Тоон цуваа

МАТЕМАТИК-2

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цувааЦуваанынийлэлт,нийлбэрНийлдэгцуваанууддээрх хялбарүйлдлүүдНийлэлтийншинжүүрүүд

Дурынтэмдэгтэйгишүүдбүхий цувааАбсолютнийлдэгцуваа

МАТЕМАТИК-2Цуваа

Д.Баттөр

2010 оны 4-р сарын 7

Д.Баттөр

Агуулга

1 Тоон цувааЦувааны нийлэлт, нийлбэрНийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүдНийлэлтийн шинжүүрүүд

2 Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цувааАбсолют нийлдэг цуваа

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цуваа

Тодорхойлт

{an}∞n=1 = {a1, a2, a3, ..., an, ...} тоон дараалал гишүүдийгхооронд нь нэмэхэд үүссэн

a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... =∞∑n=1

an =∑

an (1)

илэрхийлэлийг тоон цуваа гэнэ.

Энд байгааa1, a2, ..., an, ... тоонууд уг цувааны гишүүд, тухайлбал, дурынn утганд an нь (1) цувааны ерөнхий гишүүн гэж нэрлэгдэхба n-бэхлэгдсэн бол n-дүгээр гишүүн гэж нэрлэгдэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цуваа

{an}∞n=1 = {a1, a2, a3, ..., an, ...} тоон дараалал гишүүдийгхооронд нь нэмэхэд үүссэн

a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... =∞∑n=1

an =∑

an (1)

илэрхийлэлийг тоон цуваа гэнэ.Энд байгааa1, a2, ..., an, ... тоонууд уг цувааны гишүүд, тухайлбал, дурынn утганд an нь (1) цувааны ерөнхий гишүүн гэж нэрлэгдэхба n-бэхлэгдсэн бол n-дүгээр гишүүн гэж нэрлэгдэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цуваа

Цувааны гишүүдийг дэс дараалан нэмэх замаар цувааныхэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал

S1 = a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; ...; Sn = a1+a2+...+an; ...

{Sn}∞n=1-г байгуулна.

Энэ дарааллын n-дүгээр гишүүнSn = a1 + a2 + ...+ an нь (1) цувааны n-дүгээр хэсгийннийлбэр гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв∑

an цувааны хувьд ∀n утганд an ≥ 0 өөрөөр хэлбэлцувааны бүх гишүүд сөрөг биш тоонууд байвал уг цуваа ньэерэг цуваа гэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цуваа

{Sn}∞n=1-г байгуулна.Энэ дарааллын n-дүгээр гишүүнSn = a1 + a2 + ...+ an нь (1) цувааны n-дүгээр хэсгийннийлбэр гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв∑

Д.Баттөр

Агуулга

Тоон цуваа

{Sn}∞n=1-г байгуулна.Энэ дарааллын n-дүгээр гишүүнSn = a1 + a2 + ...+ an нь (1) цувааны n-дүгээр хэсгийннийлбэр гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв∑

Д.Баттөр

Агуулга

Цувааны нийлэлт, нийлбэр

Хэрэв (1) цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn} ньS хязгаар руу нийлдэг, өөрөөр хэлбэл, ∃ lim

n→∞Sn = S байвал

(1) цуваа S тоо руу нийлдэг ба S нь уг цувааны нийлбэргэгдэх ба

∞∑n=1

an = S , (2)

гэж бичигдэнэ.

Хэрэв {Sn} дараалал нийлэхгүй (салдаг) байвал (1) цуваань салдаг цуваа гэж нэрлэгдэх ба энэ тохиолдолд цуваанынийлбэрийн ухагдахуун тодорхойлогдохгүй.Хэрэв

∑an цуваа нийлдэг,

∑an = S , байвал rn = S − Sn нь

уг цувааны n-р гишүүнээс хойших үлдэгдэл гэж нэрлэгдэхбөгөөд n→∞ үед rn = S − Sn → S − S = 0 байна.

