МУИС ын харъяа “Байгаль Эх лицей” сургууль...
TRANSCRIPT
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 1
-1 17
3
11-р ангийн сонгон судлах цаг дээр МУИС-ийн МКС-аас гаргасан “Математикийн
сорилго” ном 7-р бүлгийн сонгох “А” хувилбарын бодлогын бодолтыг бодож, “Б”
хувилбарыг бие даалтаар өгнө.
1.А 5; 7; 11; 19; 35 дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
Бодолт: Дарааллын 1-р гишүүнээс 2-р ишүүн нь 2, 2-р гишүүнээс 3-р гишүүн нь 4, 3-р гишүүнээс
4-р гишүүн нь 8 гэх мэт 2-ийн зэрэгтээр нэмэгдэж байна. Иймд D хариу буюу 3 + 2𝑛 байна.
2.А 𝑥1 =1
2; 𝑥𝑛+1 =
1
2−𝑥𝑛 ; 𝑛 ∈ 𝑁 бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
Бодолт: 𝑥2 =2
3; 𝑥3 =
3
4 ; 𝑥4 =
4
5; 𝑥5 =
5
6; … ; 𝑥𝑛 =
𝑛
𝑛+1 буюу B хариу.
3.А 𝑥𝑛 =21
3𝑛2−14𝑛−17 дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.
Бодолт: 𝑓 𝑛 = 3𝑛2 − 14𝑛 − 17 > 0 тэнцэтгэл бишийг бодвол 𝑥1 = −1; 𝑥2 =17
3
−∞; −1 ∪ 17
3; +∞ завсарт тэгээс их утга авна. Мөн 𝑓 ′(𝑛) = 6𝑛 − 14 > 0 ; 𝑛 >
14
6 болох тул
𝑛 = 6; 7; 8 утгууд дээр авч үзье 𝑥6 =21
7= 3, 𝑥7 =
21
32, 𝑥8 =
21
63 буюу цааш нь буураад явна. Иймд
хамгийн их утга нь 3 хариу D.
4.А lim𝑛→∞ 8𝑛3−4𝑛+18
−3𝑛
𝑛2−3+3𝑛= ?
Бодолт: lim𝑛→∞ 8𝑛3−4𝑛+18
−3𝑛
𝑛2−3+3𝑛= lim𝑛→∞
8−4/𝑛2+1/𝑛38−3
1−3/𝑛2+3=
2−3
1+3=
−1
4 хариу С.
5.А lim𝑛→∞ 𝑎 +1
𝑎+ ⋯ +
𝑎
𝑎𝑛−1 = ?
Бодолт: lim𝑛→∞ 𝑎 +1
𝑎+ ⋯ +
𝑎
𝑎𝑛−1 = lim𝑛→∞ 𝑎 1 +1
𝑎+ ⋯ +
1
𝑎𝑛−1 = lim𝑛→∞ 𝑎 1−
1
𝑎𝑛
1−1
𝑎
=𝑎 𝑎
𝑎−1
6.А lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 = ?
Бодолт: lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 = lim𝑛→∞ 𝑛2+1− 𝑛2−1 𝑛2+1+ 𝑛2−1
𝑛2+1+ 𝑛2−1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 =
lim𝑛→∞ 𝑛2+1−𝑛2+1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2
𝑛2+1+ 𝑛2−1 = lim𝑛→∞
2𝑠𝑖𝑛 𝑛2
𝑛2+1+ 𝑛2−1 = 0 хариу А.
7.А lim𝑛→∞𝑛
𝑛2−1 𝑙𝑛 𝑛=?
Бодолт: lim𝑛→∞𝑛
𝑛2−1 𝑙𝑛 𝑛= lim𝑛→∞
1
𝑛−1
𝑛 𝑙𝑛𝑛
= 1
𝑛→ 0 = 0 хариу А.
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 2
8.А lim𝑛→∞
1+1
2+
1
4+⋯+
1
2𝑛
1+1
3+
1
9+⋯+
1
3𝑛
=?
Бодолт: lim𝑛→∞
1+1
2+
1
4+⋯+
1
2𝑛
1+1
3+
1
9+⋯+
1
3𝑛
= lim𝑛→∞
1+
12 1−
12𝑛
1−12
1+
13 1−
13𝑛
1−13
= 1
2𝑛 → 0;1
3𝑛 → 0 =4
3 хариу B.
