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함수의 극한
1. 수렴과 발산
(1) 수렴 ; limx→a
f(x)= α (일정한 값)
(2) 발산 ; 극한이 일정한 값으로 나오지 않을 때
(3) 극한값의 존재 조건
• 좌극한값 = 우극한값
limx→a +0
f(x)= α (우극한값), limx→a -0
f(x)= β (좌극한값)
문제 1] 다음 함수들에 대한 극한을 조사하여라.
(1) limx→∞
sinx
(2) limn→∞
(-1) n
(3) limx→∞
1
x2
(4) limx→1
[x]
(5) limx→1- 0
1x-1
(6) limx→1+ 0
1x-1
2. 극한값의 성질
(1) 함수 f(x), g(x)에 대하여
limx→a
f(x)= α, limx→a
g(x)=β(α, β는 일정한 값)일 때① lim
x→akf(x)=kα (k는 상수)
② limx→a
{ f(x)±g(x)}= α±β (복부호 동순)
③ limx→a
f(x)g(x)= αβ
④ limx→a
f(x)g(x)
=αβ
(β≠0, g(x)≠0)
(2) 세 함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여
① f(x)≤g(x)이고 limx→a
f(x)=α, limx→a
g(x)=β이면 α≤β 이다.
② f(x)≤g(x)≤h(x)이고 limx→a
f(x)= limx→a
h(x)=α 이면 limx→a
g(x)= α 이다.
문제 1] 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→1
x3-1
x2-3x+2
(2) limx→∞
3x3-x2+2x-1
10 10x2+10 8x+10 6
(3) limx→∞
( x2+x+1- x2-x+1)
(4) limx→0
x+1-1x
문제 2] 다음 식을 만족시키는 상수 a, b의 값을 구하여라.
limx→1
x2+ax+bx-1
= 2
초월함수의 극한(1)
1. 삼각함수의 극한
limx→0
sinxx
= 1
ΔOAB < (부채꼴OAB) < ΔOAT
문제 1] 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→0
sin3xsin2x
(2) limx→0
sin4x3x
(3) limx→0
tanxx
(4) limx→0
tan3xsin2x
(5) limx→0
sin( sinx)x
(6) limx→0
1-cosxx2
문제 2] limx→π
ax+bsinx
= 1 이 성립하도록 상수 a, b 를 정하여라.
초월 함수 극한(2)
1. 지수, 로그 함수의 극한
• a > 1 ; limx→∞
a x=∞ , limx→-∞
a x=0 , limx→∞
log ax=∞ , limx→+0
log ax=-∞
• a = 1 ; limx→∞
a x=1 , limx→-∞
a x=1
• 0 < a < 1 ; limx→∞
a x=0 , limx→-∞
a x=∞ , limx→∞
log ax=-∞ , limx→+0
log ax=∞
문제 1] 다음 극한을 구하여라.
(1) limx→∞
( 2 x
3 x )
(2) limx→∞
( 4 x
3 x )
(3) limx→-∞
( 2 x
2 x )
(4) limx→2+0
log 2(x-2)
(5) limx→2+0
log 12
(x-2)
(6) limx→1
log 2| x-1|
2. 극한값 e 의 정의
• limx→0
(1+x)1x =e , lim
x→∞(1+
1x) x=e
문제 2] 다음 각 값을 계산하여라.
(1) ln e 4
(2) ln 3 e
(3) ln1
e 3
문제 3] 다음 식을 만족하는 x 값을 구하여라.
(1) lnx=2
(2) ln (x-1)=1
(3) e x=3
문제 4] 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→0
(1+2x)1x
(2) limx→∞
(1+2x) x
(3) limx→0
( 1+2x)13x
초월 함수의 극한(3)
문제 1] 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→0
( 1+2x1+x )
1x
(2) limx→0
e x-1x
문제 2] 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→∞
(3 x+4 x)1x
(2) limx→0
ln(1+x)x
(3) limx→0
e 2x-1sin x
(4) limx→0
ln(1+x)e 3x-1
(5) limx→0
log a(1+x)
e x-1
(6) limx→+0
ln( sinx)lnx
문제 3] limx→0
ln(x+b)sinax
=12이 성립하도록 상수 a, b를 정하여라.
