ประวัติ แคลคูลัส

1

ประวั�ติ� แคลค�ล�ส     Calculus               แคลค�ล�ส  เป็�นวิ�ชาคณิ�ตศาสตร์�ที่��มี�ควิามีส�าค�ญอย่�างย่��ง สามีาร์ถน�าไป็ป็ร์ะย่#กต�ใช&ในการ์อธิ�บาย่กฎเกณิฑ์�ธิร์ร์มีชาต�  เป็�นพื้,-นฐานของควิามีเข&าใจโลก  และป็ร์ากฏการ์ณิ�ต�าง ๆ   แคลค�ล�สช�วิย่ให้&เร์าสามีาร์ถค�านวิณิวิงโคจร์ของดาวิต�าง ๆ ช�วิย่ให้&เร์าค�านวิณิกร์ะแสน�-า  การ์ค�านวิณิห้าเส&นแร์งในอาคาร์ร์�ป็แป็ลก ๆ เพื้,�อให้&สามีาร์ถสร์&างอาคาร์เห้ล�าน�-น เป็�นวิ�ชาที่��จ�าเป็�นส�าห้ร์�บน�กวิ�ที่ย่าศาสตร์�แที่บที่#กแขนง

            ผู้�&ที่��เก�ดแนวิค�ดเร์,�องแคลค�ล�สก�อนผู้�&ใด  เมี,�อร์าวิ  ป็7  1667  เซอร์� ไอแสค  น�วิต�น  น�กฟิ:ส�กส�ชาวิอ�งกฤษ สนใจในเร์,�องคณิ�ตศาสตร์�ของการ์เคล,�อนที่��  ซ=�งมี�การ์เป็ล��ย่นแป็ลงตลอดเวิลา  กฎเกณิฑ์�ของการ์เป็ล��ย่นแป็ลงน�-เอง ที่�าให้&เป็�นที่��มีาของแคลค�ล�ส  ในเร์,�องของอ�นที่�กร์�ลและด�ฟิเฟิอเร์นเช�ย่ล ต�อมีาไมี�นานก>มี�น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิเย่อร์มี�นช,�อ กอตฟิร์�ค  ไลป็น�ช  ก>เก�ดแนวิต�ดในที่�านองเด�ย่วิก�น   ที่�-งสองคนเข�ย่นจดห้มีาย่แลกเป็ล��ย่นที่�ศนะ  และแนวิค�ดก�น  

             แคลค�ล�สเป็�นคณิ�ตศาสตร์�ที่��ถ,อก�าเน�ดข=-นในศตวิร์ร์ษที่�� 17   แต�ถ&าไล�ย่&อนไป็ในอด�ต ก>จะพื้บแนวิควิามีค�ดห้ร์,อเที่คน�คต�าง ๆที่��น�กคณิ�ตศาสตร์�สมี�ย่ก�อนห้น&าน�-นได&ช�วิย่ค�ดช�วิย่สร์&างมีาต�-งแต�สมี�ย่กร์�กโบร์าณิโน�น  ซ=�งมี�ร์าย่ละเอ�ย่ดมีาก   พื้อจะสร์#ป็ห้ล�ก ๆ ที่��ส�าค�ญ  ด�งน�-

                น�กคณิ�ตศาสตร์�สมี�ย่โบร์าณิห้ลาย่คน เช�น อาร์�ค�มี�ด�ส เคย่ค�ดวิ�ธิ�ห้าเส&นส�มีผู้�สร์�ป็ร์�างเกล�ย่วิห้อย่ โจที่ย่�ข&อน�-ส�าค�ญมีาก เพื้ร์าะน�าจะเป็�นโจที่ย่�เก��ย่วิก�บเส&นส�มีผู้�สห้ร์,อ ด�ฟิเฟิอเร์นเช�ย่ลแคลค�ล�ส เพื้�ย่งข&อเด�ย่วิในป็ร์ะวิ�ต�ศาสตร์�“ ” ส�วินที่��เห้ล,อ เช�น  การ์ค�านวินห้าพื้,-นที่��วิงกลมี ป็ร์�มีาตร์ และพื้,-นผู้�วิของที่ร์งกลมีได&อย่�างไร์

2

ซ=�งจากมี#มีมีองสมี�ย่น�-  เป็�นโจที่ย่�เก��ย่วิก�บผู้ลร์วิมี ห้ร์,อ อ�นที่�กร์�ลแคลค�ล�ส“ ” ที่�-งส�-น

               นอกจากน�- น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิกร์�ก   ได&ต�-งโจที่ย่�เก��ย่วิก�บ ล�มี�ต และค�าอน�นอ�กด&วิย่ แต�ที่��น�าจะส�าค�ญที่��ส#ดค,อ   เที่คน�คที่างคณิ�ตศาสตร์�ที่��เร์�ย่กวิ�า "วิ�ธิ�ใช&ที่�-งห้มีดของย่�โดซ�ส"   ซ=�งมี�ห้ล�กการ์ง�าย่  ๆวิ�า ถ&าต&องการ์ค�านวิณิห้าพื้,-นที่��ร์�ป็ที่ร์งป็ร์ะห้ลาดๆ ที่��สนใจก>แบ�งพื้,-นที่��ให้&เป็�นร์�ป็ง�าย่ ๆ  เช�น ร์�ป็ 3 เห้ล��ย่มี  4  เห้ล��ย่มี โดย่เร์��มีจากการ์ใช&ร์�ป็ง�าย่ ๆ ใส�ลงไป็ในพื้,-นที่��ที่��ต&องการ์ห้าและซอย่ย่�อย่ลงไป็เร์,�อย่  ๆ   ด�งน�-นผู้ลร์วิมีก>จะได&ใกล&เค�ย่งก�บพื้,-นที่��ที่��ต&องการ์

              น��ค,อเที่คน�คการ์อ�นที่�เกร์ตโดย่ใช&ภาพื้ของน�กคณิ�ตศาสตร์�กร์�กโบร์าณิน��นเอง  น�กคณิ�ตศาสตร์�ชาวิเอเช�ย่ก>มี�ผู้�&ค�ด"ป็ฐมีแคลค�ล�ส"ไวิ&ค,อคนจ�นก�บคนญ��ป็#@น น�กคณิ�ตศาสตร์�ญ��ป็#@นค�านวินห้าพื้,-นที่��วิงกลมี โดย่แบ�งเป็�นแถบ 4 เห้ล��ย่มีย่�อย่ ๆ

