فرآیندهای تصادفی

فرآیندهای تصادفی

سجاد زیبافرهاله نجفی

SadjadZibafar@gmail.com

halleNajafy@gmil.com

)قسمت اول(اهداف آموزشی

انگیزه فرمول سازیفرآیند مدل سازیارزیابی

فرآیند تصادفی

دو مولفه ی تصادفی بودن

و دارای مرحله یا زمان بودن مطرح است.

فرآیند تصادفی روش های برخورد و مطالعه ی این پدیده ها و

کردن آن مدلابزارهایی که برای ها استفاده می شود را بررسی می

کند.

کاربردهای فرآیند تصادفی

فرآیند های تصادفی کاربردهای بسیار زیادی در شاخه های مختلف علوم و ریاضیات دارد.

بررسی وضعیت آب و هوا، تعداد افراد و وضعیت یک بازی در مکانها زمانها یا

مراحل مختلف، بررسی ارزش سهام در بازار بورس

و مدل سازی شبکه های ارتباطی

همه از ابزارهای احتمالی مطالعه

شده در این درس .استفاده می کنند

دو فاکتور ارزشمند طراحان

همیشه طراحان سیستم های پردازش اطالعات

عملکرد)کارایی(قابلیت اطمینان

در البته

س دستر

احتماالت و روش های آماریبودن

Performance

درجه ای ازانجام توابع درون محدودیت های داده شده،: از جمله سرعت،

دقت، و یا استفاده از حافظه

Reliability

احتمال اینکه نرم افزاری در یک سیستم در زمان معینی و تحت شرایط خاص دچار

شکست نشود.

Availability

توانایی یک سیستم برای انجام توابع مورد نیاز در یک حالت ثابت یا در دوره ای از زمان

هدف کلی درس

ارائه تکنیک های مدل سازی

احتماالتیبه جهت

تجزیه و تحلیل عملکردسیستم های پردازش

اطالعات

پیش بینی عملکرد

مستقیم ترین روش ارزیابی

اندازه گیری سیستم مورد مطالعه

مدلنیاز به یک انتزاعی

همیشه سیستم در

نیستدسترسی

discrete-event simulationDES

محبوب ترین مدل بر اساس شبیه سازی

رویداد گسسته

سرعت پاییندقت پایین

Analytic Model

DESیک جایگزین مقرون به صرفه برای

X سریع به “ ” می دهندWhat Ifپاسخ نسبتادید بیشتری را از موضوع مورد مطالعه ما می

دهد

همیشه با تحلیلیمدل فرضیات غیر واقعی

گرفتار است

و امــا امروزه

پیشرفت های اخیر در مدل تصادفیروش های حل عددی

در دسترس بودن نرم افزارهادسترسی آسان به ایستگاه های کاری با

قابلیت های پیشرفته محاسباتی

با افزایش تواناییمدل های بهتری طراحی شده

اند

انواع مدل های تحلیلی

مدل تحلیلی را می توان به دو دسته:

مدل های با فضای حالتبدون فضای حالت

شایع ترین استفاده از مدل حالت مدل فضای

استزنجیره ای مارکوف

تاریخچه زنجیره مارکوف

توسط آقای مارکوف معرفی 1907در سال شد.

از زنجیره مارکوف در آنالیز 1950از سال استفاده شده است.عملکرد

در دهه گذشته پیشرفت قابل توجهی در تکنیک های حل عددی و فضای حالت و....

مارکوف

فرآیندی تصادفی که احتماالت آینده آن از طریق مقدار اخیر آن محاسبه می شود،

می گویند. فرآیند مارکوفچون سیستم به صورت تصادفی تغییر می کند به طور کلی پیش بینی حالت زنجیره مارکف در نقطه ای خاص در آینده غیر ممکن است.

با این حال ویژگی های آماری سیستم در آینده قابل پیش بینی است.

مارکوف

یک فرآیند تصافی گسسته در زمان شامل سیستمی است که در هر مرحله در حالت

خاص و مشخصی قرار دارد و به صورت تصادفی در هر مرحله تغییر حالت می دهد. 

تعریف رسمیمارکوف

یک زنجیره مارکف دنباله ای از متغیرهای تصادفی ۱X، ۲X، ۳X است که دارای خاصیت مارکف ...،

هستند یعنی:

 مجموعه Xiمقادیر ممکن برای قابل شمارشی را می سازند که

نام دارد.فضای حالت

قدم زدن تصافی « »پیاده روی می خواره

محوز زمان

مسیر حرکت

پرتاب سکه ها مستقل از هم هستند

فرآیند مدل سازی nر زدن تصادفی مثال: ب

چند بار باید کارت ها را بر بزنیم که کامال بهم بخورد؟

تعریف ریاضی مسئله؟

Conceptualization(درک مسئله)

ایجاد گراف مسئله

1234

N-1N

.

