1 datastructuren quicksort college 3. 2 vorige keren o-notaties sorteren: insertion sort, bubble...

1

Datastructuren

Quicksort

College 3

2

Vorige keren

O-notaties Sorteren: insertion sort, bubble sort

Kosten (n2) tijd in het slechtste geval

Sorteren: merge sort Kosten (n lg n) tijd in het slechtste geval

Zoeken: binary search Zoeken in een geordende array: (lg n) tijd

Quicksort: begin

3

Vandaag

O-notatie: en Quicksort: eind Heapsort

4

Sorteeralgoritmenoverzicht

(n2): bubble sort, insertion sort (n lg n): merge sort, heapsort (komt nog) Geen extra geheugen: bubble sort, insertion

sort, heapsort Wel extra geheugen: merge sort

5

1

Orde notaties

6

O-notatie en zo

O-notatie (herhaling): O(g(n)) = { f(n) | er zijn positieve constanten c en r, zodat 0

f(n) c * g(n) voor alle n r} O(g(n)) is dus een verzameling functies. In plaats van de

schrijven f(n) O(g(n)) schrijft men echter f(n)=O(g(n)) Allemaal waar:

3n2 = O(n2) (7 n lg n3) = O(n lg n) (2n3+4n2 +3n + 5) = O(n3)

Maar ook zijn waar: n lg n = O(n2) n3 = O(n4) Want “O” geeft een bovengrens

7

Bewijzen dat algoritme O-grens haalt

Te bewijzen: algoritme gebruikt O(f(n)) tijd. Zo doe je dat:

Toon aan dat voor alle inputs, de tijd niet meer is dan een constante maal f(n), n de inputgrootte

Verschillende methoden: Inspectie van loop-structuur Analyse van “recursieboom” Andere technieken komen nog

8

Voorbeeld

z = 0; for i = 1 to n do

for j = 1 to n * n do• k = 1• while k < n * n do• z = z + i * j * k• k = k*2

• z ++;z = z + 3;

return z

9

-notatie (Omega)

-notatie: (g(n)) = { f(n) | er zijn positieve constanten c en r,

zodat f(n) c * g(n) voor alle n r} (g(n)) is dus weer een verzameling functies. In plaats

van de schrijven f(n) (g(n)) schrijft men echter f(n)= (g(n))

Deze notatie geeft ondergrenzen, terwijl de O-notatie bovengrenzen gaf

Vb.: het bubblesort-algoritme gebruikt in het slechtste geval n2) tijd

Vb.: het mergesort-algoritme gebruikt in het slechtste geval (n lg n) tijd

10

Voorbeelden

Allemaal waar: 3n2 = (n2) (7 n lg n3) = (n lg n) (2n3+4n2 +3n + 5) = (n3)

Maar ook zijn waar: n lg n = (n) n3 = (n2) Want “” geeft een ondergrens

11

-notatie (Theta)

-notatie combineert O-notatie en -notatie f(n) = (g(n)), dan en slechts dan als

f(n) = O(g(n)) en f(n) = (g(n)) Dus:

3n2 = (n2) Maar niet: 3n2 = (n3) en niet: 3n3 = (n2)

12

Van snel naar langzaam

(1), (lg lg n) (lg n), (lg2 n), (n), (n), (n lg n), (n lg2 n), (n n), (n2), (n2 lg n), (n3), (n4), (2n), (3n), (n!), (busybeaver(n)) (bijvoorbeeld: maximum aantal

stappen dat een terminerend programma met n symbolen opgeschreven kan doen)

Snel algoritme langzaam stijgende functie (en omgekeerd)

13

Herhaling + Vandaag

Quicksort Snel sorteer algoritme Gebruikt gemiddeld weinig tijd: (n lg n) met in

de praktijk een kleine constante Maakt gebruik van belangrijke subroutine:

Partition Quicksort is langzaam in het slechtste geval, maar

snel op random inputs Randomized-Quicksort om slechte gevallen

‘meestal’ te vermijden Wiskundige analyse van gemiddelde tijd

Randomized-Quicksort

14

Quicksort

Verdeel en heers paradigma Idee is:

Kies een element uit de array, zeg x Splits de array in drie stukken:

• Alles in 1e stuk is x• 2e stuk is het element x• Alles in 3e stuk is x (of >)

Sorteer recursief het eerste stuk Sorteer recursief het derde stuk Klaar!

