algebra2, normál - elte algebra és számelmélet tanszék · bevezetés algebra2, normál 1....
TRANSCRIPT
![Page 1: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebra2, normál 1. előadás 1 / 24
Algebra2, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék
Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress
1. előadás
![Page 2: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/2.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
![Page 3: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/3.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
![Page 4: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/4.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
![Page 5: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/5.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
![Page 6: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/6.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
![Page 7: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/7.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
![Page 8: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/8.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
![Page 9: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/9.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
![Page 10: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/10.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött
![Page 11: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/11.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött
Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban
![Page 12: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/12.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött
Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban
Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja
![Page 13: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/13.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött
Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban
Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja
Tankönyv: Freud Róbert: Lineáris algebra.
![Page 14: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/14.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24
A félév anyaga: lineáris algebra
Vektorterek, alterek
Függés, függetlenség, bázis, dimenzió
Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás
Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak
Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat
Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött
Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban
Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja
Tankönyv: Freud Róbert: Lineáris algebra.Konzultáció: [email protected]
![Page 15: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/15.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 16: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/16.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 17: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/17.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 18: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/18.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 19: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/19.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 20: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/20.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 21: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/21.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 22: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/22.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 23: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/23.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 24: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/24.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 25: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/25.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 26: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/26.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 27: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/27.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 28: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/28.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 29: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/29.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 30: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/30.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):
beugró a röpzéhák anyagából;
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 31: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/31.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):
beugró a röpzéhák anyagából;megértés-ellenőrző;
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 32: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/32.jpg)
Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24
A számonkérés módja
A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:
az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):
beugró a röpzéhák anyagából;megértés-ellenőrző;bizonyítás (a tételek listája az utolsó prezentáció végén).
Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/
![Page 33: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/33.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test.
![Page 34: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/34.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok,
![Page 35: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/35.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T .
![Page 36: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/36.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
![Page 37: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/37.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
![Page 38: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/38.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
összeadást
![Page 39: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/39.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
összeadást
![Page 40: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/40.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
összeadást
![Page 41: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/41.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
összeadást és a λ skalárral szorzást
![Page 42: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/42.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).
![Page 43: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/43.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
és λ
a1
. . .
an
=
összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).
![Page 44: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/44.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
és λ
a1
. . .
an
=
λa1
. . .
λan
képletekkel az összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).
![Page 45: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/45.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24
Oszlopvektorok (ismétlés)
Definíció
Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az
a1
. . .
an
alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.
Definíció
Legyen T test, és értelmezzük T n-en az
a1
. . .
an
+
b1
. . .
bn
=
a1 + b1
. . .
an + bn
és λ
a1
. . .
an
=
λa1
. . .
λan
képletekkel az összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).Azaz összeadni és skalárral szorozni komponensenként kell.
![Page 46: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/46.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
![Page 47: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/47.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
![Page 48: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/48.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
![Page 49: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/49.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
A nullvektor
![Page 50: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/50.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
![Page 51: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/51.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
(minden komponens T nulleleme)
![Page 52: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/52.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
(minden komponens T nulleleme)
![Page 53: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/53.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
és az ellentett:
(minden komponens T nulleleme)
![Page 54: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/54.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
és az ellentett: −
a1
a2
. . .
an
=
(minden komponens T nulleleme)
![Page 55: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/55.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
és az ellentett: −
a1
a2
. . .
an
=
−a1
−a2
. . .
−an
(minden komponens T nulleleme)
![Page 56: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/56.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
és az ellentett: −
a1
a2
. . .
an
=
−a1
−a2
. . .
−an
(minden komponens T nulleleme) (komponensenkénti ellentett)
![Page 57: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/57.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24
Az összeadás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (−u az u ellentettje).
A nullvektor 0 =
00. . .
0
és az ellentett: −
a1
a2
. . .
an
=
−a1
−a2
. . .
