第三章 现代谱估计
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经典谱估计经典谱估计 样本 直接法
间接法
1
0
( ) ( )N
jnTN
n
X x n e
(0), (1), , ( -1)x x x N假设已零均值化, 2kN
周期函数21( ) ( )x NP X
N
1
0
1( ) ( ) ( )N
xn
R k x n x n kN
1
0
( ) ( )N
jkTx x
n
P R k e
周期图法有偏估计 , 平滑性差
加窗函数功率谱曲线平滑 ,但分辨率下降
21
0
1( ) ( ) ( )N
jnTx
n
P x n c n eN
数据窗
1
0
( ) ( ) ( )N
jkTx x
k
P R k w k e
谱窗
要提高分辨率,使用参数化的谱估计!经典谱估计:使用 FFT 的谱估计
现代谱估计:参数化谱估计
3.1 3.1 ARMAARMA 谱估计与系统辨识谱估计与系统辨识 平稳 ARMA 过程
离散随机过程 服从线性差分方程:
为离散白噪声,则称 为 ARMA 过程。自回归 (autoregressive)— 滑动平均 (moving average) 过程{ ( )}e n { ( )}x n
{ ( )}x n
1 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )p qx n a x n a x n p e n b e n b e n q
1 1
( ) ( ) ( ) ( )p q
i ji j
x n a x n i e n b e n j
AR 阶数
AR 参数
MA 阶数
MA 参数
2( ) ~ (0, )e n N ( ) ( )jz x n x n j 后向移位算子:
11( ) 1 p
pA z a z a z 其中:
0 0
( ) ( )p q
i ji j
a x n i b e n j
( ) ( ) ( ) ( )A z x n B z e n
11( ) 1 q
qB z b z b z
( ) ( ) ( )n k nk
x n e k h e n h
ARMA 模型描述的线性时不变( LTI )系统
传递函数:( ) ( ) ie n x nh
( )( )( )
ii
i
B zH z h zA z
满足 ARMA 模型的条件:(1) 冲激响应系数必须绝对可求和: ( 系统稳定 )(2)A(z)和 B(z) 无公共因子 (p,q 唯一 )
(3) 系统是物理可实现的 ( 因果系统 )
极点的作用:决定系统的稳定性和因果性 即极点不在单位圆上
因果性:称 x(n)是 e(n) 的因果函数,若
即因果系统要求极点在单位圆以内, A(z) 的根 |z|<1
kk
h
( )( )( )
B zH zA z
( ) 0A z
零点部分极点部分
0
( ) ( )i ii i
h x n h e n i
⑴ ⑵
零点的作用:决定系统的可逆性,即 是否存在。
可逆性:称 e(n)是 x(n) 的可逆函数,若 (1) 存在序列 ,并满足 —— 可逆系统的稳定性 (2)
—— 可逆性条件
1 1 ( )( )( ) ( )
A zH zH z B z
0
( ) ( )ii
e n x n i
i
ii
1 *1
1 *1
( ) 1 ( )
( ) 1 ( )
pp
A z a z a z A z
B z b z b z B z
2 12 2
1
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )x
jw jwz e z e
B z B z B zPA z A z A z
ARMA 过程的功率谱密度 则功率谱
其中
( ) ( ) ( ) ( )A z x n B z e n2( ) (0, )e n N ~
ARMA 功率谱估计的两种线性方法Cadzow 谱估计子
又 其中
1 12
1 1
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )x
B z B z N z N zP zA z A z A z A z
1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N z A z N z A z B z B z
12 ( ), 0
( )( ), x
x
C k kk
C k
其他
0 0
( ) ( ) ( ) ( )k k kx x
k k k
P z C k z k z k z
则
两边同乘 ,比较系数得
所以, Cadzow 谱估计子的关键:估计 AR 阶数 p和 AR 参数
0
00
( ) ( )( )
p ii ki
p ikii
n zN z k zA z a z
0
( ) 0,1, ,p
k ii
n a k i k p
ia
0
p iiia z
12
1 1
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