15

PARTITIONQuicksort: Eén

Datastructuren

16

Splitsen

Partition(A,p,r) {Input is array A met

indexwaardes van p tot en met r}

{Output: waarde q met p q r zodat A[p..r] een permutatie is van input, en als p i q dan geldt A[i] A[q] en als q i r dan geldt A[i] A[q]}

…

Methode partitioneert array A[p…r]

Returnwaarde is plek waar “splitselement” terechtgekomen is

Splitselement heet pivot en nemen we nu als element dat op A[r] staat

17

Partition

Code in boek is subtielpivot

Allemaal Allemaal

Gebied waar we nogaan werken

i j-1p ri+1 j

18

Pseudocode Partition

Partition(A,p,r) pivot = A[r]; i = p – 1; for j = p to r – 1 do

{*} if A[j] pivot then

• i ++;• Verwissel A[i] en A[j]

Verwissel A[i+1] en A[r];

return i+1;

Invariant: bij * geldt voor elke k, p k r:1. Als p k i, dan A[k]

pivot2. Als i+1 k j – 1,

dan A[k] pivot3. Als k=r, dan

A[k]=pivot

19

Pseudocode Partition

Partition(A,p,r) pivot = A[r]; i = p – 1; for j = p to r – 1 do

{*} if A[j] pivot then

• i ++;• Verwissel A[i] en A[j]

Verwissel A[i+1] en A[r];

return i+1;

Invariant: bij * geldt voor elke k, p k r:1. Als p k i, dan A[k]

pivot2. Als i+1 k j – 1,

dan A[k] pivot3. Als k=r, dan

A[k]=pivot Merk op:

Initieel geldt invariant: triviaal

Invariant blijft gelden Bij terminatie …

20

Partition na de loop

En dan verwisselen we A[i+1] en A[r]

Allemaal Allemaal

ip ri+1

Allemaal Allemaal

i+1p r

21

Looptijd partition

Partition(A,p,r) pivot = A[r]; i = p – 1; for j = p to r – 1 do

{*} if A[j] pivot then

• i ++;• Verwissel A[i] en A[j]

Verwissel A[i+1] en A[r];

return i+1;

Lineair(r-p+1) Inspectie van

loopstructuur

22

Opmerking (herhaling)

In onze beschrijving gingen we er van uit dat alle elementen verschillend zijn

Als er gelijke elementen zijn, werkt het ook, maar moet je iets beter opletten in de analyse (zelfde code kan gebruikt worden)

Datastructuren

23

CODE EN EERSTE ANALYSE

Quicksort: Twee

Datastructuren

24

Quicksort

Quicksort(A, p, r) {Sorteert het deel van de array A[p…r]} if p < r then

q = Partition(A, p, r)Quicksort(A, p, q-1)Quicksort(A, q+1, r)

25

Allemaal Allemaal

q

r

rp

p

26

Hoeveel tijd kost Quicksort?

In het slechtste geval gaat het erg langzaam…

Bekijk een gesorteerde rij: We splitsen in stukken van grootte n – 1; 1; 0 En de volgende keer in stukken van grootte n-2;

1; 0 Etc. Dus: cn+ c(n-1)+ c(n-2)+ c(n-3) + … +3c+2c+c

= c n(n+1)/2 stappen Op een gesorteerde rij: (n2) stappen

27

Analyse met recurrente betrekkingen

Schrijf: T(n) is aantal stappen van Quicksort op gesorteerd array met n elementen

T(n) = T(n-1)+T(0) + (n)= T(n-1)+ (n)= (n2)

Andere constantes

Met inductie naar n

28

Quicksort voor aartsoptimisten

Als we echt geluk hebben, splitst Quicksort altijd precies middendoor en gaan we in recursie op twee stukken van hooguit n/2 elementen

Zelfde analyse als bij Mergesort geeft(n lg n) tijd

29

log n niveau’slog n niveau’s

30

Beste geval analyse van Quicksort met recurrente betrekkingen

Stel T(n) is het beste geval van de looptijd van Quicksort op een array met n elementen

T(n) 2*T(n /2) + O(n) (*) T(n) = O(n lg n)

Volgt uit (*) met inductie

Zo kan je ook Mergesort analyseren

31

Quicksort voor optimisten (niet noodzakelijk aartsoptimisten)

Stel nu dat we altijd verdelingen hebben die de array splitsen in twee stukken die verhouding 9 – 1 hebben

T(n) = T(9n / 10)+ T(n / 10) + (n) Recursieboom heeft log10/9 n = (lg n) lagen Per laag (n) dus in zo’n geval eveneens

(n lg n) Maar … hoe vaak gebeurt dat?

32

Hoe vaak doen we een goede splitsing?

