διαφορικός λογισμός ααα
Post on 27-Jun-2015
174 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ
p q p q
p q p q
( ) ( ) ( )p q r p q p r
( ) ( ) ( )p q r p q p r
( ) ( )p q q p
0, ( ) , ( )x A p x x A p x
( ) ) ( ) ( )p q r p r q r
Προτασιακός Λογισμός
Όριο
πραγματικός
>0
<0
=0+∞
-∞
δεν υπάρχει
𝑥→𝑥0 ,𝑥0+¿ , 𝑥0
− ,+∞,−∞ ¿
Όρια Παραγοντοποίηση
Συζυγής παράσταση
Αλλαγή μεταβλητής
De l’ Hospital
Κριτήριο παρεμβολής
Βοηθητική συνάρτηση
Πλευρικά όρια
3 3 2 2( )( )a
Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης
++
=++
=
,𝛼𝑣≠0
Όριο ρητής συνάρτησης στο
𝑓 (𝑥 )=𝛼𝑣𝑥
𝜈+𝑎𝜈−1 𝑥𝜈− 1+ ∙∙ ∙+𝑎1𝑥 +𝛼0
𝛽𝜇𝑥𝜇+𝛽𝜈− 1𝑥
𝜇−1 +∙ ∙ ∙+𝛽1𝑥+ 𝛽0
=𝛼𝑣 𝑥
𝑣
𝛽𝜇𝑥𝜇
𝛼𝜈 , 𝛽𝜇≠0
Όριο της συνάρτησης
στο 𝒙𝟎
𝛼𝛽, β ≠0
00
𝛼0,𝛼≠0
Όριο άρρητης συνάρτησης
Κοινός παράγοντας
Συζυγής παράσταση
Αλλαγή μεταβλητής
3 3 2 2( )( )a
00,∞∞
Παραγοντοποίηση
De l’ Hospital
Απροσδιόριστες μορφές
𝑎0
=𝑎10=¿
+∞
-∞
δεν υπάρχει
Αν α≠0
0∙
0∙
∙
Απροσδιόριστες μορφές
∞−∞=∞(1−∞∞
)
Παραμετρικά
όρια
Άρρητη
συνάρτηση Κοινός παράγοντας και Συζυγής
Ρητή συνάρτηση
Πηλίκο μεγιστοβάθμιων
𝑓 (𝑥 )=𝛼𝑣𝑥
𝜈+𝑎𝜈−1 𝑥𝜈− 1+ ∙∙ ∙+𝑎1𝑥 +𝛼0
𝛽𝜇𝑥𝜇+𝛽𝜈− 1𝑥
𝜇−1 +∙ ∙ ∙+𝛽1𝑥+ 𝛽0
Ρητή συνάρτηση
α(λ,μ)
>0
>0
=0
δεν ορίζεται
Παραμετρικά Όρια Περιπτώσεις με μία παράσταση
Υπολογισμός ορίου με βοηθητική συνάρτηση
Θέτουμε
Λύνουμε ως προς
lim𝑥→𝜎
𝛼( 𝑓 (𝑥 ))=𝐿
Αλλαγή μεταβλητής σε όριο
1
lim ( ( )) lim ( )x u
f g x f u
0 01
( )
lim lim ( ( ))x x x x
u g x
u f g x
00
( ) ( 1)x
x xx
0 0( ) ( ) 0x x x x
Αλλαγή μεταβλητής σε όριο
00
1 1( ) ( ), 0
1 1( 0 ) ( ), ( 0 ) ( ),
1 1( ) ( 0 ), ( ) ( 0 )
x x xx x
x xx x
x xx x
Προσπαθούμε να εγκλωβίσουμε μία συνάρτηση f(x) ανάμεσα σε δύο αλλλες που έχουν το ίδιο όριο.Εργαζόμαστε:
Με διαδοχικές αυξήσεις
Συνθετικά
( ) ( )f x g x
2 2 2
1 1x
x x x x
Κριτήριο παρεμβολής
Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν
● h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και
●
τότε
0 0
lim ( ) lim ( )x x x x
h x g x l
0
lim ( )x x
f x l
Κριτήριο παρεμβολής
Εφαρμογή Κριτηρίου Παρεμβολής
Διαδοχικές αυξήσεις
Συνθετικά
( ) ( )f x g x
2 2 2
1 1x
x x x x
Προσπαθούμε να εγκλωβίσουμε τη συνάρτηση f(x) ανάμεσα σε δύο αλλλες που έχουν το ίδιο όριο
Όρια με φραγμένες συναρτήσεις
(Μηδενική) (Φραγμένη)
=(Μηδενική)
(Θετικά απειριζόμενη)( Κάτω φραγμένη από θετικό αριθμό)
= (Θετικά Απειριζόμενη)
(Αρνητικά Απειριζόμενη)( Άνω φραγμένη από αρνητικό αριθμό)
=Θετικά Απειριζόμενη
(Απειριζόμενη)+ (Φραγμένη)
=(Απειριζόμενη)
1
( ) ( ) ln ( )lim ( ) lim
lim
g x g x f x
x x
u
u
f x e
e
1
( ) ln ( )
limx
u g x f x
u
Εκθετικά όρια
Ασύμπτωτες
Κατακόρυφες
Οριζόντιες λ=0
Πλάγιες λ≠0
y x
0x x
Ασύμπτωτες Κατακόρυφες
Οριζόντιες-Πλάγιες
Οριζόντιες
lim ( )ox xf x
0x x
y x
( )limx
f x
x
lim ( ( ) )
xf x x
lim [ ( ) ( )]x
f x x
lim ( )x
