03 cálculo diferencial
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AM2
Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Campos escalares e vectoriais - Parte 2Analise Matematica 2
2o Semestre 2011/12
Versao de 16 de Maio de 2012
sandra.martins@adm.isel.pt
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Gradiente
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Derivadas segundo um vector
Definicao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ int(Df ) entao
f ′~v (~a) = limλ→0
f (~a + λ~v)− f (~a)
λ
representa a derivada de f segundo o vector ~v no ponto ~a(no caso do limite existir).
Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vector ~v no ponto ~a.
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Interpretacoes:
f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica o declive da recta tangente aografico de f no ponto ~a que tem a direccao do vector v .
f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica a taxa de variacao, ou seja, aquantidade de variacao por unidade na direccao de ~v , de fno ponto ~a.
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Calcule:1 f ′~v (~a) para f (x , y) = x2y , ~v = (2, 1) e ~a = (1, 0).2 a derivada direccional de f (x , y) = x2 sin(2y),segundo o
vector ~v = (3,−4) no ponto ~a = (1, π2 ).3 a derivada de
f (x , y) =
{ xyx+y se x + y 6= 0
x se x + y = 0
segundo os vectores ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (1,−1) no ponto~a = (0, 0).
4 a derivada direccional de
f (x , y) =
{2xy
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
segundo o vector ~v = (1, 1) no ponto ~a = (0, 0).5 a derivada direccional de
f (x , y) =
{y 2 se x = 0y2
x se x 6= 0
segundo os vectores ~v1 = (0, 2) e ~v2 = (1, 2) no ponto~a = (0, 0).
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Extremos
Derivadas segundo um vector parafuncoes vectoriais
Definicao
Seja
~f : Df ⊂ Rn −→ Rm
~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))
e ~a ∈ int(Df ) entao
~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)
)representa a derivada de f segundo o vector ~v no ponto ~a(no caso dos limites existirem).
Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direccional de f , segundo o vector ~v no ponto ~a.
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Exercıcios
Calcule
1 ~f ′~v (~a) para~f (x , y , z) = (x − z , 2y)
com ~v = (1, 2, 0) e ~a = (1, 1, 1).
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Definicao
As derivadas direccionais segundo os vectores da base canonicade Rn, chamam-se derivadas parciais.
No caso de n=2... os vectores da base canonica sao (1, 0) e(0, 1)...Chama-se derivada parcial em ordem a x a
∂f
∂x(a, b) = lim
λ→0
f (a + λ, b)− f (a, b)
λ
(e a derivada direccional segundo o vector (1,0)).Chama-se derivada parcial em ordem a y a
∂f
∂y(a, b) = lim
λ→0
f (a, b + λ)− f (a, b)
λ
(e a derivada direccional segundo o vector (0,1)).
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Notas:
Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, navizinhanca (bola) desse ponto a funcao esta definida por:
apenas uma expressao: Regras de derivacao.mais do que uma expressao: Definicao de derivadaparcial.
Interpretacoes:
∂f∂x (a, b) indica o declive da recta tangente ao grafico de fno ponto (a, b) que e paralela ao eixo dos xx.∂f∂x (a, b) indica a taxa de variacao, ou seja, a quantidadede variacao por unidade de x, de f no ponto (a, b).
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Extremos
Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ R.k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′
x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′
(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′
(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′
(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′(uv
)′=
u′v − uv ′
v 2(arcsin(u))′ =
u′√1− u2
(uα)′ = αuα−1u′, α ∈ Q� {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2(√
u)′
=u′
2√
u(arctan(u))′ =
u′
1 + u2
(ln(u))′ =u′
u(arccot(u))′ = − u′
1 + u2
(eu)′ = euu′ (|u|)′ =|u|u
u′ =u
|u|u′
(au)′ = au ln(a)u′, a ∈ R� {1} (cosh(u))′ = sinh(u)u′
(uv )′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′ (sinh(u))′ = cosh(u)u′
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Exercıcios
Calcule
∂f∂x (1, 2) e ∂f
∂y (1, 2) onde f (x , y) = x2y + 2exy .
as derivadas parciais de f (x , y , z) = exz + x sin(zy) + zx .∂f∂x (1, 1), ∂f
∂y (1, 1), ∂f∂x (0, 0) e ∂f
∂y (0, 0) onde
f (x , y) =
{x3+y3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:
f (x , y) =
{ 4x2+y2 se x2 + y 2 > 4
ey−2 se x2 + y 2 ≤ 4
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Derivadas de ordem superior aprimeira
Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...
