研究ノート ~ - smtb.jp · pdf file主成分分析 による方法も
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~~ 研研究究ノノーートト ~~
イイーールルドドカカーーブブののモモデデルル化化とと予予測測方方法法
住住友友信信託託銀銀行行 パパッッシシブブククオオンンツツ運運用用部部 今今 井井 眞眞 樹樹
1. はじめに 本稿では、イールドカーブのモデル化によ
るアプローチのうち Nelson-Siegel モデルと主
成分分析による方法を解説し、2 つのモデル
の特徴について整理します。また、これらのモ
デルを用いてイールドカーブの予測がどのよう
に行われるのか最近の研究結果を交えて解説
します。
一般に、金利水準を縦軸にとり期間を横軸
にとった場合に描ける曲線のことをイールドカ
ーブといいますが、イールドカーブの変動は大
まかに言って水準、傾斜、曲率の 3 成分で構
成されていると言われています。言い換えると、
各年限の金利は独立に変動するわけではなく、
ある程度相関を持って変動しており、互いに共
通のファクターによって変動しているともいえま
す。予測という観点からは、イールドカーブの
各年限の金利を全て予測しなくても、比較的
少数のファクターを予測することで、イールドカ
ーブ全体を予測できることになります。
イールドカーブのモデル化に関しては、これ
まで学術研究者および実務者により様々な研
究が行われてきましたが、主にデリバティブの
プライシングのためのモデル化に関するものが
多く、イールドカーブの予測にフォーカスした
研究は意外と多くありません。本稿では、予測
にフォーカスした研究の中でイールドカーブモ
デルがどのように使われているのか解説してい
きたいと思います。
2. Nelson-Siegelによるモデル化 Nelson-Siegel モデルでは、各年限のスポッ
トレートを特定の関数型で表現します。具体的
には、時刻 における年限t τ のスポットレート)(τty を3つのファクター ttt 321 ,, βββ を用いて
以下のように表現します。
]1[
]1[)(
3
21
τλτλ
τλ
τλβ
τλββτ
tt
t
ee
ey
tt
tttt
−−
−
−−
+
−+=
ただし、 ttt 321 ,, βββ は水準、傾斜、曲率ファ
クターであり、それぞれのファクターの係数、1、
]1[τλ
τλ
t
te−−、 ]1[ τλ
τλ
τλt
t
ee
t
−−
−−
は各ファクター
のファクターローディングと呼ばれています。
図 1 は Nelson-Siegel モデルに基づく、3 成
分のファクターローディングを記載していま
す。
t1β に関するファクターローディングは、(1)
式より年限τ (図 1 横軸)に関して一定であり、
tty 1)( β=∞ ですので、 t1β は長期金利の水
(1)
1
準と関連性が高く、イールドカーブの水準を表
していることがわかります。
t2β のファクターローディングは年限τ に関して単調減少しており、傾斜を表していると考
えられます。
t3β は年限が長くなるにしたがって徐々に
上昇し 60 ヶ月近辺で最大値を取り、その後は
減少することがみてとれます。つまりイールドカ
ーブの曲率を表していることがわかります。
3. 主成分分析によるモデル化 Nelson-Siegel による手法ではパラメトリック
に関数形を仮定しましたが、主成分分析による
手法では特定の関数型を仮定せずに、統計
的手法によって互いに独立な成分(ファクタ
ー)を抽出します。主成分分析により抽出した
番目のファクターを とすれば、スポットレー
トは以下のように表現できます。
i itz
∑=
=F
iitit zuy
1)()( ττ
ただし、 はファクター数、F )(τiu はファク
ターローディングです。多くの実証分析によれ
ば、第 3 ファクターまででイールドカーブの変
動成分のほとんどが説明できると言われていま
すので、本稿でも 3 つのファクターを用いて解
説します。
図 1 Nelson-Siegel ファクターローディング
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60 80 100 120
年限(τ)
β1
β2
β3
1996/01/31~2008/8/29の月次スポットレートデータより算
出
図 2 に主成分分析によるファクターローディ
ングを記載しています。第 1 ファクターのファク
ターローディングは年限に関してほぼ平行で
あることがわかります。一方、第 2 ファクターの
ファクターローディングは年限が長くなるにした
がって徐々に減少しており、第 3 ファクターは
40 ヶ月近辺を最大値として山型の形状をして
いることが見て取れます。このように、主成分
分析によるファクターもイールドカーブを水準、
傾斜、曲率というファクターに分解していること
がわかります。
4. ファクター値とイールドカーブの推移の関係
図 3~5には、Nelson-Siegel による手法と主
成分分析による手法により算出したファクター
値の推移を記載しています。 t1β ( )が上昇
している局面では、ファクターローディングは
水平(主成分分析ではほぼ水平)であるため、
金利水準全体が上昇していることを意味して
tz1
図 2 主成分分析ファクターローディング
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 20 40 60 80 100 120