9.А lim𝑛→∞ 3𝑛 − 2𝑛𝑛=?
Бодолт: lim𝑛→∞ 3𝑛 − 2𝑛𝑛= lim𝑛→∞ 3 ∙ 1 −
2
3 𝑛𝑛
= 2
3 𝑛
→ 0 = 3 хариу B.
10.А lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 =?
Бодолт:
lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 = lim𝑛→∞ 𝑛2+1− 𝑛2−1 𝑛2+1+ 𝑛2−1
𝑛2+1+ 𝑛2−1 = lim𝑛→∞
2
𝑛2+1+ 𝑛2−1 = 0
хариу B.
11.А lim𝑛→∞𝑛2+3𝑛−2
1+2+⋯+𝑛=?
Бодолт: lim𝑛→∞𝑛2+3𝑛−2
1+2+⋯+𝑛= lim𝑛→∞
𝑛2+3𝑛−2 1+𝑛 𝑛
2
= lim𝑛→∞2 𝑛2+3𝑛−2
𝑛+𝑛2 = lim𝑛→∞
2 1+3
𝑛−
2
𝑛2
1
𝑛+1
= 2 хариу C.
12.А lim𝑥→𝑎 1
𝑥−𝑎−
2𝑎
𝑥2−𝑎2 =?
Бодолт: lim𝑥→𝑎 1
𝑥−𝑎−
2𝑎
𝑥2−𝑎2 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 = lim𝑥→𝑎
1
𝑥+𝑎=
1
2𝑎 хариу А.
13.А lim𝑥→𝑎𝑥3−𝑎3
𝑥2−𝑎2 =?
Бодолт: lim𝑥→𝑎𝑥3−𝑎3
𝑥2−𝑎2 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥2+𝑥𝑎+𝑎2
𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 = lim𝑥→𝑎
𝑥2+𝑥𝑎+𝑎2
𝑥+𝑎=
3𝑎2
2𝑎=
3𝑎
2 хариу С.
14.А lim𝑥→𝑎6𝑎3− 𝑥
𝑎2− 𝑥3 =?
Бодолт: lim𝑥→𝑎6𝑎3− 𝑥
𝑎2− 𝑥3 = Лоп − 1 = lim𝑥→𝑎6
−1
2 𝑥
−1
3 𝑥23
= lim𝑥→𝑎63 𝑥23
2 𝑥=
3𝑎4
2𝑎3 =3𝑎
2 хариу А.
15.А lim𝑥→∞6𝑥6+4𝑥2+5
3𝑥6+2𝑥+7=?
Бодолт: lim𝑥→∞6𝑥6+4𝑥2+5
3𝑥6+2𝑥+7= lim𝑥→∞
6+4
𝑥4+5
𝑥6
3+2
𝑥5+7
𝑥6
=6
3= 2 хариу B.
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 3
16.А lim𝑥→0 1+𝑥− 1−𝑥
1+𝑥3
− 1−𝑥3 =?
Бодолт: lim𝑥→0 1+𝑥− 1−𝑥
1+𝑥3
− 1−𝑥3 = lim𝑥→0
1+𝑥− 1−𝑥
1+𝑥3
− 1−𝑥3 ∙
1+𝑥+ 1−𝑥
1+𝑥+ 1−𝑥∙
1+𝑥 23+ 1−𝑥23
+ 1−𝑥 23
1+𝑥 23+ 1−𝑥23
+ 1−𝑥 23 = lim𝑥→02𝑥
2𝑥∙
31+𝑥2+31−𝑥2+31−𝑥21+𝑥+1−𝑥= lim𝑥→031+𝑥2+31−𝑥2+31−𝑥21+𝑥+1−𝑥=32 хариу В.
17.А lim𝑥→∞𝑙𝑛 𝑥2−𝑥+1
𝑙𝑛 𝑥10 +𝑥+1 =?
