. Skalaare α1, . . . , αn nimetataksevektori v koordinaatideks baasil e1, . . . , en.
Lause 4.6.3. Kui baas on fikseeritud, siis vektorite liitmiseks tulebliita nende vastavad koordinaadid ning korrutamiseks mingiskalaariga tuleb korrutada koik koordinaadid selle skalaariga.
4.7 Elementaarteisendused
Definitsioon 4.7.1. Vektorite susteemi elementaarteisendusteksnimetatakse:
• susteemi mingi vektori korrutamist mingi nullist erinevaskalaariga;
• susteemi mingile vektorile mingi skalaariga korrutatud samasusteemi mingi teise vektori liitmist.
Lause 4.7.1. Elementaarteisenduste poordteisendused on kaelementaarteisendused.
Lause 4.7.2. Elementaarteisendusi korduvalt rakendades onvoimalik vektorite jarjestust muuta.
Lause 4.7.3. Iga elementaarteisendus teisendab iga vektoritesusteemi iseendaga ekvivalentseks susteemiks.
Teoreem 4.7.1. Vektorite susteemid v1, . . . , vn ja w1, . . . , wn
on ekvivalentsed parajasti siis, kui uks neist susteemidest onelementaarteisendusi korduvalt rakendades teisendatav teisekssusteemiks.
5 Maatriksid
Kaesolevas peatukis arendame edasi maatriksite teooriat, millegaesmatutvumine toimus kursuses “Algebra ja geomeetria”. Lisaksparis uuele materjalile esitame nimetatud kursuses pohjendamatajaanud vaidete toestused. Oluline erinevus on, et me vaatlememaatrikseid, mille elemendid kuuluvad mistahes ringi. Enamasti onsee ring korpus.
Koigi m× n maatriksite hulka ule ringi R tahistame sumboligaMatm,nR. Koigi n-ndat jarku ruutmaatriksite hulka ule ringi R
tahistame sumboliga MatnR. Seega Matn,nR = MatnR.
5.1 Permutatsioonid
Definitsioon 5.1.1. Hulga X = {x1, . . . , xn} permutatsiooniksnimetatakse selle hulga mistahes umberjarjestust.
Hulga Nn = {1, 2, . . . , n} koigi permutatsioonide hulka tahistamesumboliga Pn. Edaspidi vaatleme ainult hulga Nn permutatsioone.
Lause 5.1.1. Hulgas Pn on n! elementi.
Definitsioon 5.1.2. Oeldakse, et elemendipaar (αi, αj) moodustabinversiooni permutatsioonis
α1, . . . , αi, . . . , αj , . . . , αn ,
kui αi > αj.
Inversioonide arvu permutatsioonis α tahistame sumboliga I(α).
Definitsioon 5.1.3. Oeldakse, et permutatsioon α paaris (paaritu),kui arv I(α) on paaris (paaritu).
Definitsioon 5.1.4. Permutatsiooni kahe elemendi aravahetamistnimetatakse transpositsiooniks.
Lause 5.1.2. Transpositsiooni teostamine permutatsioonis muudabtema paarsust.
Lause 5.1.3. Permutatsioon on paaris parajasti siis, kui ta onsaadav permutatsioonist 1, 2, . . . , n paarisarvu transpositsioonide abil.
Lause 5.1.4. Kui n ≥ 2, siis hulgas Pn on uhepalju paaris japaarituid permutatsioone.
5.2 Determinant ja tema omadused
Definitsioon 5.2.1. Maatriksi A = (aij) ∈ MatnK determinadiksnimetatakse korpuse K elementi
∑
α∈Pn
(−1)I(α)a1α1 . . . anαn .
Maatriksi A determinanti tahistatakse sumboliga |A| voi sumboligadet A.
Lause 5.2.1. Ruutmaatriksi transponeerimisel maatriksideterminant ei muutu.
Lause 5.2.2. Kui ruutmaatriksi kaks rida (veergu) vahetada, siismaatriksi determinant korrutub korpuse elemendiga −1.
Lause 5.2.3. Kui ruutmaatriksis on kaks vordset rida (veergu), siismaatriksi determinant on 0.
Lause 5.2.4. Kui ruutmaatriksi mingit rida (veergu) korrutadaskalaariga α, siis maatriksi determinant korrutub skalaariga α.
Lause 5.2.5. Kui ruutmaatriksi mingile reale (veerule) liita mingiskalaariga korrutatud mingi teine rida (veerg), siis maatriksideterminant ei muutu.
Jareldus 5.2.1. Kui B on saadud ruutmaatriksist A ridade(veergude) elementaarteisenduste teel ja detA 6= 0, siis ka det B 6= 0.
Definitsioon 5.2.2. Nimetame ruutmaatriksit A = (aij) ulemiseks(alumiseks) kolmnurkmaatriksiks, kui tema koik elemendid allpool(ulevalpool) peadiagonaali on nullid.
Lause 5.2.6. Nii ulemise kui alumise kolmnurkmaatriksi A = (aij)determinant vordub tema peadiagonaali elementide korrutisegaa11 · · · ann.
Teoreem 5.2.1. Jargmised kolm tingimust on samavaarsed igaruutmaatriksi A korral: 1) detA = 0; 2) A reavektorite susteem onlineaarselt soltuv; 3) A veeruvektorite susteem on lineaarselt soltuv.
5.3 Laplace’i valem
Pierre Simon de Laplace (1749-1827) prantsuse astronoom,matemaatik ja fuusik.
Kui A on mistahes maatriks ule korpuse K, milles on vahemalt k
rida ja k veergu, siis M j1,...,jk
i1,...,ikabil tahistame tema miinorit, mis
vastab ridadele jarjekorranumbritega i1, . . . , ik ja veergudelejarjekorranumbritega j1, . . . , jk. Kui A on ruutmaatriks, siis miinoriM j1,...,jk
i1,...,iktaiendusmiinorit ja algebralist taiendit tahistame vastavalt
sumbolitega M ′j1,...,jk
i1,...,ikja Aj1,...,jk
i1,...,ik. Teatavasti
Aj1,...,jk
i1,...,ik= (−1)sM ′j1,...,jk
i1,...,ik, kus s = i1 + · · ·+ ik + j1 + · · ·+ jk.
Teoreem 5.3.1. Olgu A suvaline n-ndat jarku ruutmaatriks ulekorpuse K ja 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. Siis
det A =∑
1≤j1<···<jk≤n
M j1,...,jk
i1,...,ikAj1,...,jk
i1,...,ik.
Teoreem 5.3.2. Olgu A suvaline n-ndat jarku ruutmaatriks ulekorpuse K ja 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n. Siis
detA =∑
1≤i1<···<ik≤n
M j1,...,jk
i1,...,ikAj1,...,jk
i1,...,ik.
Kui k = 1, siis maatriksi A miinor M ji on lihtsalt selle maatriksi
element aij . Tema taiendusmiinorit ja algebralist taiendit hakkametahistama vastavalt sumbolitega M ′
ij ja Aij . Ilmselt siisAij = (−1)i+jM ′
ij .
Jareldus 5.3.1. Olgu A suvaline n-ndat jarku ruutmaatriks ulekorpuse K ja 1 ≤ i ≤ n. Siis
detA =n∑
j=1
aijAij .
