1.3 kiderakenteista - prujut | kurssimateriaalia fysiikan ...€¢ neljäs faasi: plasma, elektronit...
Post on 04-May-2018
218 Views
Preview:
TRANSCRIPT
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.1 Aineen faasit: Kiteisyyden määrittäminen• Kiteisyyden eli kiderakenteen määrittämiset on
tehty pääasiassa diffraktion avulla:• Röntgensäteily, elektronit, neutronit• Mittaa nk. käänteisessä avaruudessa:
kidepaikkojen Fourier-muunnos• Yksikkökide tuottaa diskreettejä pisteitä.• Monikiteinen aine tuottaa selviä renkaita
(’yksikkökidepisteiden pyörittäminen’) • Amorfinen aine tuottaa diffuuseja leveitä
renkaita.
2
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.1 Aineen faasit• Kolme perustilaa
• Kiinteä: atomit sidottu paikkoihinsaVoi olla järjestäytynyt (kiteinen) tai järjestäytymätön (amorfinen)
Voi olla järjestäytynyt makroskooppisesti tai mikroskooppisesti
• Neste: atomit liikkuvat toistensa suhteen, mutta ovat sidottuja• Kaasu: atomit/molekyylit eivät ole sidottuja
• Neljäs faasi: plasma, elektronit liikkuvat vapaasti
3
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 4
Matter
GASESLIQUIDS and
LIQUID CRYSTALS
SOLIDS
mattermatter
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 5
Gases
• Gases have atoms or molecules that do not bond to one another in a range of pressure, temperature and volume.
• These molecules haven’t any particular order and move freely within a container.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 6
Liquids and Liquid Crystals
• Similar to gases, liquids haven’t any atomic/molecular order and they assume the shape of the containers.
• Applying low levels of thermal energy can easily break the existing weak bonds.
Liquid crystals have mobile molecules, but a type of long range order can exist; the molecules have a permanent dipole. Applying an electric field rotates the dipole and establishes order within the collection of molecules.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 7
Crytals
• Solids consist of atoms or molecules executing thermal motion about an equilibrium position fixed at a point in space.
• Solids can take the form of crystalline, polycrstalline, or amorphous materials.
• Solids (at a given temperature, pressure, and volume) have stronger bonds between molecules and atoms than liquids.
• Solids require more energy to break the bonds.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.1 Aineen faasit: Nesteen, amorfisen aineen ja lasin määritelmät
• Rajanveto nesteen ja ei-järjestäytyneen kiinteän aineen välillä ei aina ole helppoa.
• Mutta nesteellä ei ole mitattavaa leikkauslujuutta.
• Amorfinen aine: ei-järjestäytynyt kiinteä aine
• Lasi: amorfisen aineen perustila
• Lasilämpötila: lämpötila, jossa materiaali jäähdytettäessä muuttuu nesteestä lasiksi
• Lasit eivät ole nesteitä!
8
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.1 Aineen faasit: Kiteisen aineen määritelmä• Kiteisessä aineessa atomit ovat järjestäytyneet
säännölliseksi jaksolliseksi järjestelmäksi• Pitkän kantaman järjestäytyminen• Toistuvia laatikoita• Äärellinen määrä sidoskulmia lähimpien naapureiden
kanssa• Virallinen määritelmä: Aine, jonka diffraktiokuviossa
on diskreettejä piikkejä.• Sekä tavallisilla että kvasikiteillä on sellainen kuvio,
mutta kvasikiteillä ei ole toistuvia laatikoita vaikka äärellinen määrä sidoskulmia.
• Kristallografia = oppi kiteistä
9
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.1 Aineen faasit: Kiteisen aineen määritelmä
• Kide vs. kvasikide: • Kvasikiteet ovat kiinteitä aineita, jotka ovat
rakenteeltaan järjestyneitä, mutta jaksottomia. Niissä atomit muodostavat hilan, joka täyttää tilan mutta jolla ei ole siirtosymmetriaa.
• Kvasikiteitä voidaan pitää kiteisen ja amorfisenaineen välimuotoina.
Kiteitä ne muistuttavat siinä, että niissäkin saadaan röntgensäteillä aikaan Braggin diffraktio, mutta toisin kuin kiteissä, niissä ei ole samanlaisena toistuvaa yksikkökoppia.
10
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 11
SOLID MATERIALS
CRYSTALLINE POLYCRYSTALLINE AMORPHOUS(Non-crystalline)
Single Crystal
ELEMENTARY CRYSTALLOGRAPHYELEMENTARY CRYSTALLOGRAPHY
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 12
Types of Solids
• Single crsytal, polycrystalline, and amorphous, are the three general types of solids.
• Each type is characterized by the size of ordered region within the material.
• An ordered region is a spatial volume in which atoms or molecules have a regular geometric arrangement or periodicity.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 13
Crystalline Solid
• Crystalline Solid is the solid form of a substance in which the atoms or molecules are arranged in a definite, repeating pattern in three dimension.
• Single crystals, ideally have a high degree of order, or regular geometric periodicity, throughout the entire volume of the material.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 14
Crystalline Solid
Single Crystal
Single PyriteCrystal
AmorphousSolid
Single crystal has an atomic structure that repeats periodically across its whole volume. Even at infinite length scales, each atom is related to every other equivalent atom in the structure by translational symmetry
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 15
Polycrystalline Solid
PolycrystallinePyrite form
(Grain)
Polycrystal is a material made up of an aggregate of many small single crystals (also called crystallites or grains). Polycrystalline material have a high degree of order over many atomic or molecular dimensions.These ordered regions, or single crytal regions, vary in size and orientation wrt one another.These regions are called as grains ( domain) and are separated from one another by grain boundaries. The atomic order can vary from one domain to the next.The grains are usually 100 nm - 100 microns in diameter. Polycrystals with grains that are <10 nm in diameter are called nanocrystalline
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 16
Amorphous Solid
• Amorphous (Non-crystalline) Solid is composed of randomly orientated atoms , ions, or molecules that do not form defined patterns or lattice structures.