Д.Баттөр

Агуулга

Хэрэв (1) цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn} ньS хязгаар руу нийлдэг, өөрөөр хэлбэл, ∃ lim

n→∞Sn = S байвал

(1) цуваа S тоо руу нийлдэг ба S нь уг цувааны нийлбэргэгдэх ба

∞∑n=1

an = S , (2)

гэж бичигдэнэ.Хэрэв {Sn} дараалал нийлэхгүй (салдаг) байвал (1) цуваань салдаг цуваа гэж нэрлэгдэх ба энэ тохиолдолд цуваанынийлбэрийн ухагдахуун тодорхойлогдохгүй.Хэрэв

∑an = S , байвал rn = S − Sn нь

уг цувааны n-р гишүүнээс хойших үлдэгдэл гэж нэрлэгдэхбөгөөд n→∞ үед rn = S − Sn → S − S = 0 байна.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ∞∑n=1

1n·(n+1) =

11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) + ...,

цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна.

an = 1n·(n+1) =

1n −

1n+1 адилтгалын үндсэн дээр n дүгээр

хэсгийн нийлбэр

Sn = 11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) = (1− 1

2) + (12 −13) + · · ·

· · ·+ ( 1n −1

n+1) = 1− 1n+1 →

(n→+∞)1 = S ;

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ∞∑n=1

1n·(n+1) =

11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) + ...,

цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна.an = 1

n·(n+1) =1n −

Sn = 11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) = (1− 1

2) + (12 −13) + · · ·

· · ·+ ( 1n −1

n+1) = 1− 1n+1 →

(n→+∞)1 = S ;

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ∞∑n=1

1n·(n+1) =

11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) + ...,

n·(n+1) =1n −

Sn = 11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) =

(1− 12) + (12 −

13) + · · ·

· · ·+ ( 1n −1

n+1) = 1− 1n+1 →

(n→+∞)1 = S ;

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ∞∑n=1

1n·(n+1) =

11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) + ...,

n·(n+1) =1n −

Sn = 11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) = (1− 1

2) + (12 −13) + · · ·

· · ·+ ( 1n −1

n+1) =

1− 1n+1 →

(n→+∞)1 = S ;

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ∞∑n=1

1n·(n+1) =

11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) + ...,

n·(n+1) =1n −

Sn = 11·2 + 1

2·3 + ...+ 1n·(n+1) = (1− 1

2) + (12 −13) + · · ·

· · ·+ ( 1n −1

n+1) = 1− 1n+1 →

(n→+∞)1 = S ;

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

Гармоник цуваа∞∑n=1

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Учир нь хэрэв n = 2k авбал n дүгээр хэсгийн нийлбэрийнхувьд

Sn = S2k = 1 +1

2+(13+

)+(15+

)+ · · ·

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

≥ 1 +1

2+ 2 · 1

22+ ...+ 2k−1 · 1

2k= 1 + k · 1

2= 1 +

тэнцэтгэл биш биелэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Sn = S2k = 1 +1

2+(13+

)+(15+

)+ · · ·

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

≥ 1 +1

2+ 2 · 1

22+ ...+ 2k−1 · 1

2k= 1 + k · 1

2= 1 +

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Sn = S2k = 1 +1

2+(13+

)+(15+

)+ · · ·

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

≥ 1 +1

2+ 2 · 1

22+ ...+ 2k−1 · 1

= 1 + k · 12= 1 +

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Sn = S2k = 1 +1

2+(13+

)+(15+

)+ · · ·

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

≥ 1 +1

2+ 2 · 1

22+ ...+ 2k−1 · 1

2k= 1 + k · 1

= 1 +k

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Sn = S2k = 1 +1

2+(13+

)+(15+

)+ · · ·

2k−1 + 1+ · · ·+ 1

≥ 1 +1

2+ 2 · 1

22+ ...+ 2k−1 · 1

2k= 1 + k · 1

2= 1 +

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Иймд ямар ч (их утгатай) M > 0 авахад Sn >k2 > M

биелэгдэж байхаар n = 2k дугаар олдоно өөрөөр хэлбэлk > 2M авахад Sn > M биелэгдэнэ. Энэ эерэг тоон дараалал{Sn} дээрээсээ зааглагдахгүй учраас уг дараалал сална.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ... сална.

Иймд ямар ч (их утгатай) M > 0 авахад Sn >k2 > M

биелэгдэж байхаар n = 2k дугаар олдоно өөрөөр хэлбэлk > 2M авахад Sn > M биелэгдэнэ. Энэ эерэг тоон дараалал{Sn} дээрээсээ зааглагдахгүй учраас уг дараалал сална.

Д.Баттөр

Агуулга

Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд

Хэрэв∑

an = A ба α = const бол

∞∑n=1

(α · an) = α · A = α ·∑

Хэрэв∑

an = A ба∑

bn = B бол∑(an + bn) = A+ B =

∑an +

∑bn;

Нийлдэг цувааны гишүүдийн байрыг сэлгэхгүй дурынаргаар бүлэглэхэд цувааны нийлэлтийн чанаралдагдахгүй, өөрөөр хэлбэл

∑an = A байхад

(a1 + a2 + ...+ an1), (an1+1 + ...+ an2), (an2+1 + ...+ an3), ...,(ank−1+1 + ...+ ank ), ...