Бодолт: lim𝑥→∞𝑙𝑛 𝑥2−𝑥+1
𝑙𝑛 𝑥10 +𝑥+1 = lim𝑥→∞
𝑙𝑛 𝑥2 1−1
𝑥+
1
𝑥2
𝑙𝑛 𝑥10 1+1
𝑥9+1
𝑥10 = lim𝑥→∞
2𝑙𝑛𝑥 +𝑙𝑛 1−1
𝑥+
1
𝑥2
10𝑙𝑛𝑥 +𝑙𝑛 1+1
𝑥9+1
𝑥10 =
𝑙𝑛 1 −1
𝑥+
1
𝑥2 → 𝑙𝑛1 = 0; 𝑙𝑛 1 +1
𝑥9 +1
𝑥10 → 𝑙𝑛1 = 0 = lim𝑥→∞2𝑙𝑛𝑥
10𝑙𝑛𝑥=
1
5хариу А.
18.А lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥3 =?
Бодолт: lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥3 = lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥3 ∙ 1+𝑡𝑔𝑥 + 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
1+𝑡𝑔𝑥 + 1+𝑠𝑖𝑛𝑥= lim𝑥→0
𝑡𝑔𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥3 ∙
11+𝑡𝑔𝑥+1+𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥1𝑐𝑜𝑠𝑥−1𝑥∙𝑥2∙12=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥1−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑥∙𝑥2
𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥∙12=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛3𝑥2∙𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥=1−р гайхамшигт хязгаар=14 хариу С.
19.А lim𝑥→1𝑥2− 𝑥
𝑥−1=?
Бодолт: lim𝑥→1𝑥2− 𝑥
𝑥−1= Лоп − 2 = lim𝑥→1
2𝑥−1
2 𝑥1
2 𝑥
=2−
1
21
2
= 3 хариу С.
20.А lim𝑥→12𝑥2−3𝑥+1
3𝑥2−2𝑥−1=?
Бодолт: lim𝑥→12𝑥2−3𝑥+1
3𝑥2−2𝑥−1= Лоп − 2 = lim𝑥→1
4𝑥−3
6𝑥−2=
4−3
6−2=
1
4 хариу А.
21.А lim𝑥→01−𝑐𝑜𝑠4𝑥
2𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥=?
Бодолт: lim𝑥→01−𝑐𝑜𝑠4𝑥
2𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥= Лоп − 2 = lim𝑥→0
4𝑠𝑖𝑛4𝑥
4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥= lim𝑥→0
8𝑠𝑖𝑛4𝑥
4𝑥∙ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 =
1 − р Гайхамшигт хягаар = lim𝑥→08
2𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=
8
2= 4 хариу D.
22.А lim𝑥→∞ 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 =?
Бодолт: lim𝑥→∞ 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 = lim𝑥→∞𝑥
𝑥2+𝑥+𝑥= lim𝑥→∞
1
1+1
𝑥+1
=1
2 хариу А.
23.А lim𝑥→3𝑥2−𝑥−6
𝑥−3=?
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 4
Бодолт: lim𝑥→3𝑥2−𝑥−6
𝑥−3= lim𝑥→3
𝑥−3 𝑥+2
𝑥−3= lim𝑥→3 𝑥 + 2 = 3 + 2 = 5 хариу В.
24.А 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 функцийн уламжлал нь бүх тоон шулуун дээр эерэг байх
параметр й-гийн утгыг ол.
Бодолт: Эхлээд уламжлалыг олъёо. 𝑦′ = 3𝑎𝑥2 + 12𝑥 + 3 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 одоо уламжлал эерэг
байх завсрыг олъёо. Энд ямагт 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 > 0 байх учир
𝑦′ > 0 байхын тулд 3𝑎𝑥2 + 12𝑥 + 3 > 0 байна. Кватрат тэгшитгэл ямагт тэгээс их байхын тулд
3𝑎 > 0 мөн 𝐷 < 0 байх ёстой. Эндээс 𝑎 > 0
𝐷 = 144 − 36𝑎 < 0 =>
𝑎 > 0𝑎 > 4
𝑎 ∈ 4; +∞ хариу С.
25.А А,B –ээс нэгэн зэрэг зурагт заасан чиглэлийн дагуу 2 машин хөдөлжээ. А-аас
хөдөлсөн машины хурд 36км/цаг, В-ээс хөдөлсөн машины хурд 12км/цаг бөгөөд А,В-ийн
хоорондох зай 130 км бол хэдэн цагийн дараа 2 машины хоорондох зай хамгийн бага байх
вэ?
Бодолт: BM –ийн хоорондох зай ВМ = 130 − 36𝑡, BN-ийн хоорондох
зайг 𝐵𝑁 = 12𝑡-аар өөрчлөгдөнө. Тэгвэл MN машины хоорондох зай
BNM тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз юм.