              จวิบจนถ=งคร์�ต�ศตวิร์ร์ษที่�� 14   จ=งมี�ค�าถามีป็ร์ะเภที่วิ�าวิ�ตถ#เคล,�อนที่��ด&วิย่อ�ตร์าเร์>วิไมี�คงที่��จะห้าร์ะย่ะที่างที่��วิ��งไป็ได&อย่�างไร์ แต�แคลค�ล�สสมี�ย่ให้มี�ต&องร์อเวิลานานกวิ�าจะถ,อก�าเน�ดข=-นได& เพื้ร์าะแคลค�ล�ส จ�าเป็�นต&องใช&แนวิค�ดจากคณิ�ตศาสตร์�สาขาอ,�นๆห้ลาย่วิ�ชาน�ามีาก�อน   เช�น  ฟิAงก�ช��น   พื้�ชคณิ�ตส�ญล�กษณิ�   และเร์ขาคณิ�ตวิ�เคร์าะห้�

              แนวิค�ดเร์,�องฟิAงก�ช�นน�-มีาส#กงอมีตอนที่��กาล�เลโอมีาศ=กษาเร์,�องการ์เคล,�อนที่��ส�วินสองเร์,�องห้ล�งค,อ พื้�ชคณิ�ตส�ญล�กษณิ�  และเร์ขาคณิ�ตวิ�เคร์าะห้�เป็�นฝี7มี,อของเดอคาร์�ตส�ย่อดน�กคณิ�ตศาสตร์�ที่��ค�ดแกนอ&างอ�งแบบคาร์�ที่�เช�ย่นให้&เร์าใช&ก�นจนถ=งเด�Cย่วิน�-น��เอง

ล�มิ�ติและควัามิติ�อเนื่��องของฟั�งก์�ชั�นื่

3

-ล�มิ�ติของฟั�งก์�ชั�นื่

    y  =  f(x)  ที่��มิ�โดเมินื่และเรนื่จ์�เป#นื่ส�บเซติของจ์&านื่วันื่จ์ร�ง  ขณะที่��  x   เข(าใก์ล(  จ์&านื่วันื่จ์ร�งใด ๆ  เพี�ยงจ์&านื่วันื่เด�ยวัเที่�านื่�-นื่   ควิามีห้มีาย่ของการ์ที่��  x   เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง  a  ใด ๆ     ด�งร์�ป็                              x     a      x 

 เมี,�อ x เข&าใกล& a  โดย่ที่��  x < a ห้มีาย่ควิามีวิ�า  x  เข&าใกล& a ที่างด&านซ&าย่  เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ�   x  a    ฟิAงก�ช�น f   ใด ๆ ที่��มี�โดเมีนและเร์นจ�เป็�นส�บเซตของเซตจ�านวินจร์�ง  เมี,�อ x  เข&าใกล& a  ที่างด&านซ&าย่ แล&วิ f(x) เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง

 เร์�ย่ก  วิ�า  ล�มี�ตซ&าย่ของ f  ที่��  a  เข�ย่นแที่นได&วิ�า    f(x)    =                                                                                                                                        

  เมี,�อ x เข&าใกล& a โดย่ที่�� x> a ห้มีาย่ควิามีวิ�า x เข&าใกล& a ที่างด&านขวิา  เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ�   x  a    ฟิAงก�ช�น f  ใด ๆ ที่��มี�โดเมีนและเร์นจ�เป็�นส�บเซตของเซตจ�านวินจร์�ง  เมี,�อ x  เข&าใกล& a  ที่างด&านขวิา แล&วิ  f(x) เข&าใกล&จ�านวินจร์�ง   

 เร์�ย่ก    วิ�า  ล�มี�ตซ&าย่ของ  f  ที่��  a   เข�ย่นแที่นได&วิ�า   f(x)  =                                                                                            

   เมิ��อ  x  เข(าใก์ล(  a  ไมิ�วั�าจ์ะที่างด(านื่ซ(ายหร�อด(านื่ขวัา  แล(วั       ค�าของ f(x)เข(าใก์ล(จ์&านื่วันื่จ์ร�ง L   เข�ยนื่แที่นื่ได(วั�า      f(x)  = L                             

4

ล�มิ�ติข(างเด�ยวั    (One - side  limit)          

พื้�จาร์ณิาจากร์�ป็              

            =     ..........(1)          

             =         ..........(2)

                        (1)      (2)       น��นค,อ

                      ด�งน�-น                ห้าค�าล�มี�ตไมี�ได&

          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

5

  พี�จ์ารณาจ์าก์ร�ป                                        

     =      

                         =  4 - 6         =     - 2  ...........(1)           

      =            

                       =   4 - 4         =     0   .............(2)

                           (1)      (2)       น��นค,อ

     ด�งน�-น                      ห้าค�าล�มี�ตไมี�ได&

                  ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

      พี�จ์ารณาจ์าก์ร�ป       

         =    

                            =    10 -  3    =   7    .....(1)           

          =       

                             =    2(3) + 1     =  7     .......(2)

                     (1)   =   (2)       น��นค,อ

             =        

 ด�งน�-น      =     7

ก์ารหาล�มิ�ติของฟั�งก์�ชั�นื่การ์ห้าค�าของล�มี�ตสามีาร์ถห้าได&ห้ลาย่วิ�ธิ�จะแนะน�า  3  วิ�ธิ�    ด�งน�-               

วั�ธี�ที่�� 1  โดย่การ์แที่นค�า x  โดย่ตร์งลงใน f(x) ของล�มี�ต  จะได&ค�าของล�มี�ตออกมีาเลย่          จ�ดเป็�นวิ�ธิ�ห้าค�าล�มี�ตที่��ง�าย่ที่��ส#ด  เมี,�อแที่นค�า  x  โดย่ตร์งในฟิAงก�ช�นของล�มี�ต  