年限(τ)
u1
u2
u3
1996/01/31~2008/8/29の月次スポットレートデータより算
出
(2)
2
図 3 ファクター値の推移(第 1 ファクター) 図 4 ファクター値の推移(第 2 ファクター)
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
96/01
97/01
98/01
99/01
00/01
01/01
02/01
03/01
04/01
05/01
06/01
07/01
08/01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
Nelson-Siegel β1(左軸)
PC z1(右軸)
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
96/01
97/01
98/01
99/01
00/01
01/01
02/01
03/01
04/01
05/01
06/01
07/01
08/01
-0.02
-0.02
-0.01
-0.01
0.00
0.01
Nelson-Siegel β2(左軸)
PC z2(右軸)
図 5 ファクター値の推移(第 3 ファクター)
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
96/01
97/01
98/01
99/01
00/01
01/01
02/01
03/01
04/01
05/01
06/01
07/01
08/01
-0.01
-0.01
-0.01
-0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Nelson-Siegel β3(左軸)
PC z3(右軸)
1996/01/31~2008/8/29 の月次スポットレー
トより算出
います。また、 t2β ( )が上昇している局面
では、短期ゾーンの方が長期ゾーンに比べて
ファクターローディングは大きいため、イールド
カーブはフラット化していることを意味していま
す。
tz2
t3β ( )が上昇している局面では、中期
ゾーンのファクターローディングが大きいため、
イールドカーブの中期ゾーンのふくらみが大き
くなっていると解釈できます。このように、ファク
ター値の推移を見ることで、イールドカーブが
過去どのような形状で推移してきたかを確認す
ることができます。
tz3
5. モデルの特徴 Nelson-Siegel モデルは先に述べたとおり、
パラメトリックに関数型を仮定するモデルで、非
常にわかりやすいというメリットがあります。また、
第 1 成分の変化はイールドカーブの完全な平
行移動として定義されるため、実務者にとって
も理解しやすいという利点を持っています。し
かし、Nelson-Siegel モデルでは各ファクターは
独立とはなりません。特に、日本市場のように
長らく低金利が続いている環境下では短期金
利はあまり変動しないため、長期金利の変動
のみによってイールドカーブの傾きが変化し、
第 1 成分と第 2 成分の相関が高くなってしまう
ことになります。
一方、主成分分析による方法は関数型を仮
定せずに、統計的手法により独立なファクター
を抽出する方法です。過去の実証分析から、
第 1 成分は概ねイールドカーブの水準、第 2
成分は傾斜、第 3 成分は曲率を表すことがわ
かっていますが、ファクターローディングは分
3
析期間によって形状が異なる点には注意が必
要です。そこで、実務では直近のデータに重
みを付けて分析したり、分析期間の長さを替え
て検証を行ったりしながら、結果の信頼性を確
認した上で、主成分分析を実行することになり
ます。また、第 1 成分の変動により、イールドカ
ーブが平行移動しない点にも注意が必要です。
もし仮に、平行移動と仮定してしまうと各ファク
ターは独立ではなくなってしまい、主成分分析
の特徴が失われることになります。
6. イールドカーブの予測方法 各年限の金利は独立に変動するわけでなく、
ある程度相関をもって変動するため、少数のフ
ァクターを用いてイールドカーブ全体をモデル
化できることをこれまで見てきました。ここで紹
介する既存の研究も、イールドカーブを少数
のファクターでモデル化し、ファクターを予測
することでイールドカーブを予測しています。
まず、Diebold and Li(2006)に従いイールドカ
ーブのモデル化とイールドカーブの予測方法
を解説します。彼らは、Nelson-Siegel の 3 ファ
クターを予測することで、各年限の金利を予測
することを考えています。 t期における ヶ月
後の各年限の金利の予測値
h)(/ τthty + は、3
ファクターの予測値 hhthhthh /t /3/21 ,, +++ βββがわかれば、以下のように表すことができま
す。
]1[
]1[)(
/3
/2/1/
τλτλ
τλ
τλβ
τλββτ
tt
t
ee
ey
ttht
tthtthttht
−−
+
−
+++
−−
+
−+=
主成分分析による方法も同様に記述できま
す。どちらの手法を用いるにせよ、3 ファクター
を現時点で知りうる情報を基にいかに予測す
るかがキーポイントとなります。次に、具体的な
研究内容とその結果について見ていきたいと
思います。
Diebold and Li(2006)では、先に述べた
Nelson-Siegel モデルにより、米国のスポットレ
ートをモデル化しています。さらに、抽出したフ
