实例 : 曲线形构件的质量
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Yunnan
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§1. 第一类曲线积分的计算
实例 : 曲线形构件的质量
o x
y
A
B1nM
iM
1iM2M
1M
),( ii L
.sM 匀质之质量
分割 ,,,, 121 in sMMM
,),( iii s取 .),( iiii sM
求和 .),(1
n
iiii sM
取极限 .),(lim1
0
n
iiii sM
近似值
精确值
一、问题的提出
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§1. 第一类曲线积分的计算
二、对弧长的曲线积分的概念
1 2 1
1
, ( , )
. , , ,
. , ( , )
,
( , ) ,
( , ) ,
n
i i i
i i i
n
i i ii
l xoy f x y
l l M M M l n
i s
i
f s
f s
设为 面内一条光滑曲线弧函数
在 上有界用 上的点 把 分成
个小段设第 个小段的长度为 又 为第
个小段上任意取定的一点作乘积
并作和
1. 定义
o x
y
A
B1nM
iM
1iM2M
1M
),( ii L
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§1. 第一类曲线积分的计算
01
0 ,
, ( , )
, ( , ) ,
( , ) lim ( , ) .
l
n
i i ili
f x y
l
f x y ds
f x y ds f s
如果当各小弧段的长度的最大值 时这和的极限存在 则称此极限为函数在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲
线积分 记作 即被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 ( , ) .l
M x y ds
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§1. 第一类曲线积分的计算
2. 存在条件：( , ) ,
( , ) .l
f x y l
f x y ds当 在光滑曲线弧 上连续时
对弧长的曲线积分 存在
3. 推广( , , )f x y z l函数 在空间曲线弧 上对弧长的
曲线积分为
01
( , , ) lim ( , , ) .n
i i i ili
f x y z ds f s
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§1. 第一类曲线积分的计算
注意：
1 21. , ( )l l l l 若 是分段光滑的
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) .l l l l
f x y ds f x y ds f x y ds
2. ( , )
( , ) .l
f x y l
f x y ds函数 在闭曲线 上对弧长的
曲线积分记为
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§1. 第一类曲线积分的计算
4. 性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .
L L Lf x y g x y ds f x y ds g x y ds
(2) ( , ) ( , ) ( ).L Lkf x y ds k f x y ds k 为常数
1 2
(3) ( , ) ( , ) ( , ) .L L Lf x y ds f x y ds f x y ds
1 2( ).L L L
且在 L上 ( , ) ( , )f x y g x y ，
则 ( , )Lf x y ds ( , )
Lg x y ds .
( , ) g( , )L Lf x y ds x y ds 与 都存在，(4)
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§1. 第一类曲线积分的计算
L L( ) ( , ) .f x y ds f x y ds 且 ，
.
( , ) ( , )L Lf x y ds f x y ds 若 存在，则 也存在，
(6) ( , ) ,
,Lf x y ds L s
c
若 存在， 的弧长为
则存在常数 使得
( , ) = .Lf x y ds cs
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§1. 第一类曲线积分的计算
三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理 1
0
0
( , , ) ,
( ),
( ), ( )
( ),
( ), ( ), [ , ] ,
f x y z l l
x x t
y y t t t T
z z t
x t y t z t t T
设 在曲线弧 上有定义且连续 的
参数方程为
其中 在 上有一阶连续导数 则
0
2 2 2( , , ) [ ( ), ( ), ] ' ( ) ' ( ) ' ( )T
l tf x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt
2 2 2' ' ' .ds x t y t z t dt 这里
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§1. 第一类曲线积分的计算
0 0
0 1 2
, :
n
t T
t t t t
证明：在 中插入分点
1 11max , , .i i i i ii n
t t s t t 并记 为对应于区间 的一段弧长
1 , ,i i it t 在区间 上任意取一点 第一类曲线积分为
0
1
( , , ) lim , , .n
i i i ili
f x y z ds f x y z s
由弧长的公式及中值定理:
1
2 2 2' ' '
i
i
t
i ts x t y t z t dt
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§1. 第一类曲线积分的计算
2 2 2* * *' ' 'i i i ix y z t
*1 1, ,i i i i i it t t t t 这里 为 上的某一点. 于是有
01
2 2 2* * *
( , , ) lim , ,
' ' '
n
i i ili
i i i i
f x y z ds f x y z
x y z t
等式右边的和号不是一个积分和数，将它转化为黎曼和数来计算：
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§1. 第一类曲线积分的计算
01
2 2 2
01
( , , ) lim , ,
' ' ' lim
n
i i ili
n
i i i i i ii
f x y z ds f x y z
x y z t t