          ค�าของล�มี�ตอย่��ในร์�ป็     ต&องใช&วิ�ธิ�ที่��  2  ห้ร์,อวิ�ธิ�ที่�� 3   ต�อไป็

วั�ธี�ที่�� 2  โดย่การ์แย่กต�วิป็ร์ะกอบของฟิAงก�ช�นเศษและฟิAงก�ช�นส�วิน (ถ&าแย่กต�วิป็ร์ะกอบได&)            ถ&าเศษและส�วินมี�ต�วิป็ร์ะกอบที่��เห้มี,อนก�น ให้&ต�ดที่อนก�นไป็  แล&วิจ=ง

7

แที่นค�า  x

          โดย่ตร์งตามีวิ�ธิ�ที่��  1  ก>จะได&ค�าของล�มี�ต                                 

วั�ธี�ที่� 3  โดย่การ์ส�งย่#ค (conjugate)  ให้&ห้าต�วิป็ร์ะกอบมีาค�ณิที่�-งเศษและส�วิน            เพื้,�อที่�าให้&ผู้ลห้าร์ง�าย่ข=-น  แล&วิจ=งแที่นค�า  x  ตามีวิ�ธิ�ที่�� 1 ก>จะได&ค�าของล�มี�ต

ติ�วัอย�าง  ก�าห้นดให้& f(x  =  2x  - 3  จงห้าค�าของ  (2x-3) 

            (2x-3)  =  (4-3)  =  1   

ติ�วัอย�าง  ก�าห้นด f(x) =      จงห้าค�าของ     f(x)         

 f(x)     =      [ ]  

                    =       ( x  + 3 )      =     3 + 3    =   6    

ติ�วัอย�าง จงห้าค�าของล�มี�ต  h(x) เมี,�อ h(x) =                 

  แที่นค�า x = 0  จะได&  h(x)  =      =     ให้&ใช&วิ�ธิ�ที่��   3  ให้มี�

     =         

                                 =         

                                 = 

8

                                 = 

                                 =                    

ควัามิติ�อเนื่��องของฟั�งก์�ชั�นื่ที่��   x  =  a   หร�อไมิ�   ?

นื่�ยามิ   เราจ์ะเร�ยก์ฟั�งก์�ชั�นื่  f  วั�ามิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่��  a  ก์1ติ�อเมิ��อเง��อนื่ไขที่�-งสามิ                  ข(อนื่�-ติ(องเป#นื่จ์ร�ง

                   1)       f(a)     หาค�าได(

                   2)         f(x)      สามิารถหาค�าได(    และ

                   3)          f(x)     =        f(a)

 ถ(าฟั�งก์�ชั�นื่  f ขาดค3ณสมิบ�ติ�ข(อใดข(อหนื่4�ง (หร�อหลายข(อ) ในื่สามิข(อด�งก์ล�าวัแล(วั  จ์ะก์ล�าวัได(วั�า   "  f   ไมิ�มิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่��    a  "

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .  

ก์ารติรวัจ์สอบวั�าฟั�งก์�ชั�นื่  f  เป#นื่ฟั�งก์�ชั�นื่ติ�อเนื่��องหร�อไมิ�ติ�อเนื่��องที่��  x =  a มิ�  3  ข�-นื่ติอนื่  ด�งนื่�-ข�-นื่ติอนื่ที่��   1      ตร์วิจสอบ      f(a)

 f(a)  ห้าค�าไมี�ได&  สร์#ป็ได&เลย่วิ�า  ฟิAงก�ช�น f   ไมี�ต�อเน,�องที่��  x  =  a   

 f(a)  ห้าค�าได&  ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&   จะต&องที่�าข�-นตอนที่�� 2   ต�อข�-นื่ติอนื่ที่��   2      ตร์วิจสอบ         f(x)

9

     f(x)   ห้าค�าไมี�ได&  สร์#ป็ได&เลย่วิ�า   ฟิAงก�ช�น f  ไมี�ต�อเน,�องที่��  x  =  a

    f(x)  ห้ าค�าได&   ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&   จะต&องที่�าข�-นตอนที่��   3   ต�อข�-นื่ติอนื่ที่��   3   ตร์วิจสอบ       f(x)   =   f(a)      ห้ร์,อไมี�  ถ&า    f(x)     f(a)  สร์#ป็ได&เลย่วิ�า  ฟิAงก�ช�น f  ไมี�ต�อเน,�องที่��  x  = a     ถ&า    f(x)  =  f(a)   สร์#ป็ได&เลย่วิ�า   ฟิAงก�ช�น f   ต�อเน,�องที่��  x  = a   

 ข(อส�งเก์ติ   ถ&าฟิAงก�ช�น  f ต�อเน,�องที่��  x  = a  แล&วิ  f(a)  =   f(x)  =  f(x)

 ถ&าฟิAงก�ช�น f ไมี�ต�อเน,�องที่��  x  = a   แล&วิ  f(a)    f(x)    f(x)

ติ�วัอย�าง    จงพื้�จาร์ณิาฟิAงก�ช�น   f(x)   เป็�นฟิAงก�ช�นต�อเน,�องที่��  x  =  2

ห้ร์,อไมี�

              f(x)      =                เมี,�อ     x    2                                     

         f(x)      =        2               เมี,�อ     x   =  2

      ข�-นตอนที่��   1      ตร์วิจสอบ      f(2)

         f(2)  =   2   ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&       จะต&องที่�าข�-นตอนที่��   2   ต�อ

      ข�-นตอนที่��   2      ตร์วิจสอบ                     =  4   ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&  จะต&องที่�าข�-นตอนที่��   3   ต�อ

10

      ข�-นตอนที่��   3   ตร์วิจสอบ        =      f(2)      ห้ร์,อไมี�                  f(2)    สร์#ป็ได&เลย่วิ�า  ฟิAงก�ช�น f (x) ไมี�ควิามีต�อเน,�องที่��   2       

ติ�วัอย�าง    จงพื้�จาร์ณิาฟิAงก�ช�น   f(x)   เป็�นฟิAงก�ช�นต�อเน,�องที่��  x  =  10

ห้ร์,อไมี�

              f(x)   =   x               ถ&า      0    x    10

         f(x)   =  10  +  0.9 ( x - 10 )  =   0.9 x  +  1  ถ&า 10  < x    

       ข�-นื่ติอนื่ที่��   1      ตร์วิจสอบ      f(10)

          f(10)    =   10  ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&   จะต&องที่�าข�-นตอนที่��   2   ต�อ