𝐷 = 𝑀𝑁 = 130 − 36𝑡 2 + 12𝑡 2 = 1440𝑡2 − 9360𝑡 + 16900
D-ийн хамгийн бага утганд хүрэх t-г олох бодлого боллоо.
𝐷′ =2880𝑡−9360
2 1440𝑡2−9360𝑡+16900= 0 , 𝑡 =
13
4 цагт хоорондох зай нь хамгийн бага байна.
26.А 𝑦 = 𝑙𝑛 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
1−𝑠𝑖𝑛𝑥 бол 𝑦′
𝜋
4 =?
Бодолт: 𝑦′ = 𝑙𝑛 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
1−𝑠𝑖𝑛𝑥
′
= 1−𝑠𝑖𝑛𝑥
1+𝑠𝑖𝑛𝑥∙
1−𝑠𝑖𝑛𝑥
2 1+𝑠𝑖𝑛𝑥∙
𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑠𝑖𝑛𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥 (1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )
(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )2 =(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )
2(1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )∙
2𝑐𝑜𝑠𝑥
(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )2 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
1−𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑥=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠 2𝑥=
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 одоо 𝑦′
𝜋
4 =?-ийг олъёо. 𝑦′
𝜋
4 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜋
4
=2
2= 2 хариу А.
27.А 𝑦 = 1 + 𝑒−𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝑥 бол 𝑦′ 0 =?
Бодолт: 𝑦′ = −𝑒−𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝑥 − (1 + 𝑒−𝑥)𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑥 ∙1
2 1−𝑥 болно. 𝑦′ 0 = −𝑒−0 𝑠𝑖𝑛 1 − 0 −
1 + 𝑒−0 𝑐𝑜𝑠 1 − 0 ∙1
2 1−0= −𝑠𝑖𝑛1 − 𝑐𝑜𝑠1 хариу В.
28.А 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 7 функцийн өсөх завсарыг ол.
Бодолт: 𝑓 ′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 > 0 байх завсар нь функцийн өсөх завсар юм. 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 > 0
болж хариу B буюу −∞; −2 ∪ 4; +∞
M В
N
A
-2 4
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 5
0 4
5
29.А 48см периметртэй тэгш өнцөгтүүдийн дотроос хамгийн их талбайтай тэгш
өнцөгтийн талбайг ол.
Бодолт: 𝑃 = 2 𝑎 + 𝑏 = 48 эндээс 𝑎 = 24 − 𝑏 болж 𝑆 = 𝑎𝑏 = 24𝑏 − 𝑏2 талбай нь хамгийн их
утгандаа хүрэх b-гийн утгыг олох бодлого боллоо. 𝑆 ′ = 24 − 2𝑏 = 0 буюу 𝑏 = 12 ба 𝑆 = 144
боллоо. Хариу В.
30.А 𝑦 = −1
3𝑥3 + 2.5𝑥2 − 4𝑥 +
1
3 функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.
Бодолт: 𝑦′ = −𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0 болж сэжигтэй цэг нь 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 4 ба 𝑥1 = 1 нь минимум цэг ба
хамгийн бага утга нь 𝑦 = 1.5 ; 𝑥2 = 4 нь максимум цэг болох ба хамгийн их утга нь 𝑦 = −3 болж
хамгийн их хамгийн бага утгын нийлбэр 1,5 болно. Хариу А.
31.А 𝑦 = −5𝑥3 + 6𝑥2 + 8 функцийн өсөх завсарыг ол.
Бодолт: 𝑦′ = −15𝑥2 + 12𝑥 = 3𝑥(−5𝑥 + 4) > 0 болж өсөх завсар нь 0; 0.8
хариу В. Болно.
32.А 𝑦 = 2𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 муруйн 𝑥 = −1 абцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл бич.
Бодолт: Шүргэгчийн тэгшитгэлийн томъёо нь тул 𝑦0 = −2 − 1 + 6 = 3
𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥2 − 2𝑥 − 6; 𝑓 ′ −1 = 6 + 2 − 6 = 2 болж шүргэгчийн тэгшитгэл нь 𝑦 − 3 = 2(𝑥 + 1)
болж эмхэтгэвэл 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 хариу В.
33.А 𝐹′ 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝐹 0 = 7 бол 𝐹 𝑥 =?