f x l
Ασύμπτωτες αναζητούμε
Στα ανοιχτά και πεπερασμένα άκρα του πεδίου ορισμού
Στα σημεία του πεδίου ορισμού όπου η f δεν είναι συνεχής
Στο +∞ και στο -∞
Αν η f(x) είναι συνεχής και f(x) ≠0 τότε
f(x)>0 ή f(x)<0
'x x x'x
Συνέχεια
Σημείο Ορισμός
Διάστημα Ιδιότητες
Παράγωγος
Σημείο Ορισμός
Διάστημα Ιδιότητες
Πίνακας Προσήμου της f(x) σε ένα διάστημα Δ
Άκρα του Δ
Σημεία όπου η f μηδενίζεται
Σημεία όπου η f δεν ορίζεται
Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο
Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης f(x) εκατέρωθεν ρίζας
Δοκιμές
Μονοτονία
Λύνω αλγεβρικά την ανίσωση f(x)>0
Πρόσημο πολυωνυμικής συνάρτησης
Βρίσκω τις ρίζες
Κατασκευάζω πίνακα
Βρίσκω το πρόσημο δεξιά της μεγαλύτερης ρίζας
Αλλάζω πρόσημο εκατέρωθεν ριζών περιττής πολλαπλότητας
• Ρίζες • Πρόσημο
• Επίλυση ως προς f(x)
Εύρεση τύπου συνεχούς συνάρτησης f(x)
Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ
Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η παράγωγος μηδενίζεται
Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η f δεν παραγωγίζεται
Τα άκρα του Δ
Πιθανές θέσεις σημείων καμπής συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ
Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται
Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η δεύτερη παράγωγος δεν υπάρχει
Μονοτονία Ορισμός
Πρόσημο της
1-1
Μονοτονία
𝑓 (𝑥1 )= 𝑓 (𝑥2 )⇒ 𝑥1=𝑥2∀ 𝑥∈𝐴
Ακρότατο συνάρτησης f σε εσωτερικό σημείο
Αλλαγή μονοτονίας της f
Αλλαγή προσήμου της
Κυρτότητα Μονοτονία της (Ορισμός)
Πρόσημο της
Σημείο καμπής Αλλαγή μονοτονίας της
Αλλαγή προσήμου της
Πίνακας Μονοτονίας
Άκρα πεδιου ορισμού
Σημεία όπου η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται
Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο και ενδεχομένως η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει
• Συνέχεια • Μονοτονία
• Τιμές στα κλειστά άκρα των διαστημάτων μονοτονίας• Οριακές τιμές στα ανοιχτά άκρα
των διαστημάτων μονοτονίας
Σύνολο Τιμών –Πλήθος Ριζών
• Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f • Εξετάζω τη συνέχεια της f
• Βρίσκω την f'• Βρίσκω τις ρίζες της f'
• Κατασκευάζω πίνακα προσήμου
Μονοτονία –Ακρότατα
Πίνακας Κυρτότητας
Άκρα πεδιου ορισμού
Σημεία όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται
Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο και ενδεχομένως η δεύτερη παράγωγος δεν υπάρχει
• Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f • Εξετάζω τη συνέχεια f
• Βρίσκω την f'• Βρίσκω την f''
• Βρίσκω τις ρίζες της f'' • Κατασκευάζω πίνακα προσήμου
Κυρτότητα –Σημεία καμπής
Aπόδειξη ανισοτήτων
Μονοτονία-Ακρότατα
Θ.Μ.Τ
Κυρτότητα
Πως θα δείξω ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ριζα στο Δ=(α,β)