−an
(minden komponens T nulleleme) (komponensenkénti ellentett)
![Page 58: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/58.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
![Page 59: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/59.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
![Page 60: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/60.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
![Page 61: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/61.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
![Page 62: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/62.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
![Page 63: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/63.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
![Page 64: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/64.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
![Page 65: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/65.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
T [x ] polinomjai:
![Page 66: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/66.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x
n.
![Page 67: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/67.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x
n.
Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):
![Page 68: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/68.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x
n.
Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):(f + g)(x) = f (x) + g(x)
![Page 69: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/69.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24
A skalárral szorzás tulajdonságai
Tétel (HF ellenőrizni)
Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.
A T n×m-beli mátrixok.
T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x
n.
Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):(f + g)(x) = f (x) + g(x) és (λf )(x) = λ
(
f (x))
.
![Page 70: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/70.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok),
![Page 71: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/71.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).
![Page 72: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/72.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,
![Page 73: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/73.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás
![Page 74: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/74.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor)
![Page 75: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/75.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
![Page 76: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/76.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
![Page 77: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/77.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
![Page 78: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/78.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
![Page 79: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/79.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).
![Page 80: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/80.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
![Page 81: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/81.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
![Page 82: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/82.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
![Page 83: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/83.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24
A vektortér fogalma
Definíció (F4.1.1. Definíció)
T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén
(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).
(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).
(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).
(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).
(5) (λ+ µ)u = λu + µu.
(6) λ(u + v) = λu + λv .
(7) (λµ)u = λ(µu).
(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).
![Page 84: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/84.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak,
![Page 85: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/85.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak
![Page 86: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/86.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.
![Page 87: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/87.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.
![Page 88: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/88.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű.
![Page 89: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/89.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
![Page 90: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/90.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).
![Page 91: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/91.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).
Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.
![Page 92: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/92.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).
Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.
A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).
![Page 93: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/93.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).
Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.
A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).A helyvektoroknál ezek a műveletek a komponensenkéntiműveleteknek felelnek meg.
![Page 94: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/94.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24
A sík és a tér vektorai
Ismétlés
A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az
−→OA vektor közötti megfeleltetés
kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.
Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).
Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.
A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).A helyvektoroknál ezek a műveletek a komponensenkéntiműveleteknek felelnek meg. Ezért a térvektorok vektortere„ugyanolyan”, mint az oszlopvektorok R3 vektortere.
![Page 95: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/95.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
![Page 96: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/96.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
![Page 97: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/97.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
![Page 98: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/98.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
![Page 99: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/99.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
![Page 100: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/100.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
![Page 101: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/101.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
![Page 102: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/102.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.
![Page 103: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/103.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.λ−1(λv) = (λ−1λ)v
![Page 104: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/104.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.λ−1(λv) = (λ−1λ)v
A (7) vektortéraxióma miatt.
![Page 105: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/105.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v
![Page 106: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/106.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v
A fenti (4) miatt.
![Page 107: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/107.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v
![Page 108: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/108.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v
![Page 109: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/109.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v
A (8) vektortéraxióma miatt.
![Page 110: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/110.jpg)
Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24
Elemi következmények
Tétel (F4.1.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .
(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.
(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.
(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).
(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).
(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).
Mintabizonyítás (5)-re
Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v .
![Page 111: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/111.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött.
![Page 112: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/112.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,
![Page 113: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/113.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
![Page 114: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/114.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.
![Page 115: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/115.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.
![Page 116: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/116.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
![Page 117: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/117.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.
![Page 118: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/118.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.
![Page 119: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/119.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.
(3) V a valós függvények R fölött.
![Page 120: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/120.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.
(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.
![Page 121: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/121.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.
(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.
(4) V a kétszer kettes komplex mátrixok C fölött.
![Page 122: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/122.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24
Az altér fogalma
Definíció (F4.2.1. Definíció)
Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.
Példák
(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).
(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.
(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.
(4) V a kétszer kettes komplex mátrixok C fölött.W a felső háromszögmátrixok.