      ข�-นื่ติอนื่ที่��   2      ตร์วิจสอบ                      =         =   10

             =      =     10   

            =       

         ด�งน�-น      = 10     ย่�งสร์#ป็ไมี�ได&   จะต&องที่�าข�-นตอนที่��   3   

ต�อ

      ข�-นื่ติอนื่ที่��   3    ตร์วิจสอบ      =      f(10)      ห้ร์,อไมี�            =      f(10)      =   10         

         สร3ปได(เลยวั�า     ฟั�งก์�ชั�นื่   f (x)    มิ�ควัามิติ�อเนื่��องที่��   10 

11

ก์ารหาอนื่3พี�นื่ธี�ของ�ฟั�งก์�ชั�นื่พี�ชัคณ�ติ (Differentiation   Algebraic

Function)

ฟั�งก์�ชั�นื่พี�ชัคณ�ติ      (Algebraic   Function)   

ห้มีาย่ถ=งฟิAงก�ช�นล�กษณิะ

 y   =    

   เมี,�อ  n  เป็�นจ�านวินจร์�ง                   

ก์ฎข(อที่��  1  เมี,�อ   y =   c   เมี,�อ c   เป็�นต�วิคงที่��    จะได&วิ�า         = 0        

ก์ฎข(อที่��  2   เมี,�อ   y  =  x  จะได&วิ�า            

ก์ฎข(อที่��  3   เมี,�อ  y  =  c f (x)  และ c  เป็�นต�วิคงที่��  จะได&วิ�า  

ก์ฎข(อที่��  4   เมี,�อ u,v,w เป็�นฟิAงก�ช�นของ x

               จะได&วิ�า   

ก์ฎข(อที่��  5   เมี,�อ y  เป็�นฟิAงก�ช�นของ     เมี,�อ n เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ

                จะได&วิ�า   =

ก์ฎข(อที่�� 6   อน#พื้�นธิ�ของผู้ลค�ณิของฟิAงก�ช�น               ถ&า  y = f (x)   g(x)     เมี,�อ f (x)  และ  g(x)  เป็�นฟิAงก�ช�น

12

ที่��สามีาร์ถห้า  

              f '(x)  และ g '(x) ได&   แล&วิ     =   f (x) g '(x) + f '(x)   g(x)

ก์ฎข(อที่�� 7   อน#พื้�นธิ�ของผู้ลห้าร์ของฟิAงก�ช�น

              ถ&า y =   โดย่ที่��  f(x)  และ g(x)  เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า

              f '(x)  และ   g '(x)   ได&   และ    g(x)       0    แล&วิ   

                   =  

ก์ฎข(อที่��   8     กฎล�กโซ�  (chain   rule )     

                  ถ&า   y   =    f    เมี,�อ   n   เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ  และ                    f(x)   เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า    f '(x)    ได&   แล&วิ   

                      =     n     f '(x)  

ติ�วัอย�างก์ารนื่&าก์ฎด�งก์ล�าวัไปใชั(หาอนื่3พี�นื่ธี�ฟั�งก์�ชั�นื่

1)  ก�าห้นดให้&               y    =      8        

               จะได&           =      0      

2)  ก�าห้นดให้&      y  =   5x       

       จะได&          =        =    5       =    5      

3)  ก�าห้นดให้&      y  =            

         จะได&          =          =    8        

13

4)  ก�าห้นดให้&      y   =          

        จะได&            =          

                           =         =       

                           =     

5)  ก�าห้นดให้&   y = 3  - 2 + 6x -19    จงห้า               

       =         -        +       -    

        =            -          +         -    0

        =     3 (3 )   -  2 ( 2x )   +   6  

        =    9    -   4 x  +  6

6)    ถ&าก�าห้นด     y   =   (x+3) (2x -3)     จงห้า    

      y      =    (x+3) (2x -3)  

         =     f (x)   g '(x)   +   f '(x)     g(x)

             =     (x+3) (2)  +   1 (2x - 3)

             =    2x + 6 + 2x  -  3         =    4x  +  3

7)    ถ&า   y   =       จงห้า     

 ก�าห้นดให้&   y =      โดย่ที่�� f (x)=  +  5   และ  g(x) =

14

ด�งน�-น      f ' (x)    =   3       และ    g '(x)    =    

        =    

             =      

             =        

             =         

8)       ถ&า   y   =       จงห้า     

ก�าห้นดให้&                  y   =       เมี,�อ     f (x)  =        +  5    

 เพื้ร์าะฉะน�-น        f ' (x)    =   2x

                    =     3         f ' (x)   

                         =     3      f ' (x)  

                         =      6 x    

15

ก์ารหาค�าอนื่3พี�นื่ธี�ของฟั�งก์�ชั�นื่ที่��อย��ในื่ร�ปค�าส�มิบ�รณ�

พื้,-นฐานที่��ผู้�&เร์�ย่นควิร์มี�1.  การ์เข�ย่นกร์าฟิของค�าส�มีบ�ร์ณิ�2.  วิ�ธิ�ป็ลดค�าส�มีบ�ร์ณิ�   โดย่ใช&ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�

     กร์ณิ�แร์ก                      =               เมี,�อ                0     กร์ณิ�สอง                      =      -        เมี,�อ             <   0

   ติ�วัอย�าง     ก�าห้นดให้&       y    =           จงห้า                        

                  จากที่��ก�าห้นดให้&  พื้บวิ�า          >    0        แน� ๆ

      ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�          =            เมี,�อ       >   0

                 จะได&        y     =            =        

                 ด�งน�-น              =           =    2 x

วิ�เคร์าะห้�กร์าฟิของ     y    =          

16

จากร์�ป็  จะเห้>นได&วิ�าไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี  แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า       ได&ที่#กค�าของ  x

  ติ�วัอย�าง     ก�าห้นดให้&       y    =           จงห้า                        

                  จากที่��ก�าห้นดให้&  พื้บวิ�า     (  )   >    0        

                                   แสดงวิ�า     -  (  )    <    0        

      ควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�          =    -          เมี,�อ       <   0

             y     =          =   - [ - (  ) ]    =   

      ด�งน�-น              =           =    2 x

วิ�เคร์าะห้�กร์าฟิของ       y    =      

จากร์�ป็  จะเห้>นได&วิ�าไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี  แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า       ได&ที่#กค�าของ  x