변화율
1. 평균 변화율
∙ 곡선 상의 두 점을 잇는 직선의 기울기
∙ 구간 [a, a+∆x]에서 평균 변화율
문제 1] 다음 각 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균 변화율을 구하여라.
(1) f (x)= 2x2-3x+1 , [2, 4]
(2) f (x)=x3 , [1, 3]
(3) f (x)= x, [4. 9]
(4) f (x)=-3x+1, [3, 5]
문제 2] 다음 함수가 구간 [a, a+∆x]에서 평균 변화율이 6일 때 이것을 만족하는 a 값은?
2. 변화율(미분 계수)
a xa D+
)(af
)( xaf D+
P
Q
xafxaf
xy
D-D+
=DD )()(
1)( 2 += xxf
∙ 정의 ; 구간 [a, a+∆x]에서 Δx→0일 때 함수 f(x)의 극한값
3. 도함수
∙ 정의 ; 함수 y= f (x)에서
문제 3] 다음 각 함수에 대하여 x = 1에서 변화율을 구하여라.
(1) y=x2
(2) y=1x
(3) y= |x-1|
문제 4] f '(1)= 1인 다항 함수 f(x)에 대하여 다음 극한값을 구하여라.
(1) limx→1
f (x)-f (1)x2-1
(2) limx→1
x3-1f (x)-f (1)
a xa D+
xafxaf
xy
dxdyyaf
xxaxax D
-D+=
DD
=úûù
êëé=¢=¢
®D®D==
)()()( limlim00
x xx D+
)(xf
)( xxf D+
P
)()()()()(limlim00
xfdxd
dxxdf
dxdyyxf
xxfxxf
xy
xx===¢=¢=
D-D+
=DD
®D®D
미분법 공식
1. 미분법의 기본 공식
(1) f (x)=k(상수) ⇒ f '(x)=0
(2) y=xn ⇒ y'=nxn - 1
(3) y=kf (x) (k는 상수) ⇒ y'=kf'(x)
(4) y=f (x)±g(x) ⇒ y'= f '(x)±g'(x) (복호 동순)
(5) y= f (x)⋅g(x) ⇒ y'= f '(x)g(x)+f (x)g'(x)
(6) y=f (x)g(x)
(g(x) /=0) ⇒ y'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
{g(x)} 2
문제 1] 다음 함수를 미분하여라.
(1) y=1x
(2) y= x
문제 2] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.
(1) y= 3 x2
(2) y=x2 x
문제 3] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.
(1) y= (x2+2)(x3-2x+1)
(2) y=(x-2)(2x+1)(x2-1)
(3) y=x-1
x2+1
(4) y=2x3-1
x2
합성 함수와 음함수 미분
1. 합성 함수의 미분
예] y=(2x+1) 5을 x 에 대하여 미분하여라.
문제 1] 다음 함수를 x 에 대하여 미분하여라.
(1) y= (3x2+2x-1) 4
(2) y= 2x-1
2. 음함수의 미분법
∙ 음함수 ; x 의 함수 y 가 F(x, y) = 0의 꼴로 주어질 때 y를 x 의 음함수라 한다.
∙ 양함수 ; x 의 함수 y 가 y = f(x)의 꼴로 주어질 때 y를 x 의 양함수라 한다.
∙ 음함수의 미분 ;ddx
yn= { ddy
yn} dydx =nyn -1 dydx
)())(())(( xgxgfyxgfy ¢¢=¢Þ=
{ } { } )()()( 1 xfxfnyxfy nn ¢=¢Þ= -
문제 2] 다음에서dydx를 구하여라.
(1) x2+2y2=3
(2) 2x2-y2=1
(3) x+ y=1
(4) x2+y2-2xy =0
문제 3] 다음에서dydx를 구하여라.