.

بار بر Mبعد از زدن

K1K2K3K4

Kn-1Kn

P(Ki=j)=1/n

Conceptualization

یک دید خالصه و ساده شده از منبع واقعی که جهت نمایش اهداف مسئله

نمایش سیستم به عنوان شبکه صفزنجیره مارکوف به صورت نمایش یک گراف

خدمتگزار

از حالتی به حالت دیگر

Formalization of a real-world system

الگوریتم قطعی

در شرایط غیررسمی رفتاری قابل پیش بینی دارد

با دادن یک ورودی خاص، همیشه خروجی خاصی را ایجاد کند

ماشین اساسی آن همیشه از مسیری یکسان برای دنباله های وضعیت مشابه عبور کند.

جریان بین مجموعه حالت های آن از پیش یک الگوریتم قطعی یک تابع ریاضی را تعیین شده است

محاسبه می کند

الگوریتم غیر قطعی

زمانی که ماشین از حالت های خارجی به غیر از ورودی استفاده کند.

زمانی که ماشین حساس به زمان عمل می کندزمانی که یک خطای سخت افزاری باعث شود

تا ماشین حالت خود را به یک مسیر غیرمنتظره تغییر دهد

ورودی کاربر، مقدار اتفاقی و یا داده ذخیره شده روی دیسک و...

زمانی که می خواهید چند عمل نوشتن روی قسمتی از حافظه را

به صورت همزمان انجام دهید

فصل اولمتغییر تصادفی

گسسته برنولی

دو جمله ای

هندسی

پواسون

پیوستهنرمالاستاندارد

یینمانمایی هایپر

ارالنگ

نمایی هایپو

گاماارالنگ مرکزی

Cox

Weibull

PaLognormareto

متغییر تصادفی چندگانهمستقل

احتمال شرطی

روابط مهم

قضیه حد مرکزی

تبدیلZ

Laplace

تخمین پارامتر

Course map

متغییر تصادفیگسسته برنولی

دو جمله ای

هندسی

پواسون

پیوستهنرمال

استاندارد

نمایی

نمایی هایپر

ارالنگ

نمایی هایپو

گاما

ارالنگ مرکزی

Cox

Weibull

PaLognormareto

متغییر های تصادفی

متغییر تصادفی

 متغیری است که مقدار آن متغیر تصادفیاز اندازه گیری برخی از انواع فرآیندهای

تصادفی بدست می آید.

فضای نمونه

عدد حقیقی

S R

نگاشت

متغییر تصادفی

و غیره( ۲و۱و )( 3و4برآمدهای ممکن از پرتاب دو تاس )

انواع متغییر تصادفیمتغییر تصادفی

پیوسته گسسته

، متغیر S شمارایی فضای نمونه ای با توجه به وضع•می تواند گسسته یا پیوسته باشد.

X متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی Sاگر •گسسته

پیوسته خواهد بود.Xو اگر ناشمارا باشد •

انواع متغییر تصادفی گسسته

متغییر تصادفی

پیوسته گسسته

برنولی

دوجمله ای

هندس ی

پواسون

متغییر تصادفی برنولی

اگر آزمایش تصادفی فقط دو برآمد ممکن را داشته باشد

پرتاب سکه دو حالت دارد

گسسته

برنولی دوجمله ای

پواسو هندسین

متغییر تصادفی دوجمله ایگسسته

برنولی دوجمله ای

پواسو هندسین

بارnتکرار

متغییر تصادفی هندسی

اگر آزمایش های مستقل برنولی را آنقدر انجام دهیم تا یک موفقیت بدست آید.

گسسته

برنولی دوجمله ای

پواسو هندسین

X متغییر تصادفی با پارامترp

X تعداد آزمایشات الزم برای بدست آوردن اولینموفقیت

هندسی

بسته ای که وارد مسیریابی می شود یکی دارای سرآیند 10ای از هر ATMدر شبکه تعداد بسته های باز شده در رسیدن به بسته مورد نظر xخاصی می باشد اگر متغییر

بار به بسته مورد نظر دستیابیم؟4باشد چقدر احتمال دارد که پس از هند

سی

P(x=4)=(0.9)3 (0.1)1= 0.0729

متغییر تصادفی پواسون

در شرایط توزیع دو جمله ای چناچه تعداد متوسط تابع در یک فاصله یا در قسمت خاصی

معین باشد به سمت p ∞ و kبخصوص برای وقتی که

مقدار کوچک میل می کند

گسسته

برنولی دوجمله ای

پواسو هندسین

تفاوت پواسون با دو جمله ای

3000 باشد و 0.005اگر مقدار پیغام عدم دسترسی در بازدید از سایتی در یک روز نفر با پیغام مذکور مواجه 18نفر به سایت مراجعه کنند برای محاسبه احتمال اینکه