Jareldus 5.3.2. Olgu A suvaline n-ndat jarku ruutmaatriks ulekorpuse K ja 1 ≤ j ≤ n. Siis
detA =n∑
i=1
aijAij .
5.4 Maatriksi astak
Definitsioon 5.4.1. Maatriksi astakuks mimetatakse temareavektorite susteemi astakut. Maatriksi A astakut tahistame rank A
Teoreem 5.4.1. Maatriksi astak vordub selle maatriksi nullisterineva miinori suurima jarguga.
Jareldus 5.4.1. Maatriksi astak vordub tema veeruvektoritesusteemi astakuga.
Teoreem 5.4.2. Kahe maatriksi korrutise astak ei uleta kummagiteguri astakut.
Jareldus 5.4.2. Maatriks A ∈ MatnK on regulaarne parajasti siis,kui tema astak on n.
Maatriksi astaku praktiline leidmine tugineb jargmisele lausele.
Lause 5.4.1. Kui maatriksi astak on r, siis leiduvad naturaalarvudn1 < · · · < nr, nii et see maatriks on ridade elementaarteisendusteabil teisendatav maatriksiks B, mille korral
• bi,ni 6= 0, kui 1 ≤ i ≤ r;
• bi,j = 0, kui 1 ≤ i ≤ r ja j < ni;
• bi,j = 0, kui i > r.
Lause 5.4.2. Vektorite susteemi astak vordub tema koordinaatidestmoodustatud maatriksi astakuga.
5.5 Poordmaatriks
Definitsioon 5.5.1. Elementaarmaatriksiteks nimetatakse:
• ruutmaatrikseid Ei(α), kus α 6= 0, mis saadakse uhikmaatriksisttema i-nda peadiagonaali elemendi asendamisel skalaariga α;
• ruutmaatrikseid Eij(α), kus i 6= j, mis saadakse uhikmaatriksisttema i-nda rea ja j-nda veeru elemendi asendamisel skalaariga α.
Lemma 5.5.1. Maatriksi korrutamisel vasakult maatriksiga Ei(α)korrutatakse selle maatriksi i-s rida skalaariga α. Teised read jaavadendiseks.
Maatriksi korrutamisel paremalt maatriksiga Ei(α) korrutatakse sellemaatriksi i-s veerg skalaariga α. Teised veerud jaavad endiseks.
Lemma 5.5.2. Maatriksi korrutamisel vasakult maatriksiga Eij(α)liidetakse selle maatriksi i-ndale reale skalaariga α korrutatud j-srida. Teised read jaavad endiseks.
Maatriksi korrutamisel paremalt maatriksiga Eij(α) liidetakse sellemaatriksi j-ndale veerule skalaariga α korrutatud i-s veerg. Teisedveerud jaavad endiseks.
Viimased lemmad utlevad, et elementaarteisenduste sooritaminemaatriksi ridadega (veergudega) on samavaarne maatriksikorrutamisega vasakult (paremalt) elementaarmaatriksitega.
Lause 5.5.1. Maatriks on regulaarne parajasti siis, kui ta esitubelementaarmaatriksite korrutisena.
Viimasest lausest tuleneb jargmine vote poordmaatriksi leidmiseks.Kirjutame regulaarmaatriksi A korvale (paremale) sama jarkuuhikmaatriksi. Nii moodustunud n× 2n maatriksit C teisendameridade elementaarteisenduste abil, kuni maatriks A asendubuhikmaatriksiga. Seejuures maatriksi C viimaste n veerumoodustatud uhikmaatriks teiseneb maatriksiks A−1.
5.6 Lineaarvorrandisusteemid
Definitsioon 5.6.1. Lineaarvorrandisusteemiks ule korpuse K
nimetatakse vorrandisusteemi, mis koosneb vorranditest
ai1x1 + · · ·+ ainxn = bi, 1 ≤ i ≤ m,
kus aij , bi ∈ K.
Elemente aij nimetatakse vorrandisusteemi kordajateks, elemente bi
vabaliikmeteks. m× n-maatriksit A = (aij) nimetatakse antudvorrandisusteemi maatriksiks. Maatriksit, mille saame, kuimaatriksile A lisame uue veeruna vabaliikmed, nimetatakse antudvorrandisusteemi laiendatud maatriksiks.
Lause 5.6.1. Kui lineaarvorrandisusteemi laiendatud maatriksitteisendada ridade elementaarteisenduste abil, siis tekib esialgsevorrandisusteemiga ekvivalentse vorrandisusteemi laiendatudmaatriks.
Teoreem 5.6.1. (Kronecker-Capelli teoreem.)Lineaarvorrandisusteem on lahenduv parajasti siis, kui temamaatriksi ja tema laiendatud maatriksi astakud on vordsed.
Leopold Kronecker (1823-1891) saksa matemaatik
Alfredo Capelli (1855-1910) itaalia matemaatik
Gaussi meetod lineaarvorrandisusteemi lahendamiseks seisneb temalaiendatud maatriksi teisendamises ridade elementaarteisenduste abil,kuni vorrandisusteem teiseneb kujule, mis voimaldab osa tundmatuidavaldada ulejaanute (nn vabade tundmatute) kaudu. Vabadeletundmatutele voib anda vaartusi taiesti vabalt. Igale vabadetundmatute vaartustusele vastab uks vorrandisusteemi lahend.
Lause 5.6.2. Lahenduva lineaarvorrandisusteemi vabade tundmatutearv vordub koigi tundmatute arvu ja susteemi maatriksi astakuvahega.Jareldus 5.6.1. Lahenduv lineaarvorrandisusteem on uheseltlahenduv parajasti siis, kui tema tundmatute arv vordub temamaatriksi astakuga.
Definitsioon 5.6.2. Kui lineaarvorrandisusteemi tundmatute arvuhtib vorrandite arvuga ja susteemi maatriks on regulaarne, siisoeldakse, et tegemist on Crameri peajuhuga.
Gabriel Cramer (1704-1752) Sveitsi matemaatik
Teoreem 5.6.2. Crameri peajuhul oleva lineaarvorrandisusteemilahend on leitav nn Crameri valemitest
xi =∆i
detA,
kus A on vorrandisusteemi maatriks ja ∆i on sellise maatriksideterminant, mis saadakse maatriksi A i-nda veeru asendamiselvabaliikmete veeruga.
5.7 Homogeenne ja mittehomogeenne
lineaarvorrandisusteem
Definitsioon 5.7.1. Lineaarvorrandisusteemi nimetataksehomogeenseks, kui tema koik vabaliikmed on nullid.
Lause 5.7.1. Homogeense linearvorrandisusteemi koigi lahenditehulk on alamruum vektorruumis Kn, kus n on tundmatute arv. Sellealamruumi moode on n− r, kus r on susteemi maatriksi astak.
Teoreem 5.7.1. Homogeenne lineaarvorrandisusteem, milletundmatute arv vordub vorrandite arvuga, omab mittetriviaalsetlahendit parajasti siis, kui tema maatriksi determinant on 0.
