Системысзапаздывающимисилами ... · pid регулятор...

Системы с запаздывающими силамипри малом коэффициенте интегрированияпредставляют из себя релаксационныегенераторы.

Стабилизатор температуры

K1=0.03

30C

Метод Лемерея

ttzz

zy zy

zy zy

zz

yy

tT 2

22

34 ttUmeasUset

RRAtUmeas

2

2

34 zUset

RRAz

Стабилизатор температуры t 0

Есть критический коэффициент усиления К, начиная с которого система самовозбуждается.

А если ограничить коэффициент усиления К, то проигрываемв точности.

22

2121

22121

21

4422

1roomsetroomsetroomset TKTKKKTKTKTKTK

KKT

PID регулятор

ПропорциональныйProportional (K)

ИнтегральныйIntegration (Ti)

ДифференциальныйDifferential (Td)

22

21 roomheater

meassetmeassetmeasset TTK

dtTTdDdtTTITTK

dtdT

PID регулятор

AVR221: Discrete PID controller

PID регулятор

1. Увеличивая коэффициент К, добиваются началасамовозбуждения регулятора. Измеряют этоткоэффициент усиления КВ и период колебаний T.

2. Устанавливают К=0.65 КВ , Ti=3-5 T , Td=Ti /5

3. Подбирают точнее….

AVR221: Discrete PID controller

Теория автоматическогоуправления

Входнойсигнал

Передаточнаяфункция

Регулятор

Задача теории управления подобрать«Передаточную функцию», чтобы получить

нужное изменение входного сигнала.

К примеру: входной сигнал быстроприближается к опорному, но ускорение не

превышает 3.

Опорныйсигнал

CNC

mk

)(2 20 tFxxx

С точки зрения математики

• Задача сводится к преобразованиюЛапласа входных и выходных величин, функции отклика регулятора (позволяетизбавится от дифф. уравнений).

• Затем с помощью метода наименьшихквадратов находим передаточнуюфункции в пространстве Лапласа.

• Затем берем обратное преобразованиедля передаточной функции.

yxtFxyy

)(2 2

0

)(2 20 tFxxx

iii

iiiii

yxxFxyyy

1

201 2

...12 iy

С точки зрения инженерииТак как система каждый раз немногоотличается (производство) строимцепочку из обычных регуляторов, азатем подбираем коэффициенты.

В обоих случаях

• А что будет если кто то хлопнетдверью?

• Проверка системы на устойчивость

Устойчивость колебательныхсистем

Устойчивость

1.Устойчивость по Ляпунову2.Абсолютная устойчивость.3.Неустойчивость.

Абсолютная устойчивость

Абсолютная устойчивость – она жеасимптотическая устойчивость. Системаприближается к состоянию равновесия

асимптотически. Т.е. в каждый последующий момент

времени система ближе к положениюравновесия.

ЛКС со слабым затуханием

x

y

Устойчивость по Ляпуновуx

x

Состояние равновесияназывают устойчивым поЛяпунову, если для малойобласти допустимыхотклонений , существуетобласть ,

включающая состояниеравновесия, такая, чтовсякое движениеначавшиеся в ней не выйдетза пределы области .

ЛКС

x

x=y.

Второй метод Ляпуноваанализа устойчивости. Устойчивость стационарныхрешений нелинейных систем.

Линейный случай

nnnnnn

nn

nn

xaxaxadt

dx

xaxaxadt

dx

xaxaxadtdx

...

....................................

...

...

2211

22221212

12121111

Система с N степенями свободы описывается n=2N дифференциальными линейными уравнениями первого

порядка.

Линейный случай

0.......................................

0...0...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Состояние равновесия: 0...21 dt

dxdt

dxdtdx n

Стационарное решение

0

...........................

.....

.....

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

Тогда все xk =0

Линейный случай

tkk eUx

Решение ищем в виде

nknkkkkk xaxaxa

dtdx

......11

tnkn

tkkk

tk

tk eUaeUaeUaeU ......11

0.....11 nknkkkk UaUaUa

Линейный случай

0.......................................

0...0...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

UaUaUa

UaUaUaUaUaUa

Т.е. получаем систему однородных линейныхуравнений.

Характеристическое уравнение

0

...........................

.....

.....

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

Ненулевое решение существует если определительравен нулю

Характеристическое уравнение

0...11

nnn CC

n ,..., 21t

knt

kt

kkneUeUeUx ...21

21

n постоянных Ulm независимы и определяютсяначальными условиями.

Остальные определяются из решения системыуравнений

lml U

Теорема об устойчивости

kkk j

m

tjtkmk

mm eeUx

Если все корни характеристического уравнения имеютотрицательные вещественные части m, то

соответствующие состояние равновесияасимптотически устойчиво.

