Cebirsel Görüntü Elde Etme Algoritmaları(Algebraic Reconstruction Algorithms)

Emine Can Istanbul Teknik Üniversitesi

Biyomedikal Mühendisliği Yüksek Lisans Programı

BYM506E-Electromagnetic Waves in Medicine 2010 - Bahar

İçindekilerGörüntü Elde Etme Yöntemleri SınıflandırmaTekrarlı YöntemGörüntü İzdüşüm GösterimiRay SumKaczmarz YöntemiDoğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen FaktörlerUygulama ÇeşitleriARTSIRTSART

Görüntü Elde Etme Yöntemleri

Direkt Yöntemler:

Fourier ile görüntü elde etme

Filtrelenmiş Geri Yansıtma  (FBP)

Tekrarlı (Iterative) Yöntemler:

Cebirsel Görüntü Elde Etme AlgoritmalarıART, SART, SIRT

İstatiksel Algoritmalar

• İzdüşüm sayısı kısıtlaması• İzdüşümlerin 180o-360o’de düzgün dağılmaması

• Avantajı: Daha basit• Dezavantajı: Hassasiyet az, uygulama süresi uzun.

Tekrarlı Yöntem Amaç: Verilen:

Gerçek cismin izdüşüm bilgileri

İstenen:Gerçek cismin görüntüsü

Tekrarlı Yöntem

Temel düşünce:1- Ölçülen veri ile bağlantılı olarak tahmini cisim 

yaratma2- Tahmini cisimin izdüşümlerini hesaplama2- Gerçek izdüşüm ile ve hesaplanan izdüşüm

verileri arasındaki farkı hesaplama3- Farka göre tahmini cisim değerlerin 

düzeltilmesi4- Sonuç tatmin edene kadar ölçümü tekrarlama

Görüntü İzdüşüm Gösterimi

• Işın kalınlığı: τ [*Çoğu zaman ışın kalınlığı bir kare kalınlığı

kadardır.]

• Gerçek cisimi belirten fonksiyon: f(x,y)

• Izgaradaki toplam kare sayısı: N [ N =görüntü boyu² = #piksel ]

• Her karede f(x,y)’nin aldığı değer sabit: fj = j ’inci  karedeki  f(x,y) değeri (görüntü değeri)

RAY-SUM

2i j

ABCw

Ağırlık faktörü:

1

N

ij j ij

w f p

1,2,...,i MM: Toplam ışın sayısı

          i ışını tarafından = j karesinde kaplanan alan karenin toplam alanı

f1 f2

12

Kaczmarz Methodİki değişkenli ray-sum denklemleri:

Stevan Kaczmarz Polonyalı Matematikçi:1895-1940 Lviv (Lemberg)Galicia, Austria-Hungary

Kaczmarz Yöntemi21 1 22 2 2w f w f p

11 1 12 2 1w f w f p

f2

f1

Tek çözüm noktası X(f1, f2)

f(0)

f(1)

f(2)

Başlangıçta tahmini nokta

Kaczmarz yöntemi matematiksel hesabı

( 1)( ) ( 1) ( . )

.

ii i i i

ii i

f w pf f w

w w

(1)f

‘ i bulmak için 1. denklemde ‘ı yerine koy

‘yi bulmak için 2. denklemde ‘i yerine koy.

(0)f

(1)f

(2)f

‘yi bulmak için i. denklemde ‘ i yerine koy. ( )if

( 1)if

1 2( , ,.., )i i i iNw w w w

1 1.w f p

İspatı:

f2

f1

f(0)

f(1)

Başlangıçtaki tahmini nokta

C

O UA

DF

1 1.w f pG

1w

vektörü ‘i ifade eder ve ‘e dik bir vektördür.

1 1.w f p 1w

OD��������������

üzerindeki herhangi bir C noktasını belirten bir vektörünün üzerindeki izdüşümünün uzunluğu sabittir.

