1 en kisa yollarin bulunmasi verilen bir undirected (yonsuz) graf ve kaynak vertex s, bir yol (path)...

1

En kisa yollarin bulunmasi

Verilen bir undirected (yonsuz) graf ve kaynak vertex s, bir yol (path) in uzunlugu bu yol uzerindeki edge (kenar) lerin sayisidir. Amac, grafta s den diger vertex lere olan en kisa yollari bulmak

2

Breadth-First-Search (BFS)

Verilen:– G = (V, E) – Belli bir source vertex

Sistematik olarak s den erisilebilinen her vertexi bulmak icin G nin edge lerini inceler– S den erisilebilen vertex lerin s ye olan en kisa

yollarini hesaplar– Root u s olan ve butun erisilebilen vertex leri iceren

breadth-first-tree uretir

3

Breadth-First-Search (BFS)

BFS colors each vertex:white -- kesfedilmemis (undiscovered)

gray -- kesfedilmis fakat “hala bitirilmemis”

black -- bitisik tum vertex leri kesfedilmis

6

BFS for Shortest Paths

Finished Discovered Undiscovered

S11

1S2

2

2

2

22

S

3

3 3

3

3

7

BFS(G,s)1. for each vertex u in (V[G] \ {s})2 do color[u] white3 d[u] 4 [u] nil5 color[s] gray6 d[s] 07 [s] nil8 Q 9 enqueue(Q,s)10 while Q 11 do u dequeue(Q)12 for each v in Adj[u]13 do if color[v] = white14 then color[v] gray15 d[v] d[u] + 116 [v] u17 enqueue(Q,v)18 color[u] black

white: undiscoveredgray: discoveredblack: finished

Q: a queue of discovered verticescolor[v]: color of vd[v]: distance from s to v[v]: predecessor of v

16

Operations of BFS on a Graph

17

Breadth-First Tree

Graf G = (V, E) ve kaynak vertex s icin, G nin predecessor subgraph i G = (V , E) – V ={vV : [v] NIL}

– E ={([v],v)E : v V - {s}}

G nin subgraph i breadth-first tree dir eger– V s den erisilebilinen vertex lerden (vertices)

olusuyorsa– Her vV icin, G de s den v ye tek bir yolsa (ayni

zamanda bu yol en kisa yolsa) E deki edge ler tree edges olarak adlandirilir.

|E | = |V | - 1

18

Breadth-First Tree

Verilen bir graf icin bir cok BFS tree bulunabilir.– Search in hangi vertex den basladigina ve

kuyruga vertex ler hangi sirada yerlestirildigine bagli olarak

BFS tree nin edge lerine tree edges G nin geri kalan edge lerine de cross edges denir.

19

Analysis of BFS

Initialization O(V).

Traversal Loop– Her bir vertex en fazla bir kez kuyruga itilir ve

kuyruktan cekilir, ve her bir islem O(1) zaman alir. Dolayisiyle toplam zaman O(V).

– Her bir vertex in adjacency list en fazla bir kez taranir. Adjacency liste lerin boylarinin toplami (E).

BFS nin calisma zamani O(V+E).

20

Shortest Paths

Shortest-Path distance (s, v) s den v ye minimum sayida edge sahip yolun uzunlugu, eger boyle bir yol yoksa

21

Depth-First-Search (DFS)

En son kesfedilen vertex v den itibaren edge leri incele

Mumkun oldugunca derinlige in“Search as deep as possible first”

22

Depth-First Trees

Boyama teknigi BFS dekine benzer. DFS nin predecessor subgraph i G = (V , E), burada E

={([v],v) : v V ve [v] NIL}. G nin predecessor subgraph i bir kac depth-first trees iceren bir depth-first forest olusturur. E deki edge ler tree edges olarak adlandirilir.

Her bir vertex u 2 timestamps e sahip: d[u] u ilk olarak discover edildigi zamani kaydeder (grayed) ve f[u] search in bitis zamanini (blackens) kaydeder. Her bir vertex u, d[u] < f[u].

23

DFS(G)

1. for each vertex u V[G]

2. do color[u] WHITE

3. [u] NIL

4. time 0

5. for each vertex u V[G]

6. do if color[v] = WHITE

7. then DFS-Visit(v)

24

DFS-Visit(u)

1. color[u] GRAY White vertex u discover edildi2. d[u] ++time3. for each vertex v Adj[u]4. do if color[v] = WHITE5. then [v] u6. DFS-Visit(v)7. color[u] BLACK Blacken u; it is finished.8. f[u] time++

25

Operations of DFS

26

Analysis of DFS

1-2 & 5-7 satirlarindaki loop lar (V) zaman alir (DFS-Visit i saymazsak).

DFS-visit her bir white vertex vV ilk olarak gray e boyandiginda bir kez cagrilir. DFS-Visit deki 3-6 line lari |Adj[v]| kadar execute edilir. DFS-Visit in toplam calisma suresi vV|Adj[v]| = (E)

DFS nin toplam calisma suresi (V+E).