q jjj q
x
c zB z B zP zA z A z A z A z
2 1( ) ( )q
jj
j q
B z B z c z
Kaveh 谱估计子
j jc c
2 2 2 20 1 0
20 1 1 1
20
q
q q
q q
b b b c
b b b b c
b b c
非线性方程, MA 参数辨识( Newton- Raphson迭代)
1( ) ( )( ) ( )
q jjj q k
x xk
c zP z C k z
A z A z
*
0 0
( ) 0,1, ,p p
k i j xi j
c a a C k i j k q
2
1
( )1
q kkk q
x p iii jwz e
c zP
a z
协方差函数的 Fourier 变换
Kaveh 谱估计子:
( ) 1A z
11
( )( ) 1( )
i qi q
i
B zH z h z b z b zA z
ARMA 功率谱密度的特例( ) ( ) ( ) ( )A z x n B z e n
特例一: MA 过程( ) ( ) ( )x n B z e n
1, ,ih i q 抽头
有限冲激响应 (FIR) 系统
1( )( )
H zA z
2( ) 1, ( ) WN(0, )eB z e n ( ) ( ) ( )A z s n e n
特例二: AR 过程
中含有 的无数多项1z
无限冲激响应 (IIR) 系统白噪声中的 AR 过程: 2( ) ( ) ( ) ( ) ~ WN(0, )vx n s n v n v n
222 2
21
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )e
x s v v wj jz e z e
B zP P P
A z A z A z
ARMA(p,p) 过程
1
( ) ( ) 0,( ) ( 1) ( ) 0p
A z s ns n a s n a s n p
若 即
1
( 1), ( 2), (1), (2), , ( )
( ) ( )p
ii
s p s p s s s p
s n a s n i
可由 递归出来,即
特例三:完全可预测过程
加性白噪声中的可预测过程: ( ) ( ) ( )x n s n v n
1 1
( ) ( ) ( ) ( )p p
i ji j
x n a x n i v n a v n j
线 谱
特殊的 ARMA
所以: 白噪声中的 AR 过程 = ARMA 过程 白噪声中的可预测过程 = 特殊的 ARMA 过程
0 0
( ) ( )p q
i ji j
a x n i b e n j
( ) ( )e n n令( ) ( )x n h n令
0 0
( ) ( )p q
i j ni j
a h n i b n j b
( ) ( )ii
x n h e n i
等价高斯白噪 2(0, )N
修正 Yule-Walker 方程
*
*
0 0
*
0 0
2
0 0
( ) { ( ) ( )}
( ) ( )
( ) ( )
( )
x
i ij i
i ji j
i ji j
R k E x n x n k
E h e n j h e n k i
h h E e n j e n k i
h h k i j
2
0
( )x i i ki
R k h h
BBR 公式:
2 2
0 0 0 0
( )p p
i x i j j l i j j li i j j
a R l i a h h h b
修正 Yule-Walker 方程 (MYW 方程 )
2
0
BBR ( )x i i ki
R k h h
公式0 0
( ) ( )p q
i j ni j
a h n i b n j b
0
( ) 0 p
i xi
a R l i l q
,
定理 (AR 参数的可辨识性 ) :
1
( ) ( ) 1, ,p
i x xi
a R l i R l l q q p
,
若 A(z)和 B(z) 无可对消公共因子,且 ,则 AR 参数 可由 p 个修正 Yule-Walker 方程唯一确定或辨识。
0pa 1, , pa a
1
1( 1) ( ) ( 1 ) 0( 2) ( 1) ( 2 ) 0
( ) ( 1) ( ) 0
x x x
x x x
px x x
R q R q R q paR q R q R q p
aR q p R q p R q
若构造:
1
1( 1) ( ) ( 1 ) 0( 2) ( 1) ( 2 ) 0
( ) ( 1) ( ) 0e
x e x e x e e
x e x e x e e
px e x e x e e
R q R q R q paR q R q R q p
aR q M R q M R q M p
使得 ,则, , ,e e e e eq q p p q p q p M p rank( ) peR
eR ea
AR 阶数确定的奇异值分解方法奇异值分解 (SVD): m nA A为 矩阵, 可分解为
HA = UΣV
