第十五章 傅立叶级数
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第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数15.2 以 2l 为周期的函数的展开式15.3 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出非正弦周期函数 : 矩形波
ot
u
1
1
t
ttu
0,1
0,1)(
当当
不同频率正弦波逐个叠加
,7sin714
,5sin514
,3sin314
,sin4
tttt
tu sin4
)3sin31
(sin4
ttu
)5sin51
3sin31
(sin4
tttu
)7sin71
5sin51
3sin31
(sin4
ttttu
)7sin71
5sin51
3sin31
(sin4
)(
tttttu)0,( tt
)9sin91
7sin71
5sin51
3sin31
(sin4
tttttu
二、三角级数 三角函数系的正交性
10 )sin()(
nnn tnAAtf
1. 三角级数
谐波分析
10 )sincoscossin(
nnnnn tnAtnAA
1
0 )sincos(2 n
nn nxbnxaa
,2 0
0 Aa
令 ,sin nnn Aa ,cos nnn Ab ,xt
三角级数
2. 三角函数系的正交性
,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx
.],[
:
上的积分等于零任意两个不同函数在正交
,0cos
nxdx ,0sin
nxdx
三角函数系
),3,2,1( n
,,
,0sinsin
nm
nmnxdxmx
,,
,0coscos
nm
nmnxdxmx
.0cossin
nxdxmx ),2,1,( nm其中
三、函数展开成傅里叶级数问题 : 1. 若能展开 , 是什么 ?ii ba ,
2. 展开的条件是什么 ?
1. 傅里叶系数
1
0 )sincos(2
)(k
kk kxbkxaa
xf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxa
dxxfk
kk ])sincos([2
)(1
0
,220 a
dxxfa )(
10
kxdxbdxkxadxa
kk
kk sincos
2 11
0
.)2( na求
nxdx
anxdxxf cos
2cos)( 0
]cossincoscos[1
nxdxkxbnxdxkxa k
kk
nxdxan
2cos , na
nxdxxfan cos)(1
),3,2,1( n
.)3( nb求
nxdxxfbn sin)(1 ),3,2,1( n
nxdx
anxdxxf sin
2sin)( 0
]sinsinsincos[1
nxdxkxbnxdxkxa k
kk , nb
),2,1(,sin)(1
),2,1,0(,cos)(1
nnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
2
0
2
0
),2,1(,sin)(1
),2,1,0(,cos)(1
nnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
或
傅里叶系数
傅里叶级数
1
0 )sincos(2 n
nn nxbnxaa
问题 :
1
0 )sincos(2
?)(n
nn nxbnxaa
xf 条件
2. 狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件 ( 收敛定理 )设 )(xf 是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 )(xf 的傅里叶级数收敛,并且
(1) 当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf ;
(2) 当x是 )(xf 的间断点时,收敛于2
)0()0( xfxf;
(3) 当x为端点 x 时,收敛于2
)0()0( ff.
注意 : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 .
解
例 1 以 2 为周期的矩形脉冲的波形
, 0( )
, 0m
m
E tu t
E t
将其展开为傅立叶级数.
ot
u
mE
mE
所给函数满足狄利克雷充分条件 .
.),2,1,0( 处不连续在点 kkt
2mm EE 收敛于
2
)( mm EE ,0
).(, tukt 收敛于时当 和函数图象为
ot
u
mE
mE
ntdttuan cos)(
1
0
0
cos1
cos)(1
ntdtE
ntdtE
m
m
),2,1,0(0 n
ntdttubn sin)(
1
0
0sin
1sin)(
1ntdtEntdtE mm
)cos1(2
nnEm ])1(1[
2 nm
nE
,2,1,2,0
,2,1,12,)12(
4
kkn
kknkEm
1
)12sin()12(
4)(
n
m tnnE
tu
),2,,0;( tt
所求函数的傅氏展开式为
注意 : 对于非周期函数 , 如果函数 只在区间 上有定义 , 并且满足狄氏充分条件 , 也可展开成傅氏级数 .
)(xf],[
作法 :
),()()()2( xfxFT周期延拓
)]0()0([21
ff端点处收敛于
例2 将函数
xx
xxxf
0,
0,)( 展开为傅立叶
级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件 .
拓广的周期函数的傅氏级数展开式在
收敛于 .)(xf
],[
x
y
0 22
nxdxxfan cos)(
1
0
0cos
1cos)(
1nxdxxnxdxx
)1(cos22
nn
]1)1[(22
n
n
dxxfa )(
10
0
0 1)(
1xdxdxx ,
,2,1,2,0
,2,1,12,)12(
42
kkn
kknk
nxdxxfbn sin)(
1
0
0sin
1sin)(
1nxdxxnxdxx ,0
1
2 )12cos()12(
142
)(n
xnn
xf
)( x
所求函数的傅氏展开式为),3,2,1( n
利用傅氏展开式求级数的和
,)12cos()12(
142
)(1
2
n
xnn
xf
,0)0(,0 fx 时当 22
2
5
1
3
11
8
,4
1
3
1
2
11 222 设
),8
(5
1
3
11
2
221
,6
1
4
1
2
12222
,4
1
3
1
2
11 2223
,44
212
,
243
21
2
21 ,6
2 13 2 .12
2
为周期的连续函数，且是以设 2)(xf
1
0 )sincos(2
)(n
nn nxbnxaa
xf 可逐项积分，
试证明： ,)(2
)(1
1
222
02
nnn ba
adxxf
.)(, 的傅立叶系数为其中 xfba nn
证
1
0 )sincos(2
)(n
nn nxbnxaa
xf
1
02 ]sin)(cos)([)(2
)(n
nn nxxfbnxxfaxfa
xf
例 3
可逐项积分，)(xf
dxxf
a)(
20
dxxf )(2
1
]sin)(cos)([n
nn nxdxxfbnxdxxfa
dxxf
a)(
20
1
]sin)(cos)([n
nn nxdxxfbnxdxxfa
0a
na nb
,)(2
)(1
222
02
nnn ba
adxxf 结论可证 .
