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7/24/2019 Algebra Todos Ejercicios
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1.- Si se tiene el conjunto de vectores {[2,-1,3]; [-4,2,-4]; [8,0,1]} Determine
usted ue es line!lmente inde"endiente en #3$ com"rue%e sus result!dos.
c=
[
2 4 81 2 0
3 4 1
0
0
0
]
1
2R
1c=
[
1 2 00 0 1
3 4 0
0
0
0
]R
3-3#1
c=[ 1 2 41 2 0
3 4 1
0
0
0]R 2 c=[
1 2 00 0 1
0 2 0
0
0
0]R 1
c=[1 2 40 0 4
3 4 1
0
0
0]R 1-#2 c=[
1 0 0
0 0 1
0 2 0
0
0
0]12 R 3
c=[1 2 00 0 4
3 4 1
0
0
0]14 R 2 c=[
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0
0
0]R2 R3
c=[
1 2 00 0 1
3 4 1
0
0
0]R 3-#2 c=[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0]
'1(0
'2(0
'3(0
'om"ro%!ci)n*
'1 [ 2
13] &'2 [
42
4] &'3 [8
0
1] ( [
0
0
0]
0[ 21
3] &0 [4
2
4] &0 [80
1] ( [00
0] [
0
0
0]=[
0
0
0]
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+or lo t!nto el S... es line!lmente inde"endiente.
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2.- Si se tiene el sistem!*
2#1&4#2-2#3&4#4(0#1&14#2&2#3&8#4(0Determine usted sus vectores $ demuestre ue son line!lmente
inde"endientes.
[2 4 26 14 2 4 08 0][ 12 ] #1
[1 2 16 14 2 2 08 0] [ 12 ] #2
[1 2 13 7 1 2 04 0] #2-3#1
[1 2 10 1 4 2 02 0] #1
[1 3 30 1 4 0 02 0]#1&3#2&3#3(0#2&4#3-2#4(0
Des"ej!mos ! #3
3#3( - #1 / 3#24#3( - #2& 2#4D!mos v!lores ! #3(0
-#1-3#2(0-#2&2#4(0D!mos v!lores ! #2(0 "or lo t!nto #4$ #1sern iu!l ! 0. ntonces
tenemos*
#1(0#2(0#3(0#4(0'om"ro%!ndo en el S... oriin!l tenemos*
20&40-20&40(0
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0&140&20&80(0
+or lo t!nto son inde"endientes.
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3.-Si se tienen los vectores* 1( [ 2
60] 2( [
6
0
8] 3( [
22
1224
]; 'onstru$!usted el S... 5omo6neo $ demuestre ue el conjunto de vectores es
line!lmente de"endiente en #3
$ com"rue%e sus result!dos.
'1 [ 2
60] &'2 [
6
0
8] &'3 [
22
12
24] ( [
0
0
0]
'( [ 2 6 22
6 0 120 8 24
0
0
0] r2&3r1 '( [
2 6 22
0 2 6
0 0 0
0
0
0] r1-3r2
'( [ 2 6 22
6 18 540 8 24
0
0
0] r2( 19 ) '( [
2 0 4
0 2 6
0 0 0
0
0
0] r1( 12 )
'( [2 6 22
0 2 6
0 8 24
0
0
0] r3-4r2 '( [
1 0 2
0 2 6
0 0 0
0
0
0] r2( 12 )
'( [1 0 20 1 3
0 0 0
00
0] r2(1
2 ) 7!tri reducid! "or el m6todode 9!uss :ord!n
'1&0 '2&2'3(0 '1(-2'30'1&1'2&3'3(0 '2-3'3'3(1
'1(-2
'2(-3
'1 [ 2
60] &'2 [
6
0
8] &'3 [
22
12
24] ( [
0
0
0]
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-2 [ 2
60] -3 [
6
0
8] &1 [
22
12
24] ( [
0
0
0]
4 18 +2212 0 120 24 +24
000
+or lo t!nto el siuiente S... es de"endiente en #3.
4.- si se tiene el S...
1&22-3&24(0
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?.-si se tiene el conjunto de vectores ,-4,4,,-2,8,2,0,. Determine ue es
line!lmente inde"endiente en #. com"rue%e sus result!dos
2
@( -4 A( -2 '( 0
4 8
SOLUCION:
6 6 2 0 r2= -4 -2 0 0
-4 -2 0 0 2/3r1= 4 4 4/3 0
4 8 6 0 0 2 4/3 0
'om"ro%!ci)n'omo el sistem! tiene soluci)n Bnic!c1( 0, c2( 0 $ c3( 0Se deduce ue l! Bnic! Corm! de com%in!r los vectores Es "!r! ue den elvector cero es l! ue tiene todos los coeFcientes cero. +or t!nto, el conjunto devectores es line!lmente inde"endiente.