![Page 123: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/123.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.
![Page 124: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/124.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
![Page 125: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/125.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,
![Page 126: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/126.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
![Page 127: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/127.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,
![Page 128: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/128.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
![Page 129: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/129.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
Segítség: 0 = 0v ,
![Page 130: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/130.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .
![Page 131: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/131.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .
F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:
(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.
![Page 132: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/132.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .
F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:
(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.
(2) Alterek metszete is altér.
![Page 133: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/133.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24
Az altér jellemzése
Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)
Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .
(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .
Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .
F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:
(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.
(2) Alterek metszete is altér.
(3) Két altér uniója csak akkor altér, ha valamelyiküktartalmazza a másikat.
![Page 134: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/134.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon.
![Page 135: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/135.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
![Page 136: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/136.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.
![Page 137: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/137.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
![Page 138: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/138.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0.
![Page 139: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/139.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.
![Page 140: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/140.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.
Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben.
![Page 141: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/141.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.
Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben. Mely polinomokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
![Page 142: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/142.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24
Altér készítése
Kérdés
Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.
Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.
Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben. Mely polinomokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?
Az ax + bx2 alakú polinomok már alteret alkotnak (a, b ∈ R).
![Page 143: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/143.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .
![Page 144: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/144.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,
![Page 145: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/145.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T ,
![Page 146: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/146.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.
![Page 147: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/147.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér,
![Page 148: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/148.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
![Page 149: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/149.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.
![Page 150: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/150.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.
![Page 151: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/151.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.
![Page 152: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/152.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,
![Page 153: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/153.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .
![Page 154: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/154.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .
A generált altér a generátorok lineáris kombinációinak halmaza.
![Page 155: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/155.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24
Generált altér
Tétel (F4.3.4. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.
Elnevezések
A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .
A generált altér a generátorok lineáris kombinációinak halmaza.Egy vektortérnek általában sok generátorrendszere van!
![Page 156: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/156.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.
![Page 157: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/157.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer,
![Page 158: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/158.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk
![Page 159: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/159.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).
![Page 160: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/160.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is,
![Page 161: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/161.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,
![Page 162: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/162.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
![Page 163: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/163.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!
![Page 164: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/164.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,
![Page 165: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/165.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.
![Page 166: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/166.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.
Házi feladat (fizikából tudjuk)
Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok,
![Page 167: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/167.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24
Példák generátorrendszerre
Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert
ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.
Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.
Házi feladat (fizikából tudjuk)
Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkorgenerátorrendszert alkotnak a sík vektorainak vektorterében.
![Page 168: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/168.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.
![Page 169: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/169.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
![Page 170: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/170.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .
![Page 171: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/171.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.
![Page 172: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/172.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U
![Page 173: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/173.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T ,
![Page 174: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/174.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U,
![Page 175: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/175.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm.
![Page 176: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/176.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.
![Page 177: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/177.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.
![Page 178: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/178.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,
![Page 179: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/179.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra.
![Page 180: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/180.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W ,
![Page 181: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/181.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W , mert W zárt az összeadásra.
![Page 182: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/182.jpg)
Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24
A tétel bizonyítása
F4.3.4. Tétel: kiegészítés
〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .
Bizonyítás
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W , mert W zárt az összeadásra.Így 〈v1, . . . , vm〉 minden eleme W -ben van.
![Page 183: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/183.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .
![Page 184: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/184.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra
![Page 185: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/185.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet,
![Page 186: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/186.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.
![Page 187: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/187.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
![Page 188: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/188.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.
![Page 189: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/189.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,
![Page 190: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/190.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
![Page 191: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/191.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,
![Page 192: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/192.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0
![Page 193: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/193.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),
![Page 194: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/194.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),akkor minden együttható nulla,
![Page 195: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/195.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24
Lineáris függetlenség
Definíció (Freud, 4.4. szakasz)
Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.
Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.
Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),akkor minden együttható nulla, azaz a = b = c = 0.