• Amorphous materials have order only within a few atomic or molecular dimensions.
• Amorphous materials do not have any long-range order, but they have varying degrees of short-range order.
• Examples to amorphous materials include amorphous silicon, plastics, and glasses.
• Amorphous silicon can be used in solar cells and thin film transistors.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 17
Departure From Perfect Crystal
• Strictly speaking, one cannot prepare a perfect crystal. For example, even the surface of a crystal is a kind of imperfection because the periodicity is interrupted there.
• Another example concerns the thermal vibrations of the atoms around their equilibrium positions for any temperature T>0°K.
As a third example, actual crystal always contains some foreign atoms, i.e., impurities. These impurities spoils the perfect crystal structure.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 18
CRYSTALLOGRAPHY
What is crystallography?
The branch of science that deals with the geometric description of crystals and their internal arrangement.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 19
Crystallography is essential for solid state physics
• Symmetry of a crystal can have a profound influence on its properties.
• Any crystal structure should be specified completely, concisely and unambiguously.
• Structures should be classified into different types according to the symmetries they possess.
Crystallography
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 20
• A basic knowledge of crystallography is essential for solid state physicists;• to specify any crystal structure and• to classify the solids into different types according to the
symmetries they possess.
• Symmetry of a crystal can have a profound influence on its properties.
ELEMENTARY CRYSTALLOGRAPHY
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 21
CRYSTAL LATTICE
• What is crystal (space) lattice?
•In crystallography, only the geometrical properties of the crystal are of interest, therefore one replaces each atom by a geometrical point located at the equilibrium position of that atom.
Platinum Platinum surface Crystal lattice and structure of Platinum(scanning tunneling microscope)
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.2 Hila ja Bravaisin hila• Kiteillä (ei-kvasikiteillä) on aina jokin hila, jonka mukaan atomit
ovat järjestäytyneet.• Toistuva määrä pisteitä, jotka kuvaavat atomien paikkoja.• Atomien ei tarvitse sijaita hilapisteissä!
• Bravaisin hila on puhtaasti matemaattinen käsite, joka perustuu symmetriaryhmiin, siirto- ja kiertosymmetriat.• Täsmällisesti määriteltynä:
Pistejoukko avaruudessa, joka toistaa itseään niin, että jokaisella pisteellä on identtinen ympäristö jokaisen muun pisteen kanssa (kaikki naapuripisteet täsmällisesti samassa suunnassa ja samalla etäisyydellä)
• Bravaisin hila on äärettömän suuri.
22
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 23
• An infinite array of points in space,
• Each point has identical surroundings to all others.
• Arrays are arranged exactly in a periodic manner.
Crystal Lattice
a
bCB ED
O A
y
x
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 24
Crystal Structure
• Crystal structure can be obtained by attaching atoms, groups of atoms or molecules which are called basis (motif) to the lattice sides of the lattice point.
Crystal Structure = Crystal Lattice + Basis
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.2 Hila ja Bravaisin hila
• Kiteillä on aina taustalla Bravaisin hila, mutta
• … kaikkien kiderakenteen atomien ei tarvitse sijaita hilan pisteissä.
• Itse asiassa Bravaisin hilojen lukumäärä on äärellinen.
• 2D: 5 hilaa
• 3D: 14 hilaa
• Mutta äärettömän monta mahdollista kiderakennetta!
25
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
A two-dimensional Bravais lattice with different choices for the basis
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 27
EHO A
CBFb G
D
x
y
a a
bCB ED
O A
y
x
b) Crystal lattice obtained byidentifying all the atoms in (a)
a) Situation of atoms at thecorners of regular hexagons
Basis
A group of atoms which describe crystal structure
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 28
Crystal structure
• Don't mix up atoms with lattice points
• Lattice points are infinitesimal points in space
• Lattice points do not necessarily lie at the centre of atoms
Crystal Structure = Crystal Lattice + Basis
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 29
Crystal Lattice
Bravais Lattice (BL) Non-Bravais Lattice (non-BL)
§ All atoms are of the same kind§ All lattice points are equivalent
§ Atoms can be of different kind§ Some lattice points are not
equivalent§A combination of two or more BL
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 30
Types Of Crystal Lattices
1) Bravais lattice is an infinite array of discrete points with an arrangement and orientation that appears exactly the same, from whichever of the points the array is viewed. Lattice is invariant under a translation.
Nb film
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 31
Types Of Crystal Lattices
• The red side has a neighbour to its immediate left, the blue one instead has a neighbour to its right.
• Red (and blue) sides are equivalentand have the same appearance
• Red and blue sides are not equivalent.Same appearance can be obtainedrotating blue side 180º.
2) Non-Bravais LatticeNot only the arrangement but also the orientation must appear exactly the same from every point in a Bravais lattice.
Honeycomb
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 32
Translational Lattice Vectors – 2D
A space lattice is a set of points such that a translation from any point in the lattice by a vector;
Rn = n1 a + n2 b
locates an exactly equivalent point, i.e. a point with the same environment as P . This is translational symmetry. The vectors a, b are known as lattice vectors and (n1, n2) is a pair of integers whose values depend on the lattice point.