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.- Si se tiene el conjunto de vectores 1,2,?,1,-2,1,2,1,4. Determine ue es
line!lmente inde"endiente en #3, com"rue%e sus result!dos.
Comprobacin'omo el sistem! tiene soluci)n Bnic!c1( 0, c2( 0 $ c3( 0Se deduce ue l! Bnic! Corm! de com%in!r los vectores Es "!r! ue den elvector cero es l! ue tiene todos los coeFcientes cero. +or t!nto, el conjunto devectores es line!lmente inde"endiente.
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10.-Si se tienen los vectores* u12,-1,0; u2(4,-1,0; u3(4,0,-1. ncuentre ud.
un! %!se ortonorm!l del es"!cio vectori!l en #3medi!nte el m6todo de
9r!m- Sc5midt $ com"rue%e sus result!dos.
1( [2,-1,0]
2( [4,-1,0] -[2,1,0 ] [4,1,0][2,1,0 ] [2,1,0] [2,-1,0]
2( [4,-1,0] /[ 8+1+0 ][ 4+1+0 ] [2,-1,0]
2( [4,-1,0] /[9][5] [2,-1,0]
2( [4,-1,0] / [ 185 ;95 ; 0]
2([ 2
5 ,
4
5 ,0
3( [4,0,1] -
[25 ,45 ,0][4,0,1]
[2
5,4
5,0 ][
2
5,
4
5,0] [
2
5,
4
5,0
] -[ 2,1,0 ][4,0,1]
[2,1,0 ] [2,1,0] [2,-1,0]
3( [4,0,1] -[85+0+0]
[ 425 + 1625+0] [ 25 , 45 ,0] - [8+0+0 ][ 4+1+0 ] [2,-1,0]
3( [4,0,1] - [8
5 ][45 ] [ 25 , 45 , 0] - [8 ][5 ] [2,-1,0] ( [4,0,1] -2
[ 25 , 45 ,0] - [8 ][5 ] [2,-1,0]
-
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3( [4,0,1] - [ 45 , 85 ,0] - [ 165 ,85 ,0 ] ( [ 165 ,85 ,1] - [ 165 ,85 ,0 ]
3( [0,0,1]
1( [2,-1,0] 2([ 2
5 ,
4
5 ,0 3( [0,0,1]
GG1GG( (2)2+(1)2+(0)2 ( 4+1+0 ( 5
91([
2
5;
8
5;
0
5]
GG2GG( (2
5)
2
+(4
5)
2
+(0)2 ( 425 + 1625+0 ( 45
92(
[
2
5
4
5
;
4
5
4
5
; 0
4
5
]
GG3GG( (0)2+(0)2+(1)2 ( 0+0+1 ( 1
93([
0
1;
0
1;
1
1]
'om"ro%!ci)n*
91H92( [
2
5;
8
5;
0
5][
2
5
45;
4
5
45;
0
45] ( [
2
5
2
5+0] ( 0
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91H93( [
2
5;
8
5;
0
5][
0
1;
0
1;
1
1] ([0&0&0] ( 0
92H93( [
2
5
45;
4
5
45;
0
45][
0
1 ; 0
1 ; 1
1 ] ( [0&0&0] ( 0
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13.- Si se tienen l!s %!ses I1( 2,2,3,1 ,I2 (2,0,1,1) ,I3 (3,2,0,1)
medi!nte t6cnic! de 9r!m- Sc5midt constru$! usted un! %!se ortonorm!l del
es"!cio vectori!l v en r4 $ com"rue%e sus result!dos.
NORMALIZAR V1
U1=
V1
|V1|=
(2,2,3,1)
22+22+32+12=(2,2,3,1)
32=( 232 ,
2
32,
3
32,1
32 )
OBTENER EL VECTOR ORTOGONAL A V2
U2=V2(V2 .U1)U1
(2,0,1,1 )[ (2,0,1,1 ) .( 232 , 232 , 332 , 132 )][ 232 , 232 , 332 , 132 ]
( 2,0,1,1)[4 2323 ,0,32323 ,2323 ][ 232 , 2
32,
3
32,132 ]
(2,0,1,1 ) [0 ] [ 2
32 , 2
32 , 3
32 ,132 ]
= (2,0,1,1)
NORMALIZAR V2
U1=
V2
|V2|=
(2,0,1,1 )
6=
( 26 , 0,1
6,
1
6 )
OBTENER EL VECTOR ORTOGONAL A V1 Y V2
-
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U3=V3 (V3. UI)U1(V3.U2 )U2
=
(3,2,0,1)
[(3,2,0,1) .