Бодолт: 𝐹 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 +2𝑥 𝑥
3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶; болно 𝐹 0 = 7
нөхцөлийг ашиглавал: 𝐹 0 = 03 +2∙0 0
3+ 𝑐𝑜𝑠0 + 𝐶 = 7 ба эндээс 𝐶 = 6 болж, хариу В.
𝐹 𝑥 = 𝑥3 +2𝑥 𝑥
3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 6
34.А 𝑠𝑖𝑛5𝑡𝑑𝑡𝑥
0 ′
=?
Бодолт: 𝑠𝑖𝑛5𝑡𝑑𝑡𝑥
0 ′
= 1
5𝑐𝑜𝑠5𝑡|0
𝑥 ′
= 1
5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠0
′
= 1
5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 1
′
= 𝑠𝑖𝑛5𝑥 хариу С.
35.А 𝑥
𝑥+2𝑑𝑥 =?
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 6
Бодолт: 𝑥
𝑥+2𝑑𝑥 =
𝑥+2−2
𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑑𝑥 − 2
1
𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑑(𝑥 + 2) − 2
1
𝑥+2𝑑(𝑥 +
2)=𝑥+2=𝑎=𝑎𝑑𝑎−21𝑎𝑑𝑎=2𝑎𝑎3−4𝑎+𝐶=2(𝑥+2)𝑥+23−4𝑥+2+𝐶 хариу С.
36.А 4𝑥 + 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 =?
Бодолт:
4𝑥 + 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 = 2 2𝑥 + 1 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ′ = 2𝑥 + 𝑥 = 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑 𝑥2 +
𝑥= 2𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥2+𝑥+1= 𝑥2+𝑥+1=𝑎=2𝑒𝑎𝑑𝑎=2𝑒𝑎+𝐶=2𝑒𝑥2+𝑥+1+𝐶 хариу В.
37.А 𝑙𝑛 1+ 𝑥
𝑥𝑑𝑥 =?
Бодолт: 𝑙𝑛 1+ 𝑥
𝑥𝑑𝑥 = 2
𝑙𝑛 1+ 𝑥
2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥
′=
1
2 𝑥 = 2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 = 2 𝑙𝑛 1 +
𝑥𝑑𝑥+1=𝑥+1=𝑎=2𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑎=𝑙𝑛𝑎=𝑢 1𝑎𝑑𝑎=𝑑𝑢𝑑𝑎=𝑑𝑣 𝑎=𝑣=2𝑎 𝑙𝑛𝑎−1𝑎 𝑎 𝑑𝑎=2𝑎 𝑙𝑛𝑎− 𝑑𝑎=2𝑎
𝑙𝑛𝑎−𝑎+𝐶=2𝑥+1𝑙𝑛𝑥+1−2𝑥+2+𝐶 хариу D.
38.А 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 ба 𝑦 = 𝑥 + 1 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: Парабол шулуун хоёрын огтлолцолын цэгийг олъёо. 𝑥 + 1 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
𝑥1 = 4; 𝑥2 = 1. Мөн парабол нь дээшээ харсан тул талбай нь 𝑆 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 𝑑𝑥4
1 =
𝑥3
3− 5 ∙
𝑥2
2+ 4𝑥
4
1
= 43
3− 5 ∙
42
2+ 4 ∙ 4 −
13
3− 5 ∙
1
2+ 4 ∙ 1 = 4.5 хариу С.
39.А 𝑦 = 𝑥2 ба 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: Параболуудын огтлолцолын цэгийг олъёо. 2𝑥 − 𝑥2 = 𝑥2; 2𝑥2 − 2𝑥 = 0 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 1.
Мөн доошоо харснaaс нь дээшээ харсныг нь хасч талбай нь
𝑆 = 2𝑥 − 2𝑥2 𝑑𝑥1
0 = 𝑥2 − 2 ∙
𝑥3
3
1
0
= 12 − 2 ∙13
3 − 0 − 2 ∙
0
3 =
1
3 хариуА.
40.А 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥𝜋
0=?
Бодолт: 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥𝜋
0=
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2 𝑑𝑥
𝜋
0=
1
2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0=
1
2 𝑥 +
1
2𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝜋
0
=1
2 𝜋 +
1
2∙ 0 −
0−12∙0=𝜋2 хариу В.
41.А 4𝑥 −1
2𝑥+1 𝑑𝑥
0.5
0=?
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 7
-a 2a 0 a
- +
Бодолт: 4𝑥 −1
2𝑥+1 𝑑𝑥
0.5
0= 4𝑥 𝑑𝑥 −
0.5
0 1
2𝑥+1𝑑𝑥
0.5
0= 4𝑥 𝑑𝑥 −
0.5
0
1
2
1
2𝑥+1𝑑 2𝑥 +
0.5
0
1=2𝑥2−12𝑙𝑛2𝑥+10.50=2∙0.52−12𝑙𝑛2∙0.5+1−2∙02−12𝑙𝑛2∙0+1=0.5−12𝑙𝑛2=121−𝑙𝑛2=12𝑙𝑛𝑒−𝑙𝑛
2=12𝑙𝑛𝑒2хариу D.
42.А 𝑠𝑖𝑛 𝜋
3− 3𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
30
=?
Бодолт: 𝑠𝑖𝑛 𝜋
3− 3𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
30
= −1
3 𝑠𝑖𝑛
𝜋
3− 3𝑥 𝑑 −3𝑥
2𝜋
30
= −1
3 𝑠𝑖𝑛
𝜋
3− 3𝑥 𝑑
𝜋
3− 3𝑥
2𝜋
30
=
𝜋
3− 3𝑥 = 𝑎 = −
1
3 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑎
2𝜋
30
=1
3𝑐𝑜𝑠
𝜋
3− 3𝑥
2𝜋
3
0
=1
3 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3− 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3 = 0 хариу А.
43.А 𝑥 𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥2𝑎
0=? 𝑎 > 0
Бодолт: 𝑥2 − 𝑎2 = 0 ба 𝑥1=𝑎; 𝑥2 = −𝑎
Тул 𝑎2𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥𝑎
0+ 𝑥3 − 𝑎2𝑥 𝑑𝑥
2𝑎
𝑎= 𝑎2 𝑥2
2−
𝑥4
4
𝑎
0
+ 𝑥4
4−
𝑎2𝑥2
2
2𝑎
𝑎
= 𝑎4
2−
𝑎4
4 +
4𝑎4 − 2𝑎4 − 𝑎4
4−
𝑎4
2 =
5𝑎4
2 хариу С.
44.А 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+𝑎2
𝑎
0=?
Бодолт: 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+𝑎2
𝑎
0=
1
2
𝑑 𝑥2
𝑥2+𝑎2
𝑎
0=
1
2
𝑑 𝑥2+𝑎2
𝑥2+𝑎2
𝑎
0= 𝑥2 + 𝑎2
1
2 𝑎
0
= 𝑎2 + 𝑎2 1
2 − 02 + 𝑎2 1
2 =
2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 2 − 1 хариу В.
45.А 𝑑𝑥
1−2𝑥2=?
0.5
0
Бодолт:
𝑑𝑥
1−2𝑥2=
1
2
0.5
0 𝑑 2𝑥
1−2𝑥2=
0.5
0 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ =
1
1−𝑥2 =
1
2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥
0.5
0
=1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2 −
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0=12𝜋4−0=𝜋42=2𝜋8 хариу С.
46.А 𝑠𝑖𝑛𝑥
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋𝜋
2
𝑑𝑥 =?
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 8
Бодолт: 𝑠𝑖𝑛𝑥
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋𝜋
2
𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 = − 𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋𝜋
2
=1
2
𝑑 −2𝑐𝑜𝑠𝑥
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋𝜋
2
=1
2
𝑑 1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋𝜋
2
=
1
2 𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
𝜋
2
=1
2 𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜋 −
1
2𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠
𝜋
2 =
1
2 𝑙𝑛 3 − 𝑙𝑛1 =
1
2𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛 3 хариу
D.
47.А 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =1
4
𝑡
0 тэгшитгэлийн 0; 𝜋 завсар дахь шийд нь аль вэ?
Бодолт: 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =𝑡
0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡
0
1
2𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑡
0
=1
2𝑠𝑖𝑛2𝑡 =
1
4 эндээс 𝑠𝑖𝑛2𝑡 =
1
2 ба 𝑠𝑖𝑛𝑡 =
2
2
ба 𝑠𝑖𝑛𝑡 = − 2
2 хариу 𝑡 = −1 𝑛 𝜋
4+ 𝜋𝑘 ба 𝑡 = −1 𝑛+1 𝜋
4+ 𝜋𝑘 ба 0; 𝜋 энэ завсарт
𝜋
4 гэсэн хариу А
байна.