P
Point D(n1, n2) = (0,2)Point F (n1, n2) = (0,-1)
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 33
• The two vectors a and bform a set of lattice vectorsfor the lattice.
• The choice of lattice vectors is not unique. Thus one could equally well take the vectors a and b’ as a lattice vectors.
Lattice Vectors – 2D
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 34
Lattice Vectors – 3D
An ideal three dimensional crystal is described by 3 fundamental translation vectors a, b and c. If there is a lattice point represented by the position vector r, there is then also a lattice point represented by the position vector where u, v and w are arbitrary integers.
r’ = r + u a + v b + w c (1)
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 35
Five Bravais Lattices in 2D
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 36
Unit Cell in 2D
• The smallest component of the crystal (group of atoms, ions or molecules), which when stacked together with pure translational repetition reproduces the whole crystal.
Sa
b
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 37
Unit Cell in 2D
• The smallest component of the crystal (group of atoms, ions or molecules), which when stacked together with pure translational repetition reproduces the whole crystal.
S
S
The choice of unit cell
is not unique.
a
Sb
S
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 38
2D Unit Cell example -(NaCl)
We define lattice points ; these are points with identical environments
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 39
Choice of origin is arbitrary - lattice points need not be atoms - but unit cell size should always be the same.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 40
This is also a unit cell -it doesn’t matter if you start from Na or Cl
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 41
- or if you don’t start from an atom
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 42
This is NOT a unit cell even though they are all the same - empty space is not allowed!
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 43
In 2D, this IS a unit cellIn 3D, it is NOT
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 44
Why can't the blue triangle be a unit cell?
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 45
Unit Cell in 3D
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 47
Three common Unit Cell in 3D
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 48
UNIT CELL
Primitive Conventional & Non-primitive
§ Single lattice point per cell§ Smallest area in 2D, or§Smallest volume in 3D
§ More than one lattice point per cell§ Integral multibles of the area of
primitive cell
Body centered cubic(bcc)Body centered cubic(bcc)Conventional Conventional Primitive cell Primitive cell
Simple cubic(sc)Simple cubic(sc)ConventionalConventional = Primitive cell = Primitive cell
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 49
The Conventional Unit Cell
• A unit cell just fills space when translated through a subset of Bravais lattice vectors.
• The conventional unit cell is chosen to be larger than the primitive cell, but with the full symmetry of the Bravais lattice.
• The size of the conventional cell is given by the lattice constant a.
1
2
3
1 ˆ ˆ ˆ( )21 ˆ ˆ ˆ( )21 ˆ ˆ ˆ( )2
a x y z
a x y z
a x y z
Primitive and conventional cellsof BCC
Primitive Translation Vectors:
Crystal Structur
e52
a
b c
Simple cubic (sc): primitive cell=conventional cell Fractional coordinates of lattice points:000, 100, 010, 001, 110,101, 011, 111
Primitive and conventional cells
Body centered cubic (bcc): conventional primitive cell
a
b cFractional coordinates of lattice points in conventional cell: 000,100, 010, 001, 110,101, 011, 111, ½ ½ ½
Crystal Structur
e53
Body centered cubic (bcc): primitive (rombohedron) conventional cell
a
bc
Fractional coordinates: 000, 100, 101, 110, 110,101, 011, 211, 200
Face centered cubic (fcc): conventional primitive cell
a
bc
Fractional coordinates: 000,100, 010, 001, 110,101, 011,111, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½ ,½1 ½ , 1 ½ ½ , ½ ½ 1
Primitive and conventional cells
Crystal Structur
e54
Hexagonal close packed cell (hcp): conventional primitive cell
Fractional coordinates: 100, 010, 110, 101,011, 111,000, 001
points of primitive cell
a
b
c
Primitive and conventional cells-hcp
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 55
• The unit cell and, consequently, theentire lattice, is uniquely determinedby the six lattice constants: a, b, c, ,
and .• Only 1/8 of each lattice point in a
unit cell can actually be assigned tothat cell.
• Each unit cell in the figure can beassociated with 8 x 1/8 = 1 latticepoint.
Unit Cell
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 56
• A primitive unit cell is made of primitivetranslation vectors a1 ,a2, and a3 such thatthere is no cell of smaller volume that canbe used as a building block for crystalstructures.
• A primitive unit cell will fill space byrepetition of suitable crystal translationvectors. This defined by the parallelpiped a1,a2 and a3. The volume of a primitive unit cellcan be found by
• V = a1.(a2 x a3) (vector products) Cubic cell volume = a3
Primitive Unit Cell and vectors
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 57
The primitive unit cell must have only one lattice point.There can be different choices for lattice vectors , but the volumes of these primitive cells are all the same.
P = Primitive Unit CellNP = Non-Primitive Unit Cell
Primitive Unit Cell
1a
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 58
Wigner-Seitz Method
A simply way to find the primitivecell which is called Wigner-Seitzcell can be done as follows;1.Choose a lattice point.2.Draw lines to connect these
lattice point to its neighbours.3.At the mid-point and normal to
these lines draw new lines.
The volume enclosed is called as a Wigner-Seitz cell.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 59
Wigner-Seitz Cell - 3D
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 60
Lattice Sites in Cubic Unit Cell
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 61
Crystal Directions
Fig. Shows [111] direction
• We choose one lattice point on the line as anorigin, say the point O. Choice of origin iscompletely arbitrary, since every lattice point isidentical.
