Введение в матричные игры2)/lec14.pdfЛекция 14. Матричные...

Лекция 14.   Матричные игры   ‐1‐

Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны. Мы будем рассматривать только игры двух лиц с противоположными интересами. Игра состоит из последовательности ходов. Ходы бывают личные и случайные. (В шахматах все ходы личные. Рулетка содержит случайный ход). Результаты ходов оцениваются функцией выигрыша для каждого игрока. Если сумма выигрышей равна 0, то игра называется игрой с нулевой суммой (преферанс). Будем рассматривать только такие игры.

Стратегией называется набор правил, определяющих поведение игрока, т.е. выбор хода. Оптимальной стратегией называют такую стратегию, при которой достигается максимальный ожидаемый средний выигрыш при многократном повторении игры.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐2‐

Матричные игры — это игры, где два игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число «чистых» стратегий: {1,…, m} и {1,…, n} и (ij) задан платеж aij второго игрока первому. Матрица (aij) задает выигрыш первого игрока и проигрыш второго, aij ≷ 0 !

Игра в орлянку. Игроки выбирают ход{орел, решка}. Если ходы совпали, то выиграл первый, иначе второй.

II игрок

орел решкаI игрок

орел 1 – 1

решка – 1 1

Лекция 14.   Матричные игры   ‐3‐

Прорыв обороны. Первый игрок выбирает систему зенитного вооружения. Второй игрок выбирает самолет. Элементы aij задают вероятность поражения самолета j системой i. Цель второго игрока — прорвать оборону.

Самолеты

Зенитки 0,5 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,5 0,6

В первом примере все ходы одинаково плохи или хороши. Во втором примере ход (2, 2) в некотором смысле лучший для обеих сторон: если взять самолет 2, то зенитка 2 — лучшая для первого игрока; если взять зенитку 2, то самолет 2 лучший для второго. В матрице есть седловая точка! Определение. Седловой точкой матрицы (aij) называют пару (i0j0) такую, что

ijaaa jijiij ,0000

.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐4‐

Принцип минимакса (осторожности). Предположим, что противник всеведущ и угадывает все ходы! Первый игрок предполагает, что второй все знает и для хода i первого игрока выберет j(i): aij(i) aij, j = 1,…, n. Обозначим .,...,1 ,min

1)( miaa ij

njiiji

Тогда лучшей

стратегией для первого игрока является выбор i0 такой, что .minmaxmax

011iij

njmii

ia

Величину назовем нижней ценой игры в чистых стратегиях. Второй игрок из соображений осторожности считает, что первый j выберет i(j) так, что ai(j)j aij, i, т.е. ij

mij a

1max и выбирает j с минимальным j, т.е.

011maxmin jij

minja

.

Величину назовем верхней ценой игры в чистых стратегиях. Пример 1. = –1, = +1, Пример 2. 7.0}5.0 ,7.0 ,5.0{max

i , .7.0}8.0 ,7.0 ,9.0{min

j

Лекция 14.   Матричные игры   ‐5‐

Лемма. Для любой функции f(x,y), xX, yY, справедливо неравенство ),(maxmin),(minmax yxfyxf

XxYyYyXx

в предположении, что эти величины существуют.

Доказательство. Введем обозначения:

),(min))(,( yxfxyxfYy

,

))(,(max))(,( xyxfxyxfXx

.

Тогда

).,(maxmin),(min))(,(),(minmax yxfyxfxyxfyxfXxYyYyYyXx

Лекция 14.   Матричные игры   ‐6‐

Теорема. Необходимым и достаточным условием равенства верхней и нижней цен игры в чистых стратегиях является существование седловой точки в матрице (aij). Доказательство. Необходимость. Пусть = . По определению

000

000

111

111maxmaxmin

minminmax

jiijmi

ijminj

jijinj

ijnjmi

aaa

aaa

т.е. .00

jia Так как = , то ijaaa jijiij ,0000

, т.е. является седловой

точкой. Достаточность. Пусть седловая точка (i0j0) существует, т.е.

.,...,1 ,,...,1 ,0000

njmiaaa jijiij

Тогда ,minmaxminmaxmaxmin0000 ij

jiji

jjiij

iij

ijaaaaa но по лемме верно

обратное, т.е. ijji

ijij

aa minmaxmaxmin . Следовательно = .