![Page 196: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/196.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
![Page 197: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/197.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+
![Page 198: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/198.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
![Page 199: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/199.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
![Page 200: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/200.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
![Page 201: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/201.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
,
![Page 202: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/202.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
![Page 203: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/203.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
![Page 204: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/204.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
λ1
[
23
]
+
![Page 205: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/205.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
![Page 206: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/206.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
![Page 207: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/207.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
![Page 208: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/208.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
[
4λ2
5λ2
]
=
![Page 209: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/209.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
[
4λ2
5λ2
]
=
[
2λ1 + 4λ2
3λ1 + 5λ2
]
,
![Page 210: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/210.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
[
4λ2
5λ2
]
=
[
2λ1 + 4λ2
3λ1 + 5λ2
]
,
akkor 2λ1 + 4λ2 = 0
![Page 211: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/211.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
[
4λ2
5λ2
]
=
[
2λ1 + 4λ2
3λ1 + 5λ2
]
,
akkor 2λ1 + 4λ2 = 0 és 3λ1 + 5λ2 = 0.
![Page 212: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/212.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24
Példák függésre és függetlenségre
Az
[
23
]
és a
[
46
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.
Valóban, 2
[
23
]
+ (−1)
[
46
]
=
[
46
]
+
[
−4−6
]
=
[
00
]
, és pl. 2 6= 0.
Az
[
23
]
és a
[
45
]
∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.
Valóban, ha
[
00
]
= λ1
[
23
]
+ λ2
[
45
]
=
[
2λ1
3λ1
]
+
[
4λ2
5λ2
]
=
[
2λ1 + 4λ2
3λ1 + 5λ2
]
,
akkor 2λ1 + 4λ2 = 0 és 3λ1 + 5λ2 = 0. Ezt a homogén lineárisegyenletrendszert megoldva λ1 = λ2 = 0.
![Page 213: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/213.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
,
![Page 214: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/214.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
,
![Page 215: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/215.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
![Page 216: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/216.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 az
![Page 217: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/217.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0
![Page 218: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/218.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
![Page 219: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/219.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0
![Page 220: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/220.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja
![Page 221: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/221.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre.
![Page 222: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/222.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek,
![Page 223: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/223.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van,
![Page 224: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/224.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.
![Page 225: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/225.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,
![Page 226: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/226.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,akkor ezek lineárisan összefüggenek
![Page 227: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/227.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24
A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval
Legyen v1 =
a11
a21
. . .
an1
, v2 =
a12
a22
. . .
an2
, . . . , vm =
a1m
a2m
. . .
anm
∈ T n.
Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0
. . .
an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm
ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,akkor ezek lineárisan összefüggenek (van nemtriviális megoldás).
![Page 228: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/228.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk.
Bizonyítás: HF.
![Page 229: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/229.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
Bizonyítás: HF.
![Page 230: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/230.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független,
Bizonyítás: HF.
![Page 231: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/231.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
Bizonyítás: HF.
![Page 232: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/232.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
Bizonyítás: HF.
![Page 233: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/233.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő,
Bizonyítás: HF.
![Page 234: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/234.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
Bizonyítás: HF.
![Page 235: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/235.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa,
Bizonyítás: HF.
![Page 236: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/236.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő.
Bizonyítás: HF.
![Page 237: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/237.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.
Bizonyítás: HF.
![Page 238: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/238.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.
(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,
Bizonyítás: HF.
![Page 239: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/239.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.
(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.
Bizonyítás: HF.
![Page 240: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/240.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.
(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.
(7) A tér három vektora pontosan akkor lineárisan összefüggőR fölött,
Bizonyítás: HF.
![Page 241: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/241.jpg)
Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24
A függetlenség elemi tulajdonságai
(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.
(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.
(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.
(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.
(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.
(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.
(7) A tér három vektora pontosan akkor lineárisan összefüggőR fölött, ha egy síkban vannak.
Bizonyítás: HF.