زیع شوند چقدر می باشد؟ا تو

ب

دو

مله اج

ی

ش دو جمله با رو

عمال

ای محاسبه امکان پذیر

نیست

مقدار میانگین یا امید ریاضی

در نظریه احتماالت،امید ریاضی ، میانگین 

 یامقدار مورد انتظارارزش مورد انتظار 

 یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل ضرب احتمال وقوع هر یک از حاالت

ممکن در مقدار آن حالت.

مثال

میانگین برابر است با مقداری که بطور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی نهایت

تکرار انتظار می رود. بطور مثال برای تاس داریم:

( در فیزیکMoments)گشتاور

اصطالح مربوط به علم فیزیک می باشدگشتاور = سختی دورانی

گشتاور مقاومتی است که جسم در برابر تغییر حرکت دورانی توسط یک گشتاور نیروی

معین از خود نشان می دهد

به همین ترتیب گشتاور حول میانگین )مرکز نمایش می دهندµثقل( را با

گشتاور در احتمال و ریاضی

 معیاری کم�ی برای توصیف شکل یک توزیع گشتاوردر آمار و احتمال احتماالتی است. به عنوان مثال

گشتاور دوم بیانگر عرض تعدادی نمونه در یک بعد و در بعدهای باالتر بیانگر شکل بیضی گونی است که داده را تخمین

می زند. گشتاورهای دیگر جنبه های دیگر توزیع احتمال مانند کج شدگی از میانگین را توصیف می کنند.

گشتاور اول همان میانگین است. برای گشتاورهای مراتب باالتر معموال گشتاور را حول میانگین حساب

می کنند و آن را گشتاور مرکزی می نامند. k امین گشتاور مرکزی متغیر تصادفیX:به صورت زیر تعریف می شود 

میانگین متغیر تصادفی است.µکه در آن  

n امین گشتاور

nامین گشتاور مرکزی

دومین گشتاور مرکزی

)واریانس(

ضریب پراکندگی

جمع بندی قسمت متغییرهای تصادفی گسسته

تابع توزیع تجمعی

متغییر تصادفی باشد، تابع توزیع Xفرض کنید نشان می دهیم تابعی است بر FXآنکه با نماد

مجموعه ی اعداد حقیقی که به صورت زیر است.

FX(t)=P{X≤t} , t Rمشخص می کند احتمال

مقداری کوچکتر Xاینکه بگیردtو مساوی

(2,4 , 6,8)

(3,3 , 5,9)

(4,4 , 4,8)

(3,5 , 5,7)

S={ }

(2,4 , 7,8)

P{x=2}=p{ (2,4 , 7,8) }

={ { و انتخاب یک مهره سفید از آنقرمزانتخاب جعبه

انتخاب یکی از دو ظرف قرمز توپ موجود در ظرف 7سه توپ سفید از

P{x=3}=p{ (5,7 , 3,5یا) ( 5,9 , 3,3) {

={ { و انتخاب یک مهره سیاه از آنقرمزانتخاب جعبه

انتخاب یکی از دو ظرف توپ موجود در ظرف قرمز7چهار توپ سیاه از

(3,3 , 5,9)

و انتخاب یک مهره سیاه از آن{آبی}انتخاب جعبه یا

(3,5 , 5,7)

P{x=4}=p{((4,4 , 4,8) }

={ و انتخاب یک مهره سفید از آن آبیانتخاب جعبه }

آبی توپ موجود در ظرف 13توپ سفید از 5انتخاب یکی از دو ظرف

(4,4 , 4,8)

تابع توزیع

FX(t)=

0

1

t≤2

2≤t>3

3≤t>4

4≤t

0.6

0.3

FX(t)

1 2 3 4 5

1

0.6

0.3

0

تابع توزیع چگالی

FX(x)=P{X≤x} , x R

تابع توزیع تجمعی

قشت

م

تابع توزیع چگالی

انواع متغییر تصادفیمتغییر تصادفی

پیوسته گسسته

، متغیر S شمارایی فضای نمونه ای با توجه به وضع•می تواند گسسته یا پیوسته باشد.

X متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی Sاگر •گسسته

پیوسته خواهد بود.Xو اگر ناشمارا باشد •

امید ریاضی برای متغییرها تصادفی پیوسته

n امین گشتاور

n امین گشتاورمرکزی

دومین گشتاور مرکزی )واریانس(

ضریب پراکندگی

متغییر تصادفیپیوستهنرمال

استاندارد

نمایی

نمایی هایپر

ارالنگ

نمایی هایپو

گاما

ارالنگ مرکزی

Cox

Weibull

PaLognormareto

پیوسته

توزیع نرمال

مهمترین و شناخته ترین متغییر تصادفی پیوسته

علت نام گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم خوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده،

هنگام نوسان های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع

است.

توزیع نرمال

دارای توزیع نرمال است Xمتغیر تصادفی هرگاه تابع توزیع چگالی احتمال آن به صورت

زیر باشد:

نرمال استاندارد

خواص توزیع نرمال

= متقارن است.µ xاین منحنی نسبت به خطمیانه، میانگین و مد بر هم منطبقند.

µمنحنی دارای دو نقطه عطف در نقاط x=

توزیع نمایی

گفتیم توزیع پواسون تعداد وقایع در یک ناحیه پیوسته با یک فاصله زمانی است.

زمان اولین اتفاق یا Xحال اگر متغیر تصادفی زمان بین دو اتفاق متوالی در توزیع پواسون

باشد.

توزیع بیش از حد نماییHypo-exponential Distribution

همان نمایی است با ضریب تغییرات کمتر از یک

کاربردHypo-exponential Distribution

تئوری صف مهندسی ترافیک مخابرات

و به طور کلی در فرآیندهای تصادفی

Hyper-exponential Distribution

همان نمایی است با ضریب تغییرات بیشتر از یک

αتوزیع گامــا-

در توزیع نمایی زمان الزم برای اولین رخداد توزیع پواسون مطرح گردید

حال مطلب فوق را تعمیم می دهیم و زمان امین رخداد را بررسی می کنیمαالزم برای

بسته 30فرض کنید هر ساعت به طور متوسط وارد مسیریابی می شود مطلوبست محاسبه

دقیقه 5الف: احتمال اینکه مسیریاب الاقل منتظر بماند تا دومین بسته وارد شود؟

متغییرهای تصادفی مستقل

را مستقل می Y و Xدو متغییر تصادفی داشته باشیم.yو xگوییم هر گاه به ازای هر F(x,y)=FX(x) FY(y)

احتمال شرطی

S پیشامدی از فضای نمونه Aفرض کنید باشد.

از این فضای Bبرای هر پیشامد دلخواه مانند را P(B|A)نمونه ای احتمال شرطی آن، یعنی

در تعریف می کنیم PA(B)=P(B|A)=

نمودار درختی

در مخزن سئوال:

هندسهچهار سئوال جبرسه سئوال حسابانپنج سئوال

داریم

از دانش آموز مصاحبه می شود در صورتی که از او

سئوال

0.3 پرسیده شود احتمال هندسهقبول می شود

قبول می 0.4احتمال جبرو از شود قبول می 0.7احتمال حسابانو از شود

در مخزن سئوال:•هندسهچهار سئوال –جبرسه سئوال – حسابانپنج سئوال –

داریم

از دانش آموز مصاحبه می شود در صورتی که از او سئوال

قبول 0.3 پرسیده شود احتمال هندسهمی شود

قبول می 0.4احتمال جبرو از شود قبول می 0.7احتمال حسابانو از شود

4/12

3/12

8/12

هندسه

جبر

حسابان

0.3

0.7

قبول

رد

0.4

0.6

قبول

رد

0.7

0.3

قبول

رد

=P(قبول شدن دانش آموز)=4/12*0.3+3/12*0.4+8/12*0.7

روابط مهم

Covariance

اندازه گیری میزان وابستگی بین دو متغیر Y و Xتصادفی

x=y اگر

correlation coefficient

قضیه حد مرکزی

از متغیرهای تصادفی X1,X2,X3دنباله ..., که بر یک فضای Dمستقل با توزیع یکسان

احتمال تعریف شده اند0 و نحراف از معیار آن m برابر Dمیانگین

را در نظر Sn = X1+X2+X3+...+Xnسری nm برابر Snبگیرید. می دانیم که میانگین است. بر اساس 0و انحراف از معیار  آن   

در بی نهایت به Snقضیه حد مرکزی میل می کند.N(nm, 02nسمت توزیع نرمال )

شعبده بازی احتمال

5, 3 , 3 , 1 , 1 , 6, 2, 1 , 2 , 2 , 4 , 3 , 3 ,4 ,2, 5, 2, 1 ,3 , 4, 1 , 4

چرا تبدیل؟

محاسبهامید ریاضی

واریانسگشتاور

از حوصله خارج است

انواع تبدیل

z

الپالس

Zتبدیل

 تبدیلی است از سیگنال گسسته در Zتبدیل حوزه زمان به فضای فرکانسی مختلط