Лекция 14.   Матричные игры   ‐7‐

Смешанные стратегии и основная теорема матричных игр Определение. Под смешанной стратегией будем понимать вероятностное распределение на множестве чистых стратегий. Смешанная стратегия первого игрока: p = (p1,…, pm),

}.,...,1 ,0 ,1|),...,{(1

1 mippppPp im

iimm

Смешанная стратегия второго игрока q = (q1,…, qn),

}.,...,1 ,0 ,1|),...,{(1

1 njqqqqQq jn

jjnn

При многократном повторении игры игрок выбирает чистые стратегии случайным образом с соответствующими вероятностями. Платежная функция для смешанных стратегий p и q:

m

i

n

jjiij qpaqpE

1 1),(

задает математическое ожидание выигрыша первого игрока при p,q.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐8‐

Замечание. Добавлением большой положительной константы можно добиться того, что E(p,q) > 0, p,q без изменения стратегий.

Из принципа осторожности: Первый игрок ищет максимум ),(min)( qpEp

nQq и получает нижнюю цену

игры ).(max pmPp

Второй игрок ищет минимум ),(max)( qpEqmPp

и получает верхнюю цену

игры ).(min qnQq

Теорема Фон–Неймана В матричной игре существует пара ),( qp смешанных стратегий, таких что

1. )(),(),( qpEqpEqpE , pPm, qQn.

2. = = ),( qpE .

Лекция 14.   Матричные игры   ‐9‐

Доказательство. Сначала покажем, как представить задачу о выборе наилучших стратегий в виде ЛП, а затем докажем теорему. Первый игрок: (p) max

.,...,1 ,),(min)(1

njpaqpEpm

iiij

Qq n

Пусть ui = pi /(p), i = 1,…, m, в предположении (p) > 0.

Тогда ui 0, i = 1,…, m, и .,...,1 ,11

njuam

iiij

Заметим, что

)(1

1 pu

m

ii

и задача (p) max может быть записана следующим образом:

m

iiu

1min

njuam

iiij ,...,1,1

1

,

miui ,...,1,0 .

Лекция 14.   Матричные игры   ‐10‐

Аналогичным образом получаем задачу второго игрока:

n

jjv

1max

,,...,1 ,11

mivan

jjij

,,...,1,0 njv j

где vj = qj /(q), j = 1,…, n. Полученные задачи являются взаимодвойствен-ными. Пусть

ji vu , — оптимальные решения этих задач.

Положим

m

iiii uup

1,

n

jjjj vvq

1. Из второй теоремы двойственности

следует, что

,,...,1 ,0)1(1

njuavm

iiijj

.,...,1 ,0)1(1

mivaun

jjiji

Просуммировав, получим

Лекция 14.   Матричные игры   ‐11‐

m

ii

n

j

m

i

n

jjiijj uvuav

11 1 1.

Поделим на :))(( ij uv

.11),(

ij uv

qpE

Теперь докажем первое утверждение теоремы:

.11),(1111

j

ij

n

j j

jij

m

ii

n

jjij

m

ii

vp

vv

vapqapqpE

Аналогично

.11),(1111

i

ji

m

i i

iij

n

jj

m

iiij

n

jj

uq

uuuaqpaqqpE

т.е. ., ),,(),(),( nm QqPpqpEqpEqpE

Докажем второе утверждение теоремы.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐12‐

Из предыдущего неравенства имеем:

),,(min),(),(max qpEqpEqpEqp

т.е. .minmaxmaxmin ij

jiijqpij

jiijpq

qpaqpa

Но по лемме = = ).,( qpE

Лекция 14.   Матричные игры   ‐13‐

Вопросы

Игра «камень–ножницы–бумага» является игрой с постоянной суммой (Да или Нет?)

Задача поиска седловой точки принадлежит классу NP (Да или Нет?)

Найти седловую точку или убедиться в ее отсутствии можно за полиноми-альное время (Да или Нет?)

Чистых стратегий всегда меньше, чем смешанных стратегий (Да или Нет?)

Оптимальные смешанные стратегии игроков можно найти за полиномиаль-ное время (Да или Нет?)