Lausest 5.7.1 tuleneb, et kui homogeensel lineaarvorrandisusteemil onolemas mittetriviaalne lahend, siis on voimalik leida tema lineaarseltsoltumatu lahendite hulk, mille kaudu avalduvad lineaarselt sellesusteemi koik lahendid. Sellist lahendite hulka nimetatakse antudvorrandisusteemi lahendite fundamentaalsusteemiks.
Lause 5.7.2. Lineaarvorrandisusteemi kahe lahendi vahe on vastavahomogeense vorrandisusteemi lahend. Lineaarvorrandisusteemilahendi ja vastava homogeense vorrandisusteemi lahendi summa onesialgse vorrandisusteemi lahend.
Lause 5.7.3. Lineaarvorrandisusteemi uldlahend on esitatav kujul
c(0) + α1c(1) + · · ·+ αkc(k) ,
kus c(0) on selle susteemi mingi erilahend ja c(1), . . . , c(k) on vastavahomogeense vorrandisusteemi lahendite fundamentaalsusteem.
6 Polunoomid
6.1 Polunoomide ring
Olgu antud mingi ring R. Vaatleme koigi selliste jadade hulka, milleelemendid kuuluvad ringi R ja sealjuures mingist kohast alates onkoik vordsed ringi R nullelemendiga. Teatud pohjustel, mis selguvadhiljem, tahistame seda hulka sumboliga R[X]. Niisiis, jadaa = (a0, a1, a2, . . . ) kuulub hulka R[X] parajasti siis, kui leidub n, niiet iga k > n korral ak = 0.
Jadade a = (a0, a1, a2, . . . ) ja b = (b0, b1, b2, . . . ) liitmine jakorrutamine defineeritakse valemitega:
a + b = c = (c0, c1, c2, . . . ) ,
kus ci = ai + bi, i = 0, 1, 2, . . . ja
ab = d = (d0, d1, d2, . . . ) ,
kus di = a0bi + a1bi−1 + · · ·+ aib0.
Lause 6.1.1. Hulk R[X] on defineeritud tehete suhtes ring.
Lause 6.1.2. Kui ring R on kommutatiivne (nulliteguriteta), siis karing R[X] on kommutatiivne (nulliteguriteta).
Lause 6.1.3. Hulk R′, mis koosneb koigist jadadest (a, 0, 0, . . . ), kusa ∈ R, on ringi R[X] alamring. Kujutus φ : R → R′,φ(a) = (a, 0, 0, . . . ), on ringide isomorfism.
Viimane lause lubab samastada polunoomi (a, 0, 0, . . . ) ringi R
elemendiga a ning seega vaadelda ringi R kui ringi R[X] alamringi.Ringi R′ elemente nimetatakse ka konstantseteks polunoomideks.
Votame kasutusele sumboli X = (0, 1, 0, 0, . . . ).
Lause 6.1.4. Ringi R[X] element a = (a0, a1, a2, . . . , an, 0, 0, . . . ) onkirja pandav kujul
a = a0 + a1X + · · ·+ an−1Xn−1 + anXn .
Liidetavaid aiXi nimetatakse polunoomi a liikmeteks, ringi R
elemente ai aga selle polunoomi kordajateks. Liiget a0 = a0X0
nimetatakse polunoomi a vabaliikmeks. Kui an 6= 0, siis anXn
nimetatakse polunoomi a pealiikmeks. Naeme, et pealiige on olemasvaid nullist erinevatel polunoomidel.
Definitsioon 6.1.1. Kui polunoomi pealiige sisaldab muutujatastmes n, siis oeldakse, et polunoomi aste on n. Polunoomi a astettahistatakse deg(a).
Eelnevast jareldub, et nullpolunoomi aste ei ole defineeritud, kuidaste 0 on parajasti nullist erinevatel konstantsetel polunoomidel.Monikord lepitakse kokku, et nullpolunoomi aste on −∞.
Lause 6.1.5. Polunoomi astmel on jargmised omadused:
• kahe polunoomi summa aste ei uleta kummagi liidetava astet;
• kahe polunoomi korrutise aste ei uleta tegurite astmete summat;
• kui ring R on nulliteguriteta, siis polunoomide a, b ∈ R[X]korrutise aste on vordne tegurite astmete summaga.
Lause 6.1.6. Kui ring R on nulliteguriteta, siis ringi R[X]pooratavad elemendid on parajasti ringi R pooratavad elemendid(vaadelduna konstantsete polunoomidena).
Jareldus 6.1.1. Kui K on korpus, siis ringi K[X] pooratavadelemendid on parajasti nullist erinevad konstantsed polunoomid.
6.2 Jaguvus kommutatiivsetes nulliteguriteta
ringides
Selle teema ulatuses on koik vaadeldavad ringid kommutatiivsed janulliteguriteta.
Definitsioon 6.2.1. Olgu a ja b ringi R elemendid. Oeldakse, et b
on a jagaja, kui leidub niisugune c ∈ R, et a = bc.
Seda, et b on a jagaja, tahistatakse nii: b|a. Selle kohta oeldakse ka,et a jagub b-ga voi et b jagab a-d.
Lause 6.2.1. Jaguvuse seosel on jargmised omadused:
• kui a|b ja b|c, siis a|c;• kui a|b ja a|c, siis a|(b± c);
• iga a ∈ R korral a|a ja a|0;• kui a ∈ U(R) ja b ∈ R, siis a|b.
Definitsioon 6.2.2. Oeldakse, et ringi elemendid a ja b onassotsieeritud, kui a|b ja b|a. Seda, et a ja b on assotsieeritud,tahistame nii: a ∼ b.
Lause 6.2.2. Ringi elementide assotsieeritus on ekvivalentsiseos.
Lause 6.2.3. Ringi R elemendid a ja b on assotsieeritud parajastisiis, kui leidub u ∈ U(R), nii et a = ub.
Definitsioon 6.2.3. Ringi R elementide a ja b suurimaksuhisteguriks nimetatakse nende niisugust uhist jagajat, mis jagub a jab koigi uhiste jagajatega.
Elementide a ja b suurimat uhistegurit tahistatakse SUT(a, b).
Lause 6.2.4. Kui ringi R elementidel on olemas suurim uhistegur,siis on see maaratud uheselt assotsieerituse tapsuseni.
Lause 6.2.5. Suurima uhisteguri votmisel ringis R on jargmisedomadused:
• SUT(a, b) = a parajasti siis, kui a|b;• iga a ∈ R korral SUT(a, 0) = a;
• SUT(SUT(a, b), c) =SUT(a,SUT(bc)).
Markus. Viimase lause viimases punktis eeldatakse, et koik sealesinevad suurimad uhistegurid eksisteerivad.
6.3 Eukleidese ringid
Definitsioon 6.3.1. Kommutatiivset nulliteguriteta ringi R
nimetatakse Eukleidese ringiks, kui on olemas selline kujutusδ : R∗ → N ∪ {0}, et iga a ∈ R ja b ∈ R∗ jaoks, leiduvad q, r ∈ R, niiet a = qb + r, kusjuures r = 0 voi δ(r) < δ(b).
Teoreem 6.3.1. Kui K on korpus, siis K[X] on Eukleidese ring,kusjuures kujutuse δ rolli sobib polunoomi aste deg.
