Algebra2, alapszint 11. eloadás 1 / 11

Algebra2, alapszintELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Eloadó: Kiss Emilewkiss@cs.elte.hu

11. eloadás

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 2 / 11

Háromszög-szimmetria

Rubin Zafir Kalcit

aluminium-oxid: Al2O3 kalcium-karbonát: CaCO3

Hematit Ametiszt Kvarc

vasoxid: Fe2O3 szilicium-dioxid: SiO2

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 3 / 11

Hatszög-szimmetria

Vörös berill Smaragd Akvamarin

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 3 / 11

Hatszög-szimmetria

Berill (berillium–aluminium-szilikát):

Vörös berill Smaragd Akvamarin

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 3 / 11

Hatszög-szimmetria

Berill (berillium–aluminium-szilikát): Be3Al2(SiO3)6

Vörös berill Smaragd Akvamarin

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 3 / 11

Hatszög-szimmetria

Berill (berillium–aluminium-szilikát): Be3Al2(SiO3)6

Egy szimmetriatengely körüli 60◦-os elforgatás.

Vörös berill Smaragd Akvamarin

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 4 / 11

Kocka–oktaéder-szimmetria

Galenit Gyémánt Fluorit

ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF2

Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. eloadás 4 / 11

Kocka–oktaéder-szimmetria

Összesen 48 szimmetria.

Galenit Gyémánt Fluorit

ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF2

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Kiss-jegyzet, C.5.4. TételEmmy Noether eredménye szerint összefüggés vana térido szimmetriái

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Kiss-jegyzet, C.5.4. TételEmmy Noether eredménye szerint összefüggés vana térido szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Kiss-jegyzet, C.5.4. TételEmmy Noether eredménye szerint összefüggés vana térido szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei(lendület,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Kiss-jegyzet, C.5.4. TételEmmy Noether eredménye szerint összefüggés vana térido szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei(lendület, energia,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 5 / 11

A bolygómozgás szimmetriája

Kiss-jegyzet, C.5.2. PéldaA bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületéneknagysága és iránya nem változik a mozgás során.A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektoraegy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.

Kiss-jegyzet, C.5.4. TételEmmy Noether eredménye szerint összefüggés vana térido szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei(lendület, energia, perdület) között.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4,

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).

Zeeman-hatás:

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).

Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakatkét vagy három komponensre bontja szét.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).

Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakatkét vagy három komponensre bontja szét.Oka: mágneses térben megszunnek egyes szimmetriák.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 6 / 11

Színképvonalak felhasadása

A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.

Metánmolekula: CH4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).

Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakatkét vagy három komponensre bontja szét.Oka: mágneses térben megszunnek egyes szimmetriák.Matematikai apparátus: a szimmetriák csoportján alapul.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 7 / 11

Lorentz-transzformációk

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 7 / 11

Lorentz-transzformációk

A fenti kép az infravörös tartományban készült.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 7 / 11

Lorentz-transzformációk

A speciális relativitáselméletben a térido szimmetriáita Lorentz-transzformációk adják meg.

A fenti kép az infravörös tartományban készült.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 7 / 11

Lorentz-transzformációk

A speciális relativitáselméletben a térido szimmetriáita Lorentz-transzformációk adják meg.

Lásd Kiss-jegyzet, 4.1. és C.6. szakasz.

A fenti kép az infravörös tartományban készült.

Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. eloadás 7 / 11

Lorentz-transzformációk

A speciális relativitáselméletben a térido szimmetriáita Lorentz-transzformációk adják meg.

Lásd Kiss-jegyzet, 4.1. és C.6. szakasz.A C.7. szakaszban az Androméda-ködbe is elutazunk.A fenti kép az infravörös tartományban készült.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Sokkal általánosabban is igaz.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitívvalószínuség jó,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitívvalószínuség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitívvalószínuség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek(csak ki lehessen keverni belolük minden sorrendet).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 8 / 11

Kártyakeverés

„Emelés”: a csomag tetejérol az aljára teszünk egy lapot.HF: Az emelés és a felso két lap cseréjéneksokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható(ha elég ügyesek vagyunk.)