1p

OC��������������

1w

H

boyunca birim vektör tanımı:

‘in merkeze olan dik uzaklığı:

1w

1p

11 1

1 1 1 1 1 1

1 1| | . ( . ) ( . )

. . .

pOA OU OC w OC w f

w w w w w w

����������������������������������������������������������������������

1

1 1.

wOU

w w

��������������

O

‘i elde etmek için ‘dan çıkarılır.

vektörünün uzunluğu:

(0)f

(1)f

HG��������������

HG��������������

(0)| | | | | | . | |HG OF OA f OU OA ����������������������������������������������������������������������

(1) (0)f f HG ��������������

(0)1 1

1 1

.| |

.

f w pHG

w w

��������������

(0)1 1

11 1

.| | .

.

f w pHG HG OU w

w w

������������������������������������������

vektörünün yönü birim vektörün yönü ile aynı olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir:HG��������������

O

( 1)( ) ( 1) ( . )

.

ii i i i

ii i

f w pf f w

w w

Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler

1. İki doğrusunun biriyle yaptığı açı:• Eğer p1 ve p2 birbirine dik olsalardı 2 adımda

tam doğru sonuca ulaşılabilirdi.• ve arasındaki açı çözüme yaklaşma

aralığını (convergence range) etkiler.• M tane doğrusu birbirilerine dik olsalardı

doğru sonuca ulaşmamız için sadece M tane denklemden geçmemiz yeterli olurdu.

1p 2p

p

p

2) p doğrularının yakınlığı:• Kabul ettiğimiz geometriye göre komşu

doğrular birbirine paraleldir. Bu nedenle birbirine uzak dogruları seçmek doğru sonuca ulaşma olasılığını artırır.

2 ) M ve N oranı:

• M>N ise ( doğru denklemi sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise) bir tek çözüm yoktur. Kaczmarz yönteminin sonucu doğruların birbirine en yaklaştığı yeri gösterir.

• N>M ise tek bir sonuç yoktur, sonsuz sayıda sonuç çıkar.

M>N

f1

Başlangıçta tahmini nokta

1p

2p

3p

f22 değişkenli bir sistemin 3 doğru denklemi ile ifadesi

• Yukarıdaki formülde: formülün hesaplaması, sonucun saklanması, ağırlık katsayılarının düzeltilip yeniden işleme konması gerekli ağırlık sayısı arttıkça zorlaşır.

Kaczmarz yöntemi uygulama problemi( 1)

( ) ( 1) ( . )

.

ii i i i

ii i

f w pf f w

w w

1 2( , ,.., )i i i iNw w w w

Çözüm:• Kaczmarz denklemini daha uygulanabilir bir

hale getirmek

( ) ( 1)

1

.i i

i iijNj j

ikk

p qw

wf f

( 1)( ) ( 1) ( . )

.

ii i i i

ii i

f w pf f w

w w

OUTIN

( ) ( ) ( 1)

1

.i i i

i iijNj j j

ikk

p qw

wf f f

( 1).ii iq f w

( 1)

1

N i

ikkk

wf

(i-1) numaralı çözümün İ. doğruda izdüşümünü aldığımızda bir önceki değeri olan

j elemanının bir sonraki değeri hata farkı hesaplanarak elde edilir.

( 1)i

jf

( )i

jf

( ) ( ) ( 1)

1

.i i i

i iijNj j j

ikk

p qw

wf f f

(i-1) sonucuna bağlı olarak hesaplanmış pi değeri.

Uygulama Çeşitleri

ART (MART) Multiplicative

Algebric Reconstruction Technique

SIRT Simultaneous Iterative

Reconstruction Technique

SART (SMART)Simultaneous Multiplicative Algebric

Reconstruction Technique

Dr. Richard Gordon Professor, Department of Radiology, University of Manitoba

ART (MART) (Multiplicative Algebric Reconstruction Technique)- Yöntemi

Kaczmarz denklemindeki ağırlıklıkara , ışının karenin merkezinden geçip geçmediğine bağlı olarak 1 ve 0 olarak değer verilir.Bilgisayarda uygulama kolaylaşır.

1

N

ik ik

w N

Bu durumda denklemin paydası yandaki gibi basitleşir.