(1) y= 4 x2+1
(2) x= t2+1, y=2t-1
삼각함수 미분
1. 삼각함수의 도함수
(1) y= sinx ⇒ y'= cosx
(2) y= cosx ⇒ y'=- sinx
(3) y= tanx ⇒ y'= sec 2x
(4) y= cotx ⇒ y'=- csc 2x
(5) y= secx ⇒ y'= secxtanx
(6) y= cscx ⇒ y'=- cscxcotx
문제 1] 도함수의 정의를 이용하여 다음 각 함수를 미분하여라.
(1) y= cosx
(2) y= cotx
문제 2] 다음 각 함수를 미분하여라.
(1) y= cos 3x
(2) y= 2-cosx
(3) y= sin ( cosx)
(4) y= cos (1+x2)
문제 3] 다음에서dydx를 구하여라.
(1) x= cosy
(2) cosx+ cosy= 1
(3) x=cos 2θ,y= sin 3θ (단, θ는 매개 변수이다.)
(4) xsiny+ysinx=1
지수, 로그 함수 미분
1. 지수함수의 도함수
(1) y=e x ⇒ y'= e x
(2) y=a x ⇒ y'=a xlna
문제 1] 도함수의 정의를 이용하여 y= e x를 미분하여라.
문제 2] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.
(1) y= 3 2x+ 1
(2) y=xe x
(3) y= e xcosx
(4) y=(e x+x) 2
2. 로그함수의 도함수
(1) y=lnx ⇒ y'=1x
(2) y=log ax ⇒ y'=1x
1lna
문제 3] 도함수의 정의를 이용하여 y = ln x 의 도함수를 구하여라.
문제 4] 다음 함수의 도함수를 구하여라.
(1) y=xlnx
(2) y=e xlnx
(3) y=xx
(4) y=ln( lnx)
(5) y= e x2
sinx
(6) y= x ln x
고계 도함수
1. 이계 도함수 ; 도함수의 도함수
2. 삼계 도함수와 n계 도함수
∙ 이계 도함수를 미분하여 삼계 도함수
∙ 함수 y= f(x)를 n번 미분하여 얻는 함수를 n계 도함수
문제 1] 다음 각 함수의 이계 도함수를 구하여라.
(1) y=(x 2+x+1) 4
(2) y=sin2x
(3) y=e 2x
(4) y= e xsinx
(5) y= e xlnx
(6) y=xe x
문제 2] 함수 f (x)=xe ax+b에 대하여 f '(0)= 1,f ''(0)=1e일 때 상수 a, b 값을 구하여라.
접선과 미분(1)
1. 미분 계수와 도함수
함수 y = f(x)에 대하여
∙ x = a 인 점에서 접선 기울기 = 미분 계수 = f '(a )
∙ 임의의 점 x에서 접선 기울기 = 도함수 = f (x)
∙ 접점 (a,f (a ))에서 접선의 방정식 ; y-f (a)= f'(a)(x-a)
문제 1] 다음 곡선에서 주어진 점을 지나는 접선 방정식을 구하여라.
(1) y= xe x,(1,e)
(2) y=lnx,(e,1)
(3) y=sinx,(π,0)
(4) y=tanx,( π4,1)
문제 2] 다음 곡선 위의 점 (x1 ,y1 )에서 그은 접선 방정식을 구하여라.
(1) x2+y2=r 2
(2)x2
a 2 +y2
b2 =1
(a, f(a))
접선과 미분(2)
1. 접선과 법선
∙ 법선 ; 접점을 접선과 공유하며 접선에 수직인 직선
접선 방정식 ; y-f (a)= f'(a )(x-a)
법선 방정식 ; y-f (a)=-1
f'(a )(x-a)
문제 1] 다음 곡선과 주어진 점에서 그은 접선 방정식과 법선 방정식을 구하여라.
(1) y= e x,(1,e)
(2) y=2sinx,( π6,1)
문제 2] 다음 각 물음에 답하여라.
(1) 곡선 y=lnx에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하여라.
(2) 곡선 y=cos2x,(0≦x≦π)에 접하고 직선 x+2y-2=0에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.
