שפות רגולריות וחוקי סגירות

שפות רגולריות וחוקי סגירות

מודלים חישובייםמודלים חישוביים

18.2.09

עריכה: רחלי עריכה: רחלי צרניחובצרניחוב

שפה רגולרית - הגדרהשפה רגולרית - הגדרה

שפה נקראת רגולרית אם אפשר לבנות אוטומט סופי .דטרמיניסטי שמקבל אותה

(78)ספר מודלים חישוביים או"פ - ע"מ

אוטומט סופי דטרמיניסטי מתואר על ידי חמישה מרכיבים:

א"ב קלט.1( קבוצת מצבים.2( מצב התחלתי.3( קבוצת מצבים סופיים. 4( טבלת מעברים. 5(

q0 q1 q2

start

b,c b,c

aa

חוקי סגירותחוקי סגירותקצת מעולם המתמטיקה:

מספרים שלמיםY וגם Xאם ידוע ש-

אז

Y*X וגם Y-X וגם Y+Xתוצאת הביטויים:

תהייה מספר שלם,

לא תמיד תהייה מספר שלם.Y/Xאבל, תוצאת הביטוי

מכאן נובע שהפעולות: חיבור, חיסור וכפל

חילוק לא.סגורות ב"עולם" המספרים השלמים.

x+yx-y

x*y

x/y

x y

חוקי סגירותחוקי סגירותבמודלים חישוביים הדבר דומה.

ניקח תכונות שונות של שפות רגולריות ונבדוק אם

תוצאת הפעלת הפעולה תהייה בהכרח שפה רגולרית.

התכונות שנבדוק:

חלקיות. 1.

משלים.2.

חיתוך.3.

איחוד. 4.

היפוך. 5.

שרשור.6.

2L

1L

L

1L 2L

2L1L

תכונות של משפחת השפות הרגולריות

L1 L1 L2 L2שפה חלקית

L1 2 חלקית לשפהL אם

2L.2L נמצאות גם ב- 1Lכל המילים שב-

1L

גם 1L רגולרית האם בהכרח 2Lאם ידוע שהשפה רגולרית?

L2={ {a,b} שפת כל המילים מעל הא"ב }

L1={ anbn|n>0 }?האם שפה חלקית לשפה רגולרית היא בהכרח רגולרית

התשובה היא לא!

תכונות של משפחת השפות הרגולריותLLשפת המשלים

תקבל Lשפת המשלים של .Lאת כל המילים שאינן ב-

גם L רגולרית האם בהכרח Lאם ידוע שהשפה הטענה נכונה. ניתן להוכיח אותה על ידי בניית רגולרית?

אוטומט שמקבל את שפת המשלים.

התשובה היא כן!

מניחים שיש "עולם" המכיל את כל המילים מעל א"ב כלשהו. ביחס ל"עולם".Lמשלים הוא כל המילים שלא נמצאות בשפה

L

L

תכונות של משפחת השפות הרגולריות.L1 L1 L2 L2שפת החיתוך

1Lכל המילים הנמצאות גם ב- .2Lוגם

רגולריתL2 רגולרית וגם השפה L1אם ידוע שהשפה

האם בהכרח שפת החיתוך רגולרית?

הטענה נכונה. ניתן להוכיח אותה על ידי בניית אוטומט שמקבל את שפת החיתוך.

התשובה היא כן!

1L 2L

תכונות של משפחת השפות הרגולריות.L1 L1 L2 L2שפת האיחוד

1Lכל המילים הנמצאות או ב- .2Lאו

רגולריתL2 רגולרית וגם השפה L1אם ידוע שהשפה

האם בהכרח שפת האיחוד רגולרית?

הטענה נכונה. ניתן להוכיח אותה על ידי בניית אוטומט שמקבל את שפת האיחוד.

התשובה היא כן!

2L1L

תכונות של משפחת השפות הרגולריות)RR)L(Lהיפוך

תתקבל על ידי היפוךLשפת ההיפוך של .Lכל המילים ב-

גם L((R רגולרית האם בהכרח Lאם ידוע שהשפה רגולרית?

