Тригонометрия на ЕГЭ

Тригонометрия на ЕГЭ

Выполнила

ученица 11 «а» класса ГБОУ ЦО №1486

Поташева Виктория

Руководитель

учитель математики Соколина В.И.

ОГЛАВЛЕНИЕ Радианная мера угла

Угол поворота

Определение тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций

Свойства тригонометрических функций

ОГЛАВЛЕНИЕ Основные формулы тригонометрии

Формулы приведения

Формулы корней уравнений

Задачи группы В

Способы решения тригонометрических уравнений

Из материалов ЕГЭ

Единичной окружностью называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

RR

R0

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

1 радиан = углу АОВ Длина дуги АВ = ОА =

1 рад

А

В

R

радиан180

10 0

0

57180

1

радиан

Радианная мера угла

Единичная окружность соответствует 2p радиан

+

-

Р (a >0)a

(a >0)Рa

У

х0

Угол поворота

Ро

Угол поворота радиуса ОР против часовой стрелки считается положительным, а по часовой --- отрицательным

о-

+

R=1II I

III IV

Начало отсчета углов - в точке (1;0)

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

4

0

6

6

2

3

2

3

2

2

2

1

2

1

2

2

4

3

3

3

2

6

5 4

3

6

5

4

3

3

2

2

1

2

радиан01

Через единичную окружность (радиус равен 1)

Через произвольную окружность

Через прямоугольный треугольник (для острых углов

Определение тригонометрических функций

А С

В

b

ca

х

у

0

0

Р (х;у)

Р (х;у)

х

у

у

xctg

х

ytg

R

xR

y

cos

sin

a

bctg

b

atg

c

bс

а

cos

sin

sin

coscos

sin

a

bctg

x

ytg

Sin = - ордината точки Р Соs = х - абсцисса точки Р

Синусом угла a называется абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат

Косинусом угла a называется ордината точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат.

У

Х

sin

cos0

А

(1;0)a

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

1

х

у

a

А(1;уА )

Р0

А - ось тангенсов

Р0

А ‖ ОУ Р0

cos

sintg

Aytg По общему определению- ордината соответствующей точки оси тангенсов

Тангенсом угла a называется отношение синуса угла a к его косинусу

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

У

Х0

a

С

В (хВ;1) СВ -- ось котангенсовСВ ‖ Ох

sin

cosctg

BXctg По общему определению

- абсцисса соответствующей точки оси котангенсов

Котангенсом угла a называется отношение косинуса угла a к его синусу

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

Знаки тригонометрических функций

_

+

+

_ +

_

+

_

+

+

_

_

II

IIII I

I

I

III

III

III

IV

IVIV

sincos

ctg

tg

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

Тригонометрический круг

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Свойства тригонометрических функций

Четность и нечетность

Косинус- четная функция

Синус, тангенс, котангенс – нечетные функции

Периодичность

cos)cos(

ctgctg

tgtg

)(

)(

sin)sin(

cos,sin

ctgtg ,

- период

- период

Znctgnctg

tgntg

,)(

)(

Znn

n

,sin)2cos(

sin)2sin(

2T

T

Основные формулы тригонометрии

1cossin 22

Znn

tg

,2

cos

sin

Znn

ctg

,sin

cos

Znn

ctgtg

,2

1

Znn

tg

,2

cos

11

22

Znn

ctg

,sin

11

22

2cos

2sin2sinsin

2

cos2

sin2sinsin

2cos

2cos2coscos

2sin

2sin2coscos

cossin22sin 22 sincos2cos

2cos22cos1 2sin22cos1

мнемоническое правило:• Если аргумент изменяется на угол, кратный p ,

название функции не меняется.

• Если аргумент изменяется на угол , кратный /p 2, название функции меняется на противоположное.

• Знак новой функции определяется знаком исходной, считая , что a ( 0 , О /2)p .

Аргумент tПриводимая

функция

п/2+t п +t 3/2п+t 2п-t

sint cost +sint -cost -sint

cost +sint -cost +sint cost

tgt +ctgt +tgt +ctgt -tgt

ctgt +tgt +ctgt +tgt -ctgt

Формулы приведения

Формулы решения уравненийsinx =а, cosx = а, tg х=а.