• Then we choose the lattice vector joining O toany point on the line, say point T. This vectorcan be written as;
R = n1 a + n2 b + n3c
• To distinguish a lattice direction from a latticepoint, the triple is enclosed in square brackets[ ...] is used.[n1n2n3]
• [n1n2n3] is the smallest integer of the samerelative ratios.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 62
210
X = 1 , Y = ½ , Z = 0[1 ½ 0] [2 1 0]
X = ½ , Y = ½ , Z = 1[½ ½ 1] [1 1 2]
Examples
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 63
Negative directions
• When we write the direction [n1n2n3] depend on the origin, negative directions can be written as
• R = n1 a + n2 b + n3c
Direction must be smallest integers.
Y direction
(origin) O
- Y direction
X direction
- X direction
Z direction
- Z direction
][ 321 nnn
][ 321 nnn
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 64
X = -1 , Y = -1 , Z = 0 [110]
Examples of crystal directions
X = 1 , Y = 0 , Z = 0 [1 0 0]
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 65
Examples
X =-1 , Y = 1 , Z = -1/6[-1 1 -1/6] [6 6 1]
We can move vector to the origin.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 66
Crystal Planes
• Within a crystal lattice it is possible to identify sets of equallyspaced parallel planes. These are called lattice planes.
• In the figure density of lattice points on each plane of a set is thesame and all lattice points are contained on each set of planes.
ba
ba
The set ofplanes in2D lattice.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 67
Miller Indices
Miller Indices are a symbolic vector representation for the orientation ofan atomic plane in a crystal lattice and are defined as the reciprocals ofthe fractional intercepts which the plane makes with the crystallographicaxes.
To determine Miller indices of a plane, take the following steps;
1) Determine the intercepts of the plane along each of the three crystallographic directions
2) Take the reciprocals of the intercepts
3) If fractions result, multiply each by the denominator of the smallest fraction
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 68
Axis X Y ZIntercept
points 1Reciprocals 1/1 1/ 1/
Smallest Ratio 1 0 0
Miller ndices (100)
Example-1
(1,0,0)
Crystal Structur
e69
Axis X Y ZIntercept
points 1 1Reciprocals 1/1 1/ 1 1/
Smallest Ratio 1 1 0
Miller ndices (110)
Example-2
(1,0,0)
(0,1,0)
Crystal Structur
e70
Axis X Y ZIntercept
points 1 1 1Reciprocals 1/1 1/ 1 1/ 1
Smallest Ratio 1 1 1
Miller ndices (111)(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
Example-3
Crystal Structur
e71
Axis X Y ZIntercept
points 1/2 1Reciprocals 1/(½) 1/ 1 1/
Smallest Ratio 2 1 0
Miller ndices (210)(1/2, 0, 0)
(0,1,0)
Example-4
Crystal Structur
e72
Axis a b cIntercept
points 1 ½Reciprocals 1/1 1/ 1/(½)
Smallest Ratio 1 0 2
Miller ndices (102)
Example-5
Crystal Structur
e73
Axis a b cIntercept
points -1 ½Reciprocals 1/-1 1/ 1/(½)
Smallest Ratio -1 0 2
Miller ndices (102)
Example-6
Crystal Structur
e74
Miller Indices
Reciprocal numbers are: 21 ,
21 ,
31
Plane intercepts axes at cba 2 ,2 ,3
Indices of the plane (Miller): (2,3,3)
(100)
(200)(110) (111) (100)
Indices of the direction: [2,3,3]a3
2
2
bc
[2,3,3]
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 77
Indices of a Family or Form
• Sometimes when the unit cell has rotational symmetry, severalnonparallel planes may be equivalent by virtue of this symmetry,in which case it is convenient to lump all these planes in thesame Miller Indices, but with curly brackets.
Thus indices {h,k,l} represent all the planes equivalent to theplane (hkl) through rotational symmetry.
)111(),111(),111(),111(),111(),111(),111(),111(}111{)001(),100(),010(),001(),010(),100(}100{
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 78
• There are only seven different shapes of unit cell which canbe stacked together to completely fill all space (in 3dimensions) without overlapping. This gives the sevencrystal systems, in which all crystal structures can beclassified.
• Cubic Crystal System (SC, BCC,FCC)• Hexagonal Crystal System (S)• Triclinic Crystal System (S)• Monoclinic Crystal System (S, Base-C)• Orthorhombic Crystal System (S, Base-C, BC, FC)• Tetragonal Crystal System (S, BC)• Trigonal (Rhombohedral) Crystal System (S)
3D – 14 BRAVAIS LATTICES AND THE SEVEN CRYSTAL SYSTEM
TYPICAL CRYSTAL STRUCTURES
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 80
Coordinat on Number
• Coordinat on Number (CN) : The Bravais lattice points closest toa given point are the nearest neighbours.
• Because the Bravais lattice is periodic, all points have the samenumber of nearest neighbours or coordination number. It is aproperty of the lattice.
• A simple cubic has coordination number 6; a body-centeredcubic lattice, 8; and a face-centered cubic lattice,12.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
Atomic Packing Factor
• Atomic Packing Factor (APF) is defined as the volume of atoms within the unit cell divided by the volume of the unit cell.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 82
1-CUBIC CRYSTAL SYSTEM
Simple Cubic has one lattice point so its primitive cell.In the unit cell on the left, the atoms at the corners are cutbecause only a portion (in this case 1/8) belongs to that cell.The rest of the atom belongs to neighboring cells.Coordinatination number of simple cubic is 6.
a- Simple Cubic (SC)
a
b c
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 83
Atomic Packing Factor of SC
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 84
b-Body Centered Cubic (BCC)
BCC has two lattice points so BCC is a non-primitive cell.
BCC has eight nearest neighbors. Each atom is in contact with its neighbors only along the body-diagonal directions.