Ni = Merkezleri gelen ışının içinde kalan görüntü karelerinin sayısı

( )ii i

ji

p q

Nf

Düzeltme faktörünün aldığı son şekil:

( ) ( ) ( 1)

1

.i i i

i iijNj j j

ikk

p qw

wf f f

• yaklaşık değer olarak atatığımızdan dolayı görüntüde oluşan değerler, formül aşağıdaki şekilde değiştirilerek, çözülebilir.

( )ii i

ji i

p q

L Nf

iN

iL : i ışınının görüntü bölgesine düşen uzunluğu

ART Hatası ve Yumuşatma Katsayısı

• Ağırlıkları 1 ve 0 olarak kabullenmenin yaratacağı gürültüler ART’de oluşabilecek hatadır.

Gürültüyü azaltmak için “hata farkı” “yumuşatma katsayısı” ile çarpılır.

( ).

i

jf

Tekrar sayısı arttıkça alfa değeri küçülür şekilde ayarlanabilir.

SIRT ( Simultaneous Iterative Reconstruction Technique)

• Hata farkı ART ile aynı şekilde hesaplanır, fakat düzeltme işlemi her projeksiyondan sonra değil tüm izdüşümler tamamlandığında, eş zamanlı olarak yapılır.

• Böylece bir izdüşümdeki hata diğerine daha az yansır.

• Sonuç: kalitede artış & yakınsamada yavaşlama

1) ART deki gibi hata hesabı yapılır ve hata düzeltme işlemi bir izdüşümde tüm ışınlara eşzamanlı olarak uygulanır.

2) Hata ışın boyunca geriye yayılır 3) Sürekli olan görüntünün ışın integrallerine bilineer elemanlar kullanılarak aralıklı

(discrete) bir yaklaşım uygulanır, hatayı azaltır.4) Bu uygulama tek iterasyonda (tekrarda) daha iyi sonuç verir. 5) ARTye göre hesaplamada avantajlıdır. 6) Ultrason ve Mikrodalga Tomografisinde kullanılır. ( Bu görüntüleme sistemlerinde

ışın yoğunluğu ışın geometrisinin kavisli olmasından dolayı görüntü boyunca değişen oranlardadır)

7) SIRT ‘daki gibi eş zamanlı tekrar basamakları vardır. • Heuristic kullanım: Hamming window• Sonuç: Kalitede artış& Hızlı yakınsama Tek iterasyonda anlamlı sonuç verme.

SMART = SART= SIRT+(M)ART

İleri İzdüşüm Yöntemi Modellemesi

1

N

ij j ij

w f p

( , ) ( , ) ( ( , ))i i ip R f x y f x y r x y dxdy

Aralıklı ( discrete) fonksiyon haline getirme:

( , ) 0ir x y

1

1 1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

N

j jj

N N

i i i i j j j ijj j

f x y f x y g b x y

p R f x y R f x y R g b x y g a

Temel fonksiyon

1( , )

0jb x y

SART Matematiksel Modeli

1

1

1 1

1 1

1

1

( )

( ) , 1, 2,...,

, 1

Mi

i imm

N

im ijm jj

Mi N

i ijm jm j

N Mi

i ijm jj m

N

ij jj

Mi

ij ijmm

p f S S

f S d g m M

p d g S

p d g S for i J

a g

a d S

Uygulama

• 128X128 matris• Her biri 127 ışınlı 100 izdüşüm( projeksiyon)

Karşılaştırma

Yöntem Doğru İzdüşümü Işın izdüşümü

Şekil Doğru integrali Işın toplamı( Ray sum)

Çözüm Fourier slice Lineer Cebir

Algoritmik Karmaşıklık

Karmaşık Basit

Doğruluk Doğru Tam doğru değil

Hesaplama Hızı

Hızlı Yavaş

Diğer İzdüşüm sayısı fazla ise uygulama mümkün değil

Gürültülü

Doğru izdüşümü Işın izdüşümü

Teşekkürler..!

• Kaynak: Kak Avinash C., Slaney Malcolm, “Principles of

Computerized Tomographic Imaging” 1999