Derivadas quadradas:
∂2f
∂x2=
∂
∂x
(∂f
∂x
)∂2f
∂y 2=
∂
∂y
(∂f
∂y
)Derivadas cruzadas:
∂2f
∂x∂y=
∂
∂y
(∂f
∂x
)∂2f
∂y∂x=
∂
∂x
(∂f
∂y
)18/1
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Exercıcios
1 Calcule as derivadas ate a 3a ordem das funcoes:
1 f (x , y) = 5xy 3 + 2x2y 2
2 f (x , y) = sin(x)y 5
2 Estude se para f (x , y) =√
16− x2 − y 2 eg(x , y) = x ln(x) + yex se tem que(
∂f
∂x(1, 1)
)2
− ∂2g
∂x∂y(1, 14) +
∂g
∂x(1, 1) = 0.
3 Verifique que para g(x , y) = xyexy se tem que
x∂3g
∂x3+ y
∂3g
∂y∂x2= 0
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Teorema de Schwarz:Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que
∂f∂x , ∂f
∂y e ∂2f∂x∂y existem numa vizinhanca (bola) de (a, b);
∂2f∂x∂y e contınua em (a, b).
Entao∂2f
∂y∂x(a, b) =
∂2f
∂x∂y(a, b).
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Exercıcios
1 Confirme que o teorema se verifica no exercıcio anterior.
2 Seja
f (x , y) =
{xy(x2−y2)x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
1 Calcule ∂f∂x (x , y) e ∂f
∂y (x , y).
2 Calcule ∂2f∂x∂y (0, 0) e ∂2f
∂y∂x (0, 0).
3 Seja
f (x , y) =
{xy2
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
1 Calcule ∂f∂x (x , y) e ∂f
∂y (x , y).
2 Calcule ∂2f∂x∂y (0, 0) e ∂2f
∂y∂x (0, 0).
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Definicao
Seja A um conjunto aberto contido no domınio de f .Uma funcao f diz-se de classe C k (k ∈ N0)em A se e so se fadmite derivadas ate a ordem k (inclusive)em A contınuas eescreve-se
f ∈ C k(A)
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Funcao (definida em R2)diferenciavel
Definicao (diferenciavel)
Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em (a, b) se existem as suasderivadas parciais (em x e em y) neste ponto e se
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f
∂y (a, b)k√
h2 + k2= 0
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Proposicao:Se f e g sao funcoes diferenciaveis entao f + g , f − g , f × g ,fg , (g(x) 6= 0,∀x) e f ◦ g sao diferenciaveis.
Exemplos de funcoesDIFERENCIAVEIS no seu dom. NAO DIFERENCIAVEIS• polinomios • modulo (em 0)• func. algebricas • mantissa (nao e contınua)• func. trigonometricas • por vezes as “unioes” nas• func. trigonometricas inversas funcoes def. por ramos• func. logarıtmicas e exponenc. ......
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Exercıcios
Estude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:
1 f (x , y) = x2 + y 2 no ponto (1, 2).
2 Seja
f (x , y) =
{ √xy se xy > 00 se xy ≤ 0
no ponto (0, 0).
3 Seja
f (x , y) =
{x3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
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Funcao escalar diferenciavel
Definicao (diferenciavel)
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em ~a se existem as suas derivadasparciais neste ponto e se
lim(h1,...,hn)→(0,...,0)
f (~a + h)− f (~a)− ∂f∂x1
(~a)h1 − ...− ∂f∂xn
(~a)hn√h2
1 + ...+ h2n
= 0
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Propriedades das funcoesdiferenciaveis
Seja f : D ⊂ Rn −→ R, ~a ∈ intDf
f diferenciavel em ~a ⇒ f contınua em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. na Bε~a
}⇒ f dif. em ~a.
f ∈ C 1(~a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.
f e diferenciavel em ~a ⇒ f admite derivada segundoqualquer direccao em ~a.
ou seja,
f nao e contınua em ~a ⇒ f n e diferenciavel em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. em ~a
}⇒ f dif. em ~a.
f ∈ C 1(a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.
f nao admite derivada segundo alguma direccao ema ⇒ f nao e diferenciavel em ~a.