Д.Баттөр

Агуулга

Нийлэлтийн шинжүүрүүд

Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл

Хэрэв∞∑1an нийлж байвал n→ +∞ үед an → 0

байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхийгишүүн n→∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир ньөгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөдan = Sn − Sn−1 → A− A = 0 байна.

Теорем

Эерэг цуваа∑

an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэйнөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал{Sn}∞n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино.

Д.Баттөр

Агуулга

Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл

Хэрэв∞∑1an нийлж байвал n→ +∞ үед an → 0

байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхийгишүүн n→∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир ньөгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөдan = Sn − Sn−1 → A− A = 0 байна.

Теорем

Д.Баттөр

Агуулга

Жиших шинжүүр∑an,

∑bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn

тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд

∑bn цувааны нийлэлтээс

∑an цувааны

нийлэлт мөрдөн гарна;∑an цувааны салалтаас

∑bn цувааны

салалт мөрдөн гарна.

Д.Баттөр

Агуулга

тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд∑bn цувааны нийлэлтээс

нийлэлт мөрдөн гарна;

∑an цувааны салалтаас

Д.Баттөр

Агуулга

тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд∑bn цувааны нийлэлтээс

нийлэлт мөрдөн гарна;∑an цувааны салалтаас

Д.Баттөр

Агуулга

Жиших шинжүүр

Жишээ

an = 1n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж.

Жишилтэнд bn = 1n2

ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл

1n(n+1)

n(n + 1)→

n→∞1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр

хэлбэл an ≤ bn. Мөн∑

bn нийлэх учраас∑

an бас нийлнэ.

Жишээ

an = 1√n(n+1)

ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийгшинж.Жишилтэнд bn = 1

n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэлan ≥ bn. Мөн

∑bn сарних учраас

∑an бас сарнина.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

n→∞1 учраас

an ∼ bn ба өөрөөр

Жишээ

an = 1√n(n+1)

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

хэлбэл an ≤ bn.

Мөн∑

Жишээ

an = 1√n(n+1)

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийгшинж.

Жишилтэнд bn = 1n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл

an ≥ bn. Мөн∑

bn сарних учраас∑

an бас сарнина.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл

an ≥ bn. Мөн∑

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэлan ≥ bn.

Мөн∑

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1n(n+1)

n(n + 1)→

Жишээ

an = 1√n(n+1)

Д.Баттөр

Агуулга

Мөрдлөгөө (Харьцаануудыг жиших арга)

Эерэг (an > 0, bn > 0) гишүүд бүхий∑

an ба∑

bnцуваануудын хувьд

∀k ak+1

ak≤ bk+1

bk, (∗)

тэнцэтгэл биш биелэгддэг байвал∑

bn цувааны нийлэлтээс∑an цувааны нийлэлт мөрдөн гарах ба мөн

салалтаас∑

bn цувааны салалт мөрдөн гарна.

Д.Баттөр

Агуулга

Даламберийн шинжүүрХэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий

цувааны хувьд

limn→∞

an= d , (3)

хязгаар оршин байвал

d < 1 үед∑

an цуваа нийлнэ;d > 1 үед

∑an цуваа сална;

d = 1 үед∑

an цувааны нийлэлт-салалтшийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үеднийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл,an = 1

n2), мөн салдаг цуваа ч оршино

(жишээлбэл an = 1n )

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

an= d , (3)

хязгаар оршин байвалd < 1 үед

∑an цуваа нийлнэ;

d > 1 үед∑

an цуваа сална;d = 1 үед

∑an цувааны нийлэлт-салалт

шийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үеднийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл,an = 1

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

an= d , (3)

d > 1 үед∑

an цуваа сална;

d = 1 үед∑

an цувааны нийлэлт-салалтшийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үеднийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл,an = 1

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

an= d , (3)

d > 1 үед∑

an цуваа сална;d = 1 үед

∑an цувааны нийлэлт-салалт

шийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үеднийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл,an = 1

Д.Баттөр

Агуулга

Кошийн шинжүүрХэрэв эерэг

∑an, (an ≥ 0) цувааны хувьд

limn→∞

n√an = q, (4)

хязгаар оршин байвал

q < 1 үед∑

an цуваа нийлнэ;q > 1 үед

∑an цуваа сална;

q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

n√an = q, (4)

хязгаар оршин байвалq < 1 үед

q > 1 үед∑

an цуваа сална;q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

n√an = q, (4)

q > 1 үед∑

an цуваа сална;

q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.

Д.Баттөр

Агуулга

limn→∞

n√an = q, (4)

q > 1 үед∑

an цуваа сална;q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.