m m n n U V其中 为 酉矩阵, 为 酉矩阵。
酉矩阵: -1 HU = U
主奇异值: p 个大的奇异值( p 个信号分量的能量)
2 2 211 22diag( , , , )nn Σ
次奇异值:其它小奇异值(扰动或误差的能量)
准则一:归一化比值信号与噪声的分离:
1/ 22 211
1/ 22 211
( ) 1kk
nn
v k
若阈值 =0.995, v(k)> 阈值的最小整数 k 定为矩阵 A 的“有效秩”。
准则二:使用归一化奇异值11
11
1kkkk
,且
< 某个很小的阈值 (0.05) 的最小整数 k 定为有效秩。kk
最终预报误差方法 (FPE, Finite Prediction Error):
FPE 准则选择使 FPE(p,q) 最小,作为 AR 模型的阶数。
2 1ˆ( , )1wp
N p qFPE p qN p q
2
0
ˆˆ ˆ ( )p
wp i xi
a R q i
AIC(Akaike’s Information Criterion)2ˆ( , ) ln 2( )wpAIC p q p q N 2 lnˆ( , ) ln ( )wp
NBIC p q p qN
“ 信息量准则”遵循“吝啬原则”
AR 阶数确定的信息量准则法
1
1( 1) ( ) ( 1 ) 0( 2) ( 1) ( 2 ) 0
( ) ( 1) ( ) 0e
x e x e x e e
x e x e x e e
px e x e x e e
R q R q R q paR q R q R q p
aR q M R q M R q M p
若 ,则, , ,e e e e eq q p p q p q p M p rank( ) peR
扩展阶 MYW 方程
0e e R a
选 ,e e eq p p M p
AR 参数估计的总体最小二乘法Ax b
总体最小二乘 TLS: Total Least Squares
1
b A 0
x
-b A + -e E z = 0 B+D z = 0 或
扰动矩阵
思想:寻求一个解 z ,使得 1/ 21 2
1 1
minm n
iji j
d
1 ( ) || ||2
,
1 ( ) || ||2
1
T T
T
T T
T
J
J
J
2
2
z Bz z B Bz
B Bz 0 z 0z
z Bz z B Bz
z z
1= ,2由 只有平凡的零解 。
求解约束优化1 mi n =2
约束条件
定义代价函数
Lagrange 1 ( (1 )2
( )
Rayleigh
T T T
T
T
T T
T
J
J
z z B Bz z z
z B Bz z 0zz
z B Bzz z
使用 乘子法,定义目标函数
)=
则
左乘 后,得
=这是个典型的 商问题
min 1 2 1
1 1
1
=[ ]
/ , 1, ,
T
Tn
i i
v v v
x v v i nn p n
z B Bx
Bv x
B
因此, 是矩阵 的与最小特征值对应的
,特征向量 即矩阵 的与最小奇异值对应的右奇异
, , ,向量 。从而,得解向量 的元素为 这种解包含 个参数,与矩阵 的秩 相矛盾。
方法 2 :只包含 p 个参数(主要因素) TB = UΣV
B̂z = 0
ˆ (1: 1) 0ˆ (2 : 2) 0 ˆ ( 1 : 1) 0
p
p
n p n
B a
B a
B a
:用秩为 p 的矩阵对 B 的最佳逼近 ( )ˆ pB ˆ TpB = UΣ V
2 211diag , , ,0, ,0p pp Σ
1 11, , , , , ,e
T
p p px x x x z
令 ,则11, , ,
T
px x a
构造代价函数 1 ^
1
1 ^
1
( )
ˆ( ) ( : ) ( : )
ˆ [ ( : )] ( : )
Tn p
i
n pT T
i
T p
f i p i i p i
i p i i p i
a B a B a
a B B a
a S a
1( ) 2
1 1
( )p n p
p i i Tjj j j
j i
S v v
( , ), ( 1, ), , ( , ) Tij v i j v i j v i p j v
( ) 0f
aa
( )1
10
0
p
S a e
0, ,0,1,0, ,0 Ti e 标准向量
由于存在误差
( ) ( )ˆ ( 1,1) (1,1)p pix i S S
AR 定阶与 AR 参数估计的 SVD-TLS 算法:
( )pS
步骤 1 :构造扩展阶相关函数 ,求 SVD ,存储 和eR2ii V
( 1) ( ) (1)( 2) ( 1) (2)
R
( ) ( 1) ( )
e e
e ee
e e
R p R p RR p R p R
R p M R p M R M
步骤 2 :确定 的有效秩 p ,给出 AR 阶数估计值eR
步骤 3 :计算步骤 4 :计算 ( ) ( )ˆ ( 1,1) (1,1)p p
ix i S S
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