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ExercıciosEstude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:
1 Seja
f (x , y) =
{ 2x−3yx+y se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
2 Seja
f (x , y) =
{x4
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
3 Seja
f (x , y) =
{y3
x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
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Plano tangente
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Vamos procurar determinar o plano tangente ao grafico def : R2 −→ R no ponto (a, b).Equacao do plano que passa no ponto (a, b, c):
A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0
Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouseja,
A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0
z − f (a, b) = −A
C(x − a)− B
C(y − b)
chamando λ1 = −AC e λ2 = −B
C temos
z − f (a, b) = λ1(x − a) + λ2(y − b)
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Quando “cortamos” em y = b obtemos
z − f (a, b) = λ1(x − a)
que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos xx’s, portanto o seu declive e ∂f
∂x (a, b) = λ1.Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos
z − f (a, b) = λ2(y − b)
que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos yy’s, portanto o seu declive e ∂f
∂y (a, b) = λ2. Assim, aequacao e
z − f (a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
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Resumindo:A equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(a, b, f (a, b)) e:
z − f (a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
Exercıcio: Determine o plano tangente:
1 ao grafico da funcao f (x , y) = 2x2 + y 2 em P=(1,1,3).
2 a superfıcie de equacao z − 2x2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18).
3 a superfıcie de equacao z = 1− x2 em P=(0,0,1). (verfig.)
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Nota: Repare que se f e diferenciavel no ponto (a, b)
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f
∂y (a, b)k√
h2 + k2= 0
como lim(h,k)→(0,0)
√h2 + k2 = 0 tem-se que (ainda com
“mais forca”)
lim(h,k)→(0,0)
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f
∂x(a, b)h− ∂f
∂y(a, b)k = 0
donde, para h e k pequenos
f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f
∂x(a, b)h − ∂f
∂y(a, b)k ≈ 0
ou seja:
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k
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Gradiente
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Extremos
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k
fazendo x = a + h e y = b + ktem-se, para (x , y) proximos de (a, b), que
f (x , y) ≈ f (a, b) +∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
Ou seja, f (x , y) e aproximadamente igual ao plano tangentepara (x , y) proximos de (a, b).Portanto podemos usar o plano tangente como umaaproximacao (por um polinomio de grau 1) ao grafico de fnuma vizinhanca (bola) do ponto.
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Gradiente
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Diferencial
Se f e diferenciavel em (a, b)
f (x , y)− f (a, b) ≈ ∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)︸ ︷︷ ︸
∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)
para x “proximo” de ae y “proximo” de b.
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios
1 Calcule um valor aproximado de e1.1×0.9.
2 Calcule um valor aproximado de√
9× (1.95)2 + (8.01)2.
3 Seja g ∈ C 1(R2) tal que
x=2.00 x=2.01
y=3.00 7.56 7.42
y=3.02 7.61
Calcule o valor em falta. (Sugestao: use estimativas para∂g∂x (2, 3))
37/1
AM2
Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
O gradiente
Definicao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente def no ponto ~a por:
~∇f (~a) =
(∂f
∂x1(~a), · · · , ∂f
∂xn(~a)
)
Exercıcio: Calcule ~∇f (1, 2) onde f (x , y) = y ln(x) + xy 2.
http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html
38/1
AM2
Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Aplicacao do gradiente: derivadasegundo a direcao de ~v
Proposicao
Se f : Df ⊂ Rn −→ R e diferenciavel em ~a ∈ int(D) e ~v e umvector de Rn entao a derivada de f segundo a direcao de ~ve dada por
f ′~v (~a) = ∇f (~a)|~v
onde | significa produto interno.
39/1
AM2
Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios:
Calcule:
1 A derivada de f (x , y) = x2e−2y no ponto A = (2, 0),segundo o vector ~v = (1, 2).
2 A derivada direccional de f (x , y) = x3 + xy segundo ovector ~v = (1, 3) no ponto (1, 2).
3 A derivada de f (x , y) = 3x2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),na direccao de P =
(−3
4 , 0)
para Q = (0, 1).
4 Determine a taxa de variacao de
f (x , y) = 2x2 + 3xy − 2y 2
no ponto (1,−2) na direccao do ponto dado a origem.
