דף נוסחאות הסתברות

מרחב מדגם סימטרי

A כל אחד מתקבל בסיכוי , הסתברות שווה לכל אברי המרחב-

Ω

𝑃 𝐴: עבור מאורעות זרים בלבד- ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

קומבינטוריקה

:בחירה עם החזרה עם חשיבות לסדר

𝑛k עבור קבוצה A בגודל n

מספר הפונקציות .A ,2 של אברי kסדרות באורך ' מס.1: דוגמאות

תאים ללא הגבלת מקום n- לשונים כדורים k חלוקת .A ,3 ל{k..1}-מ

בתאים

:בחירה בלי החזרה עם חשיבות לסדר

𝑛 !

n−k != 𝑛 𝑛 − 1 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)

. A- ללא חזרות של איברים מkסדרות באורך ' מס.1 :דוגמאות

n- כדורים שונים לk חלוקת .A 3- ל{k…1}פונקציות חחע מ' מס.2 .מקום אחד בלבדתאים כך שבכל תא

n :בחירה בלי החזרה ובלי חשיבות לסדרk =

n!

k! n−k !

. n ,2 מתוך קבוצה בגודל שונים איברים k בחירת .1 :דוגמאות

כדורים זהים k חלוקת .n ,3 מתוך kמספר תתי הקבוצות בגודל

תאים כך שבכל תא מקום אחד בלבדnלתוך

מידע משנה הסתברות

= 𝑃 𝐴 𝐵 :הסתברות מותנית 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

P 𝐴 :כלל השרשרת ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵)

נגדיר חלוקה של מרחב המדגם הם :ההסתברות השלמה' נוס𝐴1,𝐴2מאורעות . .𝐴𝑛 ו, זרים בזוגות שהם - Ai =𝑛

i=1 Ω אז

P 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 ∙𝑃(𝐴𝑖)

𝑃(𝐵∩𝐴𝑖)

𝑛𝑖=1

= P 𝐴 𝐵 :נוסחת ההיפוך𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐵|𝐴)∙𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵)

𝐴1,𝐴2: נתונה חלוקה של מרחב המדגם: נוסחת בייס . .𝐴𝑛

P Ai ∩ B =P(A i∩B)

P(B)=

P(B|A i)∙P(A i)

P(B|A j )∙P(A j )nj=1

אי תלות בין מאורעות

:ת אם אחד מהבאים קורה"שני מאורעות נקראים ב-

1. P A ∩ B = P(A) ∙ P(B) 2. P 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)

3. P 𝐴 = 𝑃(𝐴|𝐵)

, 𝐴ת אז גם " בA,Bאם - B A, B 𝐴 , B בלתי תלויים .

ת"אז הם בהכרח ב, 0-גדולים מ, מאורעות זריםB ו Aאם -

A: 𝑃 𝐴-ת ב"מאורע ב ∩ Ω = 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∙ 1 = 𝑃 𝐴 𝑃(Ω)

:'שלשות וכו, ת בזוגות"מאורעות ב

1 .nת בזוגות אם לכל " מאורעות נקראים ב𝑖 ≠ 𝑗:

P Ai ∩ Aj = P(Ai) ∙ P(Aj)

2 .nת אם" מאורעות נקראים ב:

P Ai1 ∩ Ai2 ∩. . .∩ Aik = P Ai1 ∙ P Ai2 ∙ … ∙ P(Aik )

פונקציות הסתברות

הערך שמתקבל בהסתברות הגבוה ביותר𝑀o(x): מ"שכיח של מ

𝑃 𝑋: התפלגות מותנה = 𝑙 𝑌 = 𝑘 =𝑃(𝑋=𝑙 ,𝑌=𝑘)

𝑃(𝑌=𝑘)

= E 𝑋: מ"הממוצע של המ:תוחלת 𝑥𝑖𝑖 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖

= 𝐸 𝑋: נוסחה נוספת 𝑃 𝜔 ∙ 𝑋(𝜔)𝜔∈Ω

.ולוקחים הכל, מסמל איבר במרחב המדגם 𝜔כאשר

E X : לינאריות התוחלת + Y = E X + E(Y)

a,b: E aXממשיים ' מס2 + b = aE X + b

E Y X :תוחלת מותנה = k = l ⋅ P(Y = l|X = k)l∈Y

Xערכי (..x1,x2): אזXשל ' פוg(x)מ ותהי " מXיהי : טענה

E g X = g x1 P X = x1 + g x2 P X = x2 + ……

מראה את הפיזור–שונות

+… V(X)=E[(X − μ)2]= 𝑥1 − 𝜇 2𝑃 𝑋 = 𝑥1 + 𝑥2 − 𝜇 2𝑃(𝑋 = 𝑥2)