Teoreem 6.3.2. Eukleidese ringi igal kahel elemendil on olemassuurim uhistegur.
Eukleidese ringi kahe elemendi suurima uhisteguri leidmisekskasutatakse Eukleidese algoritmi.
Olgu a ja b Eukleidese ringi elemendid, kusjuures b 6= 0. Leiameesmalt q1, r1 ∈ R, nii et a = q1b + r1, kusjuures r1 = 0 voiδ(r1) < δ(b).
Kui r1 = 0, siis algoritm lopetab too. Kui r1 6= 0, siis leiameq2, r2 ∈ R, nii et b = q2r1 + r2, kusjuures r2 = 0 voi δ(r2) < δ(r1).
Kui r2 = 0, siis algoritm lopetab too. Kui r2 6= 0, siis leiameq3, r3 ∈ R, nii et r1 = q3r2 + r3, kusjuures r3 = 0 voi δ(r3) < δ(r2).
Nii jatkame, kuni saame rn = 0. Osutub, et siis rn−1=SUT(a, b).
Teoreem 6.3.3. Kui a ja b on Eukleidese ringi R elemendid jac = SUT(a, b), siis leiduvad r, s ∈ R, nii et c = ar + bs.
6.4 Polunoom kui funktsioon
Kui on antud polunoom f = a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anXn ∈ R[X],
siis saab iga r ∈ R korral leida avaldisea0 + a1r + a2r
2 + · · ·+ anrn ∈ R vaartuse. Seda nimetataksepolunoomi f vaartuseks kohal r ja tahistatakse f(r). Seega maarabiga polunoom f ∈ R[X] teisenduse ehk funktsiooni ringil R
(tegelikult ka igal ringil, mis alamringina sisaldab ringi R). Uldjuhulei tohi polunoomi samastada selle funktsiooniga, mille ta maarab.Siiski, pidades silmas seda, et iga polunoom maarab uhe kindlafunktsiooni, tahistakse polunoome tihti kujul f(X).
Definitsioon 6.4.1. Polunoomi f ∈ R[X] juureks nimetatakse sellistelementi r ∈ R, et f(r) = 0.
Teoreem 6.4.1. (Bezout teoreem) Olgu f polunoom ule korpuse K
ja a ∈ K. Siis f vaartus kohal a vordub jaagiga, mis tekib f
jagamisel polunoomiga X − a.
Jareldus 6.4.1. Olgu f polunoom ule korpuse K ja a ∈ K. Elementa on polunoomi f juur parajasti siis, kui (X − a)|f .
Etienne Bezout 1730-1783 Prantsuse matemaatik
Teoreem 6.4.2. Kui K on korpus ja f ∈ K[X] on n-nda astmepolunoom, siis f omab ulimalt n juurt.
Teoreem 6.4.3. (Lagrange’i interpolatsioonivalem) Olgu K korpusja a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ K, kusjuures a1, . . . , an on paarikaupaerinevad. Siis leidub uheselt maaratud polunoom f ∈ K[X], milleaste on vaiksem kui n, nii et f(ai) = bi, i = 1, . . . , n. Polunoom f onjargmine:
f(X) =n∑
i=1
(X − a1) . . . (X − ai−1)(X − ai+1) . . . (X − an)(ai − a1) . . . (ai − ai−1)(ai − ai+1) . . . (ai − an)
bi .
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) prantsuse matemaatik jamehaanikateadlane.
6.5 Kordsed juured
Definitsioon 6.5.1. Olgu f polunoom ule korpuse K, a ∈ K temajuur ja m ∈ N. Oeldakse, et juure a kordsus on m, kui (X − a)m|f ,kuid (X − a)m+1 6 |f .
Definitsioon 6.5.2. Olgu f = a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anXn
polunoom ule korpuse K. Polunoomi f tuletiseks nimetataksepolunoomi
f ′ = a1 + 2a2X + 3a3X2 + · · ·+ nanXn−1 .
Lause 6.5.1. Suvaliste polunoomide f, g ∈ K[X] ning naturaalarvu n
korral kehtivad valemid:
• (f + g)′ = f ′ + g′;
• (fg)′ = f ′g + fg′; (fn)′ = nfn−1f ′ .
Definitsioon 6.5.3. Oeldakse, et korpuse K karakteristika on 0, kuiiga naturaalarvu m korral m · 1 6= 0 (siin 1 on korpuse K
uhikelement).
Teoreem 6.5.1. Kui K on korpus, mille karakteristika on 0 ja a onpolunoomi f ∈ K[X] m-kordne juur, siis ta on f tuletise(m− 1)-kordne juur.
Lause 6.5.2. Olgu f polunoom ule korpuse K, mille karakteristikaon 0, ning g polunoomide f ja SUT(f, f ′) jagatis. Siis f ja g juurtehulgad korpuses K uhtivad, kuid g koik juured on uhekordsed.
Viimase lause rakendamist, st antud polunoomi f jaoks sellisepolunoomi g leidmist, millel on samad, kuid uhekordsed juured,nimetatakse kordsete juurte eraldamiseks.Teoreem 6.5.2. Kui f on polunoom ule korpuse K, mille aste on n,siis f omab ulimalt n juurt, isegi arvestades kordsusi.
6.6 Polunoomi lahutuskorpus, algebra
pohiteoreem
Definitsioon 6.6.1. Polunoomi f ∈ K[X] nimetataksetaandumatuks ule korpuse K, kui ta ei ole konstantne ning tema igaslahutuses kahe polunoomi korrutiseks on uks tegur konstantne.
Lause 6.6.1. Iga mittekonstantne polunoom esitub taandumatutepolunoomide korrutisena.
Teoreem 6.6.1. Olgu f mittekonstantne polunoom ule korpuse K.Siis leidub korpus L, mis sisaldab korpust K alamkorpusena, nii et f
lahutub esimese astme polunoomide korrutiseks ule L.Definitsioon 6.6.2. Polunoomi f ∈ K[X] lahutuskorpuseksnimetatakse sellist minimaalset korpust, mis alamkorpusena sisaldabkorpust K ja ule mille polunoom f lahutub esimese astmepolunoomide korrutiseks.
Teoreem 6.6.2. Iga mittekonstantse polunoomi jaoks ule korpuseleidub lahutuskorpus, mis on uheselt maaratud isomorfismi tapsuseni.
Definitsioon 6.6.3. Korpust K nimetatakse algebraliselt kinniseks,kui iga mittekonstantne polunoom f ∈ K[X] lahutub esimese astmepolunoomide korrutiseks ule K.
Lause 6.6.2. Jargmised tingimused korpusele K on samavaarsed:
• K on algebraliselt kinnine;
• iga mittekonstantne polunoom f ∈ K[X] omab juurt korpuses K;
• ainukesed taandumatud polunoomid ule K on esimese astmepolunoomid.
Teoreem 6.6.3. (Algebra pohiteoreem) Kompleksarvude korpus onalgebraliselt kinnine.
Lemma 6.6.1. Kui α ∈ C on polunoomi f ∈ R[X] juur, siis ka α onf juur.Teoreem 6.6.4. Taandumatud polunoomid ule R on: a) esimeseastme polunoomid ja b) teise astme polunoomid, millel puuduvadreaalarvulised juured.