 ติ�วัอย�าง       ก�าห้นดให้&      f(x)    =          จงห้าค�าของ                        

17

        จากควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�

         กร์ณิ�แร์ก             =          เมี,�อ              0

        กร์ณิ�สอง             =   -        เมี,�อ          <   0

   จะได&  กร์ณิ�ที่��ห้น=�ง    f(x)  =        =        เมี,�อ   x   0                                    

            กร์ณิ�ที่��สอง   f(x)  =        =  -      เมี,�อ   x  <   0   

 ก์รณ�ที่��หนื่4�ง      =         =    2 x    =  2(x)    เมี,�อ  x   0        

 ก์รณ�ที่��สอง       =     =  - 2 x   =  2 (- x)  เมี,�อ  x  < 0        

 จากกร์ณิ�ที่�-ง 2  กร์ณิ�   จะได&         =     

 พื้�จาร์ณิาจากกร์าฟิ         f(x)    =      

จะเห้>นวิ�า  เส&นกร์าฟิไมี�เก�ดการ์ห้�กมี#มี   แสดงวิ�าสามีาร์ถห้า       ได&ที่#กค�าของ    x

18

 ติ�วัอย�าง      ก�าห้นดให้&    y   =    f(x)    =           จงห้าค�าของ    

จากควิามีจร์�งของค�าส�มีบ�ร์ณิ�

   กร์ณิ�แร์ก                 =               เมี,�อ          0

    กร์ณิ�สอง                =      -        เมี,�อ      <   0       

จะได&  กร์ณิ�แร์ก   y  =  f(x) =       =     - 4   เมี,�อ  -  4    0

      กร์ณิ�สอง   y  =  f(x)  =       =   4 -      เมี,�อ  -  4 <  0

แสดงวั�า     

   กร์ณิ�แร์ก        =       =  2 x  

          เมี,�อ   x         จร์�งห้ร์,อไมี�

  กร์ณิ�สอง       =      =  - 2 x    เมี,�อ   x    

พื้�จาร์ณิาจากกร์าฟิ    y   =    f(x)    =           เป็�นด�งน�-

 จากกร์าฟิ  จะเห้>นได&วิ�าเก�ดการ์ห้�กมี#มีที่��    x  =  -2     และ    x  =   2   

19

แสดงวิ�า             และ          ห้าค�าไมี�ได&

ด�งน�-น            =            เมี,�อ    x      2

สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-

ถ&า   y  =     แล&วิ     =  g' (x)    เมี,�อ  g(x)    0

ถ&า  y  =      แล&วิ    =      เมี,�อ  x       2

 ด�งน�-น     =                     เมี,�อ      x           2

ติ�วัอย�าง      ก�าห้นดให้&    y   =    f(x)    =           จงห้าค�าของ    

สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-

ถ&า   y  =     แล&วิ     =   g' (x)    เมี,�อ    g(x)      0

ถ&า  y  =     แล&วิ   =        เมี,�อ    5x - 7      0 

 ด�งน�-น       =                            เมี,�อ      x         

 ติ�วัอย�าง      ก�าห้นดให้&    y   =    f(x)    =           จงห้าค�าของ       

20

สามีาร์ถค�ดล�ดได&ด�งน�-

ถ&า   y  =     แล&วิ      =   g' (x)     เมี,�อ  g(x)    0

ถ&า   y  =      แล&วิ     =     =     เมี,�อ  x    0 

 ด�งน�-น        =         เมี,�อ   x       0    ห้ร์,อเข�ย่นได&วิ�า    3 x

ก์ฎล�ก์โซ� (Chain rule) ก์�บอนื่3พี�นื่ธี�ของ ฟั�งก์�ชั�นื่คอมิโพีส�ที่

กฎล�กโซ�   ค,อกฏที่��ใช&ในการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ"ฟิAงก�ช�นคอมีโพื้ส�ที่"  

   ถ&า     y   =        =     g(f(x))       แล&วิ

          =      

        ก์ารปร�บส�ติรใหมิ�ให(ด�ง�าย      

  ถ&าให้&       u   =   f(x)    แล&วิ                    y    =        =     g(f(x))      =    g(u)

21

   จาก         =    

   จะได&       =     

 จาก        u     =   f(x)       แล&วิ       y    =        g(u)

  ด�งน�-น        =        

ก์ารปร�บส�ติรใหมิ�ให(ด�ง�าย อ�ก์ร�ปแบบหนื่4�ง

 ถ&า   y   =    f    เมี,�อ   n   เป็�นจ�านวินตร์ร์ภย่ะ  และ      f(x)   เป็�นฟิAงก�ช�นที่��สามีาร์ถห้า    f '(x)    ได&   แล&วิ   

                       =     n     f '(x)

ติ�วัอย�าง       ถ&า   y   =       จงห้า     

ก�าห้นดให้&     y     =       เมี,�อ     f (x)  =        +  5    

    เพื้ร์าะฉะน�-น        f ' (x)    =   2x

         =     3         f ' (x)   

              =     3      f ' (x)  

              =      6 x    

22

อนื่3พี�นื่ธี�ในื่ที่างเรขาคณ�ติควัามิชั�นื่และเส(นื่ส�มิผั�สของเส(นื่โค(ง

ก�าห้นดให้&   y  =  f(x)  เป็�นสมีการ์ของเส&นโค&งใด ๆ  เส&นส�มีผู้�สโค&ง   y  = f(x) ที่��จ#ด    ใด ๆ  ค,อ  เส&นตร์งที่��ผู้�านจ#ด

  และมี�ควิามีช�นเที่�าก�บ  f '(x)  ห้ร์,อ    |  x =  

ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเส&นโค&งที่��จ#ด ใด ๆ ห้มีาย่ถ=งควิามีช�นของเส&นโค&ง ที่��จ#ดน�-น ๆ 

 พี�-นื่ฐานื่ควัามิร�(ของผั�(เร�ยนื่

1.   ควิามีช�นของเส&นตร์ง  (m)  ที่��ผู้�านจ#ด      และ   

           จะได&         m     =             =     

2.   ให้&เส&นตร์ง   และ     มี�ควิามีช�นเป็�น    และ      ตามีล�าด�บ      เส&นตร์ง     จะขนานก�บเส&นตร์ง     ก>ต�อเมี,�อ          =      