Теорема об устойчивости

0 200 400 600 800 1000

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

t

U11et

U12et

U13et

x1

Теорема об неустойчивости по первомуприближению

Если среди корней характеристического уравнениясистемы встречается хотя бы один корень с

положительной вещественной частью, то состояниеравновесия линейной системы неустойчиво.

m

tjtkmk

mm eeUx kkk j

Теорема об устойчивости

0 200 400 600 800 1000

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t

U11et

U12et

U13et

x1

Теорема об особенных случаях

Если среди корней характеристического уравнениявстречается хотя бы один корень с нулевой

вещественной частью, то система устойчива поЛяпунову.

m

tjtkmk

mm eeUx kkk j

Теорема об устойчивости

0 200 400 600 800 1000-1

0

1

t

U11et

U12et

U13et

x1

Нелинейная система

nnn

n

n

xxxFdt

dx

xxxFdt

dx

xxxFdtdx

,....,,

....................................

,....,,

,....,,

21

2122

2111

Система с N степенями свободы описывается n=2N дифференциальными нелинейными уравнениями.

Стационарное решение

0,....,,..............................

0,....,,0,....,,

21

212

211

nn

n

n

xxxF

xxxFxxxF

0...21 dt

dxdt

dxdtdx n

002

01 ,....,, nxxx Решений может

быть не одно)2(0)2(0

2)2(0

1

)1(0)1(02

)1(01

,....,,

,....,,

n

n

xxx

xxx

Приближение линейности

002

01 ,....,, nxxx

nnn xx

xx

xx

0

20

22

10

11

...................

Разложение в ряд …

..

...,....,,

101

011

121

1

011

xF

xxxFxxxF

k

xxk

nk

dtd

dtdx kk

Приближение линейности

nn

nnnn

nn

nn

xF

xF

xF

dtd

xF

xF

xF

dtd

xF

xF

xF

dtd

...

....................................

...

...

22

11

22

2

21

1

22

12

2

11

1

11

m

lml x

Fa

,

Дальше решаем также, как и в случаелинейных систем.

Теорема об устойчивости по первомуприближению

Если все корни характеристическогоуравнения системы первого

приближения имеют отрицательныевещественные части то

соответствующие состояниеравновесия асимптотически

устойчиво.

Теорема об неустойчивости по первомуприближению

Если среди корней характеристическогоуравнения системы первого приближения

встречается хотя бы один корень сположительной вещественной частью, тосостояние равновесия нелинейной системы

неустойчиво.

Теорема об особенных случаях

Если среди корней характеристическогоуравнения системы первого приближения

встречается хотя бы один корень снулевой вещественной частью, то

невозможно сделать вывод обустойчивости или неустойчивости

нелинейной системы.

Решение уравнение Ван-дер-Поля

01 2 xxxx

Укороченные уравнения

082

3

AAA

3

81

21 AAA AFAAA 3

81

21

Стационарные решения

3

41

2AAA

041 3

AA

20

AA

0A

2;0 3,21 AA

0AA

0

81

21

0

3

011

AA

A

AA

AAAAFa

AFAAA 3

81

21

2

011 83

21 Aa

Матрица

0.........11

a

Характеристическое уравнение

111 a

011 a

2

0111 83

21 Aa 2,00 A

00 A

21

0 Неустойчивое решение

20 A

0 Устойчивое решение

CtK )21exp(

CtK )exp(

Параметрический резонанс. Определение областейпараметрического резонансапо Мейснеру.

Качели

Качели

l

А

BC

D

l

Энергия

l

lg

00

2

21 WmVT

cos1 mglП

А

BC

D lmgWVAB AB 0:

llmVlmgWVCD CD

221max: 2

l

ll

lll

22

22

Прирост энергии за период

l

А

BC

D

lmgWVAB AB 0:

llmVlmgWVCD CD

221max: 2

2

0121

llWW

n

n llWW

2

021

llmVlmglmgW

2

21 2

Частота

l

А

BC

D0 2 4 6 8 10

0

t

0

колебанийвоздескогопараметрич 2.

А

B C

D

Контур с нелинейной емкостью

L C

R

0)2cos(1 320 xxtmx

U

Контур с нелинейной емкостью

L C

R 0)2cos(1 32

0 xxtmx

01)2cos(1 322

20 xxmx

322

20

2

20 )2cos(1 xxmxxx

Метод медленно меняющихся амплитуд

322

20

2

20 )2cos(1 xxmxf

2

0

2

0

cos,,2

sin,,2

dvufv

dvufu

sincos vux cossin vux

Интегрирование - укороченное уравнение на u.

3322

2233

2

32

23

2

20

2

20

sinsincos3sincos3cos

)(sinsin)(coscos)(sin)(cos

sincos1

vuvvuu

vvuu

m

vuf

41

43

sin*

41

43

22 sincos2cos

Укороченное уравнение на u –упрощение

43

413

43

411

21

322

2

20

2

20

vvu

vvmv

u

43

413

43

41

2222

020

22 vumvu

Укороченное уравнение на u –упрощение

22

020

22 4

321

2Amvu

43

413

43

41

2222

020

22 vumvu

Интегрирование - укороченное уравнение на v.