40/1
AM2
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Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Nota: Se o vector ~v e unitario (tem norma 1), a derivadadireccional de f no ponto ~a segundo a direccao do vector ~v :
f ′~v (~a) = ~∇f (~a)|~v =∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥ ‖~v‖ cos(α) =∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥ cos(α)
onde α e o menor angulo formado pelos vectores ~∇f (~a) e ~v .Entao:
f ′~v (~a) e nula quando ~v e ~∇f (~a) sao perpendiculares, ouseja, o vector gradiente e perpendicular as linhas denıvel.f ′~v (~a) e maxima quando α = 0, ou seja, quando ~∇f (~a) e~v sao dois vectores com a mesma direccao e sentido, e o
seu valor e∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥. Assim a direccao de crescimento
maximo de f e dada por ~∇f (~a).f ′~v (~a) e mınima quando α = π, ou seja, quando ~∇f (~a) e~v sao dois vectores com a mesma direccao e sentidos
contrarios, e o seu valor e −∥∥∥~∇f (~a)
∥∥∥. Assim a direccao
de crescimento mınimo (maximo negativo) de f edada por −~∇f (~a).
41/1
AM2
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Derivadasparciais
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
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Implıcita
Extremos
42/1
AM2
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Plano tang.
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Gradiente
MatrizJacobiana
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Extremos
43/1
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Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
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Implıcita
Extremos
44/1
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios I
1 Seja f (x , y) = 2x2y + exy uma funcao diferenciavel no seudomınio.
1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-ograficamente.
2 Calcule f ′(1,1)(1, 0).
3 Determinar um vector unitario ~u de modo quef ′~u(−1, 0) = 1
2 .4 Qual o valor maximo da derivada direccional de f no ponto
(1, 1)?
2 Considere o campo escalar f (x , y) = ex2+y − 2xy .
1 Calcule as funcoes derivadas parciais de primeira ordem def e justifique que f ∈ C 1(R2).
2 Determine os vectores segundo o qual a taxa de variacaode f no ponto (1,-1) e nula.
45/1
AM2
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios II3 Numa placa semi-circular x2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 a
temperatura e dada pela lei
T (x , y) = 3yx2 − x3 + 60
Determine um vector no ponto P = (1, 1) tangente aisotermica que passa nesse ponto.
4 Considere o campo escalar definido em R2 por
f (x , y) = x2e−2y
e o ponto P = (−2, 0). Determine
1 A direcao segundo a qual a funcao cresce maisrapidamente em P.
2 O valor maximo da derivada direcional no ponto P.3 A direcao segundo a qual f ′
~v (2, 0) = 0
46/1
AM2
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Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Derivada segundo a direcao de ~vpara funcoes vectoriais
Seja ~f : Df ⊂ Rn −→ Rm e ~a ∈ intDf onde~f (x1, ...xn) = (f1(x1, ...xn), ..., fm(x1, ...xn))
Para funcoes vectoriais temos que
~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)
)ou seja, se cada uma das funcoes componentes for diferenciavel~f ′~v (~a) =(∂f1∂x1
(~a).v1 + . . .+ ∂f1∂xn
(~a).vn, . . . ,∂fm∂x1
(~a).v1 + . . .+ ∂fm∂xn
(~a).vn)
Matricialmente:
~f ′~v (~a) =
∂f1∂x1
(~a) . . . ∂f1∂xn
(~a)...
......
∂fm∂x1
(~a) . . . ∂fm∂xn
(~a)
v1
...vn
47/1
AM2
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Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Jacobiana e Jacobiano
Definicao
Chama-se matriz Jacobiana de ~f em ~a a
J~f (~a) =
∂f1∂x1
(~a) . . . ∂f1∂xn
(~a)...
......
∂fm∂x1
(~a) . . . ∂fm∂xn
(~a)
Se m = n, o determinante da matriz Jacobiana pode sercalculado e chama-se o Jacobiano.
48/1
AM2
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Gradiente
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Implıcita
Extremos
Exercıcios
1 Seja ~f (x , y) =(ln(4− x2 − y 2,
√y − x
)calcule a matriz
Jacobiana de ~f no ponto (0, 1) e verifique que o Jacobianonesse ponto e −1
3 .
2 Considere a funcao vectorial ~f : Df ⊂ R2 −→ R2 cujasfuncoes componentes sao
f1(x , y) =2x
y − 2
ef2(x , y) = ln(y − x + 2)
calcule a derivada parcial de f segundo o vector (0, 1) noponto (1, 1).