Zkkax

aгдеaxk

,arcsin)1(

;1;1 ,sin.1

Zkkax

aгдеax

,2arccos

1;1 ,cos.2

Zkkarctgax

Raгдеatgx

,

,.3

Задачи группы В. Задания В5

Решите уравнение .

В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

3

3

2

.375,0:

.375,08

3,2;5,0,2

;,8

6

8

9;,

4

31

;,6278;,6178

3;,23

2

3

78;,2

3

1

3

78

:;,23

2

3

)78(;,2

33

)78(

Ответ

xnxn

ZnnхZnnх

ZnnxZnnx

Znnx

Znnx

Znnx

Znnx

Решение

2

3

3

)78(sin

x

Задачи группы В. Задания В6

В треугольнике АВС  угол С равен 90°, АВ=25,АС=20. Найдите sinA .

.6,0:

6,025

15

25

400625sin

.

22

ОтветAB

ACAB

AB

BCA

Решение

A

BC

Задачи группы В. Задания В7

Найдите значение выражения .312

5cos12 2

.5,1:

.5,12

33

6

5cos3

112

5cos231

12

5cos433

12

5cos12

.

222

Ответ

Решение

Задачи группы В. Задания В7

Найдите .5,2,3cos5sin2

15sin4cos10

tgесли

.5:

.53

15

3cos5cos5

15cos10cos10

3cos5cos5,22

15cos5,24cos10:

.cos5,2sin,,5,2cos

sin,5,2

.

Ответ

Получим

значиттоtgЕсли

Решение

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

Тригонометрия на ЕГЭ Задания В12Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t — время в секундах. Кинетическая энергия

груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле ,

где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая

энергия груза будет не менее   Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

ttv sin5,0)(

2

2mvE

3105

.105

2

sin5,008,0:

.1052

sin5,0;105

2;105

.

32

32

32

3

tонеравенствПоличим

tmmvЕ

Решение

.02cos;02cos

;01sin2;1sin2;1sin25,08

100;10sin25,008,02;1052

sin5,008,0

222

2232

tt

ttt

tt

2

2

3

0

.5,0:

.5,01

5,0:

.5,02

1

4

2

4

1

4

3,

.4

3

4

1;2:;

2

32

2

:,

Ответ

Получим

секtЗначит

tt

имеемтодвиженияначала

послесекундыпервойизвремени

долюнайтинеобходимокакТак

Найдите точку минимума функции ,

принадлежащую промежутку .

xxху sincos)5,0(

)2

;0(

.)2

;0()2

;0(5,0

0sin05,0

.0sin)5,0(,0.sin)5,0(

cossin)5,0(coscos))(cos5,0(cos)5,0(

.)(,sincos)5,0(

/

///

нетx

промежуткенарешенийxилих

xxеслиyxx

xxxxxxхxхy

RyDxxху

Решение

у'

у

2

0,50 - +

.5,0:

.5,0min

Ответ

х

Задачи группы В. Задания В14

min

Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

342 xtgxу

3;

3

2

1cos

2

1cos

;2

1cos;04

cos

2,0

.4cos

2.0cos:)(,342

.

22

/

2/

xилиx

xx

еслиу

xyxyDxtgxу

Решение

3

3

0

4

4

.5:

.33

432

3;3

3

432

3

;214

;54

Ответ

tgtg

tgtg

Задачи группы В. Задания В14

1. Алгебраический метод.     ( метод замены переменной и подстановки ).  

.,,26

-3

;26

:

.,263

;,22

1arccos

6;

2

1)

6cos(

.,26

;,26

;1)6

cos(

.2

1;1

;0132;)6

cos().6

cos()3

sin(:

01)3

sin(3)6

(

21

2

ZkZnknОтвет

ZkkxZkkxx

ZnnxZnnxx

yy

yyyxxxРешение

xx

22сos:Пример

2. Разложение на множители.   

                                Пример.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1

.,,4

;:

,4

x

1 tgx ,

0cos|0sincos 0sin

;0)sin(cossin;0sincossin

;0sincoscossincos;01cossincos2

2222

ZkZnknОтвет

Zkk

Znnx

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

Решение

3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно  sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:   а)  перенести все его члены в левую часть;   б)  вынести все общие множители за скобки;   в)  приравнять все множители и скобки нулю;   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на         cos ( или sin ) в старшей степени;    д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg 

4. Введение вспомогательного угла

/,31818

)1(:

.,31818

)1(

,33

1

663

1)1( .,

6)1(3

6

2

1)

63sin(

2

13cos

6sin3sin

6cos

2

13cos

2

13sin

2

3

213 на части обе делимпоэтому ,1;3 уравнении данном В

.cossin вида Уравнение.