= 𝑽 𝑿: שונות 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋)2 סטיית תקן :𝜍 𝑥 = 𝑉(𝑋)

: תכונות השונות

1. 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉(𝑋) 2. 𝜍 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 𝜍(𝑥)

3. 𝑉(𝑋) ≥ 𝜍(𝑋) 4. V(X)=0 אם ורק Xמ קבוע" מ

𝑽 𝒚 𝒙: שונות מותנה = 𝒌 = 𝑬 𝒚𝟐 𝒙 = 𝒌 − [𝑬 𝒚 𝒙 = 𝒌 ]𝟐

𝑬 𝒚𝟐 𝒙: כש = 𝒌 = 𝒍𝟐𝑷 𝒚 = 𝒍𝟐 𝒙 = 𝒌 …

:הסתברות כגבול של השכיחות היחסית

.Aמאורע , ת בתנאים זהים"מבצעים ניסוי שוב ושוב באופן ב

כמה פעמים - 𝑓𝑛(𝐴), חזרות על הניסוי' מס=nאם נסתכל על

(Aשכיחות ) החזרות על הניסוי n מבין Aהתרחש

- Aאז השכיחות היחסית של 𝑓𝑛 (𝐴)

nהפונקציה , שואף לאינסוףnוכש ,

P(A)- הזאת שואפת ל

1 תוחלת 0שונות -מ קבוע"מ: התפלגויות מיוחדות

.אנשים משמאל לנילי בק' מס-X: התפלגות אחידה

𝑥 ∈ 𝑚,𝑚 + 1,… ,𝑛 − 1, 𝑛 𝑋~𝑈(𝑚,𝑛)

𝑷 𝑿 = 𝒌 =1

𝑛−𝑚+1 𝑬 𝑿 =

𝑚+𝑛

2 𝑽 𝑿 =

(𝑛−𝑚+1)2−1

12

.הצלחה וכשלון, תוצאות אפשריות2ניסוי שיש בו :ניסוי ברנולי

הסיכוי להצלחה , ת" ניסויי ברנולי בnמבצעים :התפלגות בינומית

:ההצלחות' את מסP ,Xבכל אחד הוא 𝑥 ∈ 1,2, . . ,𝑛 | 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝑛𝑘 𝑃𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘 𝑬 𝑿 = 𝑛 ∙ 𝑝 𝑽 𝑿 = 𝑛 ∙ 𝑝(1 − 𝑝)

ת הסיכוי "מבצעים אינסוף ניסויי ברנולי ב :התפלגות גיאומטרית .עד לפעם הראשונה שהייתה הצלחה, P:להצלחה בכלאחד מהם

𝑥: הניסויים' את מסXנסמן ב ∈ 1,2… ,∞ 𝑋~𝐺(𝑃)

𝑷 𝑿 = 𝒌 = 1 − 𝑝 𝑘−1𝑃 𝑬 𝑿 =1

𝑝 𝑽 𝑿 =

1−𝑝

𝑝2

𝑷 𝑿 : הראשוניםkהיה כשלון ב > 𝑘 = (1 − 𝑝)𝑘

𝑷 𝑿 : תכונת חוסר הזכרון > 𝑘 + 𝑖 𝑿 > 𝑖) = 𝑃(𝑋 > 𝑘)

, פריטים מיוחדיםD יש Nבאוכלוסיה :'גאומט-התפלגות היפר

,X~HG(Nמיוחדים ' מסX, פריטיםn בלי החזרהבוחרים D, n)

𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝐷𝑘

𝑁−𝐷𝑛−𝑘

𝑁𝑛 𝑬 𝑿 = 𝑛 ∙

𝐷

𝑁 𝑽 𝑿 = 𝑛 ∙

𝐷

𝑁(1 −

𝐷

𝑁)𝑁−𝑛

𝑁−1

כדי . זמן נתונה' סופר כמה אירועים קרו ביח :התפלגות פואסונית, זמן' אירועים שקורים בדיוק באותה נק2 אין .א: 'שתהליך יהה פואס

זמן נתונה תלוייה בגודל היחידה ולא ' האירועים שקורים בנק' מס.ב .ת"האירועים בפרקי זמן זרים הם ב' מס.ג. במיקומה על ציר הזמן

𝑋~𝑃 𝜆 𝑋 ∈ 0,1, . . 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝑒−𝜆𝜆𝑘

𝑘 ! 𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿 = 𝜆

*𝜆 - ממוצע עבור יחידת זמן

.עם וגם, טבלת התפלגות: מ דו מימדי"מ

:y אפשרי של x ,l אפשרי של kת אם לכל " בx,y :הגדרה

𝑃 𝑥 = 𝑘,𝑦 = 𝑙 = 𝑃(𝑥 = 𝑘) ∙ 𝑃(𝑥 = 𝑙) - שווה – משבצת בכל המשתנים תלויים, בטבלה0אם יש . למכפלת השוליות המתאימות