In 80% van de gevallen splitsen we 9-1 of beter…

Ingewikkelde analyse geeft (n lg n) tijd gemiddeld over alle mogelijke permutaties van input als alle getallen verschillend zijn (doen we niet)

33

RANDOMIZED QUICKSORTDrie

Datastructuren

34

Hoe zorgen we ervoor dat we heel vaak goed splitsen

Idee 1: maak eerst een random permutatie van de input Geeft (n lg n) Analyse ingewikkeld

Idee 2 (beter): gebruik niet A[r] als pivot, maar gebruik een random element als pivot Geeft ook (n lg n) Analyse eenvoudiger Ietsje sneller

35

Randomized-Partition

Randomized-Partition(A,p,r) Kies uniform een random getal i uit de

verzameling {p, p+1, …, r} Verwissel A[r] en A[i] Partition(A,p,r)

Elk element in A heeft dezelfde kansom als pivot-element gebruikt te worden

Elk element in A heeft dezelfde kansom als pivot-element gebruikt te worden

36

Allemaal Allemaal

q

r

rp

p

37

Quicksort

Quicksort(A, p, r) {Sorteert het deel van de array A[p…r]} if p < r then

q = Partition(A, p, r)Quicksort(A, p, q-1)Quicksort(A, q+1, r)

38

Randomized-Quicksort pseudocode

Randomized-Quicksort(A, p, r) {Sorteert het deel van de array A[p…r]} if p < r then

q = Randomized-Partition(A,p,r)Randomized-Quicksort(A, p, q-1)Randomized-Quicksort(A, q+1, r)

39

Analyse Randomized Quicksort

Verschillende manieren om de verwachtte tijd uit te rekenen

Netjes: stel recurrente betrekking op, en los die op (zie o.a. sheets)

Vandaag: telargument waarbij we kijken naar “hoe vaak doet een element mee in een partition”?

40

Tijd is O(som partition-lengtes)

Kijk naar recursieboom Totale tijd is O(som van alle lengtes van alle

deelstukken waar we een partitie op doen) = O(som over alle elementen van aantal keren

dat het element in een partitie mee doet)

41

Verwachtte tijd

Totale verwachtte tijd is O(verwachte som van alle lengtes van alle deelstukken waar we een partitie op doen)

= O(som over alle elementen van verwachtte

aantal keren dat het element in een partitie mee doet)

= n* O(verwachtte aantal keren dat een element in een partitie meedoet)

42

Afschatten van verwachtte aantal keren dat een element in een partitie meedoet

Is O(log n) Hoe laten we dit zien? Kijk element x, en kijk naar het formaat van

het stuk waar x in zit. Begint met formaat n Iedere keer een beetje kleiner Als formaat 1 is zijn we klaar Hoe vaak is het verwachtte aantal keren dat

het kleiner wordt? We laten zien: O(log n)

43

Kans is ½ dat stuk hooguit ¾ van oude lengte heeft

Als we een stuk hebben met r elementen zijn er r/2 keuzes voor de pivot die zorgen dat de volgende keer het grootste stuk hooguit ¾ * r lang is

44

Tellerij klaar

Hoe vaak kan je n met ¾ vermenigvuldigen totdat je onder de 1 bent? log4/3 n keer = O(log n)

Wat is het verwachtte aantal keren dat je een experiment met kans ½ moet doen totdat je s keer succes hebt? 2s

Dus verwachtte aantal keren dat element in partitie meedoet is hooguit 2 log4/3 n = O(log n) keer

Dus: verwachtte tijd Quicksort O(n log n) Andere analyse (wel in sheets, niet vandaag):

2n ln n

45

Analyse Randomized-Partition

Slechtste geval: weer (n2) T(n) = max0 q n-1 T(q)+T(n-q-1)+(n)

Verwachtte tijd: analyse doen we hier aannemend dat alle elementen verschillend zijn (anders klopt ‘t ook, overigens)

We doen de analyse hier met behulp van de sommatiefactormethode

Eerst: vergelijking looptijd en aantal vergelijkingen

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

46

Looptijd vs aantal vergelijkingen

Stel Quicksort doet X vergelijkingen. Dan gebruikt het O(n+X) tijd Partition doet altijd minstens 1 vergelijking

• Want we roepen Partition alleen aan op stukken met minstens 2 elementen

Partition doet O(aantal vergelijkingen in partition) werk …

We gaan nu het verwachtte aantal vergelijkingen tellen dat Quicksort doet op een array met n verschillende elementen. Noem dit getal C(n)

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

47

Technisch detail

We volgen de analyse uit Concrete Mathematics. Die gebruikt twee vergelijkingen per recursieve aanroep extra.