문제 3] 원점에서 다음 곡선에 그은 접선 방정식을 구하여라.
(1) y=lnx
(2) y=e x
x
(a, f(a))
미분 가능성과 연속
1. 미분 가능성과 연속
∙ 함수가 x = a에서 연속일 조건
∙ x = a에서 미분 가능일 조건
∙ 함수 f(x)가 x = a에서 미분 가능 ⇒ x = a에서 연속
∙ 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분 가능 ⇒ 그 구간에서 연속
문제 1] 다음 각 함수에 대하여 x = 0에서 미분 가능성을 조사하여라.
(1) f (x)= |x|
(2) f (x)= 3 x2
문제 2] 다음과 같이 정의된 함수 f(x)가 x = 1에서 미분 가능할 때 상수 a, b 값을 구하여라.
2. 평균값의 정리
)()(lim)3(
)(lim)2( )()1(
afxf
xfaf
ax
ax
=®
®존재가
존재가
존재)()()(lim0
afh
afhafh
¢=-+
®
îíì
³£
=)1( ln)1(
)(3
xbxxax
xf
(1) 롤의 정리
∙ 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속, 개구간 (a, b)에서 미분 가능할 때
f(a) = f(b)이면 f '(c)= 0 (a < c < b)인 c 가 적어도 하나 존재
(2) 평균값의 정리
∙ 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속, 개구간 (a, b)에서 미분 가능할 때
인 c 가 적어도 하나 존재
문제 3] 다음 각 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균값의 정리를 만족하는 c 값을 구하여라.
(1) f(x)= x, [0,1]
(2) f(x)= lnx, [1,e]
a c b
f(a)=f(b)
)( )()()( bcacfabafbf
<<¢=--
a c b a c b
f(a)=f(b)
f(b)
f(a)
)( )()()( bcacfabafbf
<<¢=--
함수의 증감
1. 함수의 증감
∙ 정의 ; 증가 ⇔ a < b일 때 f (a ) < f (b), 감소 ⇔ a < b일 때 f (a ) > f (b)
2. 증가 상태와 감소 상태
함수 f(x)에서 충분히 작은 양수 h 에 대하여
∙ 증가 상태 ; f (a-h)< f (a) < f (a+h)
∙ 감소 상태 ; f (a-h)> f (a) > f (a+h)
3. f(x)의 증감과 f(x)의 부호
문제 1] 다음 함수의 증감을 조사하여라.
(1) f (x)=x+ cosx 구간(-∞,∞)
(2) f (x)=x3 구간(-∞,∞)
(3) f (x)=x-e-x 구간[0,∞)
(4) f (x)=x- lnx, (x> 0)
(5) f (x)=xe x
(6) f (x)=lnxx
구간(0,∞)
문제 2] 다음 함수 f(x)가 모든 실수 구간에서 증가 함수이기 위한 a의 범위를 구하여라.
a bx a bx
증가는 )(0)( xfxf Þ³¢
감소는 )(0)( xfxf Þ£¢
13)( 23 +++= xaxxxf
극대, 극소(1)
1. 극대, 극소의 뜻
(1) 극대 ; 연속 함수가 증가 상태에서 감소 상태로
(2) 극소 ; 연속 함수가 감소 상태에서 증가 상태로
2. 도함수에 의한 극대, 극소 판정
f '(x)=0이고, x=a 좌우에서 f (x)의 부호가
∙ (+)에서 (-)로 바뀌면 x=a에서 극대
∙ (-)에서 (+)로 바뀌면 x=a에서 극소
예] 다음은 어떤 함수에 대한 도함수 f '(x)를 나타난 것이다. 이
그래프로 미루어 함수 f (x)는 극대값과 극소값이 몇 개 존재하는
가?
문제 1] 다음 함수의 극값을 구하고 그래프를 그려라.
(1) y=-x3+3x2-1
(2) y=x 4-2x2
문제 2] 다음 함수의 극값을 구하여라.
(1) f(x)= |x2-1 |
(2) f (x)= 3 x2
)(xfy ¢=
극대, 극소(2)
문제 1] 다음 함수의 극값을 구하여라.