𝑪𝒐𝒗 𝒙,𝒚 = 𝐸 (𝑥 − 𝐸(𝑥)(𝑦 − 𝐸(𝑌) = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝐸 𝑥 𝐸(𝑦)

𝑽 𝒙 ± 𝒚 = 𝑉 𝑥 + 𝑉 𝑦 ± 2𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦

𝑉 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 + 𝑣 𝑧 + 2[𝐶𝑜𝑣 𝑥,𝑦 + 𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑧 + 𝑐𝑜𝑣 𝑦, 𝑧 ]

מ"ת אז הם ב"אם הם ב. בלתי מתואמיםx,y אז Cov(x,y)=0אםם

אז קשר , אם שלילי, מ"יש קשר של עליה בין המ, חיוביCovכאשר ה

מ" אז ב0אם . שאחד עולה השני נוטה לרדת. ירידה

:מ" אם אחד מתקיים אז ב:Cov(x,y)תכונות נוספות של

𝜇- תוחלת

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

קרוב ללינאריx,yאז הקשר בין - 1,1ככל שהמקדם קרוב ל :מקדם מתאם

−1 ≤ ρ 𝑥,𝑦 ≤ 1 𝜌 =𝐶𝑜𝑣(𝑥 ,𝑦)

𝜍(𝑥)∙𝜍(𝑦)

V( 𝑥𝑖): בזוגות (מ"ב) בלתי מתואמיםx1..xnאם = 𝑉 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

:חישוב בהינתן נוסחא

𝐸 𝑋 𝑋 חשב :דוגמא + 𝑌 = 𝑡)

:ואז לפי הנוסחא: 1,2לדוגמא , X רצים על כל ערכי :פתרון

𝐸 𝑋 𝑋 + 𝑌 = 𝑡) = 1P 𝑋 = 1 𝑋 + 𝑌 = 𝑡 + 2𝑃(𝑋 = 2|𝑋 + 𝑌 = 𝑡)

:1לדוגמא , עוברים על כל אחד מהסתברויות

P 𝑋 = 1 𝑋 + 𝑌 = 𝑡 =𝑃(𝑋=1∩𝑋+𝑌=𝑡)

𝑃(𝑋+𝑌=𝑡)=

𝑃(𝑋=1∩1+𝑌=𝑡)

𝑃(𝑋+𝑌=𝑡)

𝑃(𝑋 + 𝑌 = 𝑡) –היא כל הקומבינציות שזה שווה ל' ההסתבt . בלבד1 או 0והוא מקבל (מצביע)מ מציין " מ𝑥𝑖 :מ אינדיקטור"מ

= 𝑬 𝑿: מספריםnתוחלת של 𝑬( 𝒙𝒊) = 𝑬(𝒙𝒊)

n ויש : מספריםnשונות של 2 :COV זוגות כאלו של

:דרך פתרון לשאלה עם אינדיקטורים

. כמה אינדיקטוריםX-לעיתים יהיו ב, 𝑥𝑖 כתיבת מה זה . 1

2 .X = 𝑥𝑖ואף לפעמים :X = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖

𝑃(𝑥𝑖חישוב . 3 = E(𝑥𝑖 אינדיקטור יחיד ואז זה שווה ל (1 )

E(𝑥𝑖חישוב התוחלת כסכום של . 4 )

מ אינדיקטור"חישוב השונות של מ. 5

, שוניםCov אינדקסים העלולים ליצור 2מעבר על כל צירופי . 6

Cov=0, אין תלות בין המאורעותאם . i,i+2- לCovנחשב למשל

מ רציף"מ

≤ X – 𝑓 𝑥פונקצית הצפיפות של ממשי והשטח הכולל x לכל 0

.בעזרת השטחים שמתחתיה נחשב הסתברות – 1 שווה לfמתחת ל

= X -𝐹𝑋 𝑡ההתפלגות המצטברת ' פונק 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) שטח עד נקודה

:תכונות פונקציית ההתפלגות המצטברת

𝑎לכל . א ≤ 𝑏 :𝑃 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝐹𝑥 𝑏 − 𝐹𝑥 𝑎

ורציפה (במובן החלש) מונוטונית עולה 𝐹𝑋 𝑡. ב

∞−→lim𝑥. ג Fx t = 0 lim𝑥→∞ Fx t = 1

= 𝑓 𝑥: נגזרת. ד 𝐹′(𝑥)

תוחלת אומדת את מרכז –זהות לבדיד –תוחלת ושונות :שונות את הפיזור של ההתפלגות, ההתפלגות