Many metals (Fe,Li,Na..etc), including the alkalis and several transition elements choose the BCC structure.
a
b c
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 86
c- Face Centered Cubic (FCC)
• There are atoms at the corners of the unit cell and at the centerof each face.
• Face centered cubic has 4 atoms so its non primitive cell.• Many of common metals (Cu,Ni,Pb..etc) crystallize in FCC
structure.
Crystal Structur
e87
4 (0,353a)
0.68 = VV = APF
cell unit
atomsBCCFCC 0,74
Atomic Packing Factor of FCC
Crystal Structur
e88
Atoms Shared Between: Each atom counts:corner 8 cells 1/8face centre 2 cells 1/2body centre 1 cell 1edge centre 2 cells 1/2
lattice type cell contentsP 1 [=8 x 1/8]I 2 [=(8 x 1/8) + (1 x 1)]F 4 [=(8 x 1/8) + (6 x 1/2)]C 2 [=(8 x 1/8) + (2 x 1/2)]
Unit cell contents
Counting the number of atoms within the unit cell
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 90
2 - HEXAGONAL SYSTEM
A crystal system in which three equal coplanar axes intersect at an angle of 60 , and a perpendicular to the others, is of a different length.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 92
3 - TRICLINIC 4 - MONOCLINIC CRYSTAL
SYSTEM
• Triclinic minerals are the least symmetrical. Their three axes areall different lengths and none of them are perpendicular to eachother. These minerals are the most difficult to recognize.
Triclinic (Simple) ß 90
oa b c
Monoclinic (Simple)= = 90o, ß 90o
a b c
Monoclinic (Base Centered) = = 90o, ß 90o
a b c,
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 93
5 - ORTHORHOMBIC SYSTEM
Orthorhombic (Simple) = ß = = 90o
a b c
Orthorhombic (Base-centred)
= ß = = 90o
a b c
Orthorhombic (BC)= ß = = 90o
a b c
Orthorhombic (FC) = ß = = 90o
a b c
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 94
6 – TETRAGONAL SYSTEM
Tetragonal (P) = ß = = 90o
a = b c
Tetragonal (BC) = ß = = 90o
a = b c
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 95
7 - Rhombohedral (R) or Trigonal
Rhombohedral (R) or Trigonal (S)a = b = c, = ß = 90o
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 96
THE MOST IMPORTANT CRYSTAL STRUCTURES
• Sodium Chloride Structure Na+Cl-
• Cesium Chloride Structure Cs+Cl-
• Hexagonal Closed-Packed Structure• Diamond Structure• Zinc Blende
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 97
1 – Sodium Chloride Structure
• Sodium chloride also crystallizes in a cubic lattice, but with a different unit cell.
• Sodium chloride structure consists of equal numbers of sodium and chlorine ions placed at alternate points of a simple cubic lattice.
• Each ion has six of the other kind of ions as its nearest neighbours.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 99
Sodium Chloride Structure
• If we take the NaCl unit cell and remove all the red Cl ions, we are left with only the blue Na. If we compare this with the fcc / ccp unit cell, it is clear that they are identical. Thus, the Na is in a fccsublattice.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
Sodium Chloride Structure
• This structure can be considered as aface-centered-cubic Bravais lattice witha basis consisting of a sodium ion at 0and a chlorine ion at the center of theconventional cell,
• LiF,NaBr,KCl,LiI,etc• The lattice constants are in the order of
4-7 angstroms.
)(2/ zyxa
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 101
2-Cesium Chloride Structure Cs+Cl-
• Cesium chloride crystallizes in a cubiclattice. The unit cell may be depicted asshown. (Cs+ is teal, Cl- is gold).
• Cesium chloride consists of equalnumbers of cesium and chlorine ions,placed at the points of a body-centeredcubic lattice so that each ion has eight ofthe other kind as its nearest neighbors.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
Cesium Chloride Structure Cs+Cl-
• The translational symmetry of this structure isthat of the simple cubic Bravais lattice, and isdescribed as a simple cubic lattice with a basisconsisting of a cesium ion at the origin 0 anda chlorine ion at the cube center
• CsBr,CsI crystallize in this structure.The latticeconstants are in the order of 4 angstroms.
)(2/ zyxa
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 104
3–Hexagonal Close-Packed Str.
• This is another structure that is common, particularly in metals. In addition to the two layers of atoms which form the base and the upper face of the hexagon, there is also an intervening layer of atoms arranged such that each of these atoms rest over a depression between three atoms in the base.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 105
Bravais Lattice : Hexagonal LatticeHe, Be, Mg, Hf, Re (Group II elements)ABABAB Type of Stacking
Hexagonal Close-packed Structure
a=b a=120, c=1.633a,basis : (0,0,0) (2/3a ,1/3a,1/2c)
Crystal Structur
e106
A A
AA
AA
A
AAA
AA
AAA
AAAB B
B
B
B B
B
B
B
BB
C C C
CC
C
C
C C C
Sequence ABABAB..-hexagonal close pack
Sequence ABCABCAB..-face centered cubic close pack
Close pack
BAA
AA
A
A
A
A A
B
B B
Sequence AAAA…- simple cubic
Sequence ABAB…- body centered cubic
Packing
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 107
4 - Diamond Structure
• The diamond lattice is consist of two interpenetrating facecentered Bravais lattices.
• There are eight atom in the structure of diamond.• Each atom bonds covalently to 4 others equally spread about
atom in 3d.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
4 - Diamond Structure
• The coordination number of diamond structure is 4.• The diamond lattice is not a Bravais lattice.• Si, Ge and C crystallizes in diamond structure.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
5- Zinc Blende
• Zincblende has equal numbers of zinc and sulfur ionsdistributed on a diamond lattice so that each has four ofthe opposite kind as nearest neighbors. This structure isan example of a lattice with a basis, which must sodescribed both because of the geometrical position of theions and because two types of ions occur.