2 2 2 22 2* * *
, ,
' ' ' ' ' '
i i i i
i i i i i i
f x y z
x y z x y z
这里
a b a b 再利用不等式
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§1. 第一类曲线积分的计算
可得
2 2 2 22 2* * *
2 2 2* * *
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
i i i i i i
i i i i i i
x y z x y z
x x y y z z
－ －
' , ' , 'f x t y t z t然后再利用 及 的连续性，容易证得
01
lim 0n
i ii
t
这样就得到公式
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§1. 第一类曲线积分的计算
0
2 2 2
( , , )
[ ( ), ( ), ] ' ( ) ' ( ) ' ( )
l
T
t
f x y z ds
f x t y t z t x t y t z t dt
注意 :;.1 一定要小于上限定积分的下限
2. ( , , ) , , , .f x y z x y z中 不彼此独立 而是相互有关的
特殊情形：
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§1. 第一类曲线积分的计算
曲线积分 定积分
2( , )d ( , ( )) 1 ' ( )db
l af x y s f x y x y x x
2d 1 ' ( )ds y x x
(1) : ( ), .l y y x a x b
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§1. 第一类曲线积分的计算
2( , )d ( ( ), ) 1 ' ( )dd
L cf x y s f x y y x y y
2d 1 ' ( )s x y dy
(2) : ( ), .L x x y c y d
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§1. 第一类曲线积分的计算
例 1. 计算 .lyds 其中 l为 y2=2x自点 (0, 0) 到点 (2,
2)的一段弧 .
2
0
1 d 2 1 d
2ly s x x
x
解 1： : 2 , 0 2.l y x x
2d
d 1 dd
ys x
x
11
2dxx
y2=2x
0 2
2
y
x 2
02 1dx x ＋ 1
(5 5 1).3
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解 2：2
: , 0 2.2
yl x y
2 2
0 d 1 d
ly s y y y
2d
d 1 dd
xs y
y
21 dy y
1(5 5 1) .
3
0 2
2
y
x
2
2yx
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例 2. 计算 ( )dLx y s
L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线 OABO.
解： L分段光滑
L OA AB BO
ds=dx1
0
1( )d ( 0)d
2OAx y s x x
OA: y=0, 0≤x≤1
O
2
A
By
x1
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§1. 第一类曲线积分的计算
1
0( )d ( (2 2 )) 5d
ABx y s x x x
AB: y=22x, 0≤x≤12d 1 ' ds y x 5dx
35
2
2
0( )d d
BOx y s y y
BO: x=0, 0≤y≤2
ds=dy
=2
1 3 ( )d 5 2
2 2Lx y s
1(5 3 5)
2
O
2
A
By
x
1
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§1. 第一类曲线积分的计算
例 3. 计算 2 2( )d ,Lx y s 其中 L: x2+y2=a2.
2 2( )dLx y s
2 2 2 2 2 2 2
0( cos sin ) ( sin ) ( cos ) da t a t a t a t t
2 2
0da a t
32 .a
解： : cos , sin , 0 2 .L x a t y a t t
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例 4. 计算 3 2( )d .x y z s
其中：从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .
解：直线段 AO 方程：3 2 1
x y z
化成参数方程： x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.
13 2 3 2 2 2 2
0( )d ((3 ) (2 ) ) 3 2 1 dx y z s t t t t
1 3
031 14 dt t
3114 .
4
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例 5.)20(.
,sin,cos:,)( 222
的一段
其中求
kz
ayaxdszyxI
解 :
).43(3
2 22222 kaka
dkaa
kaa
222
222222
)cos()sin(
sincos
2
0I
2
0
22222 )( dkaka
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例 6
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中
求
解 : 由对称性 , 知 .222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故
dsa3
2
.3
2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa
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§1. 第一类曲线积分的计算
四、几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx
;),( LdsyxM
;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),( LdsyxfS柱面面积
s
L
),( yxfz
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§1. 第一类曲线积分的计算
思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？
iS
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