= 𝐕 𝑿: שונות וסטיית תקן 𝐸 𝑥2 − (𝐸 𝑋 )2 𝝈 𝒙 = 𝑉(𝑋)

:מ מקרי אחיד רציף"מ

𝑥~𝑈(𝑎,𝑏)הצפיפות שלו' אם פונק :𝑓 𝑥 =

1

𝑏−𝑎, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

0 , אחרת

: אזי𝑥~𝑈(𝑎,𝑏)יהי

= E 𝑋: היאXהתוחלת של . א𝑎+𝑏

2

= 𝑉 𝑋: היאXהשונות של . ב 𝑏−𝑎 2

12

: היאXההתפלגות המצטברת של ' פונ. ג

𝐹 𝑥 =

0 , 𝑥 < 𝑎

𝑥−𝑎

𝑏−𝑎 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

1 , 𝑥 > 𝑏

:י"הצפיפות נתונה ע' אם פונ𝑋~𝑒𝑥𝑝(𝜆): מ מעריכי"מ

𝑓 𝑥 = λe−λx , x ≥ 0

0, אחרת

: אזי𝑥~exp(𝜆)יהי

= E 𝑋: היאXהתוחלת של . א1

𝜆

= 𝑉 𝑋: היאXהשונות של . ב1

𝜆2

היאXההתפלגות המצטברת של ' פונ. ג

𝐹 𝑥 = 1 − e−λx , x ≥ 0

0, אחרת

𝑷 𝑿 : תכונת חוסר הזכרון > 𝑘 + 𝑖 𝑿 > 𝑖) = 𝑃(𝑋 > 𝑘)

0סימטרית על ציר ' התפל. 2, גרף פעמון.1 : התפלגות נורמלית

= 𝑓𝑥 𝑥: פונקצית הצפיפות היא1

2𝜋𝜍2𝑒

(𝑥−𝜇 )2

2𝜍2

𝜍2שונות ,𝜇נורמלית עם תוחלת ' בעל התפלXמ "התפלגות מ:

X~N(𝜇,𝜍2) ,פעמון גבוה יותר ולהיפך,פיזור קטן-שונות יותר קטנה

𝜇תוחלת :התפלגות נורמלית סטנדרטית = 𝜍2 ושונות 0 = 1

= 𝜙 1.27: והסימוןX~N(0,1): נסמן 𝑃 𝑧 ≤ 1.27 = 0.898

𝛟 𝒛 = 𝑃 𝑍 < 𝑧 𝛟 −𝐳 = 1 −ϕ(z)

𝛟 𝟑.𝟓 ≈ 1 𝑷 𝒛𝟏 < 𝑍 < 𝒛𝟐 = 𝜙 𝑧2 − 𝜙 𝑧1

𝑷 𝒁 > 𝑧 = 1 − 𝑃 𝑍 < 𝑧 = 1 − 𝜙 𝑧 :אחוזונים

= 𝐹𝑥 𝑥𝑝: הוא הערך שעבורו מתקיים𝑥𝑝, באופן כללי 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥𝑝)

P-1 וימין לPהערך שמחלק את ההסתברות משמאל ל

𝑧0.8577: דוגמאות = . זהו האחוזון מהטבלה1.07, 1.07

𝒛𝒑: לפי סימטריה, 0.5אם קטן מ = −𝒛𝟏−𝒑

X~N(𝜇,𝜍2): התפלגות נורמלית כללית

𝑧: הקשר בין כללית לסטנדרטית =𝑋−𝜇

𝜍הפעולה של תרגום ערך ,

ציון תקןנקרא - z, תקנון נקראת z לערך Xשל משתנה כלשהו

X~N(170, 52) :𝑃 𝑥 > 175 = 𝑃 𝑥−170

5>

175−170

5 = P(z > 1)

𝑥𝑝: נוסחה לחישוב אחוזונים = 𝜇 + 𝑧𝑝 ∙ 𝜍

:הקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית

להתפלגות (בדידה)במעבר מהתפלגות בינומית : תיקון רציפות

:נתקן כל ערך בדיד בחצי יחידה בכל צד (רציפה)נורמלית

V(X)=

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

התפלגות בינומית התפלגות נורמלית

𝑃(𝑘 − 0.5 < 𝑥 < 𝑘 + 0.5) 𝑃(𝑥 = 𝑘)

𝑃(𝑥 ≤ 𝑘 + 0.5) 𝑃(𝑥 ≤ 𝑘)

𝑃(𝑥 < 𝑘 − 0.5) 𝑃 𝑥 < 𝑘

𝑃(𝑥 ≥ 𝑘 − 0.5) 𝑃(𝑥 ≥ 𝑘)

