第二节 平面桁架的内力计算
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第二节 平面桁架的内力计算一、桁架
3 )各杆均为二力杆,
1 )直杆铰接而成;2 )所有外力均作用于节点上;
第六章 静力学专题第六章 静力学专题
桁架是工程中的一种常见结构,其特点为:
在计算桁架内力时,规定拉力为正压力为负。说明:
即各杆只承受轴向力(拉力或压力)。
本节主要任务就是计算桁架中各杆所受的轴力
二、节点法
节点法是计算桁架内力的一种基本方法
依次截取各个节点为研究对象,根据平面汇交力系平衡方程计算各杆轴力。
注意:所截取节点上的未知力一般不应超过 2 个。
[ 例 1] 试求图示平面桁架各杆件的内力。
由对称性,易得支座反力
解:
选取桁架整体为研究对象
15kNA BF F
作受力图
2 )用节点法计算各杆内力
为了方便计算,对桁架各杆编号。
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1 )计算支座反力
AF BF
取坐标轴,列平衡方程
先截取节点 B 为研究对象
0,ixF
0,iyF 2 sin 0BF F
1 2 cos 0F F
解得杆 1 、杆 2 内力分别为
1 20 kNF (压)
2 25 kNF (拉)
作受力图,
BF
1F
2F
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AF BF
x
y
假设各杆均受拉。
次截取节点 H 为研究对象
取坐标轴,列平衡方程
0,ixF
0,iyF
2 6sin 0F F
3 2 cos 0F F
作受力图
解得杆 3 、杆 6 内力分别为2 2 25 kNF F 式中,
3 15 kNF (压)
6 20 kNF (拉)
1 20 kNF (压) 2 25 kNF (拉)
2F
6F
3F
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AF BF
x
y
再截取节点 G 为研究对象
取坐标轴,列平衡方程
解得杆 5 、杆 4 内力分别为
5 310 sin 0F F
1 4 5 cos 0F F F
3 15 kNF (压)6 20 kNF (拉)
4 26.67 kNF (压)
2 25 kNF (拉)
作受力图
0,ixF
0,iyF
1 1 20 kNF F 式中,
5 8.33 kNF (拉)
1 20 kNF (压)
3 3 15 kNF F
4F
5F 3F
1F
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AF BF
x
y
作受力图
取坐标轴,列平衡方程
0,iyF 710 0F
解得杆 7 内力为
3 15 kNF (压)
6 20 kNF (拉)
4 26.67 kNF (压)2 25 kNF (拉)
5 8.33 kNF (拉)1 20 kNF (压)
最后截取节点 E 为研究对象
7 10 kNF (压)8F
7F
4F
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AF BF
x
y
由于桁架结构及载荷均对称,其他各杆件内力无需再进行计算,可对称地得到,分别为
11 3 15 kNF F (压)10 6 20 kNF F (拉)
8 4 26.67 kNF F (压)
13 2 25 kNF F (拉)
9 5 8.33 kNF F (拉)
12 1 20 kNF F (压)
7 10 kNF (压)
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
AF BF
x
y
三、截面法
截面法是计算桁架内力的另一种有效方法
截取部分桁架为研究对象,根据平面任意力系平衡方程计算各杆轴力。
注意:所截取部分桁架上的未知力一般不应超过 3 个。
[ 例 2] 试求图示桁架中杆件 1 、 2 、 3 的内力。
列平衡方程,解得支座反力
1
5BF F4
5AF F
解:
选取桁架整体为研究对象
作受力图
1 )计算支座反力
BFAF
K
2 )计算指定杆件内力
取坐标轴,列平衡方程
用截面 m - m 将桁架分割成两部
0,K iM F
0,iyF
1 3 0BF h F a