ァクターを時系列分析の手法であるAR(1)モデ
ルを用いて予測することで、イールドカーブの
予測可能性について検証しています。AR(1)
モデルは 1 期前の自分自身の値で将来を予
想するという非常に単純なモデルです。彼らは、
1 ヶ月先、6 ヶ月先、12 ヶ月先と予測ホライゾン
を変えて予測可能性を検証し、6 ヶ月先、12 ヶ
月先の予測力はランダムウォークモデル1を含
むいくつかのモデルと比較して優位であるもの
の、1ヶ月先の予測力は低いと結論付けていま
す。
Reisman and Zohar(2004)では、主成分分析
を用いてイールドカーブの変動をモデル化
し、抽出したファクターを用いてイールド
カーブの変動を予測しています。彼らの分
析では、月次データではなく週次データを
用いて 1 週間後のイールドカーブの変動を
予測しています。週次データを用いた場合
には予測力が確認された一方で、Diebold
and Li(2006)と同様に月次データによる 1ヶ
月先の予測力は低いという結果が得られてい
ます。
Diebold and Li ( 2006 ) や Reisman and
Zohar(2004)では、時系列分析の手法により各
ファクターを予測していますが、これらの時系
列分析の手法を用いるためには、各ファクター
の平均値が変化しないことや、分散が一定と
いった条件を満たしていることが必要となりま
(3)
1 予測対象が 1期前の値と変化しないと予測するモデル
のこと。
4
す。各ファクターは、ある期間でみればトレンド
を持っているように見えます。仮にトレンドがあ
れば、平均値が変化していることになりますの
で、時系列分析を用いる際にはそのトレンドを
除去するか、トレンドを別の手法でモデル化す
る 必 要 性 が で て き ま す 。 Reisman and
Zohar(2004)のアプローチでは、トレンドを除去
するために、イールドカーブの水準ではなく、
変化幅をモデル化することによって、この問題
に対処しています。
FaBozzi, Martellini and Priaullet(2005)では、
米国スワップカーブを対象とした分析を行って
います。彼らは Nelson-Siegel モデルの第 2成
分と第 3 成分に着目し、第 2 成分、第 3 成分
以外をそれぞれニュートラルにしたバタフライト
レードによって第2成分、第3成分の予測力を
検証しており、第 2 成分にベットした場合に良
好なパフォーマンスが得られることを報告して
います。このように、第 2 成分の予測力が高い
と判断した場合には、その他のファクターに対
してはニュートラルなポジションを構築し、第 2
成分のみにベットできるというのは、イールドカ
ーブをモデル化した場合のメリットです。
また、彼らのアプローチは、各ファクターを
AR(1)モデルのように過去の自分自身の値動
きだけから将来を予測するのではなく、市場変
数やマクロファクターといった外部変数と関連
付けて予測を行っています。
7. まとめ 本稿では、イールドカーブをモデル化する
方法として Nelson-Siegel による方法と主成分
分析による方法を紹介し、またそれぞれのモ
デ ル の 特 徴 に つ い て 整 理 し ま し た 。
Nelson-Siegel の方法はわかりやすいというメリ
ットがある反面、各ファクターが独立にならない
というデメリットもあります。一方、主成分分析
による手法は各ファクターは独立なのですが、
各ファクターの第 1 成分の変化は、イールドカ
ーブの完全な平行移動を意味していないなど、
意味付けが難しくなります。それぞれの手法に
はメリット、デメリットがありますので、利用者は
その特徴をよく踏まえた上で利用することが重
要です。
また、それらのモデルを用いたイールドカー
ブの予測方法を既存の研究を交えて紹介しま
した。イールドカーブの水準、傾斜、曲率は、
それぞれ異なったサイクルで循環、変動し
ているといわれています。水準はインフレ
と相関が高く長いサイクルで循環しており、
傾斜は景気循環との関連性が高く、水準よ
り短いサイクルで変動すると言われていま
す。そのため、利用するデータの頻度(日
次、週次、月次)によっても予測可能なフ
ァクターは異なりますし、予測する期間に
よっても結果は異なりますので、モデル化
に際してはデータの性質をよく調査した上
でモデル構築を行う必要があるといえます。 8. 参考文献 Diebold, F.X., and C. Li ( 2006 ) ,
“Forecasting the term structure of government
bond yields, ” Journal of Econometrics, Vol,
130.
I
Reisman, H., and G. Zohar (2004),
“Short-term predictability of the term
structure,” Journal of Fixed ncome,
December.
Fabozzi, F.J., L. Martellini, and P. Priaulet
(2005), “Predictability in the shape of the term
5
structure of interest rates,” Journal of Fixed
Income, June.
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