𝑃(𝑥 > 𝑘 + 0.5) 𝑃 𝑥 > 𝑘

: 'חשבון וכו, משפטי שטחים

∞𝒓𝒌 –טור גאומטרי 𝒌=𝟎 =

𝟏

𝟏−𝒓

:טיפים

לא לשכוח להשתמש בדיאגרמת וון .1 1בוחרים , מיוחדיםDמתוכם , פריטיםNאם יש אוכלוסיה ובה .2

? מה הסיכוי שמיוחד, באקראי𝐷

N

לא לשכוח הכלה והפרדה .3זה בערך באמצע , למשל בגרף, התוחלת היא הממוצע .4

. אז בדיוק באמצע–אם סימטרי , ההסתברויות חוסר זיכרון לגיאומטרית ומעריכית .5 ים יש-Cov לשים לב כמה חשוב .6 :להתעלם ממה שלא צריך .7

σ –השונות -בנורמלית לא לשכוח להוציא שורש מ .8 בוריאציות E 𝑥2להשתמש בנוסחאות , בהתפלגויות מיוחדות .9

= 𝑽 𝑿: שונות לחישוב משתנים אחרים מהנוסחא 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!לבדוק אי תלות כל שאלה .01 001,010אפשר לסדר לפי קוד בינרי , מרחב המדגם סימטריאם .11

:ומבינטוריקהבקטיפים

= Ω : אם מרחב מדגם 92 7

2 5

2 עם זוגות 3בוחרים : זה אומר

אם . בתוך הזוגותבלי חשיבות לסדרבין הזוגות וחשיבות לסדר בין הזוגותלא יהיה חשיבות לסדר אז !3נחלק את המרחב מדגם ב

:דוגמאות משיעורי בית

מרחבי מדגם סימטרים

:חשבו, (' אפש36) תאים 3 כדורים מוכנסים אקראית ל6 :1שאלה

A – כדורים בדיוק3 יש תא אחד עם

3 :פתרון1 6

3 3

2 + 3

1 + 3

2 6

3

:סיכוי. אנשים באופן מקרי לזוגות8חלקו , זוגות נשואים4יש : 3שאלה

בכל זוג יש גבר ואשה. בכל בעל נמצא עם אשתו . א

.('נדרים וכו'לסביות טרנסג, הומואים) בני אותו מין בכל זוג 2 יש .ג

: מרחב המדגם הוא: פתרון 8

2 62

42

4!= – זה אומר !4בלי , אחרת 105

מקביל לחלוקת הזוגות לחדר )והסדר של הזוגות משנה , זוגות3חילוק

.בלי סדר, אז זה יהיה אותם חדרים!4עם . (אדום, ירוק, צהוב

.א1

105 . בחירת כל אחד עם אשתו–

בוחרת , מגיעה אישה, בשורה4גבר 3גבר 2גבר 1גבר: מחלק כך. ב

.!4, וכך הלאה3והשנייה בוחרת מתוך , 4מתוך

: בוחר מהבנים.ג 4

2

2ובוחר מהבנות

42

2, כי להוריד כפילויות2-חילוק ב

.9. = אז נבחר אוטומטית עוד זוג–כל בחירה

2, אגסים2בועז וגדעון מחלקים בינהם באופן מקרי , אורית :4שאלה

:חשב הסתברות, א" פירות לכ2. גויאבות2בננות ו

A – אורית מקבלת רק אגסים B –אורית מקבל פירות מסוג אחד בלבד

C – אחד מן הילדים מקבל רק אגסים D-בועז בננות, אורית מקבל אגסים.

: פתרון

A – 6 כאן מרחב המדגם הוא : 1דרך2 . לזוג אגסים1 ואז יש אפשרות

6: מרחב המדגם מסודר:2דרך ∙ , ('אגס ב', אגס א) אפשרויות 2 ואז יש 5

.('אגס א', אגס ב)

B –{גויבה,גויבה}, {אגס,אגס}: מסוג אחד בלבד יש את הקבוצות ,

6 אפשרויות מתוך 3ואז יש {בננה,בננה}2

C – 3 : אז זה, ילדים3אם יש1 ∙ P(A) ילדים3בחירת ילד מתוך

D –6 : מרחב המדגם הוא4 4

2 4ומתוך , פירות4כלומר בחירת -

ואז יש אפשרות , פירות ויש כאן סדר בין הקבוצות2הפירות יש לבחור .אחת כזאת מתוך מרחב המדגם הזה