6.7 Ringi jagatiste korpus
Definitsioon 6.7.1. Korpust K nimetatakse ringi R jagatistekorpuseks, kui ta sisaldab ringi R alamringina ja K iga elementesitub kujul ab−1, kus a, b ∈ R.Teoreem 6.7.1. Iga kommutatiivne nulliteguriteta ring omabjagatiste korpust.
Ringi R jagatiste korpust hakkame tahistama sumboliga Q(R).
Definitsioon 6.7.2. Kui K on korpus, siis ringi K[X] jagatistekorpust nimetatakse ratsionaalmurdude korpuseks ule korpuse K.
Definitsioon 6.7.3. Nullist erineva ratsionaalmurru fg astmeks
nimetatakse taisarvu deg f − deg g.
Definitsioon 6.7.4. Ratsionaalmurdu, mille aste on negatiivne,nimetatakse lihtmurruks.
Lause 6.7.1. Iga nullist erinev ratsionaalmurd esitub uheseltpolunoomi ja lihtmurru summana.
Definitsioon 6.7.5. Ratsionaalmurdu fgm , kus g on taandumatu
polunoom ja deg f < deg g, nimetatakse algmurruks.
Teoreem 6.7.2. Iga lihtmurd on esitatav algmurdude summana.
7 Vektorruumide lineaarteisendused
7.1 Lineaarkujutuste vektorruum
Definitsioon 7.1.1. Olgu V1 ja V2 vektorruumid ule korpuse K.Kujutust φ : V1 → V2 nimetatakse lineaarseks, kui ta rahuldabtingimusi:
• φ(x + y) = φ(x) + φ(y) iga x, y ∈ V korral;
• φ(αx) = α(φ(x)) suvaliste x ∈ V , α ∈ K korral.
Seega voib oelda, et lineaarkujutus on niisugune kujutus uhestvektorruumist teise, mis sailitab vektorruumi tehted. Algebrasnimetatakse uldiselt selliseid kujutusi, mis sailitavad vaadeldavastruktuuri tehted, homomorfismideks. Seeparast hakkame tahistamakoigi lineaarkujutuste hulka vektorruumist V1 vektorruumi V2
sumboliga Hom(V1, V2).
Definitsioon 7.1.2. Lineaarkujutust vektorruumist V iseendassenimetatakse vektorruumi V lineaarteisenduseks.
Uldiselt nimetatakse algebras homomorfisme mingist algebraliseststruktuurist iseendasse endomorfismideks. Selleparast tahistamevektorruumi V koigi lineaarteisenduste hulka sumboliga EndV .Eelneva pohjal End V = Hom(V, V ).
Definitsioon 7.1.3. Lineaarkujutuste φ, ψ ∈ Hom(V1, V2) summaksnimetatakse kujutust φ + ψ, mis on defineeritud eeskirjaga
(φ + ψ)(x) = φ(x) + ψ(x), x ∈ V1 .
Lause 7.1.1. Lineaarkujutuste summa on ise ka lineaarkujutus.
Definitsioon 7.1.4. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) korrutiseksskalaariga α ∈ K nimetatakse kujutust αφ, mis on defineeritudeeskirjaga
(αφ)(x) = α(φ(x)), x ∈ V1 .
Lause 7.1.2. Lineaarkujutuse korrutis skalaariga on ise kalineaarkujutus.
Lause 7.1.3. Kui V1 ja V2 on vektorruumid ule korpuse K, siis kaHom(V1, V2) on vektorruum ule korpuse K.
Definitsioon 7.1.5. Olgu φ ∈ Hom(V1, V2) ning e1, . . . , en jaf1, . . . , fm olgu baasid vastavalt vektorruumides V1 ja V2. Siism× n-maatriksit, mille i-ndas veerus on vektori φ(ei) koordinaadidbaasil f1, . . . , fm, nimetatakse φ maatriksiks antud baaside suhtes.
Lause 7.1.4. Olgu V1 ja V2 vektorruumid ule korpuse K, kusjuurese1, . . . , en ja f1, . . . , fm olgu nende baasid. Siis kujutus, mis igalelineaarkujutusele φ ∈ Hom(V1, V2) seab vastavusse tema maatriksiantud baaside suhtes, on isomorfism vektorruumist Hom(V1, V2)vektorruumi Matm,nK.
Jareldus 7.1.1. Kui V1 ja V2 on vastavalt n- ja m-mootmelinevektorruum ule korpuse K, siis vektorruumi Hom(V1, V2) moode onmn.
7.2 Lineaarteisenduste ring
Lineaarkujutuste korrutamine tahendab nende jarjest rakendamist.Seega, kui φ ∈ Hom(V1, V2) ja ψ ∈ Hom(V2, V3), siis ψφ on kujutusvektorruumist V1 vektorruumi V3, mis on defineeritud eeskirjaga(ψφ)(x) = ψ(φ(x)).
Lause 7.2.1. Kui φ ∈ Hom(V1, V2) ja ψ ∈ Hom(V2, V3), siisψφ ∈ Hom(V1, V3).
Teoreem 7.2.1. Iga vektorruumi V korral on hulk EndV ulaldefineeritud liitmise ja korrutamise suhtes ring.
Definitsioon 7.2.1. Olgu V vektorruum, e1, . . . , en tema baas jaφ ∈ EndV . Lineaarteisenduse φ maatriksiks baasil e1, . . . , en
nimetatakse n-ndat jarku ruutmaatriksit A = (aij), mille i-ndaveeruvektori komponendid on vektori φ(ei) koordinaadid baasile1, . . . , en, i = 1, . . . , n.
Teoreem 7.2.2. Olgu V vektorruum ule korpuse K ja e1, . . . , en
tema mingi baas. Kujutus, mis V igale lineaarteisendusele seabvastavusse tema maatriksi baasil e1, . . . , en, on isomorfism ringideEnd V ja MatnK vahel.
7.3 Lineaarkujutuse tuum ja kujutis
Definitsioon 7.3.1. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) tuumaksnimetatakse hulka {x ∈ V1 |φ(x) = 0}.
Lause 7.3.1. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) tuum on vektorruumiV1 alamruum.
Definitsioon 7.3.2. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) kujutiseksnimetatakse hulka {φ(x) |x ∈ V1}.
Lause 7.3.2. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) kujutis onvektorruumi V2 alamruum.
Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) tuuma ja kujutist tahistataksevastavalt sumbolitega Ker φ ja Im φ
Lause 7.3.3. Lineaarkujutus φ on uksuhene parajasti siis, kuiKer φ = {0}.
Lause 7.3.4. Lineaarkujutus φ ∈ Hom(V1, V2) on pealekujutusparajasti siis, kui Imφ = V2.
Definitsioon 7.3.3. Lineaarkujutuse tuuma ja kujutise mootmeidnimetatakse vastavalt selle lineaarkujutuse defektiks ja astakuks.
Teoreem 7.3.1. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) defekti ja astakusumma vordub vektorruumi V1 mootmega.