Βρίσκω προφανή ρίζα
Λύνω αλγεβρικά την εξίσωση
Εφαρμόζω Θ. Bolzano για την f
Εφαρμόζω Θ. Rolle για την F, παράγουσα της f
Βρίσκω την εικόνα f(Δ) του Δ με την f και δείχνω ότι 0 f(Δ)
Πως θα δείξω ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ριζα στο Δ=[α,β]
Ελέγχω το α
Ελέγχω το β
Ελέγχω το (α,β)
Η ρίζα της f μπορεί να είναι το α, ή το β ή κάποιο
Πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=α
Βρίσκω τα διαστήματα μονοτονίας κ.τ.λ της f
Ελέγχω αν α,ακ.τ.λ
η εξίσωση f(x)=α έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Δ με
Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:
●η f είναι συνεχής στο [α, β] και
●f(α) ≠ f(β)
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0ϵ (α, β) τέτοιος, ώστε
f(x0) = η
ΘΕΩΡΗΜΑ (Ενδιάμεσων τιμών)
Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:
● η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει
● f(α) • f(β) < 0 .
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x0ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε
f(x0) = 0 .
Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστημα (α, β) .
ΘΕΩΡΗΜΑ (Bolzano)
Αν μια συνάρτηση f είναι :
● συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
● παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
● f(α) = f(β)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :
f ʹ(ξ) = 0
ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)
Αν μια συνάρτηση f είναι :
● συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
● παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε :
f ʹ(x0) = 0
ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)
Θ.Β Θ.Ε.Τ
ΘΜΤ
ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
Κυρτότητα και ανισοτικές σχέσεις
2
( ) ( ), ( , )
2 2
f a ff x a
Κυρτή συνάρτηση
2
( ) ( )( , )
2 2
f a ff x a
Κοίλη συνάρτηση
0x
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x
0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x a
0 0( , ( ))A x f x
Κυρτή συνάρτηση
0x
0 0( , ( ))A x f x
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x
0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x
Κοίλη συνάρτηση
Εφαπτομένη της
0x
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x
f 0 0Eφαπτομένη της C σε σημείο της A(x ,f(x )
0 0( , ( )A x f x
fEφαπτομένη της C από σημείο M(α,β)
0x
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x
( , ( ))o oA x f x ( , )M a
0 0 0( ) ( )( )f x f x x
fHευθεία y=λx+β είναι εφαπτομένη της C
0
0 0
( )
( )
f x
f x x
0x
y x 0 0( , ( ))A x f x
fC
f παράλληλη
στην
Eφαπτομένη της Cευθεία y=λx+β
0( )f x
0x
y x
0 0( , ( ))A x f x
fC
1x 2x
2 11 2 1 2
2 1
( ) ( )'( ) '( ) ,
f x f xf x f x x x
x x
2 2( , ( ))B x f x
1 1( , ( ))x f x
Εφαπτομένη σε δύο σημεία της
x x
fC