Deze waardes noemen we D(n). D(0)=C(0)=0; als n>0 dan is D(n)>C(n) Als we dus voor D(n) een bovengrens

hebben, geeft dat ook een bovengrens voor C(n) Uiteindelijke waarde is dus iets beter (scheelt niet

veel)

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

48

Aantal vergelijkingen (Randomized)-Partition

Partition(A,p,r) pivot = A[r]; i = p – 1; for j = p to r – 1 do

{*} if A[j] pivot then

• i ++;• Verwissel A[i] en A[j]

Verwissel A[i+1] en A[r];

return i+1;

n-1 vergelijkingen op een array met n elementen

Concrete Mathematics neemt hier n+1 vergelijkingen

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

49

Analyse D(n) (1)

D(0) = 0 D(1) = 2 D(n) = n+1 + ????

Elk van de splitsingen heeft dezelfde kans:• 0,1,n-1• 1,1,n-2• 2,1,n-3• …• n-2, 1, 1• n-1, 1, 0

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

50

Analyse D(n) (2)

D(0)= 0 D(1)= 2 D(n) = n+1 + 1/n*k=0

n-1 D(k) + 1/n*k=0n-1 D(n-k-1)

Elk van de splitsingen heeft dezelfde kans:• 0,1,n-1• 1,1,n-2• 2,1,n-3• …• n-2, 1, 1• n-1, 1, 0

Of: D(n) = n+1 + (2/n)*k=0n-1 D(k) voor n>0

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

51

1

0

)(2

1)(n

k

kDn

nnD

1

0

2 )(2)(n

k

kDnnnnD

2

0

2 )(211)1()1(n

k

kDnnnDn

)1(22)1()1()( nDnnDnnnD

-

nnDnnnD 2)1()1()(

Deze hadden we

Maal n nemen

Zelfde vergl. voor n-1

Vergelijkingen aftrekken

Na vereenvoudigen

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

52

Stelsel vergelijkingen

D(0)=0 nD(n) = (n+1)D(n-1)+ 2n

Dit stelsel kunnen we met sommatiefactormethode oplossen

Idee is: vermenigvuldig formule met sommatiefactor sn waarbij

• sn = (an-1an-2…a1)/(bnbn-1…b2) als anD(n)=bnD(n-1)+cn

• Want dan is snbn=sn-1an-1

• En dan krijg je voor E(n)=snanD(n) de formuleE(n)=E(n-1)+sncn

• Wat een somformule voor E en daarna voor D geeft…

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

53

nnnn

nnsn )1(

2

3)1(

1)2()1(

D(0)=0nD(n) = (n+1)D(n-1)+ 2nan = nbn = n+1cn = 2n

nnn

nDnnn

nnDnn

2)1(

2)1()1(

)1(

2)(

)1(

2

1

)(2)(

)1(

2)()(

n

nDnDn

nnnDasnE nn

1

4)1()(

nnEnE

: dit hadden we

Definitie toepassen:

Allesmaal sn:

Def.:

(*) en (**)geven:

(*)

(**)

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

54

1

4)1()(

nnEnE

n

k knE

1 1

4)(

1

)(2)(

n

nDnE

dus

We hadden

dus

n

k knnD

1 1

1)1(2)(

Want E(0)=0

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

55

Aantal vergelijkingen randomized quicksort

n

kn n

kH

1

ln1

n

k knnD

1 1

1)1(2)(

Randomized-Quicksort doet verwachtongeveer 2(n+1)ln n vergelijkingen

Deze sheet slaan we over

Deze sheet slaan we over

56

Resultaat en discussie

Het verwachtte aantal vergelijkingen van Randomized-Quicksort is minder dan 2(n+1)ln n

Verwachtte looptijd is (n lg n) De in de O / verstopte constante is erg

klein, dus heel snel in de praktijk Sommige hele snelle sorteermethoden

switchen naar een ander algoritme wanneer n klein is (bijvoorbeeld onder de 30)

57

Recap

Quicksort Snel sorteer algoritme Gebruikt gemiddeld weinig tijd: (n lg n) met in

de praktijk een kleine constante Maakt gebruik van belangrijke subroutine:

Partition Quicksort is langzaam in het slechtste geval, maar

snel op random inputs Randomized-Quicksort om slechte gevallen

‘meestal’ te vermijden Wiskundige analyse van gemiddelde tijd

Randomized-Quicksort

58

Sorteeralgoritmenoverzicht

Slechtste en gemiddeld geval (n2): bubble sort, insertion sort

Slechtste en gemiddeld geval (n lg n): merge sort, heapsort (zometeen)

Slechtste geval (n2) en gemiddeld geval (n lg n): quicksort Voordeel van Quicksort vooral in de “” verstopt

Geen extra geheugen: bubble sort, insertion sort, heapsort, quicksort

Wel extra geheugen: merge sort