Lause 7.3.5. Lineaarkujutuse φ ∈ Hom(V1, V2) astak vordub sellekujutuse maatriksi astakuga.
7.4 Lineaarkujutused, lineaarvorrandisusteemid ja
maatriksid
Lause 7.4.1. Kui A ∈ Matm,n(K), siis kujutus φ : Kn → Km, mison antud eeskirjaga:
φ(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym) ⇐⇒ A
x1
...
xn
=
y1
...
ym
,
on lineaarkujutus ja tema maatriks vektorruumide Kn ja Km
kanooniliste baaside suhtes on A.
Lause 7.4.2. Olgu V ja V ′ vektorruumid ule korpuse K ning e ja e′
baasid vastavalt neis vektorruumides. Kui φ ∈ Hom(V, V ′) jaA = Ae,e′
φ , siis
φ(x) = y ⇐⇒ A
x1
...
xn
=
y1
...
ym
,
kus x1, . . . , xn on vektori x koordinaadid baasil e ja y1, . . . , ym onvektori y koordinaadid baasil e′.
7.5 Lineaarteisenduse maatriksi soltuvus baasist
Olgu vektorruumis V antud kaks baasi: e1, . . . , en ja e′1, . . . , e′n.
Tahistame neid baase jargnevas luhidalt sumbolitega e ja e′.
Definitsioon 7.5.1. Uleminekumaatriksiks baasilt e baasile e′
nimetatakse maatriksit Ce,e′ , mille i-ndas veerus on vektori e′ikoordinaadid baasil e, i = 1, . . . , n.
Lause 7.5.1. Uleminekumaatriksil on jargmised omadused:
• Iga uleminekumaatriks on regulaarne, kusjuures tema jark vordubvektorruumi mootmega;
• kui e on n-mootmelise vektorruumi baas ja C on n-ndat jarkuregulaarmaatriks, siis C on uleminekumaatriks baasilt e
vektorruumi V mingile baasile e′;
• kui e′ on n-mootmelise vektorruumi baas ja C on n-ndat jarkuregulaarmaatriks, siis C on uleminekumaatriks vektorruumi V
mingilt baasilt e baasile e′;
• iga baasi e korral on Ce,e uhikmaatriks;
• vektorruumi V suvaliste baaside e ja e′ korral Ce′,e = (Ce,e′)−1;
• vektorruumi V suvaliste baaside e, e′ ja e′′ korralCe,e′′ = Ce,e′Ce′,e′′ .
Lause 7.5.2. Olgu vektorruumis V antud baasid e ja e′ ningφ ∈ EndV . Kui A ja A′ on teisenduse φ maatriksid vastavaltbaasidel e ja e′, siis A′ = C−1AC, kus C = Ce,e′ .
Definitsioon 7.5.2. Kahte sama jarku ruutmaatriksit A ja B
nimetatakse sarnasteks, kui leidub regulaarmaatriks C, nii etB = C−1AC.
Lause 7.5.3. Ruutmaatriksite sarnasus on ekvivalentsiseos.
Teoreem 7.5.1. Maatriksid A, B ∈ MatnK on sarnased parajastisiis, kui nad on sama lineaarteisenduse maatriksiteks mingite baasidesuhtes.
Definitsioon 7.5.3. Maatriksi A ∈ MatnK karakteristlikukspolunoomiks nimetatakse polunoomi f(λ) = det(A− λE).
Lause 7.5.4. Maatriksi A ∈ MatnK karakteristliku polunoomi asteon n.
Lause 7.5.5. Sarnaste maatriksite karakteristlikud polunoomid onvordsed.
7.6 Lineaarteisenduse omavaartused ja
omavektorid
Definitsioon 7.6.1. Lineaarteisenduse φ ∈ EndV omavektoriksnimetatakse nullist erinevat vektorit a ∈ V , mille jaoks leidubniisugune skalaar λ ∈ K, et φ(a) = λa. Seejuures skalaari λ
nimetatakse teisenduse φ omavaartuseks.
Teoreem 7.6.1. Lineaarteisenduse maatriks mingil baasil ondiagonaalmaatriks parajasti siis, kui see baas koosneb sellelineaarteisenduse omavektoritest.
Definitsioon 7.6.2. Lineaarteisenduse karakteristlikuks polunoomiksnimetatakse selle lineaarteisenduse maatriksi karakteristlikkupolunoomi.
Markus. Eelnevast on selge, et nii defineeritud polunoom ei soltubaasi valikust.
Lause 7.6.1. Lineaarteisenduse omavaartused on temakarakteristliku polunoomi juured.
Jareldus 7.6.1. n-mootmelise vektorruumi lineaarteisendusel onulimalt n omavaartust.
Lause 7.6.2. Kui λ1, . . . , λk on mingi lineaarteisenduse paarikaupaerinevad omavaartused ja a1, . . . , ak on neile vastavad omavektorid,siis vektorite susteem a1, . . . , ak on lineaarselt soltumatu.
Jareldus 7.6.2. Kui n-mootmelise vektorruumi lineaarteisenduselon n erinevat omavaartust, siis selles vektorruumis leidub sellelineaarteisenduse omavektoritest koosnev baas.
8 Eukleidilised ruumid
8.1 Eukleidilise ruumi moiste
Definitsioon 8.1.1. Olgu V vektorruum ule R. KujutustV × V → R, (a, b) → 〈a, b〉 nimetatakse skalaarkorrutiseksvektorruumil V , kui on taidetud jargmised tingimused:
• suvaliste a, b ∈ V korral 〈a, b〉 = 〈b, a〉;• suvaliste a, b, c ∈ V korral 〈a, b + c〉 = 〈a, b〉+ 〈a, c〉;• suvaliste a, b ∈ V ja α ∈ R korral 〈a, αb〉 = α〈a, b〉;• iga a ∈ V korral 〈a, a〉 ≥ 0;
• kui 〈a, a〉 = 0, siis a = 0.
Definitsioon 8.1.2. Eukleidiliseks ruumiks nimetatakseloplikumootmelist vektorruumi ule R, millel on defineeritudskalaarkorrutis.
Lause 8.1.1. Skalaarkorrutisel on jargmised omadused:
• iga vektori a korral 〈a, 0〉 = 0;
• suvaliste vektorite a ja b korral 〈a,−b〉 = −〈a, b〉;• suvaliste vektorite a, b ja c korral 〈a, b− c〉 = 〈a, b〉 − 〈a, c〉;• suvaliste vektorite a1, . . . , am, b1, . . . , bn ja skalaaride
α1, . . . , αm, β1, . . . , βn korral
〈m∑
i=1
αiai,n∑
j=1
βibi〉 =m,n∑
i,j=1
αiβj〈ai, bj〉 .
8.2 Vektori pikkus ja nurk vektorite vahel
Definitsioon 8.2.1. Eukleidilise ruumi vektori a pikkuseksnimetatakse reaalarvu
√〈a, a〉, mida tahistatakse sumboliga |a|.
Markus. Arvu 〈a, a〉 nimetatakse vektori a skalaar-ruuduks. Seegadefineeritakse vektori pikkus kui ruutjuur tema skalaar-ruudust.