播放播放
1. 基本概念；2. 傅里叶系数；3. 狄利克雷充分
条件；4. 非周期函数的
傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义——整体逼近
四、小结
思考题
若 函 数 )()( xx ， 问 ： )( x 与 )( x
的 傅 里 叶 系 数 na 、 nb 与 n 、 n ),2,1,0( n
之 间 有 何 关 系 ？
思考题解答
nxdxxan cos)(
1
)()cos()(
1tdntt
nxdxx cos)(
1
nxdxx cos)(
1n ),2,1,0( n
15.2 正弦级数与余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
( 1)当 周 期 为 2 的 奇 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数时 , 它的 傅 里 叶 系数 为
),2,1(sin)(
2
),2,1,0(0
0
nnxdxxfb
na
n
n
定理
一般说来 , 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项 , 又含有余弦项 . 但是 , 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 .
( 2) 当 周 期 为 2 的 偶 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级
数 时 , 它 的 傅 里 叶 系 数 为
),2,1(0
),2,1,0(cos)(2
0
nb
nnxdxxfa
n
n
证明 ,)()1( 是奇函数设 xf
nxdxxfan cos)(1
0 ),3,2,1,0( n奇函数
0 sin)(2
nxdxxf
),3,2,1( n
同理可证 (2)
定义 如果 )(xf 为奇函数,傅氏级数 nxbnnsin
1
称为正弦级数.
如果 )(xf 为偶函数, 傅氏级数 nxaa
nncos
2 1
0
称为余弦级数.
nxdxxfbn sin)(1
偶函数
定理证毕 .
例1 设 )(xf 是周期为2的周期函数,它在),[ 上的表达式为 xxf )( ,将 )(xf 展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件 .
,),2,1,0()12( 处不连续在点 kkx
2)0()0( ff收敛于
2)(
,0
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点
2 2 3 3x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 xfkx
和函数图象
),2,1,0(,0 nan
0 sin)(2
nxdxxfbn
0 sin2
nxdxx
02 ]sincos
[2
n
nxnnxx
nn
cos2
,)1(2 1 n
n),2,1( n
)3sin31
2sin21
(sin2)( xxxxf
.sin)1(
21
1
n
n
nxn
),3,;( xx
)5sin51
4sin41
3sin31
2sin21
(sin2 xxxxxy
xy
观察两函数图形
例2 将周期函数 tEtusin)(展开成傅氏级数,
其中E是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件 , 在整个数轴上连续 .
,)( 为偶函数tu
,0 nb
00 )(2
dttua
t
)(tu
0 2 2
E
0 sin2
tdtE ,4
E
),2,1( n
0 cos)(2
ntdttuan
0 cossin2
ntdttE
0
])1sin()1[sin( dttntnE
12,0
2,]1)2[(
42
kn
knk
E
当
当),2,1( k
01)1cos(
1)1cos(
ntn
ntnE
)1( n
01 cos)(2
tdttua
0 cossin2
tdttE ,0
)6cos351
4cos151
2cos31
21
(4
)(
tttE
tu
)( t
].14
2cos21[
2
12
n n
nxE
二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数为周期的延拓成以上定义在设
,0)(
0)()(
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF 且
则有如下两种情况 .偶延拓奇延拓
奇延拓 : )()( xfxg
0)(00
0)()(
xxfxxxf
xF则
x
y
0 的傅氏正弦级数)(xf
1sin)(
nn nxbxf )0( x
偶延拓 : )()( xfxg
0)(
0)()(
xxfxxf
xF则
的傅氏余弦级数)(xf
1
0 cos2
)(n
n nxaa
xf )0( x
x
y
0
例 3 将 函 数 )0(1)( xxxf 分 别 展 开 成
正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .
解 (1) 求正弦级数 . ,)( 进行奇延拓对 xf
0 sin)(2
nxdxxfbn
0 sin)1(
2nxdxx
)coscos1(2
nnn
,6,4,22
,5,3,122
nn
nn
当
当
]3sin)2(31
2sin2
sin)2[(2
1
xxxx
)0( x
]5sin)2(51
4sin4
3sin)2(31
2sin2
sin)2[(2
xxxxxy
1xy
(2) 求余弦级数 . ,)( 进行偶延拓对 xf
00 )1(
2dxxa ,2
0 cos)1(
2nxdxxan
)1(cos22
nn
,5,3,14
,6,4,20
2 nn
n
当
当
]5cos5
13cos
3
1(cos
41
21 22
xxxx
)0( x
1xy
)7cos71
5cos51
3cos31
(cos4
12 222 xxxxy
三、小结1 、基本内容 :
奇函数和偶函数的傅氏系数 ; 正弦级数与余弦级数 ; 非周期函数的周期性延拓 ;
2 、需澄清的几个问题 .( 误认为以下三情况正确 )a. 只有周期函数才能展成傅氏级数 ;
;2,],0[. 的傅氏级数唯一展成周期为上在 b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在
思考题
.
],[)()(,,
,],[)(
定义的函数上成为才能使
应如何选择上定义的函数是在设 BAtftFBA
baxf
思考题解答
,,)( bBAaBA 应使
.2
,2
abB
abA
即
nxdxxbn sin)(
1
)()sin()(
1tdntt
nxdxx sin)(
1
nxdxx sin)(
1n ),2,1( n
,nna .nnb
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