TételHa mindkét mozdulatot 1/2 valószínuséggel, függetlenül,nagyon sokszor, véletlenszeruen alkalmazzuk, akkoregy ido után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapokminden sorrendjét közel egyforma valószínuséggel megkapjuk.

Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitívvalószínuség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek(csak ki lehessen keverni belolük minden sorrendet).Bizonyítás: ugyanaz az apparátus, mint a metánmolekulánál.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).Általános vezérlo elv: milyen szimmetriák érvényesek.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).Általános vezérlo elv: milyen szimmetriák érvényesek.A „helyes” fogalmak ezek „nyelvén” definiálhatók.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).Általános vezérlo elv: milyen szimmetriák érvényesek.A „helyes” fogalmak ezek „nyelvén” definiálhatók.

Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).Általános vezérlo elv: milyen szimmetriák érvényesek.A „helyes” fogalmak ezek „nyelvén” definiálhatók.

Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk.Ilyen például a vetítés

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 9 / 11

Csoportok a geometriában

Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:

euklideszi geometria,

Bolyai-geometria,

gömbi geometria,

projektív geometria.

Erlangeni program (Felix Klein, 1872).Általános vezérlo elv: milyen szimmetriák érvényesek.A „helyes” fogalmak ezek „nyelvén” definiálhatók.

Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk.Ilyen például a vetítés (fényképzés, panorámaképek illesztése).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Dirichlet tételeHa (a, b) = 1 és a 6= 0, akkor van ak + b alakú prím.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Dirichlet tételeHa (a, b) = 1 és a 6= 0, akkor van ak + b alakú prím.

Bizonyítás (nagyon nehéz)

Két alapveto matematikai apparátust használ:

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Dirichlet tételeHa (a, b) = 1 és a 6= 0, akkor van ak + b alakú prím.

Bizonyítás (nagyon nehéz)

Két alapveto matematikai apparátust használ:

Komplex függvények analízise, becslések;

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Dirichlet tételeHa (a, b) = 1 és a 6= 0, akkor van ak + b alakú prím.

Bizonyítás (nagyon nehéz)

Két alapveto matematikai apparátust használ:

Komplex függvények analízise, becslések;

csoportkarakterek véges kommutatív csoportokra.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 10 / 11

Számelméleti alkalmazások

Binom kongruenciák

Az xk ≡ a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.

Dirichlet tételeHa (a, b) = 1 és a 6= 0, akkor van ak + b alakú prím.

Bizonyítás (nagyon nehéz)

Két alapveto matematikai apparátust használ:

Komplex függvények analízise, becslések;

csoportkarakterek véges kommutatív csoportokra.

Szalay Mihály: Számelmélet (középiskolai tagozatos tankönyv).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Felületek osztályozása (homológiacsoportok).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Felületek osztályozása (homológiacsoportok).

Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok).

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Felületek osztályozása (homológiacsoportok).

Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok).

A csoportelmélet rendkívül mély!

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Felületek osztályozása (homológiacsoportok).

Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok).

A csoportelmélet rendkívül mély!A véges egyszeru csoportok osztályozásának bizonyításatöbb, mint tízezer oldal!

Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. eloadás 11 / 11

További alkalmazások

Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 × 4-es tologatós).

Leszámlálási problémák (amikor például vannak„azonosnak” számító megoldások: Burnside-lemma).

Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokúpolinomok gyökeit általában nem lehet a négyalapmuvelettel és gyökvonásokkal meghatározni).

Csomók (kibogozásának) elmélete.

Felületek osztályozása (homológiacsoportok).

Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok).

A csoportelmélet rendkívül mély!A véges egyszeru csoportok osztályozásának bizonyításatöbb, mint tízezer oldal! Rengeteg alkalmazása vanpéldául a kombinatorikában, az algoritmuselméletben.