:חשבו הסתברויות, אחים מתיישבים מקרית בשורה 12: 5שאלה

B – בין זבולון ויששכר מפרידים בדיוק kאחים

!2 :פתרון ∙ (12 − k + 1 ) ∙ !10, סידורים לזבולון ויששכר2 - !10

12)ואז ה, סידורים לכל שאר האחים − k + זה מספר המקומות 1

. איברים בינהםkהאפשריים לתזוזות של הזוג עם

משתנים מקריים

מסדרים אותם בשורה . ובן אחד, בנותn בכיתה יש :1שאלה

.הבנות בין שירלי ודנה' מס– Xיהי . באקראי

:Xמצאו התלפגות . א

. בנות בינהם שירלי ודנה בשורהnמסדרים : סיפור שקול:תשובה

: ואז . n-2 ל 0 בין X. ללא הבן𝑛− 𝑘+1

n2

כמו זבולון ויששכר:הסבר

מוציאים דג . פיראנה1, זהב2, קרפיון3, דגי גופי4- בבריכה :2שאלה

' מס– Xיהי . אחר דג ללא החזרה עד אשר מתקבל לראשונה דג זהב

.הדגים הכולל שהוצא

הבינום של

ניוטון

𝑆מעגל = 𝜋𝑟2

נבחר תא אחד

כדורים3נשים

. כדורים לאחד מהתאים שנשארו2

אחד אוטומטי לאחרון

. כדור לאחד מהתאים שנשארו1

שניים אוטומטי לאחרון

נשים , תאים2בחירת

בשניהם3בדיוק

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

: ושכיחX מצאו פונקצית הסתברות .א

– y, מסדרים בשורה באקראי את עשרת הדגים: ניסוח שקול :תשובה

10 :ומרחב המדגם. 9 ל1 בין Y. מיקום דג הזהב השמאלי2

k10: הדג השני, חייב להיבחר-kאפשרויות :𝑃 𝑋 = 𝑘 =10−𝑘

102

:מה הסיכוי שבמהלך ההוצאות התקבל דג פירנה. ב

מה הסיכוי שהפירנה , נתעלם מכל הדגים שלא זהב ופירנה: תשובה

.כאמור שליש? במקום השמאלי

:קרפיונים שהוצאו' מצאו התפלגות מס. ג

קרפיונים 3 זהב ו2מסדרים , נתעלם מכל דג שאינו קרפיון או זהב: תשובה

5 : ומרחב המדגם0,1,2,3 בין yולכן . באקראי2 . זהב2 לבחור מקום ל

: ולכן ההסתברות היא5−(𝑘+1)

52

p(y=k)= - הוצאוkלאחר מכן , קרפיונים

מקומות למקם דג זהב שני(k+1)-5ונשארו , k+1במקום חייב להיות זהב

.מה הסיכוי שיהיה דג זהב, הוחלט להוציא מהבריכה דג נוסף. ד

. מה הסיכוי שדגי הזהב צמודים בסידור בשורה: ניסוח שקול :תשובה9!2!

10!

.כ גלהד"לנסלוט ואח- סיבוב , דו קרב בין לנסלוט לגלהד:3שאלה

(טור גאומטרי)? מה הסיכוי שלנסלוט ינצח

לנסלוט מנצח– A: תשובה

𝐿𝑊𝑖𝑛 = L𝑊𝑖𝑛𝑠 𝑅𝑛𝑑1 ⊎ {𝐿𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠 ,𝐺𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠𝑅𝑛𝑑1,𝐿𝑊𝑖𝑛𝑠𝑅2} ⊎ ⊎ … ⊎ L + G𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠 𝑅𝑛𝑑 𝑘 − 1 , 𝐿𝑊𝑖𝑛𝑠𝑅𝑛𝑑(𝑘) 𝑃 𝐴 = (0.3 ∙ 0.2)𝑘−1∞

𝑘=1 ∙ 0.7 = 0.7 ∙ 0.06𝑘∞𝑘=0 = 0.7

1

1−0.06

האם הגיוני שהסיכוי של לנסלוט לנצח גדול ', אם לא היינו מחשבים את א. ב

0.7כי כל ענף מוסיף ל, כן? 0.7מ

כי מרחב , פחות לנסלוט מנצח1: תשובה? מה הסיכוי שגלהד ינצח. ג

כאשר אין . אין מנצח, גלהד מנצח, המדגם הוא איחוד של לנסלוט מנצח

lim𝑘→∞(0.3: אז הסיכוי, מנצח ∙ 0.2)𝑘0ולכן ההסתברות . 0 שואף ל.

?Xמה התפלגות , מספר הסיבובים עד להכרזת מנצח– x. ד

P 𝑥. לאינסוף1 הולך בין x: תשובה = 1 = 0.7 + 0.3 ∙ ניצחון -0.8

.או שמפסיד ואז גלהד מנצח, או שלנסלוט מנצח, 1בסיבוב

𝑃 𝑥: ובכללי = 𝑘 = 0.06𝑘−1 ∙ 𝑃(𝑥 = 1) - k-1ובסוף כמו , כשלונות

.ניצחון בסיבוב יחיד, (ת אחד מהשני"הסיבובים ב)בסיבוב הראשון

: חשב תוחלת. ה

: אז, מ אשר מקבל ערכים טבעיים בלבד" מzיהי : טענה

E Z = P(Z > 𝑘)∞k=0

𝑃(𝑋כי ? מדוע פותר > 𝑘) = ב-k0.06= סיבובים ראשונים אין מנצחk.