• AgI,GaAs,GaSb,InAs,
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 111
5- Zinc Blende
Zinc Blende is the name given to the mineral ZnS. It has a cubicclose packed (face centred) array of S and the Zn(II) sit intetrahedral (1/2 occupied) sites in the lattice.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 112
• Each of the unit cells of the 14 Bravais lattices has one ormore types of symmetry properties, such as inversion,reflection or rotation,etc.
SYMMETRY
INVERSION REFLECTION ROTATION
ELEMENTS OF SYMMETRY
Crystal Structur
e113
Lattice goes into itself through Symmetry without translation
Operation Element
Inversion Point
Reflection Plane
Rotation Axis
Rotoinversion Axes
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 114
Inversion Center
• A center of symmetry: A point at the center of the molecule.(x,y,z) --> (-x,-y,-z)
• Center of inversion can only be in a molecule. It is not necessaryto have an atom in the center (benzene, ethane). Tetrahedral,triangles, pentagons don't have a center of inversion symmetry.All Bravais lattices are inversion symmetric.
Mo(CO)6
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 115
Reflection Plane
• A plane in a cell such that, when a mirror reflection inthis plane is performed, the cell remains invariant.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 116
Examples
• Triclinic has no reflection plane.• Monoclinic has one plane midway between and
parallel to the bases, and so forth.
Crystal Structur
e117
We can not find a lattice that goes into itself under other rotations
• A single molecule can have any degree of rotational symmetry, but an infinite periodic lattice – can not.
Rotation Symmetry
Crystal Structur
e118
Rotation Axis
This is an axis such that, if the cell is rotated around itthrough some angles, the cell remains invariant.
The axis is called n-fold if the angle of rotation is 2 /n.
90°
120° 180°
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 122
Group discussion
• Kepler wondered why snowflakes have 6 corners,never 5 or 7.By considering the packing of polygons in2 dimensions, demonstrate why pentagons andheptagons shouldn’t occur.
Empty space not allowed
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani KeinonenCrystal Structure 123
90°
Examples
• Triclinic has no axis of rotation.• Monoclinic has 2-fold axis ( = 2 /2 = ) normal to the
base.
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.2 Hila ja Bravaisin hila
• 14 Bravaisin hilaa voidaan luokitella 7 kidesysteemiksi
• Systeemillä voi olla useita Bravaisin hiloja riippuen siitä missä hilapisteet sijaitsevat.
125
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet
• Tärkeimmät ovat kolme kuutiollista ja heksagonaalinen.
• Suorakulmaiset ovat
• Kuutiolliset
• Tetragonaalinen
• Ortorombinen
126
1. 3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet
• Yksikkökoppi on se osa avaruudesta, jota toistamalla voidaan muodostaa koko kide.• Siniset alueet eivät ole kokonainen yksikkökoppi,
mutta …
• vaaleanpunainen alue on!
• Yksikkökoppi ei ole yksikäsitteinen:• Alkeiskoppi: pienin mahdollinen koko
• Tavallinen yksikkökoppi: helppo käyttää ja siksi suosittu
Tyypillisesti suorakulmainen
127
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet
• Yksikkökoppi ei ole yksikäsitteinen. Esimerkki samoista hilapisteistä, joihin liittyy eri yksikkökopit.
• Mutta on yksikäsitteinen määritelmä, nimittäin Wigner-Seitzin yksikkökoppi.
• Se osa avaruutta, joka on lähinnä hilapisteitä.
128
1. 3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: kemiallinen koostumus
• Sama yksikkökoppi voi sisältää mielivaltaisen monta ja mielivaltaisen erilaisia atomeja.
• Atomien paikkoja yksikkökopissa kutsutaan ’kannaksi’ ja ilmoitetaan ’kantavektorien ’ avulla.
• Yksikkökoppi on aina sama kuin Bravaisinhilassa: ”perustana oleva Bravaisin hila”
• Koordinaatioluku on jokaisen atomin lähinaapureiden lukumäärä.
• Kide = hila + kanta
129
1. 3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: pakkaustiheys• Monet kiderakenteet voidaan ymmärtää
kovien pallojen mallin avulla• Tarkastellaan atomeja äärettömän kovina
palloina.• Kuinka tiheästi tilavuus täytetään jossakin
kiderakenteessa?• Pakkaussuhde =
pallojen tilavuus/kokonaistilavuus• Tiheä pakkaus:
maksimaalinen pakkaussuhde
130
1.3 Kiderakenteista
Löysä pakkaus, ”primitiivi” pakkaus
Tiheä pakkaus
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: tiheä pakkaus• On helppo tulla vakuuttuneeksi, että 2D:ssä
pallojen tihein mahdollinen pakkaus on heksagonaalinen rakenne• ’Sidosten’ välinen kulma tarkalleen 60o
• Kuusi lähintä naapuria• Kutsutaan nimellä tiheään pakattu
heksagonaalinen rakenne 2D:ssä• Yksikkökoppi punaisella
• Yksi atomi/yksikkökoppi• Tärkeä lisäys: heksagonaalinen yksikkökoppi
2D:ssä voidaan aina muuntaa kaksi kertaa suuremmaksi suorakulmaiseksi yksikkökopiksi, merkitty oranssilla, kaksi atomia/suorakulmainen yksikkökoppi.
