ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами
Post on 06-Aug-2015
561 Views
Preview:
TRANSCRIPT
КП – метод заснований на знаходженні множини всіх точок КП – площини, де значення координат Х і
параметра а задовольняють заданій в умовах завдання співвідношенню
F(х;а)=0
При запису відповіді поставимо у відповідність кожному допустимому фіксованому значенню параметра а
значення шуканої величини Х – координати відповідних точок
знайденої множини.
• Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами розв’язують як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’язування, можна виконати однозначно.
• Буває зручно супроводжувати відповідні міркування схемами.
• Зазначимо, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше розв’язують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи використовують: властивості функцій, метод інтервалів (для розв ’язування нерівностей) ,рівняння – наслідки, рівносильні перетворення.
Орієнтиром при розв’язуванні завдань з параметрами є:
Розв’яжіть рівняння
На першому кроці розбиваємо розв’язання на 2 випадки:
1) a< 0 - коренів немає,2) a≥ 0 – корені є;
a2 -x Приклад №1
a2 -x
a< 0
a≥ 0
Коренів немає
22 ax
22 axПри a≥ 0 маємо найпростіше ірраціональне рівняння, обидві частини якого невід’ємні.
Розв’язання 1) При a< 0 - рівняння не має коренів; 2) При a≥ 0, . Тоді .22 ax 22 ax
Відповідь: 1) якщо a< 0 , то коренів немає; 2) якщо a≥ 0, то .22 ax
Комментар
Розв`яжіть рівняння Для всіх коренів даного рівняння х≥0. (1)Тоді задане рівняння рівносильне рівнянням: (2)
(3)Для всіх коренів рівняння (4)
Тоді рівняння (3) рівносильне рівнянням: (5) (6)
Розглянемо рівняння (6) як квадратне відносно а:
D=
Тоді а=
Отже, а= або а=
Звідси (7)
Або (8)
Ураховуючи умови (1) і (4), одержимо, що ,Отже, рівняння (7) не має коренів.
Приклад №2 õõàà
2xxaa axxa 2
02 ax
224 2 aaxxxa
0)12( 422 xxaxa22422 )12(144)(4)12( xxxxxx
2
)12()12( 2 xx
12 xx xx 2
012 xax
xax 2
22 )( axxa
11)( 2 xax
Комментар
ОДЗ данного рівняння є
ОДЗ буде враховано при переході до рівнянь (2) та (5). Для (2),(3),(5),(6) повністю аналогічне міркування до прикладу (2)Аналізуючи рівняння (6), користуємося орієнтиром, а саме: спробуйте розглянути задане рівняння як квадратне відносно якоїсь змінної(чи функції). У даному випадку розглянемо це рівняння як квадратне відносно параметра a.* Цей спосіб ефективний тільки тоді, коли дискримінант одержаного квадратного тричлена є повним квадратом, як у розглянутого випадку.
Розв`язок
0 xaa0 xa
Якщо для коренів рівняння (8) виконується умова (1) (х≥ 0), то автоматично виконується й умова (4) ( ).
Із рівняння (8) одержимо:
Це рівняння має корені, якщо
D=1+4а ≥0, тобто при а ≥-
Тоді ,
Для умова х ≥0, виконується,
Отже, - корінь заданого рівняння
при а ≥-
Урахуємо умову х ≥ 0 для :
≥ 0, , ,
.
Відповідь:1) При
2) При a>0 х= ;
3)При а<- коренів немає.
04
1 à
2
4111
ax
2
4112
ax
2
411 a
4
1
КомментарПеред записом відповіді зручно зобразити на рисунку всі одержані розв`язки і напроти кожного розв`зку відмітити, при яких значеннях параметра цей розв`язок можна використати.
2
4111
ax
2
4112
ax
а0- 4
1
Із цього рисунку видно, що при а>0 у відповідь потрібно записати тільки одну формулу( ), при
дві формули ( і ), а при a<- коренів немає.
02 ax
02 axx
4
1
2
4111
ax
2
4112
ax
1x1x
4
1
2x
2
411 a 141 a 1410 a
04
1 à
1x 04
1 à
2õ1x 4
1
Розв`яжіть нерівність
• Із теорії відомо:• або
• Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в таких випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну, розглянути параметр як функцію від цієї змінної і використати графічну ілюстрацію розв`язування нерівностей (у системі координат хОа) для зображення розв`язків сукупності нерівностей зручно використовувати дві системи координат, у яких осі Ох розташовані на одній прямій,
• І на кожній виділять штриховкою відповідні розв`язки.При різних значеннях а пряма а=const або не перетинає заштриховані області (при а ), або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок перетину є розв`язками систем (1)і (2), а отже, і розв`язками заданої нерівності.
Приклад №3 1 xax
0)( xg)()(2 xgxfk )()( 2 xgxf k
0)( xf
0)( xg
4
3
Розв`язання
Задана нерівність рівносильна сукупності систем:
або
Тоді (1)
Або (2)
Зобразимо графічно розв`язки систем нерівностей(1) і (2) у системі координат хОа(на малюнку відмічено області 1 і 2).
X=
-1
a
x
X=
-1
4
3a
4
31 a
1à
2
1
4
3
-1
-1
0
1
a
x
1à
4
31 a
4
3a
a=x
4
3
-1
0
2
01 x2)1( xax
0 ax
01 x
1x12 xxa
xa 1x
За малюнками ми бачимо, що при а розв`язків немає(немає зафарбованих точок); якщо , то пряма а=const перетинає тільки заштриховану область 1 Причому одержаний інтервал обмежений зліва і справа вітками параболи а= . Але для відповіді нам потрібно записати х через а. Для цього з рівняння
знаходимо х:
Як бачимо, ,тобто - рівняння правої вітки
параболи, а - лівої.
Тоді відповідь у цьому випадку буде такою :
Якщо a<-1, то пряма а=const перетинає заштриховані області 1 і 2. Для області 1 інтервал для х зліва обмежений прямою х=-1, а справа -
правою віткою параболи , тобто .
4
3
4
31 a
12 xx
012 àxx
14
1
2
1 ax
2
1
4
3
2
1 ax
2
1
4
3
2
1 ax
2
1
4
3
2
1 ax
axa 4
3
2
1
4
3
2
1
ax 4
3
2
11
Для області 2 інтервал для х обмежений зліва прямою х=а, а справа – прямою х=-1, тобто Об`єднання цих інтервалів можна коротше записати так :
Відповідь:1) При - розв`язків немає;
2) При - ;
3) При а<-1 . Для розв`язування деяких дослідницьких завдань з
параметрами можна використати властивості квадратного тричлена і, зокрема, умови розміщення коренів квадратного тричлена відносно заданих чисел.
1xa
axa 4
3
2
1
4
3a
4
31 a axa
4
3
2
1
4
3
2
1
axa 4
3
2
1
top related