49/1
AM2
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Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Revisao (em R)
[sen(x2)]′ = cos(x2).2x
pois[f (g(x))]′ = f ′(g(x)).g ′(x)
ou seja, num ponto a
[f (g(x))]′(a) = f ′(g(a)).g ′(a)
desde que f seja diferenciavel em g(a) e g em a.
50/1
AM2
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Gradiente
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Implıcita
Extremos
Regra da Cadeia- versao 1
Sejam~g : Dg ⊂ Rn −→ Rp
e~f : Df ⊂ Rp −→ Rm
duas funcoes vectoriais.Se g e diferenciavel em ~a ∈ intDg ee f e diferenciavel em ~g(~a) ∈ intDf
entao~h = ~f ◦ g : Dh ⊂ Rn −→ Rm e diferenciavel em ~a e tem-se:
J~h(~a) = J~f (~g(~a))× J~g (~a)
51/1
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Diferencial
Gradiente
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Implıcita
Extremos
Exercıcios
1 Sejam~f (x , y , z) = (xy , yz)
e~g(u, v) = (2u + v 2, 3u2 − v).
Sendo ~h = ~g ◦ ~f calcule J~h(0, 1, 0).
2 Sejam~f (x , y , z) = (x2 + y 2, y 2 + z2)
e
~g(u, v ,w , s) = (2uw + (sv)2, 3su2 − vw , uvws).
Sendo ~h = ~f ◦ ~g calcule J~h(0, 1, 1, 0).
52/1
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Gradiente
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Implıcita
Extremos
Regra da cadeia- versao 2
Suponhamos que f (x , y) e uma funcao diferenciavel e quex = x(u, v) e y = y(u, v) sao duas funcoes diferenciaveis,entao g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) e uma funcao diferenciavelde u e v , tendo-se
∂g
∂u=∂f
∂x(x(u, v), y(u, v)).
∂x
∂u(u, v)+
∂f
∂y(x(u, v), y(u, v)).
∂y
∂u(u, v)
∂g
∂v=∂f
∂x(x(u, v), y(u, v)).
∂x
∂v(u, v)+
∂f
∂y(x(u, v), y(u, v)).
∂y
∂v(u, v)
53/1
AM2
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Diferencial
Gradiente
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Implıcita
Extremos
Exercıcios: I
1 Sejam f (u, v) = u3 + uvcom u(x , y) = xy 2 e v(x , y) = x sin(y),calcule ∂f
∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y) (pelos dois metodos).
2 u(x , y , z) = x + 2y + 3z comx(t) = t2 − 2t, y(t) = cos(1− t) e z(t) = 1
t2 .
Calcule ∂u∂t para t = 1.
3 Sejam f (u, v) = u2v 3
com u(x , y) = x + y e v(x , y) = x2 − y 2,calcule ∂f
∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y).
54/1
AM2
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Diferencial
Gradiente
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Implıcita
Extremos
Exercıcios: II4 Verifique que a funcao
z = xy + xϕ
(x
y
)satisfaz a equacao
x∂z
∂x+ y
∂z
∂y= xy + z
5 Seja f uma funcao diferenciavel. Prove que
z = xy + f (x2 + y 2)
satisfaz a equacao
y∂z
∂x− x
∂z
∂y= y 2 − x2
55/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios: III6 Seja h : IR2 −→ R uma funcao de classe C 1(R2) e
g(s, t) = h(s2 − t2, t2 − s2).
1 Mostre que
t∂g
∂s+ s
∂g
∂t= 0
2 Supondo que Jh(3,−3) = [2 5] calcule Jg (2, 1).
7 Seja f uma funcao real de variavel real continuamentediferenciavel ate pelo menos a 2a ordem e seja
u = xy + f (z)
com z = yx2 e x 6= 0. Mostre que
∂2u
∂y 2=
1
x4
∂2f
∂z2.