התפלגויות מיוחדות

.פונים שמקבלים שירות במשך שעה מתפלג פואסונית' מס: 1שאלה

. פונים לשעה5 קצב של –יום ללא עיצומים

. פונים לשעה1 קצב של –יום עם עיצומים

0.9 –הסתברות ליום עיצומים

? פונים מה הסיכוי שיום עיצומים2אם בשעה הראשונה שורתו . א

ומוריד לפקיד שקל , ביום שבו יש עיצומים עובר מנהל המשרד בכל שעה.ב .ממשכורתו אם מאז ביקורו הקודם שורתו פחות משני לקוחות

שעות הורדו ממשכורתו של הפקיד יותר 5 מה הסיכוי שביום עבודה של .ג ?משני שקלים

עד שלראשונה ייקנס הפקיד , מהי תוחלת מספר ימי העיצומים שיעברו.ד ? שקלים5- ב

" לקוחות7הפקיד שרת - "ו" שקלים2-הפקיד נקנס ב"האם המאורעות . ה ?הם בלתי תלויים

:סעיף א: פיתרון

A – יש עיצומים B –פונים2 שורתו 1- בשעה ה .

= P A B: ואזP(B|A)∙P(A)

P(B) ידוע כי יש עיצומים– P(B|A)נחשב קודם ,

P B A = e−1 ∙12

2!= λכאשר 0.1839 = 1,𝑘 = 2

=P 𝐵 = 𝑃 2 עיצומים שורתו + P(2 אין עיצומים שורתו)

0.9 ∙ 𝑒−1 1

2!+ 0.1 ∙ 𝑒−5 52

2!= 0.173

= P A B: והתשובה הסופיתP(B|A)∙P(A)

P(B)=

0.1839∙0.9

0.173

0הוריד שקל כלומר נמצא את הסיכוי שבשעה מסויימת שירת -C :'סעיף ג

= P C: לקוחות1או e−1 10

0!+ e−1 1

1=

2

e מספר השעות – Xואז ,

𝑋~𝐵𝑖𝑛: וזה מתפלג: ביום עיצומים בהם קיבל קנס 5,2

𝑒

D –שק2- הורדו לעובד יותר מ '𝑃 𝐷 = 0.1 ∙ 0 + 0.9 ∙ 𝑃(𝑋 > 2)

.ואז רגיל של בינומי. כי ביום בלי עיצומים אין קנס0

) = 0.215: שקלים ביום עבודה5 סיכוי לקנס של :'סעיף ד2

eלכן הסיכוי 5(

𝑌~𝐺(0.215): ומתפלג, הוא לעיל (קנס)להצלחה

:'סעיף הA –שקלים 2- הפקיד נקנס ב B – לקוחות ביום7 הפקיד שירת

P A = 0.9 ∙ P X = 2 + 0.1 ∙ 0 = 0.08989 λ: לכן, יום שלם = 1 ∙ 5,𝑘 = λ בעיצומים 7 = 5 ∙ 5,𝑘 = בלי עיצומים 7

P B = 0.9 ∙ 𝑒−5 ∙57

7!+ 0.1 ∙ 𝑒−25 ∙

257

7!= 0.094

2 2 2 1 0 או 3 2 2 0 0: אפשרויות לחיתוך2יש רק

𝑃 32200 = 52 3

2 𝑒−1 ∙

10

0!

2

𝑒−1 ∙12

2!

2

𝑒−1 ∙13

3!

P 01222 = 51 4

1 e−1 ∙

10

0! e−1 ∙

11

1! e−1 ∙

12

2!

3

P 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.9 ∙ (𝑃 32200 + 𝑃 01222 ) תלוייםB וAואז מחישוב

2עם תוחלת של ' צימוקים שעמי אוכל מתפלג פואס' מס: 2שאלה

.צימוקים לדקה

צימוקים10 דקות הקרובות יאכל 7-הסתברות שב .א את מספר הצימוקים Y- וב8:02- ל8:00הצימוקים שאוכל בין ' מס– X .ב

.Xחשב תוחלת ושונות של , דקות8:01-8:03שאוכל בין מספר הצימוקים ' מה התפל, צימוקים3 עמי אוכל 8:00-8:03ידוע שבין .ג