fC
0 0Kοινή εφαπτομένη σε κοινόσημείο Α(x ,f(x )
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
0x
0 0( , ( ))A x f x
fC
gC
0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x
'x x
2x
f gKοινή εφαπτομένη των C και C
fCgC
2 11 2 1 2
2 1
( ) ( )'( ) '( ) ,
g x f xf x g x x x
x x
1 1( , ( ))x f x
2 2( , ( ))B x g x
'x x1x
1 1( ( )) ( )( )f f x f f x x
Παράγωγος της αντίστροφης
𝑓 ( 𝑓 − 1 (𝑦 ) )=𝑦
( 𝑓 ( 𝑓 −1 (𝑦 ) ) )′=1
𝑓 ′ ( 𝑓 −1 (𝑦 ) ) ( 𝑓 −1 )′ (𝑦 )=1
𝑓 ′ (𝑥 ) ( 𝑓 −1 )′ (𝑦 )=1
( 𝑓 − 1 )′ ( 𝑦 )= 1𝑓 (𝑥 ) με
Κοινά σημεία των και
⇔
⇔
⇔
Η τελευταία ισοδυναμία ισχύει μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαφορικές Εξισώσεις(1)
Κανόνας γινομένου
Κανόνας πηλίκου
Εκθετική συνάρτηση
( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) ( )) 'f x g x f x g x f x g x
'( ) ( ) ( ) xf x f x f x ce
'
2
( ) ( ) ( ) '( ) ( )
( ( )) ( )
f x g x f x g x f x
g x g x
Διαφορικές Εξισώσεις(2)
Χωριζόμενες μεταβλητές
Γραμμική πρώτης τάξης
( ( )) ( ) ( )f x f x x
( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x
min
max
, ( )
, ( )
x A f x a f a
x A f x a f a
3
4
, 1( ) 3 7
( 2) , 14 4
x xf x
x x
2
3
3 1'( )
3( 2) 1
x xf x
x x
2
6 1''( )
9( 2) 1
x xf x
x x
2
3
1 , 0( )
1 , 0
x x xf x
x x x
1y x
2
2 1 , 0'( )
3 1 , 0
x xf x
x x
2 , 0''( )
6 , 0
xf x
x x
''( ) 0H f x ά
6 4 2( ) 1f x x x x x 1y x
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )af x g x
f x h x dx f x g x dx
f x g x dx
Παραγοντική Ολοκλήρωση
'( ) ( )g x h x
H g είναι παράγουσα της h
Βασικές περιπτώσεις για την h(x) στο γινόμενο f(x)h(x)=f(x)g'(x) στην παραγοντική ολοκλήρωση
Εκθετική συνάρτηση
Πολυωνυμική
Τριγωνομετρική συνάρτηση
Λογαριθμική
Αλλαγή Μεταβλητής
2
1
( ( )) ( ) ( )u
a u
f g x g x dx f u du
1 2
( )
'( )
( ) , ( )
u g x
du g x dx
u g a u g
Η εσωτερική συνάρτηση g(x)=u στην αλλαγή μεταβλητής μπορεί να είναι
Παρονομαστής
Βάση δύναμης
Υπόρριζο
Λογαριθμιζόμενος
Εκθέτης
Τόξο
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
Αλλαγή μεταβλητής στην αντίστροφη
1( ) ( )
( )
( )
( )
a
f y dy xf x dx
y f x
f a
f
Πεδίο ορισμού της Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f και τα ευρύτερα διαστήματα
όπου αυτή είναι συνεχής
Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και την τομή τους
Για κάθε και για κάθε απαιτούμε
( )
( )
( )x
u x
f t dt
1 2, ,...
uD D
ux D D
( ) ( )i iu x x
,u
1,2..,i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
Παράγωγος της
( )
( )
( )x
u x
f t dt
( )
( )
( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )x
u x
f t dt f x x f u x u x
Παράγωγος της Θέτουμε
και κάνουμε
αλλαγή μεταβλητής
Καταλήγουμε στην μορφή
1
1
( )
( )
( ) ( )x
u x
x f u du
( , )g x t u( )
( )
( , ) ( ( , ))x
u x
h x t f g x t dt
top related