הטענה נכונה. ניתן להוכיח אותה על ידי בניית אוטומט שמקבל את שפת ההיפוך.

התשובה היא כן!

תכונות של משפחת השפות הרגולריותL1 L1 L2 L2שרשור

תתקבל על ידי2L ו- L1שפת השרשור של

.1L לשפה L2שרשור השפה

הטענה נכונה. ניתן להוכיח אותה על ידי בניית אוטומט שמקבל את שפת השרשור.

התשובה היא כן!

רגולריתL2 רגולרית וגם השפה L1אם ידוע שהשפה

האם בהכרח שפת השרשור רגולרית?

חוקי סגירותחוקי סגירותראינו כי משפחת השפות הרגולריות סגורה

הפעולות הבאות:5תחת

משליחיתוךם

איחודהיפוך

שרשור

שימוש בחוקי הסגירות

נשתמש בחוקי הסגירות כדי להוכיח טענות הנוגעות

למשפחת השפות הרגולריות.

נעשה זאת על ידי בניית אוטומטים קטנים ולא

מסורבלים עבור שפות הבסיס ומשם נמשיך את

ההוכחות בעזרת תכונות הסגירות.

שימו לב שימו לב כל ההוכחות שהיו על ידי בניית אוטומט

שפות בלבד.2נכונות עבור

אם יש צורך בהוכחת רגולריות ליותר משתי

שפות יש להוכיח בזוגות.

שאלות לדוגמהשאלות לדוגמה1שאלה

:}a,b,c,d{נתונה השפה הבאה מעל הא"ב

רגולרית? הוכח את תשובתך.Lהאם

1פתרון שאלה

:}a,b,c,d{מעל הא"ב בעזרת השפות הבאות Lניתן להציג את

L1={aL1={annbbmm|1<n<4,m=2n)|1<n<4,m=2n)

L2=cL2=ckk|k % 4 =1}|k % 4 =1}

L3={dL3={dll|l % 2 = 0}|l % 2 = 0}

L=L1∙) L2∙ L3)

1המשך פתרון שאלה אפשר להציג בעזרת שתי השפות:L1את

L4 = {a2b4} -ו L5 = {a3b6} .L1= L4L5 כך:

L2-ו L3 הן רגולריות, כי הנה אוטומטים מתאימים המקבליםאותן:

A2 עבור L2: A3 עבורL3:

רגולרית. L2∙L3מסגירות משפחת השפות הרגולריות לשרשור גם L4-ו L5 סופיות ולכן רגולריות

רגולרית L4L5 ומסגירות משפות השפות הרגולריות לאיחוד גם רגולריתLומסגירות משפות השפות הרגולריות לשרשור גם

)L4L5)∙)L2∙L3 = )L1∙)L2∙L3) =L .

2שאלה שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

}a,b{ 9 אשר מכילות לכל היותר בהן a וגם מספר האותיות aאותיות

. 3מתחלק ב- רגולרית? הוכח את תשובתך.Lהאם

2פתרון שאלה L= L1L= L1L2L2 כאשר כאשר L1L1 היא שפת כל המילים מעל הא"ב היא שפת כל המילים מעל הא"ב

}}a,ba,b{{ אותיות אותיות 99 אשר מכילות לכל היותר אשר מכילות לכל היותר aa אשר מספר אשר מספר }}a,ba,b{{היא שפת כל המילים מעל הא"ב היא שפת כל המילים מעל הא"ב L2L2ו-ו-

..33 בהן מתחלק ב- בהן מתחלק ב-aaהאותיות האותיות L1L1:רגולרית כי הנה אוטומט סופי המקבל אותה: רגולרית כי הנה אוטומט סופי המקבל אותה

(לא ניתן להשתמש בנימוק סופיות כי זו לא שפה סופית. .}biai0({למשל, היא מכילה את כל המילים

L2L2 רגולרית כי הנה אוטומט סופי שמקבל רגולרית כי הנה אוטומט סופי שמקבל אותה:אותה:

L= L1L= L1L2L2מסגירות משפחת השפות הרגולריות לחיתוך גם מסגירות משפחת השפות הרגולריות לחיתוך גם

רגולרית.רגולרית.