      เส&นตร์ง   จะต�-งฉากก�บเส&นตร์ง      ก>ต�อเมี,�อ        =  -1

23

3.  สมีการ์เส&นตร์งที่��วิไป็  y -  = m   เมี,�อผู้�านจ#ด  และมี�ควิามีช�น  m 

ก์ารหาสมิก์ารของเส(นื่ส�มิผั�สเส(นื่โค(ง   และสมิก์ารของเส(นื่ติรงที่��ติ�-งฉาก์ก์�บเส(นื่ส�มิผั�ส

ติ�วัอย�าง จงห้าจ#ดบนเส&นโค&ง  y =     ที่��มี�ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเที่�าก�บ  1

                        y       =      

จะได&                    =   2x  - 3       

ห้าค�า    x     ที่��ที่�าให้&          =     1    

 จะได&            2 x   -  3       =       1

                              x      =        2

น�าค�า  x  แที่นใน  y  จะได&  y    =      -  3(2)   -   4

                              y     =      - 6

ด�งน�-น   จ#ดบนเส&นโค&ง    y   =     

  ที่��มี�ควิามีช�นของเส&นส�มีผู้�สเที่�าก�บ   1   ค,อ   ( 2 , - 6) 

ติ�วัอย�าง  ก�าห้นดให้&เส&นตร์ง  L   มี�ควิามีช�น 2   และส�มีผู้�สเส&นโค&ง  y  =

 +2  แล&วิ

          จงห้าสมีการ์เส&นตร์ง    L

24

 จากที่��ก�าห้นด     y      =       +  2

                         =     2 x  

 เส&นตร์ง    L    มี�ควิามีช�น    2     และส�มีผู้�สเส&นโค&ง    y   =     +  2

       จะได&               =    2

                      2 x      =     2

                         x      =      1

   น�าค�า    x   แที่นใน   y      จะได&      y    =     +  2

                                               y    =     3

   จะได&   จ#ด ( 1 , 3 )   เป็�นจ#ดส�มีผู้�ส      

ด�งน�-น   สมีการ์เส&นตร์ง L ค,อ (y -3 ) =  2( x -1 )  ห้ร์,อ  y =   2 x + 1

อนื่3พี�นื่ธี�แบบอ�มิปล�ส�ติ     (Implicit Differentiation)

การ์ห้าอน#พื้�นธิ�แบบอ�มีป็ล�ส�ตเป็�นวิ�ธิ�ห้น=�งที่��ใช&การ์ห้าอน#พื้�นธิ�           จากสมีการ์ที่��อย่��ในร์�ป็    f(x,y)  =  0

โดย่ที่��   f ( x , y )  เป็�นน�พื้จน�ของต�วิแป็ร์   x    และ   y  

 ซ=�งสมีการ์น�-ในบางคร์�-งเป็�นการ์ย่ากที่��จะเข�ย่นให้&อย่��ในร์�ป็   y  =  g(x)  ได&  

25

 ด�งน�-นจ=งเก�ดการ์ห้าอน#พื้�นธิ�แบบอ�มีป็ล�ส�ตข=-น

 ห้ล�กในการ์ห้า       จากสมีการ์   f (x,y)  = 0  แบบอ�มีป็ล�ส�ตน�-นมี�อย่��วิ�า

จะต&องถ,อวิ�าต�วิแป็ร์ y   ในสมีการ์น�-ที่#กต�วิก>เป็�นฟิ7งก�ช�นของ    x    

ด�งน�-น  การ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของพื้จน�ที่��มี�ต�วิแป็ร์  y  จะต&องใช&กฎล�กโซ�   ค,อ

 จะต&องค�ณิผู้ลล�พื้ธิ�   จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ด&วิย่    เสมีอ   ด�งต�วิอย่�าง          ด�งน�-   

 ติ�วัอย�าง      จงห้า        จากสมีการ์          =    0   

วิ�ธิ�ที่�า                                      =    0   

    จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ    y    เที่�ย่บก�บต�วิแป็ร์    x     จะได&วิ�า

          2 x   +   2 y   -  0  =     0

                         2 y        =    -  2 x

 เพื้ร์าะฉะน�-น                        =       =     

ติ�วัอย�าง    จากสมีการ์     =    0     จงห้า   

วั�ธี�ที่&า                         =    0  

จากการ์ห้าอน#พื้�นธิ�ของ    y    เที่�ย่บก�บ    x     จะได&วิ�า

  2 x   +  2 y   -  2  +  2    +   0   =      0

26

              2 y     +     2               =      2   -   2 x

                            (  2 y  +  2 )         =       2   -   2 x

                                                        =                

                                                             =         

ติ�วัอย�าง  สมีการ์     =  0  จงห้า   เมี,�อ x =

                     =      0       

     8 x  +   18 y   -  0     =      0

                                       =      =   

                ถ&า    x   =         แล&วิ   y     =     

ที่��จ#ด  (  , )  จะได&วิ�า     =     =   

ที่��จ#ด  ( , )จะได&วิ�า  =        =   

อนื่3พี�นื่ธี�อ�นื่ด�บส�ง

27

ก�าห้นดให้&     y   =  f(x)     และ     f ' (x)     เป็�นอน#พื้�นธิ�ของ   f(x)   ที่��  x  ใด ๆ ซ=�งสามีาร์ถห้าอน#พื้�นธิ�ได&จะเร์�ย่กอน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�ของ f(x)  ที่��  x ใด ๆ วิ�า                      อน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��  2  ของ f(x)  ที่��  x  ใด ๆ

เข�ย่นแที่นด&วิย่ส�ญล�กษณิ�    f ' ' (x)   ห้ร์,อ            ในที่�านองเด�ย่วิก�น

อน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��  3  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ วิ�าเป็�น                       อน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��  2  ของ  f(x)  ที่��  x  ใด ๆ . . .  

  สร3ปได(วั�า   อน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��  n  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ                        เป็�นอน#พื้�นธิ�ของอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   n - 1   ด�งน�-

 f ' (x)    =          แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   1  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ

f '' (x)    =          แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   2  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ

f ''' (x)    =          แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   2  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ

 f '''' (x)  =          แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   2  ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ

.  .  .