Lause 8.2.1. Vektori pikkusel on jargmised omadused:
• iga vektori pikkus on mittenegatiivne reaalarv;
• nullvektor on ainuke vektor, mille pikkus on 0;
• iga vektori a ja reaalarvu α korral |αa| = |α||a|.
Definitsioon 8.2.2. Eukleidilise ruumi vektorit, mille pikkus on 1,nimetatakse uhikvektoriks.
Eelmisest lausest jareldub, et iga nullist erineva vektori a korral on|a|−1a uhikvektor.
Lause 8.2.2. Iga kahe vektori a ja b korral kehtib nnCauchy-Bunjakovski vorratus |〈a, b〉| ≤ |a||b|.
Viktor Bunjakovski (1804-1889) – vene matemaatik
Jareldus 8.2.1. Iga kahe vektori a ja b korral |a + b| ≤ |a|+ |b|(kolmnurga vorratus).
Cauchy-Bunjakovski vorratus voimaldab defineerida nurga vektoritea ja b vahel kui sellise nurga, mille koosinus on 〈a,b〉
|a||b| .
Definitsioon 8.2.3. Oeldakse, et Eukleidilise ruumi vektorid a ja b
on risti ehk ortogonaalsed, kui nende skalaarkorrutis on 0.
8.3 Ortogonaalsed vektorite susteemid
Definitsioon 8.3.1. Vektorite susteemi, mille vektorid onpaarikaupa ortogonaalsed, nimetatakse ortogonaalseks vektoritesusteemiks.
Definitsioon 8.3.2. Ortogonaalset vektorite susteemi, mis koosnebuhikvektoritest, nimetatakse ortonormeeritud vektorite susteemiks.
Lause 8.3.1. Ortogonaalne nullist erinevatest vektoritest koosnevsusteem on lineaarselt soltumatu.
Teoreem 8.3.1. Igas Eukleidilises ruumis on olemasortonormeeritud baas.
Viimase teoreemi toestus tugineb nn Gram-Schmidtiortogonaliseerimisprotsessile.
Jørgen Pedersen Gram (1850–1916) – taani matemaatik
Erhard Schmidt (1876–1959) – saksa matemaatik, sundinud Tartus,oppinud Tartu Ulikoolis 1893–1899
Lause 8.3.2. Kui Eukleidilise ruumi kahe vektori koordinaadid onantud mingi ortonormeeritud baasi suhtes, siis nende skalaarkorrutisvordub vastavate koordinaatide korrutiste summaga.
Definitsioon 8.3.3. Eukleidilisi ruume V ja V ′ nimetatakseisomorfseteks, kui leidub vektorruumide isomorfism φ : V → V ′, missailitab skalaarkorrutise, st suvaliste vektorite a, b ∈ V korral〈φ(a), φ(b)〉 = 〈a, b〉.
Teoreem 8.3.2. Kaks Eukleidilist ruumi on isomorfsed parajastisiis, kui nende mootmed on vordsed.
8.4 Ortogonaalmaatriksid ja
ortogonaalteisendused
Definitsioon 8.4.1. Maatriksit A ∈ MatnR nimetatakseortogonaalseks, kui AT = A−1.
Lause 8.4.1. Ortogonaalmaatriksi determinant on 1 voi −1. Seegaon koik ortogonaalmaatriksid regulaarsed.
Lause 8.4.2. Koigi n-ndat jarku ortogonaalmaatriksite hulk on ruhmmaatriksite korrutamise suhtes. Ta on koigi n-ndat jarku,reaalarvuliste elementidega regulaarmaatriksite ruhma alamruhm.
Definitsioon 8.4.2. Eukleidilise ruumi lineaarteisendust, missailitab skalaarkorrutise, nimetatakse ortogonaalteisenduseks.
Lause 8.4.3. Jargmised tingimused Eukleidilise ruumilineaarteisenduse φ kohta on samavaarsed:
• φ on ortogonaalne;
• φ maatriks mistahes ortonormeeritud baasil on ortogonaalne;
• φ maatriks mingil ortonormeeritud baasil on ortogonaalne.
Jareldus 8.4.1. Eukleidilise ruumi koik ortogonaalteisendused onbijektiivsed. Nad moodustavad ruhma lineaarteisenduste korrutamisesuhtes.
Lause 8.4.4. Uleminekumaatriks Eukleidilise ruumi uheltortonormeeritud baasilt teisele ortonormeeritud baasile onortogonaalne. Teiselt poolt, kui uleminekumaatriks Eukleidilise ruumiuhelt baasilt teisele on ortogonaalne ja uks neist baasidest onortonormeeritud, siis ka teine baas on ortonormeeritud.
8.5 Kaasteisendus
Definitsioon 8.5.1. Eukleidilise ruumi V lineaarteisenduse φ
kaasteisenduseks nimetatakse selle ruumi niisugust lineaarteisendustφ∗, et suvaliste a, b ∈ V korral
〈φ(a), b〉 = 〈a, φ∗(b)〉 .
Teoreem 8.5.1. Eukleidilise ruumi igal lineaarteisendusel φ ontapselt uks kaasteisendus. Sealjuures, kui φ maatriks mingilortonormeeritud baasil e on A, siis φ∗ maatriks baasil e on AT .
8.6 Eukleidilise ruumi summeetrilised
lineaarteisendused
Definitsioon 8.6.1. Eukleidilise ruumi lineaarteisendust, mis uhtiboma kaasteisendusega, nimetatakse summeetriliseks.Lause 8.6.1. Eukleidilise ruumi summeetrilise lineaarteisendusemaatriks mistahes ortonormeeritud baasil on summeetriline.
Lause 8.6.2. Eukleidilise ruumi summeetrilise lineaarteisenduse koikomavaartused on reaalsed.
Teoreem 8.6.1. Eukleidilise ruumi summeetrilise lineaarteisendusejaoks leidub tema omavektoritest koosnev ortonormeeritud baas.
Teoreem 8.6.2. Iga reaalarvuliste elementidega summeetriliseruutmaatriksi A jaoks leidub ortogonaalmaatriks C, nii et C−1AC ondiagonaalmaatriks.
9 Funktsionaalid ja vormid
9.1 Vektorruumi kaasruum
Funktsionaal – kujutus, mille vaartused on skalaarid.
Teatavasti on vektorruumi pohikorpus vaadeldav, kui uhemootmelinevektorruum ule sama korpuse.
Definitsioon 9.1.1. Olgu V vektorruum ule korpuse K.Vektorruumil V kaasruumiks ehk duaalseks ruumiks nimetataksevektorruumi Hom(V, K). Kaasruumi elemente nimetatakselineaarseteks funktsionaalideks antud vektorruumil.
Vektorruumi V kaasruumi tahistatakse sumboliga V ∗.
Naiteid
• Olgu V Eukleidiline ruum ja a ∈ V mingi fikseeritud vektor. Siiskujutus φ : V → R, mis on defineeritud eeskirjaga φ(x) = (x, a),on lineaarne funktsionaal vektorruumil V .
• Olgu V koigi loigul [0, 1] integreeruvate funktsioonidevektorruum (see on lopmatumootmeline). Siis kujutusφ : V → R, mis seab igale funktsioonile f ∈ V vastavusse∫ 1
0f(x)dx, on lineaarne funktsionaal vektorruumil V .