56/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios: IV8 Sabendo que
ϕ(x , y) =y 2
2+ θ
(1
x+ ln(y)
)onde ϕ e θ sao funcoes de classe C 2, no respectivodomınio, mostrar que:
1
x2
∂2ϕ
∂y∂x+
1
y
∂2ϕ
∂x2+
2
xy
∂ϕ
∂x= 0
9 Seja ~F : IR2 −→ R3 uma funcao diferenciavel tal que
~F (0, 1) = (1, 1, 0), J~F (0, 1) =
1 00 11 0
e
G (u, v ,w) = uevw + uvw .Calcule (G ◦ F )′(0, 1)
57/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios: V
10 Considere f : IR2 −→ R uma funcao diferenciavel tal quef (u, 0) = 0 e f (0, v) = v , ∀u, v ∈ R e
~g(x , y) = (x2 − x − y , y 2 − x − y)
1 Mostre que h = f ◦ ~g e diferenciavel em R2
2 Calcule Jh(2, 2).
58/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
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Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Teorema da Funcao Implıcita (TFI)Consideremos ~x ∈ Rn, u ∈ R, a equacao F (~x , u) = 0 e A umconjunto aberto que contem (~x0, u0). Se
F (~x0, u0) = 0
F ∈ C 1(A)[as der. parciais de F sao contınuas em A]∂F∂u (~x0, u0) 6= 0
Entao, numa vizinhanca V de ~x0, u = u(~x), u ∈ C 1(V ) tal queu0 = u(~x0) e F (~x , u(~x)) = 0.Alem disso,
∂u
∂xi(~x0) = −
∂F∂xi
(~x0, u0)∂F∂u (~x0, u0)
59/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios
1 Mostre que a equacao x2z + 3xz2 = 4xy definex = φ(y , z) numa vizinhanca do ponto (0, 1, 0). Calcule∂x∂y (1, 0).
2 Determine para que valores de k a equacaox2 + yz + z2 + xz = 7 define z = φ(x , y) numa vizinhancado ponto (2, 0, k). Calcule ∂z
∂y (2, 0).
3 Mostre que a equacao(x2 + y 2
)exy = 1 define
implicitamente y como funcao de x , y = φ(x), navizinhanca do ponto (0, 1).
4 Seja h(x , y) = xy + cos(x). Mostre que a equacaoh(x , y) = π
2 define localmente y = φ(x) numa vizinhanca
do ponto(π2 , 1). Determine ∂y
∂x
(π2
).
60/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Vimos atras que para uma funcao z = f (x , y) diferenciavel em(a, b) existe um plano tangente definido pela equacao
z − f (a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
Consideremos que se tem uma equacao
F (x , y , z) = 0
que define implicitamente z como funcao de x e y navizinhanca de um ponto (a, b, c) entao,
∂f
∂x(a, b) = −
∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)
e∂f
∂y(a, b) = −
∂F∂y (a, b, c)
∂F∂z (a, b, c)
.
61/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Substituindo na equacao do plano tangente:
z − f (a, b) = −∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)
(x − a)−∂F∂y (a, b, c)
∂F∂z (a, b, c)
(y − b)
∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)
(x − a) +
∂F∂y (a, b, c)
∂F∂z (a, b, c)
(y − b) + z − c = 0
∂F
∂x(a, b, c)(x−a)+
∂F
∂y(a, b, c)(y−b)+
∂F
∂z(a, b, c)(z−c) = 0
(∂F
∂x(a, b, c),
∂F
∂y(a, b, c),
∂F
∂z(a, b, c)
)|(x−a, y−b, z−c) = 0
∇F (a, b, c)|(P − P0) = 0,
com P = (x , y , z) e P0 = (a, b, c).
62/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Portanto o plano tangente e o conjunto dos pontosP = (x , y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vectores P − P0
perpendiculares ao vector gradiente.
Nota: O vector gradiente e perpendicular ao plano tangente aografico.
63/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
A recta normal a superfıcie de equacao F (x , y , x) = 0 noponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direccao do vectorgradiente , pelo que e definida pelas seguintes equacoes:
x-a=λ∂F∂x (a, b, c)
y-b=λ∂F∂y (a, b, c), λ ∈ R
z-c=λ∂F∂z (a, b, c)
(equacao parametrica da recta normal a superfıcie)
64/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios
1 Considere a superfıcie de equacao x2 + y 2 − z2 = 6 e oponto P = (3,−1, 2).
1 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie em P.2 Determine a equacao da recta normal a superfıcie em P.
2 Considere a equacao
xyz sin(xyz)− π
2= 0.