2 22
0
2
B
hF F
ah
0,G iM F x
y
2F
3F
1F
3
50
2BF h F a
m
m分。 取右半部分为研究对象,作受力图。
BF
解得杆件 1 、 2 、 3 的内力分别为
3 2
aF F
h (拉)
22
2
2
5
ah
F Fh
(拉)
1
3
5
aF F
h (压)
K
2F
3F
1F
BF
303
1
2
4
5
l
F
AB
C
D
30
解:
即杆 3 为零杆
[ 例 3] 试计算图示桁架中杆 3 的内力。
由节点法易得
3 0F
3. 注意零杆的判断。
四、几点重要说明
1. 一般应首先求出桁架的支座反力。
2. 作受力图时,应假设所有杆件均受拉。
关于零杆的主要结论:
2 )三杆节点不受外力作用且其中两杆共线,则第三杆为零杆。
1 )二杆节点不受外力作用且二杆不共线,则此二杆为零杆。
3 )二杆节点上有一外力作用,且外力作用线沿其中一根杆的轴线,则另一杆为零杆。应用以上规律,可不经计算直接判断出桁架在给定载荷作用下的零杆。4. 计算结果的表达方式: 列表 图示
结论: 杆 3 、杆 4 为零杆
[ 例 4] 试判断下列桁架中的零杆。
F1
2 3 4 5
6 7
A B
C
DE
F
杆 EI 、 JG 、 GD 、 DJ 、 JO 均为零杆
结论:
杆 2 、 5 、 4 、 3 、 1 、 9 均为零杆
F
12
3 4 5
6 7 8
910
ABC
DEGH
I
结论:
[ 例 5] 图示屋架,已知 F1 = 15 kN , F2 = 20 kN , l = 1 m , h = 3
m 。试求各杆轴力。
解:
杆 EI 、 JG 、 GD 、 DJ 、 JO 均为零杆。
AC D
B
G
O
E I J
2F
1F
l l l l
h
h
1 )判断零杆
A
C D
B
G
O
E I J
2F
1F
l l l l
h
h
取坐标轴,列平衡方程。
2 ) 计算支座反力选取桁架整体为研究对象
0,A iM F
0,iyF
2 21 24 2 0BF l F h l F l
1 2cos 0Ay BF F F F
0,ixF 1 sin 0AxF F
作受力图
式中, 2 2
3sin
5
h
h l
2 2
4cos
5
l
h l
14.69 kNBF 17.31 kNAyF 9 kNAxF
解得支座反力
BFAyF
AxF
x
y
3 )计算各杆内力
CI OIF F BG OGF F
依次研究 A 、 E 、 C 、 B
四个节点即可。列表计算如下:其中,
3sin
5 4
cos5
3sin
13 2
cos13
注意到, CD BDF F
A
C D
B
G
O
E I J
2F
1F
l l l l
h
h
BFAyF
AxF
杆件内力节点 受力图 平衡方程(kN)
Ax
y 0xF cos 0AE AC AxF F F
0yF sin 0AE AyF F
32.08ACF
28.85AEF
E
0xF sin 0EO EA ECF F F
0yF 1cos 0ECF F
18.75ECF
40.1EOF
杆件内力节点 受力图 平衡方程
C
0xF cos 0CI CD CAF F F
0yF sin 0CI CEF F
22.53CIF
19.58CDF
B0yF
sin 0BG BF F 24.48BGF
CDFCAF x
y
x
y
(kN)
可将最终计算结果直接标示在桁架上
FN ( kN )
[ 例 6] 图示桁架。已知 F1 = 8 kN , F2 = 12 kN , l = 2 m , h1 = 1
m , h2 = 1.5 m 。试求 CG 杆的轴力。
解:
0,iyF 1sin 0OCF F
作受力图
列平衡方程
解得
1 40kN
sin 3OC
FF
先截取节点 O 为研究对象
OCF
OGF
1F
y
O
列平衡方程
再截取 桁架的上半部分为研究对象
0,E iM F
1 2 12 sin 2 0GC OCF l F l F l F l F l
得 CG 杆的轴力
2 sin 4 kNGC OCF F F
◆ 在求解桁架时,也可联合应用截面法及节点法,使求解趋于简捷。
取分离体,作受力图
1F 12F2F 2F
OCFGCF
EBFEDF
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