?8:00-8:01שאכל בין

:'פתרון סעיף א

𝑃 א = e−14 ∙ 1410

10!:והתשובה 𝑘 = 10, λ = 2 ∙ 7 = 14

λ ,: 'פתרון סעיף ב = 2 ∙ 2 = = E X: ואז4 V X = 4

: המאורעות הבאיםA,B כאשר P(A | B) נחשב :'פתרון סעיף ג

A – אכל k 8:00-8:01 צימוקים בין B – 8:00-8:03 צימוקים בין 6 אכל

𝑃 𝐵 = e−6 ∙ 66

6!𝑘 כאשר = 6, λ = 2 ∙ 3 = 6

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

:דוגמאות ממבחנים

שאלה

:תשובה

:שאלה

תשובה

:שאלה

תשובה

חישוב מהטבלה

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

:שאלה

:תשובה

:שאלה

תשובה

:שאלה

:תשובה

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

:שאלה

תשובה

:שאלה

תשובה

:שאלה

:תשובה

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע

P 𝐴 ∩ 𝐵 = 5

3 1∙2∙7∙6

10∙9∙8∙7∙6 – Ω במאורע בוחרים , 5 את העם סדר מושיב

הנותרים2סידור ה- 7*6. סידור סיוון ונדבים-1*2 ואז ה5 מקומות מתוך ה3

:שאלה

תשובה

שאלה

:תשובה

מה .א. אמא ובן,אבא- אנשים ממשפחת לוי3, זוגות נשואים3: שאלה

אנשים 2 סיכוי שאין זוג שמורכב מ.ב? הזוגות מאותה משפחה4הסיכוי ש (גבר אישה) מה הסתברות לזוגות הטרוגנים . ג?במשפחת לוי

= 𝛺 .א :תשובה 9 8

2 62

42

22

4!כל השאר , לבחירת מנהיג9 – 945=

P(A) ,אלו הזוגות והסדר בין הזוגות לא משנה =3

945בחירת מנהיג מלוי -

יש זוג ממשפחת לוי -משלים .ב 3

2 3

2 32

32

3!

92

72

52

32

4!

בחירת זוגות - מדגם1-

דרך . קבוצות שונות2כאילו בחירה מ,מנהיג נקבע אוטומטית, קודם

:נוספת4 7

2 52

32

92

72

52

32

. אומר מיקום זוג של לוי4 שה

5*4*3*2*1כל בת בוחרת בן , ממקמים בנות לפי גובה: זוגות הטרוגנים.ג

במקומות : את הצופים משבצים כך, כסאות40 במופע יש 1בשורה : שאלה 0.5בכל מקום זוגי מגרילים ומושיבים בהסתברות , אי זוגיים בנות צעירות

שלשה צעירהתקרא (I,i+1,i+2)שלשה . מבוגר0.5בן צעיר ובהסתברות

(שלשות רציפות)אם באף אחד מהמקומות המתאימים לא יושב מבוגר

1. שלשה צעירהI,i+1,i+2 אם במקום 1 מקבל Xi: תשובה ≤ 𝑖 ≤ 38

𝑃 𝑥𝑖 = 1 = 0.25 0.5 ∙ 𝑖 זוגי 0.5

𝑖 אי זוגי 0.5 = 𝐸(𝑋𝑖)

𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋𝑖 38𝑖=1 = 19 ∙ 0.25 + 19 ∙ 0.5 ( ( אי19 זוגיים ו19יש

𝑉 𝑋𝑖 = 0.25 ∙ 0.75 = 𝑖 זוגי 3/16

0.25 ∙ 0.25 = 𝑖 אי זוגי 1/4

J=i+1 : __ __ __ __ לכן בטוח , בטוח אי זוגיים 2 מקומות זוגיים ו2יש כאן

.0.25= בנים צעירים2נותר לבחור עוד , בנות צעירות2יושבות שם

Cov(𝑥𝑖 ,𝑥𝑖+1) = 0.25 − 0.5 ∙ כי יש מקום זוגי ואי0.25 ו0.5הכפלה ב – 0.25

J=I+2 :נחלק למקרים: Iבנים צעירים 3ואז רוצים : זוגי 1

8 .

Cov=1

8−

1

4

1

4זה : אי זוגיI . זוגייםI,i+2פעמיים רבע כי )

=Cov, שזה רבע, בנים צעירים2אומר לבחור 1

2−

1

2

1

2= , הגיוני כי יש בת באמצע0

..והם הופכים לבלתי תלויים, אז היא לא משנה את הבחירות של הבנים

𝑣 𝑥 = 19 ∙3

16+ 19 ∙

1

4+ 2 37 ∙

1

8+ 18 ∙

1

16+ 18 ∙ 0

I=i+2 – חצי מהזוגות זוגי וחצי אי זוגי, זוגות כאלה36 יש

בנים צעירים בת אחת2

בת__בת : לבן0.5

J=i+1

י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע