คู่อันดับ ordered pairs

Designed by Mr.Chokchai Suna [Group 1]

ความหมายของคูอ่นัดบั [Meaning of ordered pairs] สญัลกัษณ์ทีแ่สดงการจบัคูก่นัระหวา่งสิง่ 2 สิง่ เชน่ ระยะทางกบัเวลา ถา้เราจะ

แสดงการจบัคูร่ะยะทาง (กโิลเมตร) กบัเวลา (ชัว่โมง) เราจะเขยีนระยะทางกบัเวลาลงในวงเลบ็เลก็ และคัน่ดว้ยเครือ่งหมายจุลภาค เชน่ (200, 4) จะหมายถงึระยะทาง 200 กโิลเมตร ตอ้งใชเ้วลา 4 ชัว่โมง เป็นตน้คูอ่นัดบั ประกอบดว้ยสมาชกิ 2 ตวั คอื สมาชกิตวัหน้า และสมาชกิตวัหลงั หรอืสมาชกิตวัทีห่น่ึงและสมาชกิตวัทีส่อง

ตวัอย่างของคูอ่นัดบั [Example of ordered pairs] (a, b) อ่านวา่ คูอ่นัดบั เอบaี เป็นสมาชกิตวัหน้าหรอืสมาชกิตวัทีห่น่ึงของคู่

อนัดบั (a, b)b เป็นสมาชกิตวัหลงัหรอืสมาชกิตวัทีส่องของคูอ่นัดบั (a, b)(3, 9) อ่านวา่ คูอ่นัดบัสามเกา้3 เป็นสมาชกิตวัหน้าหรอืสมาชกิตวัทีห่น่ึงของคูอ่นัดบั (3, 9)9 เป็นสมาชกิตวัหลงัหรอืสมาชกิตวัทีส่องของคูอ่นัดบั (3, 9)การเขยีนคูอ่นัดบัจะสบัเปลีย่นสมาชกิไมไ่ด ้เพราะจะท าใหค้วามหมายเปลีย่นไป เชน่ (a, b) เป็น (b, a) จะท าให้ (a, b) ไมเ่ทา่กบั (b, a) ยกเวน้ a = b

บทนิยามของคูอ่นัดบั [Defined Terms] การเทา่กนัของคูอ่นัดบั คอื คูอ่นัดบั (a, b) = (c, d) ก็

ต่อเมือ่ a = c และ b = dเมือ่ a, b, c, d เป็นจ านวนจรงิใด ๆ

หลกัทัว่ไป [Principle] ก าหนดคูอ่นัดบั (a1,b1) และ (a2,b2) เป็นคูอ่นัดบัใด ๆ คุณสมบตัขิองคูอ่นัดบัคอื

(a1,b1)=(a2,b2) กต็่อเมือ่ a1=a2 และ b1=b2.เซตของคูอ่นัดบัทัง้หมดที่สมาชกิตวัหน้ามาจากเซต X และสมาชกิตวัหลงัมาจากเซต Y เรยีกวา่ผลคณูคารท์ีเซยีนของ X และ Y หรอือาจเขยีนเป็นสญัลกัษณ์ไดว้า่ X×Y ซึง่ความสมัพนัธ์ทวภิาคจากเซต X ไปเซต Y ใด ๆ จะเป็นเซตยอ่ยของ X×Yในกรณทีีว่งเลบ็ได้น ามาใชเ้พือ่จุดประสงคอ์ื่นแลว้ เชน่ใชแ้ทนชว่งเปิดบนเสน้จ านวน กอ็าจใชส้ญัลกัษณ์วงเลบ็ ⟨a,b⟩ แทน (a,b) ตามปกตไิด้

การนิยามคูอ่นัดบัโดยใช้ทฤษฎีเซต เนื่องจากทฤษฎเีซตอาจถอืไดว้า่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร ์ดงันัน้วตัถุทาง

คณิตศาสตรใ์ด ๆ กจ็ะตอ้งสามารถนิยามภายใตเ้ซตได ้รวมถงึคูอ่นัดบัดว้ย[1] โดยไดม้ีนิยามหลากหลายรปูแบบในการนิยามคูอ่นัดบัขึน้มาจากเซต

นิยามของ Wiener Norbert Wiener ไดเ้สนอนิยามคูอ่นัดบัโดยใชท้ฤษฎเีซตเป็นคนแรกในปี

1914[2](a,b):={{{a},∅},{{b}}}.เขายงัสงัเกตวา่ดว้ยนิยามน้ีสามารถน าไปใช้กบัการนิยามประเภทใหอ้ยูใ่นรปูของเซตไดอ้กีดว้ยWiener ใช ้{{b}} แทนที่ {b} เพือ่ใหนิ้ยามน้ีเขา้กนัไดก้บัทฤษฎปีระเภท ซึง่มขีอ้ก าหนดวา่สมาชกิทุกตวัในคลาสตอ้งเป็น "ประเภท" เดยีวกนั หรอืนัน่กค็อืเพือ่ท าให ้{{b}} เป็นประเภทเดยีวกนักบั {{a},∅}

นิยามของ Hausdorff นิยามของ Hausdorff[แก]้ในเวลาใกลเ้คยีงกนักบัการเสนอนิยามคูอ่นัดบัของ

Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff กไ็ดน้ าเสนอนิยามดว้ยเชน่กนั(a,b):={{a,1},{b,2}}โดยที ่1 และ 2 ตอ้งแตกต่างจาก a และ b

Example 1 จากการเท่ากนัของคูอ่นัดบัตอ่ไปนี ้จงหาคา่ตวัแปร 1.1 (5, 9) = (a, 9) จะได ้ a = 5 1.2

1.2 (a, 7) = (-3, 7) จะได ้ a = -3

1.3 (a+2, -1) = (8, -1) จะได ้ a = 6

Example 2 จงหาคา่ของ x และ y ท่ีท าให้ (2x + y, 24) = (6, 3x – y) วธิที า จากความหมายการเทา่กนัของคูอ่นัดบั จะไดว้า่

2x + y = 6 ……………………….. (1)

3x – y = 24 ……………………….. (2)

(1) + (2) ; 5x = 30

x = 6

แทนคา่ x ใน (1) จะได้

y = -6

Example 3 จงหาคา่ x และ y ทีท่ าให(้x+ 5,y+3)=(15,9)วธิที า จากความหมายการเทา่กนั

ของคูอ่นัดบั จะไดว้า่x+5 = 15 และ y+3 = 9x = 10 y = 6

Answer x = 10 y = 6

Example 4 ถา้ก าหนดให ้(x ,y) = (3, 2×-5) จงหาคา่ของ x กบั yวธิที า จากความจรงิทีว่า่

(a ,b)=(c ,d) กต็่อเมือ่ a = c และ b = dจะได ้x = 3 ………..(1)y = 2×-5 …………(2)แกส้มการ(1) กบั (2) จะได ้x = 3 และ y = 1

Answer x = 3 และ y = 1

Example 5 จงสรา้งคูอ่นัดบัทุกคูโ่ดยสมาชกิตวัหน้าเป็นสมาชกิของ A และสมาชกิตวัหลงัเป็น

สมาชกิของ Bก าหนดให ้A={1,2,3} และ B={0,3}

Answer (1,0),(1,3),(2,0),(2,3),(3,0),(3,3)