.13cos3sin3

Zkk

Ответ

Zkk

x

Zkk

xZkkx

x

xx

xx

ba

cxbxaРешение

xxуравнениеРешить

k

k

kk

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

5. Преобразование произведения в сумму.

.,24

:

.,24

;2

2

;02cos

;02cos

;4cos2cos4cos

.

.4cos3sinsin2

Zkk

Ответ

Zkk

x

kx

x

x

xxx

суммувчастьлевуюмПреобразуеРешение

xxxуравнениеРешить

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

6. Универсальная подстановка

.,23

7562:

уравнение. исходное в значения данного ойподстановк - япроверкойпроверяетс что

яет,удовлетвор не 22

.,23

756-2arctg xчто ,

.3

756

2

3

756

.013123

,2

5

1

)1(4

1

6

.2

2 cos sin .

.2

5cos4sin3

.

21

21

cos,

21

22

sin

2,1

2

2

2

2

2

2

2

ZnnarctgОтвет

x

уравнениюnиисходномarctgвидаxЗначение

ZnnНаходим

xtg

уравненийпростейшихдвухрешениюксводитсяУравнение

числаbявляютсяуравненияэтогоКорнями

bbквадратноев

тсяпреобразуекотороеb

b

b

bуравнениеоерациональнПолучаем

bx

gобозначимtи

xчерезtgвыражениеихнаxиxЗаменимРешение

xxнениеРешитьурав

xtg

xtg

xx

tg

xtg

xформулыИспользуем

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3sin x-

6

.,2;,5

4:

.,2

,,5

4,

.2

,5

4,08145

:Получим

xcos на уравнения части обе Разделим

.0cos8cossin14sin5

,0cos4sin4cos4cossin14sin

вид примет

уравнение то),cos4(sin4Поскольку

.

2

2

22

2222

22

ZkkarctgxZnnarctgxОтвет

Zkkarctgx

ZnnarctgxЗначит

tgx

tgxxtgxtg

xxxx

xxxxxx

xx

Решение

Решить уравнение: .04cos4cossin14sin 22 xxxx

.5,0cos

,05,0cos

,05,1sin2cossin21

:.0sin,,0sin2

:

22

x

x

xxx

Получимxзначитx

Решение

Решить уравнение:

3

.,23

:

.,23

,0sin

ZnnОтвет

Znnx

тоxкакТак

.0sin2

5,1sin2cos2cos 2

x

xxx

3

.3sinsin3 xtgxtgxxРешите уравнение:

.3

5,

3

2,

3;,

3:

.3

5,2;

3

2,1;

3,0,

.12

25

12

2;211246;

12

4

7

32

:4

7;

2,)3

.,3

,0cos,1sin3

;0)1)(sin3(;0)3()3(sin)2

.0cos)1

:

.4

7;

2,

ZnnОтвет

хпхпхптоZпкакТак

пnn

отрезкущиепринадлежауравнениякорниОтберем

Znnх

нетрешенийтоxкактакxилиtgx

xtgxtgxtgxx

x

Решение

промежуткущиепринадлежакорниУкажите

.08)sin4sin9)( 3 ctgxxxаРешите уравнение:.

4

5;,)

отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдитеб

Zmm, x ,)3

2arcsin(

03

2sin ,

0804sin90sin

;08)sin4sin9()2

.0sin

,0

;0sin

,08)1

) .

2

3

Zkk(-1)хОДЗ тпринадлежине

ctgxxZnnх

ctgxилиxилиx

ctgxxx

x

ctgx

x

ctgx

аРешение

n

3

2arcsin

3

2arcsin

3

2arcsin

3

2arcsin

.

,4

5;,)

кругарическоготригонометпомощьюс

отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдёмб

Znnx ,2

3

2arcsin2

3

2arcsin

Znnx ,3

2arcsin

3

4

5

2

5

2

3

.3

2arcsin,

2

3

,3

2arcsin2,

2

5

;,2

;,3

2arcsin:

Znn

ZnnОтвет

Интернет ресурсы

1. http://www.fipi.ru

2. http://reshuege.ru

3. http://alexlarin.net/