   =          แที่นอน#พื้�นธิ�อ�นด�บที่��   n   ของ   f(x)  ที่��  x  ใด ๆ 

 ติ�วัอย�าง  จงห้าอน#พื้�นธิ�ที่�-งห้มีดของฟิAงก�ช�น  f  ซ=�ง  f(x)  =

28

                 f ' (x)        =      

                f ' ' (x)        =      

                  f ' ' '(x)      =      192 x   +   30

                         =      192

                          =        0

                         =        0       เมี,�อ  n  5

บที่ประย3ก์ติ�อนื่3พี�นื่ธี�ของฟั�งก์�ชั�นื่    ติอนื่  1     

1)  ค�าส�งส#ดและต��าส#ดของฟิAงก�ช�น  (Maximum and minimum values  of   function)

นื่�ยามิ  ฟิAงก�ช�น f  มี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� ณิ  ที่��  x = c  

        ถ&าในช�วิงเป็:ดมี�ค�า c ที่��ที่�าให้&  f(c)  f(x)  ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ  ค�า   x   ในช�วิงเป็:ดน�-

                         ถ&า  f '(x) >0   เมี,�อ x  น&อย่กวิ�า c เล>กน&อย่แต�   f '(x) < 0  เมี,�อ x  มีากกวิ�า c เล>กน&อย่    แล&วิฟิAงก�ช�น f มี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  ที่�� x  =  c   และค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�เที่�าก�บ f(c) 

29

นื่�ยามิ    ฟิAงก�ช�น f  มี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�   ณิ   ที่��     x   =   c

 ถ&าในช�วิงเป็:ดมี�ค�า c ที่��ที่�าให้&  f(c)  f(x)  ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ  ค�า x   ในช�วิงเป็:ดน�-      

                    ถ&า f '(x)<0  เมี,�อ x  น&อย่กวิ�า c เล>กน&อย่ แต� f '(x)> 0

เมี,�อ x มีากกวิ�า c เล>กน&อย่ แล&วิฟิAงก�ช�น f  มี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่�� x = c   และค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�เที่�าก�บ f(c) 

นื่�ยามิ    ถ&า  c   เป็�นจ�านวินในโดเมีนของฟิAงก�ช�น   f    และถ&า   f ' (c)   = 0                                                             ห้ร์,อ   f ' (c)   ห้าค�าไมี�ได& จะเร์�ย่ก c  วิ�าเป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น  f  และจ#ด   (c , f(c) )

               บนกร์าฟิของ   f   ถ�กเร์�ย่กวิ�า   จ#ดวิ�กฤตของกร์าฟิของ   f     เมี,�อที่ร์าบวิ�า  f ' (c)  = 0   แสดงวิ�า  c  เป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น  ให้&ร์ะวิ�งด�งน�-

1.   c   อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�  

30

 ถ&ากร์าฟิเป็�นร์�ป็ควิ��าลง แล&วิ f '' (x) < 0   แสดงวิ�า  f ''(c) < 0   ด&วิย่  

2.   c  อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าติ&�าส3ดส�มิพี�ที่ธี�  

 ถ&ากร์าฟิเป็�นร์�ป็ห้งาย่ข=-น  แล&วิ f '' (x) >  0 แสดงวิ�า  f ''(c) > 0  ด&วิย่

  3.  c  อาจ์เป#นื่ค�าวั�ก์ฤติที่��ไมิ�ได(ที่&าให(ฟั�งก์�ชั�นื่มิ�ค�าส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�หร�อค�าติ&�าส3ดส�มิพี�ที่ธี�    เช�น         

    ติ�วัอย�าง ก�าห้นดให้&  f(x)  =   อย่ากที่ร์าบวิ�าฟิAงก�ช�นมี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่��ใด  และมี�ค�าเที่�าใด  

31

                 f (x)      =                        f '(x)     =    

   ให้&        =    0    จะได&ค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น   x  =  

  ติรวัจ์สอบจ์3ดติ&�าส3ดและจ์3ดส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�       

             f ' '(x)  =      =    -12 x

   น�าค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น    x =      แที่นค�าใน     f ' '(x)    

 จะได&     f ' '(   )    =       <    0

และ   f ' '(     )    =       >    0    

     แสดงวิ�าที่��   x   =         จะเป็�นจ#ดส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�

  ด�งน�-นฟิAงก�ช�นมี�ค�า ส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ที่��    x    =       

 ฟิAงก�ช�นมี�ค�า ส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�      =      f ( )

                                  =         =     

ติ�วัอย�าง  ก�าห้นดให้&  f(x)  =     แล&วิ อย่ากที่ร์าบวิ�าที่��จ#ด  x  = 2             จะที่�าให้&ฟิAงก�ช�นมี�ค�าเที่�าไร์

32

               จาก         f(x)      =                                           f ' (x)     =     

 แที่นค�า   x    =   2     ใน   f ' (x)    

        จะได&      f ' (2)     =           =   0

              แสดงวิ�า     x    =   2     เป็�นค�าวิ�กฤตของฟิAงก�ช�น

  ติรวัจ์สอบจ์3ดติ&�าส3ดและจ์3ดส�งส3ดส�มิพี�ที่ธี�        f ' ' (x)       =         แที่นค�า   x    =   2   ใน   f ' ' (x)    

                 f ' ' (2)     =      =    48    มี�ค�ามีากกวิ�า    0           แสดงวิ�าที่��     x    =   2     จะเป็�นจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�

 ฟิAงก�ช�นมี�ค�า ต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ� =  f(2)  =  =  -15                                            

ค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ�และค�าติ&�าส3ดส�มิบ�รณ�

นื่�ยามิ    ฟิAงก�ช�น   f    มี�ค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�บนช�วิงห้น=�งช�วิงใด   ถ&ามี�จ�านวิน   c   ที่��อย่��ในช�วิงน�-นซ=�ง  f(c)    f(x)   ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ ค�า x  ในช�วิงน�-น   กร์ณิ�เช�นน�-    f(c)   เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ   f    บนช�วิงน�-น

นื่�ยามิ    ฟิAงก�ช�น   f    มี�ค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�บนช�วิงห้น=�งช�วิงใด   ถ&ามี�จ�านวิน   c   ที่��อย่��ในช�วิงน�-นซ=�ง  f(c)    f(x)  ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ  ค�า x  ในช�วิงน�-น  กร์ณิ�เช�นน�-    f(c)   เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ   f    บนช�วิงน�-น