3322

2233

2

32

23

2

20

2

20

sinsincos3sincos3cos

)(sinsin)(coscos)(sin)(cos

sincos1

vuvvuu

vvuu

m

vuf

41

43

cos*

41

43

22

020

22 4

321

2Amvu

22

020

22 4

321

2Amuv

Укороченные уравнения

222 vuA

Стационарные решения

22

020

22 4

321

20 Amvu

22

020

22 4

321

20 Amuv

0 Avu

vAvu 0,0

uAuv 0,0

2

020

22

21

34

mA

2

020

22

21

34

mA

m-амплитуда параметрическоговоздействия

222 vuA

Контур с нелинейной емкостью

)sin(0,0Ax

vAvu

)cos(

0,0Ax

uAuv

+ -

0 2 4 6 8 10 12

(рад)

)2cos(

sincos vux

ParamAmplPhase.py

ParamAmplPhase.py

Регенеративный усилитель

Q

QEA

0

0

CL

21

20

регRQ

C

MSRRрег0

Подбирая R или Mможно добиться

значений Q близких к ∞.Получить фильтр сочень узкой полосой

пропусканияи большим усилением

Параметрический усилитель

tExtmxx c cos)2cos(120

Сигнал

НакачкаL C

R

ParamAmplFreq.py

ParamAmplFreq.py

Контур с нелинейной емкостью

А

0

Сильный резонанс

Слабый резонанс

Контур с нелинейной емкостью

А

0с х

х –холостая частота

Параметрический резонансОпределение областейпараметрического резонансапо Мейснеру.

Параметрический резонанс, уравнение Матье (Mathieu )

0120 xtmfx

t

f(t)

tmxx

tmxx

0;1;0

0;1;0

0222

0121

0

Решение

tmxx

tmxx

0;1;0

0;1;0

0222

0121

tbtaxtbtax

22222

11111

sincossincos

tbtaxtbtax

2222222

1111111

cossincossin

Сшивка 1-ая точка, t=0

tbtaxtbtax

22222

11111

sincossincos

0000

,0sin,1cos,021

21

xxxx

t

21 aa 2211 bb 2

112 bb

tbtaxtbtax

2222222

1111111

cossincossin

21 aaa 1bb

Сшивка 2-ая точка –t,t

2 1

2 1

x x

x x

tbtax

tbtax

22

122

111

sincos

sincos

tbtaxtbtax

21222

11111

cossincossin

Сшивка 2-ая точка

11112122

1122

12

cossincossin

sincossincos

baba

baba

;2,12,1

11112122

1122

12

cossincossin

sincossincos

baba

baba

t t

Решение системы однородных уравнений(сам. работа)

11112122

1122

12

cossincossin

sincossincos

baba

baba

0coscossinsin

0sinsincoscos

21112211

22

1121

ba

ba

Детерминант(сам. работа)

0sinsinsinsin

coscoscoscos

221122

11

211121

0sinsinsinsin

sinsinsincos

coscoscoscoscos

22122

2

1

22112

12

22

1

11221112

12

1

Сокращения(сам. работа)

0sinsinsinsin

sinsinsincos

coscoscoscoscos

22122

2

1

22112

12

22

1

11221112

12

1

0sinsin

coscos2

12

1

1

2121

21112

Уравнение на альфа(сам. работа)

0sinsin

coscos2

12

1

1

2121

21112

01

2sinsin

coscos2

2

1

1

221

212

Корни

012sinsincoscos2

2

1

1

22121

2

0122 P

122,1 PP

P

Отношения периодов

0 0

0

222 нT

Отношение периодов

Качели

21

0 2 4 6 8 10

0

t (рад)

0

2

0T

Отношения периодов

2

22 0

0

T

0

mm 1102,12,1

22

1

1

2

12

11

11

mmm

mm

Корни

m 12,1 2

2

1

1

2

12

m

2111sin1sin

1cos1cos

mmm

mmP

2

1

1

22121 2

sinsincoscos

P

Малое изменение параметра

2111sin1sin

1cos1cos

mmm

mmP

0m

sinsincoscos P

2cosP

Решение

12cos0 mP122,1 PP

.....3,2,1,2 nn

m 02 003

2

½ 1 3/2

Система с затуханием

0120 xtmfxx

2

0121

llWW kmWW 0

0WW WW

Система с затуханием

½ 1 3/2

m 02 0 032

0120 xtmfxx

Итоги лекции:

Систему нелинейных уравнений можно линеаризоватьвблизи положения равновесия (стационарное решение).

Устойчивым решение окажется только если все корнихарактеристического уравнения имеют отрицательныевещественные части.