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Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels

Contrôle Statistique des ProcédésStatistical Process Control (SPC)

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Définition

Outils statistiques pour analyser la nature des variations au sein d’un procédé

2 types de variations: dues à causes communes (« common-cause

variations »); variations habituelles « normales » du procédé (bruits de mesure, variabilité matières premières ou tolérances composants, …)

Variations dues à des causes spéciales (« special-cause variations ») ; dues à dysfonctionnement du procédé, non prévisibles

CSP vise à détecter apparition variations dues à causes spéciales

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Graphiques de contrôle

Permettent de suivre l’évolution d’une grandeur et de détecter changements de moyenne (ou variance) significatifs caractérisant une variation de cause spéciale

Plusieurs types : Shewart EWMA CUSUM …

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Graphique type Shewart (1)

Hypothèse:

Echantillons successifs indépendants (au sens probabiliste)

Détection causes spéciales induisant changement de moyenne

type écartd'

et moyenne de nséchantillod' Suite )k(y

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Graphique type Shewart (2)

y

c

k

c

oo

o

o o

o

o

ooo o o o

o o

Shewart c=3Justifications:-Densité de probabilité Gaussienne pour

-Pour toute densité de probabilité (inégalité de Chebychev; borne très conservative)- Expérience

)k(y

0013033 ,))k(y(P))k(y(P

2

1

cc)k(yP

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Performance – LME –ARL (1)

Définition: Longueur moyenne d’exécution – LME

(Average run length – ARL)

LME (ARL): Nombre moyen d’observations jusqu’à la première observation hors contrôle (correspondant à l’instant d’alarme), cette dernière observation comprise.

Calcul:

Considérer suite {y(k)} :

avec y(k) mutuellement indépendants pour tout k

Suppose apparition d’une cause spéciale (changement de moyenne) à l’instant inconnu :

)),k(())k(y( 2NL

0k

0kk pour

kk pour )k(

0

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Performance – LME – ARL (2)

Probabilité qu’une observation tombe entre les limites de contrôle après changement:

dxe)x(

: 1 variance de et nulle moyenne de

normale ondistributi la de nrépartitio de fonction )x( avec

)()()k(y

P)(P

))k(y(P)(P

x x

2

2

2

1

333

33

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Performance – LME – ARL (3)

Calcul de la LME en fonction de

)(P

)(P

))(P()(iP

...)(y

P)(y

P)(y

P

)(yP

)(yP

)(yP )(LME

i

i

1

1

1

33

32

31

3

32

31

231

1

1

1

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Performance – LME – ARL (4)

Temps moyen entre fausses alarmes [Nombre d’observations]: LME(0)

Temps moyen de détection d’un changement de moyenne d’amplitude [Nombre d’observations]:

99] [Wieringa, Shewart type

contrôle de graphique le

pour )(ARL anglais en)(LME

)(LME

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Performance – LME – ARL (5)

Détection rapide des changements importants

Peu approprié pour faibles changements (1 à 2 fois l’écart type) car ne prend en compte que l’observation au temps présent

Approche prenant en compte l’ensemble des observations EWMA ou CUSUM

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Utilise toutes les données antérieures pondérées par

un poids exponentiellement décroissant avec l’ancienneté des observations.

S’applique à suite d’observations i.i.d.

(indépendantes identiquement distribuées) Statistique EWMA (moyenne glissante pondérée de

manière exponentielle)

)k(y

(0,1) et normal"" étatl'

pour sdisponible données des moyenne ˆavec

ˆ w(0))k(y)k(w)()k(w

0

011

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) Solution de l’équation récurrente pour EMWA

décroissance poids sur observations donnée par série géométrique autre dénomination: moyenne

glissante géométrique

Limites du graphique de contrôle variance de w(k)

Equation de Lyapunov algébrique:

1

021011

00k

i

ki ,...,k pour )(w)()ik(y)(

k pour )(w)k(w

222222

21

2www )(

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3)

w

2

c

k

2

c

oo

o

o o

o

o

ooo o o o

o o

gaussienne ondistributi de données pour

LME de partir à déterminés paramètres :eheuristiqu Moins

0,3 0,2 , 3 c :pratique bonne de Valeurs

estimées par remplacés pratique en inconnus et

2

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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) On considère alarme si

Notation:

Longueur d’exécution égale à 1 si y(1) tel que

sinon exécution continue à partir de

)ch:(ex h)k(w

2

u)(w -

amplituded' moyenne de changement -

que donné étant )k(y de

moyenne la pourEWMA contrôle de graphique du LME :)u,(Lw

0

h)(yu)( 11

)(yu)( 11

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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) A partir de ce point, longueur moyenne d’exécution

escomptée:

)(yu)(,Lw 11

:,.L pour intégrale Equation w

moyenne de changement de amplitude une pour et

figures) les sur ),(L (noté donné alarmes

fausses entre moyen temps un pouroptimaux et c

numérique résolution de Méthode

espèce 2e de Fredholm de intégrale Equation

)(dy))(y(f))(yu)(,(L

h)(yu)(P.)u,(L

XW

h)(yu)(w

w

00

11111

111

11

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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3)

chaque

pour de optimalChoix

chaque

pourc de optimalChoix

Source: Wieringa 99

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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (4)

Evolution du LME dans le cas d’observations indépendantes [Wieringa, 99]

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Influence d’une corrélation entre les observations (1) Modèle de type AR(1)

Graphique de contrôle type Shewart en utilisant écart type de y pour les bornes LME(0) supérieure au cas où pas corrélation

(bénéfique) LME( ) supérieure au cas où pas corrélation

(effet négatif)

)k())k(y(a)k(y 1

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Références

J.E. Wieringa (1999) Statistical process control for serially correlated data, Thèse de doctorat, Rijksuniversiteit Groningen

M. Basseville et I.V. Nikiforov(1993)Detection of abrupt changes:theory and applications,Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.J.

http://en.wikipedia.org/wiki/Control_chart Weisstein, E.W. "Fredholm Integral Equation of the

Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FredholmIntegralEquationoftheFirstKind.html