• Olgu V koigi uhe muutuja polunoomide vektorruum ule korpuseK (ka see on lopmatumootmeline) ja a ∈ K mingi fikseeritudelement. Siis kujutus φ : V → K, mis seab igale polunoomilef ∈ V vastavusse tema vaartuse kohal a, on lineaarnefunktsionaal vektorruumil V .
Kui dim V = n, siis dim V ∗ = n · 1 = n. Naitame, kuidas vektorruumiV mingist baasist e lahtudes konstrueerida kaasruumi baas e∗.
Lause 9.1.1. Olgu e1, . . . , en vektorruumi V baas. Tahistame ei abillineaarset funktsionaali vektorruumil V , mis kujutab baasivektori ei
skalaariks 1 ning ulejaanud baasivektorid nulliks. Siis lineaarsetefunktsionaalide susteem e1, . . . , en on kaasruumi V ∗ baas.
Eelmises lauses defineeritud kaasruumi baasi nimetame vektorruumiV antud baasi kaasbaasiks ja tahistame seda sumboliga e∗.
9.2 Bilineaarsed funktsionaalid ja bilineaarvormid
Definitsioon 9.2.1. Olgu V vektorruum ule korpuse K. Kujutustf : V × V → K nimetatakse bilineaarseks funktsionaaliksvektorruumil V , kui on taidetud jargmised tingimused:
• f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y);
• f(αx, y) = αf(x, y);
• f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2);
• f(x, αy) = αf(x, y)
suvaliste x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ V ja α ∈ K korral.
Definitsioon 9.2.2. Olgu V vektorruum ule korpuse K, f olgubilineaarne funktsionaal vektorruumil V ning e1, . . . , en olgu V mingibaas. Siis f maatriksiks antud baasil nimetatakse maatriksitA = (aij), kus aij = f(ei, ej), i, j = 1, . . . , n.
Kui f on bilineaarne funktsionaal vektorruumil V ja A on f maatriksbaasil e, siis suvaliste x, y ∈ V korral
f(x, y) =n∑
i,j=1
aijxiyj ,
kus xi ja yj on vastavalt vektorite x ja y koordinaadid baasil e.
Viimase valemi paremal pool olevat avaldist nimetataksebilineaarvormiks muutujatest x1, . . . , xn, y1, . . . , yn.
Lause 9.2.1. n-mootmelise vektorruumi V baasi fikseeriminekorraldab uksuhese vastavuse selle vektorruumi blineaarsetefunktsionaalide ja 2n muutuja bilineaarvormide vahel.
Lause 9.2.2. Uleminekul uhelt baasilt teisele korrutub bilineaarsefunktsionaali maatriks paremalt uleminekumaatriksiga ja vasakultviimase transponeeritud maatriksiga.
Definitsioon 9.2.3. Bilineaarset funktsionaali f vektorruumil V
nimetatakse summeetriliseks, kui f(x, y) = f(y, x) suvaliste x, y ∈ V
korral.
Ilmselt summeetrilise bilineaarse funktsionaali maatriks mistahesbaasil on summeetriline ja vastupidi, kui mingi bilineaarsefunktsionaali maatriks mingil baasil on summetriline, siis seefunktsionaal on ka summeetriline.
9.3 Ruutfunktsionaalid ja ruutvormid
Definitsioon 9.3.1. Olgu V vektorruum ule korpuse K. KujutustF : V → K nimetatakse ruutfunktsionaaliks vektorruumil V , kuileidub selline summeetriline bilineaarne funktsionaal vektorruumil V ,et F (x) = f(x, x) iga x ∈ V korral.
Lause 9.3.1. Kui F on ruutfunktsionaal vektorruumil ule korpuseK, mille karakteristika ei ole 2, siis on summeetriline bilineaarnefunktsionaal, mis maarab F , uheselt maaratud.
Edaspidi eeldame selle peatuki valtel, et korpuse K karakteristika eiole 2.
Definitsioon 9.3.2. Ruutfunktsionaali maatriksiks mingil baasilnimetatakse teda maarava summeetrilise bilineaarse funktsionaalimaatriksit sellel baasil.
Lause 9.3.2. Olgu F ruutfunktsionaal n-mootmelisel vektorruumilV , mille maatriks baasil e on A = (aij) ning vektori x ∈ V
koordinaadid baasil e olgu x1, . . . , xn. Siis
F (x) =n∑
i,j=1
aijxixj .
Viimase vorduse paremal pool asuvat avaldist nimetatakseruutvormiks muutujatest x1, . . . , xn. Seega baasi fikseerimisel seostubiga ruutfunktsionaaliga uks kindel ruutvorm. Ruutfunktsionaalivaartuste arvutamiseks tuleb asendada ruutvormi muutujad vektorikoordinaatidega. Vastupidi: iga ruutvorm defineerib mingiruutfunktsionaali viimase valemi abil.
Lause 9.3.3. Olgu V n-mootmeline vektorruum ule korpuse K.Vektorruumi V baasi fikseerimine korraldab uksuhesed vastavusedsellel vektorruumil defineeritud ruutfunktsionaalide, summeetrilisten-ndat jarku ruutmaatriksite ule korpuse K ja n muutujaruutvormide ule K vahel.
Lause 9.3.4. Uleminekul uhelt baasilt teisele korrutubruutfunktsionaali maatriks paremalt uleminekumaatriksiga ja vasakultviimase transponeeritud maatriksiga.
Definitsioon 9.3.3. Oeldakse, et ruutvormil on kanooniline kuju,kui temas puuduvad liikmed erinevate muutujate korrutisega.
Definitsioon 9.3.4. Baasi, mille suhtes ruutfunktsionaalile vastabkanoonilisel kujul olev ruutvorm, nimetatakse selle ruutfunktsionaalikanooniliseks baasiks.
Teoreem 9.3.1. Igal ruutfunktsionaalil on olemas kanooniline baas.
9.4 Positiivselt maaratud ruutfunktsionaalid
Definitsioon 9.4.1. Ruutfunktsionaali F vektorruumil V ule Rnimetatakse positiivselt maaratuks, kui F (x) > 0 iga nullist erinevavektori x ∈ V korral.
Definitsioon 9.4.2. Ruutvormi∑n
i,j=1 aijXiXj ule korpuse Rnimetatakse positiivselt maaratuks, kui
∑ni,j=1 aijrirj > 0 suvaliste
r1, . . . , rn ∈ R korral, mis koik ei ole nullid.
Ilmselt esitab positiivselt maaratud ruutfunktsionaali mistahes baasilpositiivselt maaratud ruutvorm ja, vastupidi, positiivselt maaratudruutvorm saab esitada vaid positiivselt maaratud ruutfunktsionaali.
Definitsioon 9.4.3. n-ndat jarku ruutmaatriksi A = (aij)peamiinoriteks nimetatakse miinoreid
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1k
. . . . . . . . .
ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣∣,
k = 1, . . . , k.
Teoreem 9.4.1. Ruutfunktsionaal vektorruumil ule R on positiivseltmaaratud parajasti siis, kui tema maatriksi koik peamiinorid onpositiivsed.