48.А 𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦
𝑦−1<
10
3 тэнцэтгэлийн бишийн шийдийн олонлог аль вэ?
Бодолт: 𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦
𝑦−1<
10
3 эндээс
𝑥3
3+ 𝑥
𝑦𝑦 − 1
<10
3;
𝑦3
3+ 𝑦 −
𝑦−1 3
3− 𝑦 − 1 <
10
3
𝑦2 − 𝑦 +4
3<
10
3; 𝑦2 − 𝑦 − 2 < 0 эндээс 𝑦1 = 2; 𝑦2 = −1
Хариу −1; 2 D.
49.А 3𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦
−𝑦≤ 𝑦2 тэнцэтгэл бишийн 0; +∞ завсар дахь шийд аль вэ?
Бодолт: 𝑥3 + 𝑥
𝑦
−𝑦
≤ 𝑦2; 𝑦3 + 𝑦 + 𝑦3 + 𝑦 ≤ 𝑦2 ; 2𝑦3 − 𝑦2 + 2𝑦 ≤ 0; 𝑦 2𝑦2 − 𝑦 + 2 ≤ 0
𝑦1 = 0; болж шийд нь
0; +∞ завсартай огтлолцох шийд нь 𝑥 = 0 буюу С.
50.А 7𝑥 + 2 𝑑𝑥3
−1=?
Бодолт: 7𝑥 + 2 = 0 ; 𝑥 = −2
7
−7𝑥 − 2 𝑑𝑥−
2
7−1
+ 7𝑥 + 2 3
−2
7
𝑑𝑥 = −7𝑥2
2− 2𝑥
−2
7
−1
+ 7𝑥2
2+ 2𝑥
3
−2
7
= −2
7+
7
2+
4
7− 2 +
63
2−
2
7+ 6 +
4
7 = 39
4
7 хариу В.
-1 2
-
+
0
-
+
-2
7
-
+
0
МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт
Бадарч Ариунзул Page 9
4 5
51.А 𝑥2 − 7 𝑥 + 12 𝑑𝑥3
−2=?
Бодолт: Модулийн тэмдэг нь 𝑥 = 0
𝑥2 + 7𝑥 + 12 𝑑𝑥0
−2+ 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥
3
0=
𝑥3
3+
7𝑥2
2+ 12𝑥
0
−2
+ 𝑥3
3−
7𝑥2
2+ 12𝑥
3
0
=8
3−
28
2+ 24 + 9 −
63
2+ 36 = 26
1
6 хариу D.
52.А 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥5
3= ?
Бодолт: Модулийн тэмдэг тогтооё: 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 ; 𝑥1 =
3; 𝑥2 = 4
−𝑥2 + 7𝑥 − 12 𝑑𝑥4
3
+ 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥5
4
= −𝑥3
3+
7𝑥2
2− 12𝑥
4
3
+ 𝑥3
3−
7𝑥2
2+ 12𝑥
5
4
= −43
3+
7 ∙ 42
2− 48 + 9 −
63
2+ 36 +
53
3−
7 ∙ 52
2+ 60 −
53
3+
7 ∙ 52
2− 60 = 1
53.А Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ?
Бодолт: a –нь доод хил, b-нь дээд бол талбай нь 𝑆 = − 𝑎−𝑏 3
6 томъёо ёсоор
𝑆 = − 0−5 3
6=
125
6= 20
5
6 хариу А.
54.А 𝑦 = 𝑥2; 𝑦 = 𝑎𝑥 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 36 бол a-гийн бүх утга
нь аль вэ?
Бодолт: Огтлолцолын цэгийг олъёо: 𝑥2 = 𝑎𝑥; 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 𝑎 тул 𝑆 = − 𝑎−𝑏 3
6 ёсоор хэрэв а нь
дээд хил бол 36 = − 0−𝑎 3
6; 63 = 𝑎3; 𝑎 = 6 . Хэрэв а нь доод хил бол 36 = −
𝑎−0 3
6; 63 =
−𝑎3; 𝑎 = −6 тул хариу 𝑎 = ±6 буюу С.
3 4