Лекция 14.   Матричные игры   ‐14‐

Дилемма заключенных

Два преступника пойманы за совершение преступления. У следствия не хватает доказательств их виновности и преступникам предлагают сделку:

Если сознаешься и подтвердишь участие товарища в преступлении, то выйдешь на свободу, а товарищ получит 7 лет лишения свободы.

Преступники сидят в разных камерах и не могут общаться, но они знают, что каждому сделано такое предложение. Если оба преступника сознаются, то каждый получит 5 лет. Если оба не сознаются, то каждый получит по 1 году.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐15‐

Биматричная игра

2-й сознался 2-й не сознался

1-й сознался 5 : 5 0 : 7

1-й не сознался 7 : 0 1 : 1

Седловая точка — оба сознаются — существует и дает 5 лет каждому, но решение — не сознаваться — дает только 1 год каждому. Оно не является седловой точкой! Что будет, если дать преступникам возможность совещаться?

Лекция 14.   Матричные игры   ‐16‐

Бескоалиционные игры Бескоалиционной игрой для p игроков называется система

},}{ ,}{ ,{ IiiIii FXI

где I = {1,…, p} — множество игроков, Xi — множество стратегий i-го игрока,

Ii

iXXx — игровые ситуации, Fi (x) — выигрыш i-го игрока в ситуации x.

Предполагаем, что все игроки стремятся максимизировать свои выигрыши. Произвольное подмножество множества I называют коалицией. В бескоалиционных играх коалициям не приписывается каких-либо стратегиче-ских возможностей или интересов, за исключением тех, что вытекают из воз-можностей и интересов отдельных игроков.

Пример. I — множество политических партий.

Xi — множество программ i-ой партии.

Fi (х) — число голосов на выборах, поданных за i-ю партию.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐17‐

Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной суммой, если существует такое число c, что

Ii

i cxF )( для любого xX.

Если c=0, то бескоалиционную игру называют игрой с нулевой суммой (антагони-стические игры). Примеры. 1) Игра «Червы», «Преферанс»; 2) дилемма заключенных; 3) размещения в условиях конкуренции.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐18‐

Равновесие в бескоалиционных играх

Обозначим через ixx ~|| ситуацию, отличающуюся от x тем, что вместо страте-

гии xi игрока i используется стратегия ii Xx ~ :

),...,,~,,...,(~|| 111 niiii xxxxxxx

Ситуация x0 называется приемлемой для игрока i, если изменяя свою стратегию, он не может увеличить свой выигрыш:

)()||( 00 xFxxF ii

i для любого ii Xx

Ситуация x0, приемлемая для всех игроков, называется равновесием по Нэшу.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐19‐

Размещение предприятий на сети

Дано: G = (V, E) — взвешенный неориентированный граф, в каждой вершине находятся клиенты.

wj — доход от обслуживания клиентов в вершине j.

de — длина ребра e.

Игра: p игроков выбирают по вершине (открывают в ней свое предприятие); для каждого клиента (вершины) отыскивается ближайшее предприятие на сети (может оказаться несколько таковых) и вычисляются доходы игроков.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐20‐

Доход: Vj

ijP — доход игрока i, где

ближайшее если ,

ближайшее не если ,0

ближайшихчислоi -

w

i -

Pjij

Найти: равновесие по Нэшу, т.е. такое решение для игроков, когда ни один из них не может увеличить свой доход, меняя решение в одиночку.

Лекция 14.   Матричные игры   ‐21‐

Пример: wj = 1, р=3

Вопрос: Правда ли, что равновесное решение всегда существует?

652 6

51 312

Лекция 14.   Матричные игры   ‐22‐

Контрпример: wj = 1, n = 9, р=2.

Теорема. Для данного графа G = (V, E) и множества из p игроков задача распознавания «есть ли равновесное решение» является NP-полной.

5

4

Лекция 14.   Матричные игры   ‐23‐

Вопросы

Задача поиска равновесия по Нэшу при размещении предприятий на сети принадлежит классу NP (Да или Нет?)

Задача поиска равновесия по Нэшу при размещении предприятий на сети решается за полиномиальное время при р=2 (Да или Нет?)

Если в игре двух лиц есть равновесие по Нэшу, то это наилучшая стратегия для игроков (Да или Нет?)