[ 2
32,
2
32,
3
32,1
32 ]] [ 2
32,
2
32,
3
32,1
32 ]
[( 3,2,0,1) .
( 2
6,0,
1
6,
1
6 )]
(3,2,0,1)[2 , 223 ,0,26 ][ 232 , 2
32,
3
32,132 ](6 ,0,0
6
6)( 26 ,0,16
, 1
6 )
(3,2,0,1)[(322)( 232 , 232 , 332 , 132 )][(766 )( 26 ,0,16 , 16 )]
( 3,2,0,1 )+[34623 ,34623 ,94646 , 34646 ]+[73 ,0, 76 ,76 ]
(3,2,0,1 )+(3.21789,4623 ,.1603,0.7243)
=(-.21798,1.115348,-0.1603,0.2757)
NORMALIZAR V2
U1=
V3
|V3|=(.21798,1.115348,0.1603,0.2757)
1.1803
=-0.1846,0.9424,-.1358,0.2335
COMPROBACON!
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V1.V2=0
( 232 , 2
32,
3
32,132 ) .(
2
6,0,
16
, 1
6 )=[23
9
3
6
3
18 ]=239 239 =0
V2.V3=0
( 26 ,0,1
6,
1
6 ). (0.1846,0 .9424,.1358,0.2335 )=(0.1507+0.0554+0.0953 )=0.1507+ .1507=0
14.- .- Si se tienen l!s %!ses I1( 4,4,6,2 ,I2 (4,0,2,2) ,I3 (6,4,0,2)
medi!nte t6cnic! de 9r!m- Sc5midt constru$! usted un! %!se ortonorm!l del
es"!cio vectori!l v en r4 $ com"rue%e sus result!dos.
NORMALIZAR V1
U1=
4,4,6,2V1
|V1|=
(4,4,6,2)
42+42+62+22=
62=( 23 , 23 ,22 ,26 )
OBTENER EL VECTOR ORTOGONAL A V2
U2=V2(V2 .U1)U1
(4,0,2,2 )
[( 4,0,2,2 ) .
(2
3
,2
3
,2
2
,2
6
)](2
3
,2
3
,2
2
,2
6
) ( 4,0,2,2 )[4 23 ,0,222 ,23 ]( 23 , 23 ,22 ,26 )
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( 4,0,2,2 )[ 0 ] [ 232 , 2
32,
3
32,132 ]
= (4,0,2,2 )
NORMALIZAR V2
U1=
V2
|V2|=
(4,0,2,2 )
26=
( 63 , 0,66 ,66)
OBTENER EL VECTOR ORTOGONAL A V1 Y V2
U3=V3 (V3.UI)U1(V3.U2 )U2
=
(6,4,0,2 )[(6,4,0,2 ) .( 23 , 23 ,22 ,26 )][( 23 ,23 , 22 ,26 )][ ( 6,4,0,2 ) .( 63 ,0,66 ,66)](63 ,
(6,4,0,2 )[[22 ,
4 23 ,0,
23
](23 ,
23 ,
22 ,
26
)]
[(26 ,0,0,
63
)(63 ,0,
66 ,
66 )
] (6,4,0,2)[(32 )( 23 ,23 , 22 ,26 )][( 763 )( 63 ,0,66 , 66)]
( 6,4,0,2)+ [2,2,3,1 ]+[143 ,0, 73 ,73 ]
(6,4,0,2 )+(203
,2,23,4
3 )
=(23 ,2,23 , 23 )
-
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NORMALIZAR V3
U3= V3|V3|=(
2
3
,2,2
3
,2
3
)433
=(3
6,32
,36,36)
COMPROBACON!
V1.V2=0
( 23 , 23 ,22 ,26 ).( 63 ,0, 66 , 66)=[2 39 36 318]=0
V2.V3=0
( 63 , 0,66 ,66) .(36 , 32 ,36 ,36)=[26 , 212 ,212 ]=26 + 26 =0