131
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: tiheä pakkaus
• 3D:ssä voidaan tiheään pakattu kide luoda asettamalla 2D:n tiheään pakattuja tasoja päällekkäin, …
• mutta tämä voidaan tehdä monella eri tavalla!
• Kutsutaan ensimmäistä kerrosta nimellä A.
• Atomit kerroksessa B voidaan sijoittaa A:n kuoppiin punaiset ympyrät.
• Mutta miten kolmas kerros C sijoitetaan?
• On kaksi mahdollisuutta: kerroksen A päälle tai kuten oranssit ympyrät, kerroksen B kuoppiin
• Seuraava joko kuten A tai B
132
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: tiheä pakkaus
• 3D:ssä on siis kaksi mahdollista pakkausjärjestystä
• ABABABAB...
• ABCABCABC...
• Periaatteessa vielä useampia. Ainoa vaatimus on, että sama kirjain ei seuraa. Mutta oheiset kaksi ovat dominoivat rakenteet.
133
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.3 Kiderakenteet: tiheä pakkaus
• Nämä kaksi tunnetaan heksagonaalisena tiheään pakattuna rakenteena (hcp) ja kuutiollisena tiheään pakattuna rakenteena (ccp)
• hcp = ABABAB...
• ccp = ABCABC
• Mutta ccp on sama kuin kuutiollinen sivukeskeinen rakenne (facecentered cubic, fcc)!
134
1.3 Kiderakenteista
Heksagonaalinen tiheä pakkaus - hcp
Kuutiollinen tiheä pakkaus – ccp (= fcc)
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.4 Kidesuunnat: Millerin indeksit
• On yleisesti käytetty sopimus kuva suuntia hilassa, nimittäin Millerin indeksit.
• Yksikkökopin sivuja merkitään kirjaimilla a, b, c
• Tietylle kidesuunnalle piirretään vektori, joka alkaa origosta ja menee haluttuun suuntaan mielivaltaisen pituuden.
135
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.4 Kidesuunnat: Millerin indeksit
• Sitten projisoidaan tämä vektori yksikkökopin kolmelle akselille.
• Projektioiden pituudet määritetään yksikkövektorien pituuksien avulla. Esimerkiksi kuvassa (1/2 1 0)
• Sitten luvut kerrotaan niin, että saadaan pienimmät mahdolliset kokonaisluvut. Esimerkiksi kuvassa 120
• Suunta merkitään [120]. Jos negatiivisia arvoja, niin viivalla luvun päällä.
• Ekvivalentit suunnat merkitään <120>.136
1. 3 Kiderakenteista
a/2 b
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.4 Kidesuunnat: Millerin indeksit
• Heksagonaaliset systeemit voidaan käsitellä myös em. tavalla, mutta …
• sillä on haittana, että kristallograafisestiekvivalenteilla suunnilla voi olla eri Millerin indeksit.
• Siksi heksagonaalisille systeemeille on vaihtoehtoinen merkintätapa.
• Miller-Bravaisin indeksi
• Valitaan 3 suuntaa heksagonaalisesta perustasosta.
• z on neljäs koordinaatti
• Siten a1 a2 a3: [1000] [0100] [0010]
137
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.4 Kidesuunnat: Millerin indeksit
• Heksagonaalinen systeemi, esimerkki
• Konversiot kahden systeemin hkl – uvtwvälillä voidaan tehdä seuraavasti:
• n on joku luku, joka tarvitaan uusien indeksien muuntamiseksi kokonaisluvuiksi.
138
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.5 Kidetasot• Myös kidetasot määritetään Millerin indeksien avulla.
• Kuutiollisessa systeemissä se on yksinkertaista: Tason Millerin indeksit ovat samat kuin tason normaalivektorin, …
• mutta tämä ei päde ei-kuutiolliselle hilalle!
• Kidetason määrityksessä yleisessä tapauksessa tarvitaan useita vaiheita:
1. Taso siirretään niin, että se ei kulje origon kautta.
2. Määritetään etäisyydet kideakselipisteisiin, joissa taso leikkaa yksikkökopin vektorit x1 x2 x3
3. 1-2 näistä voi olla = !
4. Tason Millerin indeksit ovat pienimmät mahdolliset kokonaisluvut hkl , jotka täyttävät ehdon
139
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.5 Kidetasot: esimerkkejä
140
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.5 Kidetasot
• Samoin heksagonaalisessa systeemissä
141
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.5 Kidetasot: merkinnät
• Kidetason merkintä: (120), (113)
• Ekvivalentit tasot {120}
• Kuutiollisessa kiteessä (100), (010), (001), ... = {100}
142
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.6 Raekoko: Yhtenäiskide, monikide
• Edellä käsitelty koskee äärettömiä, täydellisen rakenteen kiteitä.
• Todelliset kiteet ovat äärellisiä.
• Mutta makroskooppisen kappaleen orientoituminen voi olla sama koko kappaleessa, jolloin kyseessä on yhtenäiskide.
• Esim. täydelliset jalokivet. Pinta kuvaa suoraan atomitason rakennetta.
• Mutta tavallisempaa on, että kiteinen aine koostuu kiderakeista, jotka ovat satunnaisesti suuntautuneita toistensa suhteen, monikiteinenaine.
143
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.6 Raekoko: Monikide, nanokide
• On helppo ymmärtää miksi monikiteidenmuodostuminen on todennäköistä. Ajatellaan kiteytymisen alkamista nesteessä.
• Satunnaiset kasvusuunnat useissa lähtöpisteissä => eri rakeet
• Raekoko voi vaihdella muutamista atomeista makroskooppiseen mittaan. Useimmiten kuitenkin mikrometrialueella.