1 Verifique que a equacao dada define implicitamente umafuncao z = φ(x , y) numa vizinhanca de P = (1, 1, π2 ).
2 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie noponto P.
3 Determine a equacao da recta normal a superfıcie noponto P.
4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9)considerando π
2 ≈ 1.57.
65/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Extremos
Definicao:Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a ∈ Df
f (~a) e um maximo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que
f (~a) ≥ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).
f (~a) e um mınimo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que
f (~a) ≤ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).
O maior dos maximos relativos e o maximo absoluto.O menor dos mınimos relativos e o mınimo absoluto.Chamam-se extremos aos maximos e aos mınimos de f .A ~a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f .
66/1
AM2
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Chamam-se pontos crıticos ou pontos de estacionaridadeaos pontos que verificam o sistema:
∂f∂x1
= 0...
∂f∂xn
= 0
Os extremos encontram-se entre os pontos crıticos.Os pontos crıticos que nao sao extremos sao pontos de sela.
67/1
AM2
Derivadasdirecionais
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Derivadas deordem superior
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
68/1
AM2
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Derivadas deordem superior
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Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
A matriz Hesseana de f e:
Hf =
[∂2f∂x2
∂2f∂x∂y
∂2f∂y∂x
∂2f∂y2
]
Sejam ∆1 = ∂2f∂x2 ,∆2 = det(Hf ) , entao:
∆2 > 0,∆1 > 0,→ Mınimo local.
∆2 > 0,∆1 < 0,→ Maximo local.
∆2 < 0 → Ponto de sela.
∆2 = 0 → Nada se conclui.
69/1
AM2
Derivadasdirecionais
Derivadasparciais
Derivadas deordem superior
T. Schwarz
Classe Ck (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
MatrizJacobiana
Derivada daComposta
Implıcita
Extremos
Exercıcios I
Calcule e classifique os extremos de
1 f (x , y) = y 2 − x2.
2 f (x , y) = e−x2+4y2
.
3 f (x , y) = (x − y)2 − x4 − y 4.
4 f (x , y) = y + x sin y (dif).
5 f (x , y) = 3x2 − y 2.
6 f (x , y) = y3
3 + 12y − 4x + x3
3 −72 y 2 + 4.
7 f (x , y) = x2 + y 2 + x2y + 4.
8 f (x , y) = 4xy − 2x2 − y 4.
9 f (x , y) = xy 2 + x2 + y 2.
10 f (x , y) = x3 + 3x2 − 9x + y 3 + 3y 2.
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Exercıcios II
1 Uma empresa produz dois produtos que sao vendidos emdois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidaspelos consumidores e os precos de cada produto estaorelacionados. O lucro total da producao e dado porL = −10 + 5q1 − q2
1 + 20q2 − 2q22 − 3q1q2. Determine a
quantidade a produzir de cada produto de modo amaximizar o lucro.
2 Um mıssil tem um controlo remoto que e sensıvel atemperatura e a humidade. O alcance sobre o qual omıssil pode ser controlado e dado, em km, por:
A(h, t) = 27800− 5t2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300h
Quais sao as condicoes atmosfericas optimais paracontrolar o mıssil?
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Plano tang.
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Gradiente
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Exercıcios III
3 Suponha que pretende transportar 2m3 de parafusos emcaixas como a da figura, com largura l, comprimento c ealtura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam a10e/m2 e o fundo a 20e/m2. O custo de transportaruma caixa e de 3. Qual a largura e o comprimento dascaixas a comprar de modo a minimizar os custos?
Determine apenas o sistema que teria que utilizar pararesolver o problema. (Como o sistema nao e linear nao efacil encontrar a solucao.)
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Exercıcios IV
4 Determine os valores extremos da funcaof (x , y , x) = x − 2y + 2z2 sobre a esfera x2 + y 2 + z2 = 1.
5 Dado um paralelepıpedo de lados x,y e z, determine o quetem maior volume entre os que x+y+z=10.
6 Qual o rectangulo de maior area inscrito na elipse2x2 + 3y 2 = 1.
7 Determine a distancia maxima e mınima do ponto (1, 1) aparabola y = x2 + 1.
8 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva5x2 + 6xy + 5y 2 = 8.
9 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva2x2 + 3y 2 = 1.
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Extremos
Autora:Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:Nuno David Lopes
eCristina Januario
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