![Page 242: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/242.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha
![Page 243: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/243.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan független
![Page 244: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/244.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
![Page 245: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/245.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .
![Page 246: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/246.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben,
![Page 247: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/247.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.
![Page 248: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/248.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.
Példa[
10
]
és
[
01
]
bázis R2-ben R fölött,
![Page 249: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/249.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.
Példa[
10
]
és
[
01
]
bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
10
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor,
![Page 250: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/250.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.
Példa[
10
]
és
[
01
]
bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
10
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha λ = a és µ = b
![Page 251: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/251.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24
A bázis fogalma
Definíció (F4.5.1. Definíció)
Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.
Tétel (F4.5.2. Tétel)
Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.
Példa[
10
]
és
[
01
]
bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
10
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha λ = a és µ = b (azaz egyértelmű is).
![Page 252: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/252.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött,
![Page 253: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/253.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor,
![Page 254: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/254.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,
![Page 255: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/255.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a
![Page 256: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/256.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
![Page 257: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/257.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.
![Page 258: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/258.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis,
![Page 259: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/259.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban
![Page 260: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/260.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
![Page 261: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/261.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben.
![Page 262: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/262.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2
![Page 263: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/263.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
![Page 264: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/264.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β,
![Page 265: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/265.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α
![Page 266: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/266.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,
![Page 267: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/267.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b,
![Page 268: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/268.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b
![Page 269: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/269.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b és γ = a+ b − c .
![Page 270: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/270.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24
Példák bázisra
[
11
]
és
[
01
]
is bázis R2-ben R fölött, mert
[
a
b
]
= λ
[
11
]
+ µ
[
01
]
akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).
Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).
{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2
pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b és γ = a+ b − c .Lineáris egyenletrendszer az α, β, γ ismeretlenekre.
![Page 271: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/271.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk.
![Page 272: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/272.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.
![Page 273: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/273.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
![Page 274: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/274.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
![Page 275: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/275.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.
![Page 276: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/276.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.
![Page 277: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/277.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.
(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .
![Page 278: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/278.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.
(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .
(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla
![Page 279: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/279.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.
(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .
(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla(ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük).
![Page 280: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/280.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24
Szokásos bázis
Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).
(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.
(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.
(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .
(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla(ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük).
(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérbenaz (1, x , x2, . . . , xn) bázis.
![Page 281: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/281.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
![Page 282: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/282.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük.
![Page 283: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/283.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV
![Page 284: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/284.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
![Page 285: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/285.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
![Page 286: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/286.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
(2) dimT T n = n.
![Page 287: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/287.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
(2) dimT T n = n.
(3) dimRC = 2.
![Page 288: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/288.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
(2) dimT T n = n.
(3) dimRC = 2.
(4) dimT Tm×n = mn.
![Page 289: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/289.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
(2) dimT T n = n.
(3) dimRC = 2.
(4) dimT Tm×n = mn.
(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortér
![Page 290: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/290.jpg)
Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24
A bázis elemszáma
Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)
Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.
Definíció (F4.6.1. Definíció)
A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).
(1) A sík kétdimenziós R fölött.
(2) dimT T n = n.
(3) dimRC = 2.
(4) dimT Tm×n = mn.
(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérn + 1-dimenziós T fölött.
![Page 291: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/291.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.
![Page 292: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/292.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.
![Page 293: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/293.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.
![Page 294: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/294.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
![Page 295: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/295.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).
![Page 296: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/296.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal,
![Page 297: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/297.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).
![Page 298: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/298.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak,
![Page 299: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/299.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.
![Page 300: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/300.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.
![Page 301: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/301.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.Bázis jellemzése a lineáris kombinációk egyértelműségével.
![Page 302: Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053020/5f81c8fc2e45ba5b6c482285/html5/thumbnails/302.jpg)
Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.
Tételek
Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.Bázis jellemzése a lineáris kombinációk egyértelműségével.Bármely két bázis elemszáma ugyanaz.