2המשך פתרון שאלה

3שאלה ציינו מהי המילה הקצרה ביותר השייכת לשפה

. מלבד } a,b,c{מעל הא"ב האם השפה רגולרית? הוכיחו.

}0,0,02mod,03mod|)(1 jijicbaaL ji

3פתרון שאלה שפות.3נחלק את השפה הראשונה ל-

L1={a} L2={)ab(n n mod 3=0} L3={)c(n n mod 2=0}

כל אחת משפות אילו היא רגולרית. )כמובן שיש לבנות אוטומט מתאים(

ושרשורן אף הוא רגולרי. כל שפה רגולרית היא חופשית הקשר,

לכן גם השרשור חופשי הקשר.

44שאלה שאלה

: :}}a,b,ca,b,c{{לפניך השפות הבאות מעל הא"ב לפניך השפות הבאות מעל הא"ב L1={L1={εε, a, bc}, a, bc}L2 = {abL2 = {abכל המילים המסתיימות ברצףכל המילים המסתיימות ברצף }}L3 = {abL3 = {abכל המילים המתחילות ברצףכל המילים המתחילות ברצף }}L4 = {an bk cn | n>=0, k>=1}L4 = {an bk cn | n>=0, k>=1}L5 = {)bca)n |n>=0}L5 = {)bca)n |n>=0}L6 = {a}L6 = {a}L7 = {bc}L7 = {bc}

הגדר את השפות הבאות:הגדר את השפות הבאות:L8 = { L1 · L2 }L8 = { L1 · L2 }L9 = { L2 · L3 }L9 = { L2 · L3 }L10 = { L2 ∩ L3}L10 = { L2 ∩ L3}L11 = { L4 ∩ R)L4)}L11 = { L4 ∩ R)L4)}L12 = { L7 · L6 · L5 }L12 = { L7 · L6 · L5 }

44פתרון שאלה פתרון שאלה L8= L2

היות ושפת השרשור מכילה את קבוצות המילים הבאות:{aW1ab , bcW2ab , W3ab | {a,b,c} מילים מעל א"ב W1, W2, W3}

מכילה בתוכה את שתי קבוצות המילים W3abאולם קבוצת המילים . L2האחרות והיא עצמה מתארת את השפה

L9= {abab המכילות את הרצף {a,b,c} שפת כל המילים מעל הא"ב}

L10 = {ab המתחילות ומסתימות ב- {a,b,c} שפת כל המילים מעל{הא"ב

L11 = {bn | n>=1}

L12 = {)bca) n |n>=1}

שאלות מבחינות בגרותשאלות מבחינות בגרות+ פתרונות+ פתרונות

הפתרונות נכתבו ע"י רחל לודמר הפתרונות נכתבו ע"י רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר סבא.תיכון כצנלסון כפר סבא.

נלקחו מהאתר של הילה קדמןנלקחו מהאתר של הילה קדמןhttp://www.kadman.net/

20042004 בגרות בגרות 1414שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20042004 בגרות בגרות 1414פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20042004 בגרות בגרות 1515שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20042004 בגרות בגרות 1515פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20042004 בגרות בגרות 1515פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20052005 בגרות בגרות 1515שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20052005 בגרות בגרות 1515פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20062006 בגרות בגרות 1414שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20062006 בגרות בגרות 1414פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20062006 בגרות בגרות 1515שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20062006 בגרות בגרות 1515פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20072007 בגרות בגרות 1414שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20072007 בגרות בגרות 1414פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

20082008 בגרות בגרות 1414שאלה שאלה

(רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר (רחל לודמר תיכון כצנלסון כפר 20082008 בגרות בגרות 1414פתרון שאלה פתרון שאלה סבא(סבא(

תודה תודה