• Jos alueella 1 – 100 nm, kyseessä on nanokiteinen aine.
144
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.6 Raekoko: Kiteen anisotropia
• Yhtenäiskiteiden materiaalien ominaisuudet voivat riippua siitä mihin kidesuuntaan ne mitataan. Tätä efektiä kutsutaan kiteen anisotropiaksi.
• Voi koskea monia ominaisuuksia: kovuus, valon nopeus, sähkönjohtamiskyky, magnetismi.
• Aine, jossa ei anisotropiaa on isotrooppinen.
• Monikiteinen aine, jonka raekoko on paljon pienempi kuin kokonaiskoko, on isotrooppinen. Tämä huolimatta siitä, että osakiteiden ei tarvitse olla sitä. Anisotropia häviää keskiarvoistuksessa.
145
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.7 Amorfinen aine
• Määritelmän mukaan amorfiset aineet ovat ne, joilla ei ole pitkän kantaman järjestäytyneisyyttä.
• Pitkän kantaman järjestäytyneisyys: (”long-rangeorder, LRO”) materiaalin järjestäytyneisyys säännöllistä pitkillä etäisyyksillä (kiteinen tai kvasikiteinen)
• Lyhyen kantaman järjestäytyneisyys: (”short-range order, SRO”) materiaalin järjestäytyneisyys säännöllistä vain lyhyillä etäisyyksillä: esim. sama etäisyys lähimpiin naapureihin
• Kaikki materiaalit ovat ainakin vähän SRO johtuen kemiallisten sidosten ominaisuuksista.
146
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.8 Kemiallinen järjestäytyneisyys ja epäjärjestäytyneisyys• Yhdisteen XY kide voi olla kemiallisesti järjestäytynyt tai
järjestäytymätön.
• Mitta tälle voidaan antaa LRO parametrien avulla. Yksinkertainen tapaus ovat binäärit yhdisteet [Kittel s. 620]:• Määritetään ensin ideaaliset paikat A X:lle ja B Y:lle.• LRO-parametrit ovat• LRO=0: täydellinen epäjärjestys (NxA = ½Nx);
LRO= ±1: täydellinen järjestys (NxA = Nx)147
1.3 Kiderakenteista
atomit X A-paikossa
atomit X
2 1N
PN
AB A
B AB A
B AB A
B AB A
B
AB A
B AB A
B AB A
B AB A
B
atomit X B-paikossa
atomit X
1 2N
PN
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.8 Kemiallinen järjestäytyneisyys ja epäjärjestäytyneisyys
• SRO voidaan myös kuvata SRO-parametrien avulla
• Yksinkertainen SRO-parametri saadaan seuraavasti [Kittel s. 621] binäärilleyhdisteelle XY, missä naapurit vastakkaista tyyppiä:
• Lähinaapurien lukumäärä Nnn
• Lasketaan sidosten lukumäärä q atomista X atomiin Y.
• SRO-parametri r per atomi on
• Täydellinen järjestys q = Nnn => r=1. Täydellinen epäjärjestys q Nnn/2 => r=0
• Tästä voidaan laskea keskiarvo kaikkien atomien yli <r>
• Täydellinen SRO <r> = 1 ja järjestyksen puuttuessa täydellisesti <r> = 0
148
1.3 Kiderakenteista
1 (2 )nnnn
r q NN
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.8 Kemiallinen järjestäytyneisyys ja epäjärjestäytyneisyys
• LRO vs. SRO• LRO ja SRO eivät tietenkään ole sama asia.• Yksinkertaisimmin se nähdään seuraavasti:
• Tällä rakenteella, jos se toistetaan 3D:ssä samoilla poikkeamilla järjestyksestä, on LRO=0 mutta SRO lähes 1!
149
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.8 Kemiallinen järjestäytyneisyys ja epäjärjestäytyneisyys: parikorrelaatiofunktio
• Lyhyen kantaman järjestäytyneisyyden tärkeä mitta amorfisissa aineissa on parikorrelaatiofunktio g(r)
• Se ilmoittaa kuinka monta naapuria atomilla on tietyllä etäisyydellä.
• Se ilmoitetaan tavallisesti niin normitettuna, että täysin satunnaisessa rakenteessa g(r) 1 kaikilla arvoilla r.
• Vaihtoehtoisesti voidaan antaa radiaalinen jakaumafunktio
missä n0 on materiaalin atomitiheys.150
1.3 Kiderakenteista
20( ) 4 ( )T r r n g r
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.8 Kemiallinen järjestäytyneisyys ja epäjärjestäytyneisyys: parikorrelaatiofunktio
• Esim. T(r) amorfisessa SiO2, simulointi [Juha Samela 2007, Watanabe-potentiaali] vs. koe
• T(r) voidaan määrittää röntgendiffraktiomittauksista.
151
1.3 Kiderakenteista
www.helsinki.fi/yliopisto
Materiaalifysiikka I - Juhani Keinonen
1.3.9 Polymorfismi ja allotropia• Aineella voi kiinteässä olomuodossa olla
erilaisia rakenteita.• Esim. eri lämpötila-alueilla tai tasapainossa ja
epätasapainossa.• Tätä kutsutaan polymorfismiksi tai alkuaineille
myös allotropiaksi• Esim. Fe:lla on lämpötiloissa < 912 oC BCC-
rakenne ja korkeammissa FCC, siis kaksi erilaista allotropiaa.
• C:llä timantti- ja grafiittifaasi• Äärimmäinen tapaus alkuaineiden joukossa:
Pu:lla 6 allotropiaa normaalipaineessa.
152
1.3 Kiderakenteista
top related