(1) y= e-xsinx
(2) y=lnx
(3) y=2x-1
x2+2
(4) y=xe -x
문제 2] 함수 f(x)=ax+bx2+1
가 x=1에서 극대값이 1일 때 상수 a, b 값을 구하여라.
문제 3] 함수 f(x)=x2+ax+b
x-1가 극값을 갖지 않을 때 a, b의 관계식을 구하여라.
곡선의 개형
1. 곡선의 오목, 볼록
문제 1] 다음 각 곡선의 극값, 변곡점을 구하고 그 개형을 그려라.
(1) f (x)=x
x2+1
(2) f (x)=x+ lnx
(3) y=x+1x
(4) y=e x
x
AB
아래로볼록
AB
위로볼록
P
변곡점
0)( >¢¢ xf 0)( <¢¢ xf 0)( =¢¢ xf(단, 부호가바뀔때
변곡점존재)
함수의 최대, 최소
1. 함수의 최대, 최소
∙ 구간의 양끝값 조사
∙ 극대값, 극소값 조사 비교
문제 1] 구간 [1, 2]에서 함수 f (x)=x 2-x2의 최대값과 최소값을 각각 구하여라.
문제 2] 함수 f (x)=x+2sinx는 구간 [0,2π]에서 최대값과 최소값이 각각 얼마인가?
문제 3] 다음 각 함수의 최대값과 최소값을 구하여라.
(1) f (x)= sin 3x-3 cos 2x
(2) f (x)=lnxx
,(1≦x≦e 2)
문제 4] 그림과 같이 곡선 y=e -x 위의 x 좌표가 양인 점 P ( t, e- t )에서 그은 접선이 x축, y축과 만나
는 점을 각각 Q, R라 할 때, 삼각형 QOR의 넓이가 갖는 최대값은?
[a, b] (a, b] (a, b)
방정식, 부등식과 미분
1. 방정식과 미분
방정식의 실근
∙ f(x) = 0의 실근
∙ f(x) = g(x)의 실근
문제 1] 다음 방정식이 갖는 근이 몇 개인지 조사하여라.
(1) x3-6x2+9x-3=0
(2) x4-6x2+8x+12=0
문제 2] 방정식 lnx = kx 가 서로 다른 두 실근을 가질 때 k값의 범위를 구하여라.
2. 부등식과 미분
x>a 일 때 f(x) > g(x) 증명
∙ F(x) = f(x) - g(x) 로 놓고
∙ F'(x) > 0 이고 F(a) ≧ 0 임을 보인다.
문제 3] x > 0 일 때 부등식 (x-2)e 2+x+2〉0 임을 증명하여라.
문제 4] 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 단, 0 < x< π 이다.
xey -=
),( tet -P
QO
R
)(xfy = )(xfy =
)(xgy =
2sin
2xxx ->
속도와 가속도
1. 속도와 가속도
수직선 위에서 움직이는 점 P 시각 t에서 좌표 x= f (t)일 때
(1) 평균 속도 ;ΔxΔt
=f (x+Δt )-f (t )
Δt
(2) 속도 ; v= limΔt→0
ΔxΔt
=dxdt
= f'(t )
(3) 속력 ; ∣f'(t )∣
(4) 가속도 ; a= limΔt→0
ΔvΔt
=dvdt
=v'= f''(t )
2. 시각에 대한 변화율
(1) 시각 t에서 길이 변화율 ; limΔt→0
ΔlΔt
=dldt
(2) 시각 t에서 넓이 변화율 ; limΔt→0
ΔSΔt
=dSdt
(3) 시각 t에서 부피 변화율 ; limΔt→0
ΔVΔt
=dVdt
문제 1] 직선 위를 움직이는 점의 위치와 시각 t 사이의 관계가 다음과 같을 때 t = 2에서 속도와 가속도
를 구하여라.