นื่�ยามิ     f(c)   เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ ฟิAงก�ช�น   f    ถ&า  c  อย่��ในโดเมีนของ   f

33

  และถ&า   f(c)    f(x)   ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ  ค�า   x   ในโดเมีนของ   f  นื่�ยามิ     f(c)   เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของ ฟิAงก�ช�น   f    ถ&า  c  อย่��ในโดเมีนของ   f   และถ&า   f (c)    f(x)   ส�าห้ร์�บที่#ก ๆ  ค�า   x   ในโดเมีนของ   f

 ค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ�ค�อ  ค�าส�งส3ดจ์ร�ง ๆ              ค�าติ&�าส3ดส�มิบ�รณ�ค�อ  ค�าติ&�าส3ดจ์ร�ง ๆ

ห้ล�กส�ตร์มี�ธิย่มีศ=กษาตอนป็ลาย่  ค�าส�งส#ดมี�กจะเป็�นค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  และค�าต��าส#ดมี�กจะเป็�นค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�

ก์ารก์&าหนื่ดค�าส�งส3ดส�มิบ�รณ� และค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�ของฟิAงก�ช�นต�อเน,�อง f

ช�วิงป็:ด [a,b]   

        มี�ข� -นตอนด�งน�-        1.   ห้าค�าของฟิAงก�ช�นที่��จ#ดวิ�กฤตของ   f   บนช�วิงป็:ด    [a , b]

        2.   ห้าค�า   f(a)   และ    f(b)

        3.   ค�ามีากที่��ส#ดจากข&อที่��  1  และข&อที่��  2  เป็�นค�าส�งส#ดส�มีบ�ร์ณิ�              ค�าน&อย่ที่��ส#ดจากข&อที่��  1  และข&อที่��  2  เป็�นค�าต��าส#ดส�มีบ�ร์ณิ�

บที่ประย3ก์ติ�ค�าส�งส3ดและค�าติ&�าส3ดหล�ก์ก์ารพี�จ์ารณาหาค�าติ&�าส3ดและค�าส�งส3ด

1.  อ�านโจที่ย่�ให้&ละเอ�ย่ด   ค&นห้าป็ร์�มีาณิที่��โจที่ย่�ถามีห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ด      แล&วิสมีมี#ต�ให้&เป็�น   y   เป็�นต�วิป็ร์�มีาณิที่��โจที่ย่�ถามีห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ด

2.   สมีมี#ต�ให้&  x เป็�นต�วิเป็ล��ย่นต&นที่��แที่นป็ร์�มีาณิที่��ที่�าให้&  y  เป็ล��ย่นแป็ลง

34

3.  ให้&สถานการ์ณิ�ได&วิ�า    y   =   f(x)

4.  ด�าเน�นการ์ตามีข�-นตอนในการ์ห้าค�าต��าส#ดห้ร์,อค�าส�งส#ดของฟิAงก�ช�น   

     4.1 การ์ห้าค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  และค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�โดย่ใช&   และ  เข&าช�วิย่

               -  ห้า       

              -   ให้&        =   0    แก&สมีการ์                    ห้าค�า  x  สมีมี#ต�ให้&   x   =  c  "ค�าวิ�กฤต"   ตร์วิจสอบต�อด�งน�-   

    ถ&า     /  x  =  c   <   0   (c, f(c) )  

    เป็�นจ#ดส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�และฟิAงก�ช�นมี�ค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  =   f (c)

    ถ&า     /  x  =  c   >  0  (c, f(c) )  

    เป็�นจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�และฟิAงก�ช�นมี�ค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  =   f (c)

 4.2   ห้าค�าส�งส#ดส�มีพื้�ที่ธิและจ#ดต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�  โดย่ใช&กร์าฟิ

ติ�วัอย�าง  สนามีร์�ป็ส��เห้ล��ย่มีผู้,นผู้&าซ=�งมี�พื้,-นที่��  2700  ตาร์างเมีตร์   ต&องการ์ล&อมีร์�-วิโดย่ร์อบและ ร์� -วิแบ�งคร์=�งสนามี    ซ=�งร์� -วิส�าห้ร์�บแบ�งคร์=�งสนามีร์าคาเมีตร์ละ 80   บาที่ ส�วินร์�-วิโดย่ร์อบ สนามีร์าคาเมีตร์ละ 120 บาที่ จงห้าขนาดของสนามีซ=�งจะ

35

เส�ย่ค�าร์� -วิน&อย่ที่��ส#ด

 วิ�ธิ�ที่�า   ให้&สนามีย่าวิ   x  เมีตร์          และกวิ&าง    y   เมีตร์         ให้&ค�าที่�าร์� -วิที่�-งห้มีดเป็�น     f(x)

 ด�งน�-น     f(x)    =    120 ( 2 x + 2 y )  +   80  y                           =     240 x  +  320 y   แต�พื้,-นที่��สนามีที่�-งห้มีดเที่�าก�บ    2700    ตาร์างเมีตร์   เพื้ร์าะฉะน�-น           x y       =         2700

                             y       =         

  น��นค,อ                   f(x)    =        240 x  +  320  

     x  ต&องอย่��ในช�วิง  ( 0 ,  + )    และ  f ต�อเน,�องตลอดช�วิงน�-

        f '(x)      =        240   -   

   ให้&    f '(x)     =           0       

    240   -        =           0

           =           0

                                =          3600

                      x          =         60

ด�งน�-น  60   เป็�นค�าวิ�กฤตของ  f  ใช&อน#พื้�นธิ�อ�นด�บ  2   ที่ดสอบวิ�า    f(60)     เป็�นค�าต��าส#ดห้ร์,อไมี�

   f '' (x)   =         ซ=�งมี�ค�ามีากกวิ�า      0

36

แสดงวิ�า  f(60)

 เป็�นค�าต��าส#ดส�มีพื้�ที่ธิ�ของ  f ซ=�งมี�เพื้�ย่งค�าเด�ย่วิใน  (0, )

เพื้ร์าะวิ�าสนามีมี�พื้,-นที่��เที่�าก�บ   x y    =    2700   

                           ถ&า    x   =   60     จะได&    y    =    45

 ด�งน�-นสนามีจะต&องกวิ&าง 45  เมีตร์ ย่าวิ 60  เมีตร์  จ=งจะเส�ย่ค�าร์� -วิน&อย่ที่��ส#ด