Д.Баттөр

Агуулга

Абсолют нийлдэг цуваа

Теорем

Хэрэв∑

an ба∑|an| цуваанууд нэгэн зэрэг нийлдэг байвал∑

an цуваа нь абсолют нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.Харин

∑|an| цуваа салдаг байвал

нь нөхцөлт (абсолют биш) нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Абсолют нийлдэг цуваа

Теорем

Хэрэв∑

an ба∑|an| цуваанууд нэгэн зэрэг нийлдэг байвал∑

an цуваа нь абсолют нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.Харин

∑|an| цуваа салдаг байвал

нь нөхцөлт (абсолют биш) нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд

bn нийлдэг бөгөөд∑

an цувааныгишүүдийн хувьд

an| ≤ bn+1

bn, (n = 1, 2, ...),

тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал∑

an абсолютнийлнэ.

bn салдаг бөгөөд∑

an цувааыгишүүдийн хувьд

an| ≥ bn+1

an цуваа сална.

Д.Баттөр

Агуулга

Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд

bn нийлдэг бөгөөд∑

an цувааныгишүүдийн хувьд

an| ≤ bn+1

bn, (n = 1, 2, ...),

an абсолютнийлнэ.Эерэг цуваа

∑bn салдаг бөгөөд

∑an цувааы

гишүүдийн хувьд

an| ≥ bn+1

an цуваа сална.

Д.Баттөр

Агуулга

Тэмдэг сөөлжих цуваа

Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэйтоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ.

Лейбницийн шинжүүрХэрэв тэмдэг сөөлжих цувааны гишүүд ньабсолют утгаараа монотон буурдаг(a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ) ба lim

n→0an = 0

нөхцөл биелэгдэж байвал нийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэйтоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ.

Лейбницийн шинжүүрХэрэв тэмдэг сөөлжих цувааны гишүүд ньабсолют утгаараа монотон буурдаг(a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ) ба lim

n→0an = 0

нөхцөл биелэгдэж байвал нийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Лейбницийн шинжүүр

Жишээ

1− 12 + 1

3 −14 + · · ·+ (−1)n+1

n + · · · (Лейбницийн цуваа)нийлнэ

1 ≥ 1

2≥ 1

3≥ · · · ≥ 1

n≥ · · · , 1

n→ 0;

Гэвч уг цувааны гишүүдийн абсолют утгуудаас зохиогдсонцуваа

∑ 1n сална. Ийнхүү, Лейбницийн цуваа абсолют биш

нийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1− 12 + 1

3 −14 + · · ·+ (−1)n+1

1 ≥ 1

2≥ 1

3≥ · · · ≥ 1

n≥ · · · ,

n→ 0;

нийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1− 12 + 1

3 −14 + · · ·+ (−1)n+1

1 ≥ 1

2≥ 1

3≥ · · · ≥ 1

n≥ · · · , 1

n→ 0;

нийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1− 12 + 1

3 −14 + · · ·+ (−1)n+1

1 ≥ 1

2≥ 1

3≥ · · · ≥ 1

n≥ · · · , 1

n→ 0;

∑ 1n сална.

Ийнхүү, Лейбницийн цуваа абсолют бишнийлнэ.

Д.Баттөр

Агуулга

Жишээ

1− 12 + 1

3 −14 + · · ·+ (−1)n+1

1 ≥ 1

2≥ 1

3≥ · · · ≥ 1

n≥ · · · , 1

n→ 0;

нийлнэ.

Тоон цуваа

Education

Зорилго 2 -...

unesco ангилал...

10. fibonacci number...

› fileman › uploads › md_lecture › Тоон...

ТООН ТЕЛЕВИЗ, СТАНДАРТ -...

Тоон телевизийн студи. 2-р хэсэг:...

№1bagsh.itpd.mn/fayluud/7-Математик.pdf · 2020....

№3.2 ЭМ, БИОБЭЛДМЭЛИЙН ҮЙЛДВЭРИЙН...

ТООН РАДИО ӨРГӨН НЭВТРҮҮЛГИЙН...

МУИС ын харъяа “Байгаль Эх...

Тоон электроник /монгол

ДИСКРЕПТИВ СТАТИСТИК: ТООН...

· web viewжиших, тоон шулуун дээр...

ТООН ГАРЫН...

ШИНЭ НОМЫН...

Телевизийн тоон өргөн...

· web viewСамбарт бүхэл тоон хэвтээ...

Нийтлэг алдаа ба тоон судалгаа ·...

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН x...

ТЕЛЕВИЗИЙГ ТООН ТЕХНОЛОГИД...