(1) f (t)=1- sinπx
(2) f ( t )= e t+e-t
문제 2] 벽에 세워 놓은 길이 5m의 사다리가 있다. 사다리가 미끄러지면서 사다리 아래끝이 매초 12cm로
벽에서 멀어진다고 할 때 아래끝이 3m 위치에 도달하는 순간 위끝이 내려오는 속도를 구하여라.
문제 3] 키가 160cm인 사람이 4m 높이의 가로등 아래로부터 똑바로 매분 60m 속력으로 걸어갈 때 그림자
끝의 속력을 구하여라.
문제 4] 윗면의 반지름이 10cm, 높이가 30cm인 직원뿔 모양 그릇에 매초 15㎤ 속도로 물이 흘러 들어간다.
높이가 5cm일 때 수면의 상승 속도를 구하여라.
평면 위의 운동
1. 평면 위를 움직이는 점의 속도, 가속도
평면 위를 움직이는 점 P(x, y)에 대하여 x= f (t ),y=g(t)일 때
(1) 속도 ; v= (vx,vy)= (f '( t ),g'( t ))
(2) 속력 ; ∣v∣= v2x+v2
y= {f'(t )} 2+{g'(t )} 2
(3) 속도의 방향 ; tanθ=dydt
/dxdt
=dydx
,(단,dxdt
≠0)
(4) 가속도 ; a= (a x,a y)= (f ''(t ),g''(t ))
(5) 가속도의 크기 ; ∣a∣= a 2x+a 2
y= {f''(t )} 2+{g''(t )} 2
문제 1] 시각 t에서 점 P(x, y)는 다음 식을 만족한다.
x=2cos t, y= sin t
t= π3일 때 점 P의 속도와 가속도를 및 각각의 크기도 구하여라.
문제 2] 좌표 평면 위의 동점 P는 시각 t일 때 위치가 (2t + 1, 2t - t2)을 만족한다. t = 2에서 P의 속도
벡터의 방향을 구하여라.
문제 3] 평면 위를 운동하는 점 P(x, y)의 좌표가 시각 t에서 x=t- sin t,y=cost로 주어졌을 때 점 P의
최대 속력을 구하여라.
문제 4] 좌표 평면 위를 움직이는 동점 P(x, y)가 시각 t의 함수로 다음과 같이 주어진다.
x=e tcost,y= e tsint
점 P의 속도 벡터 크기를 구하고, t= π2일 때 속도 벡터와 x축이 이루는 각 θ를 구하여라.
단, 0 <θ< π이다.
미분법 심화(1)
문제 1] x=1-cosθ,y=θ- sinθ 일 때, θ=π2에 대응하는 점에서 접선 방정식은?
문제 2] 방정식 ae x-x+2=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때 실수 a 값의 범위는?
문제 3] 함수 f(x)는 x = 0에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. 다음 보기 중 x = 0에서 미분 가능한 함
수를 모두 고르면?
[보기]
ㄱ. y=xf (x) ㄴ. y=x2f (x) ㄷ. y=1
1+xf (x)
문제 4] 사각형 모양의 철판 3장을 구입하여 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으
로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일러를 제작하
려 한다. 철판의 가격은 1m2 당 1만원이다. 보일러의 부피가 64m2가 되도록 만들기 위해
필요한 철판을 구입하는 데 드는 최소 비용은?
미분법 심화(2)
문제 1] 함수 y=lnxx가 최대값을 가질 때의 x 값은?
문제 2] 반지름이 1m인 원판에 기대어 있는 막대 OP의 한 끝은 오른쪽 그
림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하
는 점을 Q라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 1.5m/
초로 움직인다. OQ = 2m 되는 순간, 막대 OP가 지면과 이루는 각의 크기
θ의 시간에 대한 순간 변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다.)
문제 3] 모든 실수에서 미분 가능한 함수 y = f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과
같다. g(x) = xf(x)로 정의되는 함수 g(x)에 대하여 다음 중 집합
{x dg(x)dx
> 0}의 원소인 것은?
문제 4] 길이가 10인 선분 AB를 지름으로 하는 반원에 내접하는 사다리꼴
ABCD는 최대 넓이가 얼마인가?
QO
P
q
1-1
-2
A B
CD
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