1)giriş ve tek eksenli gerilme hali

MUKAVEMET MUKAVEMET

1)GİRİŞ VE ANA 1)GİRİŞ VE ANA PRENSİPLERPRENSİPLER

• Cisimlerin denge ve hareket Cisimlerin denge ve hareket durumlarını inceleyen durumlarını inceleyen MEKANİK MEKANİK BİLİMİBİLİMİ iki ana kola ayrılır: iki ana kola ayrılır:

• Katı(Rijit-eğilmez) cisim mekaniğiKatı(Rijit-eğilmez) cisim mekaniği

• Şekil değiştiren cisim mekaniğiŞekil değiştiren cisim mekaniği

Katı Cisim

Şekil değiştiren cisim

l

Katı Cisim

Şekil değiştiren cisim

• Mukavemet şekil değiştiren cisimlerin Mukavemet şekil değiştiren cisimlerin mekaniği olarak tarif edilebilir. Mekanik mekaniği olarak tarif edilebilir. Mekanik statikte bir sistemin üzerine etki eden statikte bir sistemin üzerine etki eden kuvvetlerle mesnetlerinde ortaya çıkan kuvvetlerle mesnetlerinde ortaya çıkan reaksiyon kuvvetlerinin nasıl hesaplanacağı reaksiyon kuvvetlerinin nasıl hesaplanacağı görülmüştü. Mukavemette bir kuvvet görülmüştü. Mukavemette bir kuvvet sisteminin taşıyıcı elemanı kırılma veya sisteminin taşıyıcı elemanı kırılma veya tehlikeli duruma düşürme ölçütleri tehlikeli duruma düşürme ölçütleri incelenecektir. incelenecektir.

• Buna göre mukavemet, tüm mühendislikte Buna göre mukavemet, tüm mühendislikte kullanılan taşıyıcı elemanların dış kuvvetlere kullanılan taşıyıcı elemanların dış kuvvetlere ve bunların sebep olduğu iç kuvvetlere ve bunların sebep olduğu iç kuvvetlere dayanıp dayanamayacağını araştırır. dayanıp dayanamayacağını araştırır.

• Mukavemetin temel problemleri Mukavemetin temel problemleri şunlardır:şunlardır:

• Bir sistemin belirli bir kuvveti veya Bir sistemin belirli bir kuvveti veya kuvvetler sistemini taşıyabilmesi için kuvvetler sistemini taşıyabilmesi için bu sistemin boyutlarının ne bu sistemin boyutlarının ne olacağının araştırılması.olacağının araştırılması.(Boyutlandırma Problemi)(Boyutlandırma Problemi)

• Bunun tersi olarak boyutları belli olan Bunun tersi olarak boyutları belli olan bir sistemin taşıyabileceği maximum bir sistemin taşıyabileceği maximum kuvvetler sisteminin belirlenmesidir.kuvvetler sisteminin belirlenmesidir.(Taşıma Gücü Problemi)(Taşıma Gücü Problemi)

• Boyutlandırma problemlerinde Boyutlandırma problemlerinde iki işlem önemlidir:iki işlem önemlidir:

• EmniyetEmniyet

Optimum Optimum BoyutlandırmaBoyutlandırma

• EkonomiklikEkonomiklik

• Mukavemette kullanılan ideal Mukavemette kullanılan ideal cisim:cisim:

• Homojen olmalıHomojen olmalı

• İzotrop olmalıİzotrop olmalı

• Malzeme lineer elastik olmalı ( E,G )Malzeme lineer elastik olmalı ( E,G )

MUKAVEMETTEKİ ANA MUKAVEMETTEKİ ANA PRENSİPLER PRENSİPLER

1)Katılaşma Prensibi:1)Katılaşma Prensibi:

• Cismin kuvvetlerin etki etmesinden Cismin kuvvetlerin etki etmesinden sonra aldığı şekil değiştirmiş son sonra aldığı şekil değiştirmiş son durumu katı cisim gibi olur. Denge durumu katı cisim gibi olur. Denge denklemleri şekil değişikliğine uğramış denklemleri şekil değişikliğine uğramış cisim için de aynen katı cisimde olduğu cisim için de aynen katı cisimde olduğu gibi uygulanabilir.gibi uygulanabilir.

Ha

Ra RbRa Rb

Ha

2) Ayırma Prensibi: 2) Ayırma Prensibi:

• Bu prensip cismin bazı yerlerden Bu prensip cismin bazı yerlerden kesilerek parça parça kesilerek parça parça incelenmesine olanak verir. Ancak incelenmesine olanak verir. Ancak cismi kestiğimiz yerde mutlaka cismi kestiğimiz yerde mutlaka etki tepki kuvvetleri dikkate etki tepki kuvvetleri dikkate alınmalıdır.alınmalıdır.

R

3)Eşdeğerlik Prensibi:3)Eşdeğerlik Prensibi:

• Bazı hallerde uygulanan bir Bazı hallerde uygulanan bir prensiptir.Eşdeğerliliğin uygulandığı prensiptir.Eşdeğerliliğin uygulandığı bölgenin çok uzağındaki bir nokta bölgenin çok uzağındaki bir nokta için geçerli olur.için geçerli olur.

a g

C

Vc Şekil A

g.a

C

Vc’ Şekil B

VcVc’Düşey yerdeğiştirme

St.Venant Prensibi

4)Birinci Mertebe Teorisi:4)Birinci Mertebe Teorisi:

• Şekil değiştirmelerin cismin boyutlarının Şekil değiştirmelerin cismin boyutlarının yanında ihmal edilebilmesi prensibidir. yanında ihmal edilebilmesi prensibidir. Zira şekil değiştirmelerin mertebesi çok Zira şekil değiştirmelerin mertebesi çok küçük olmalıdır. Şekil değiştirmeler küçük olmalıdır. Şekil değiştirmeler ihmal edilemeyecek kadar büyükse, bu ihmal edilemeyecek kadar büyükse, bu şekil değiştirme değerlerini de dikkate şekil değiştirme değerlerini de dikkate alan bir hesap yöntemi vardır. Buna da alan bir hesap yöntemi vardır. Buna da İkinci Mertebe Teorisi denir. Ancak bu İkinci Mertebe Teorisi denir. Ancak bu teori fazla uygulanmaz.teori fazla uygulanmaz.

5)Süperpozisyon 5)Süperpozisyon Prensibi:Prensibi:

• Bir çok kuvvete maruz bir sistemde Bir çok kuvvete maruz bir sistemde aranılan herhangi bir büyüklük, kesit aranılan herhangi bir büyüklük, kesit tesiri, deplasman, bu kuvvetlerin tek tesiri, deplasman, bu kuvvetlerin tek tek yüklenmesi halinde bulunacak tek yüklenmesi halinde bulunacak değerlerin toplamına eşittir.değerlerin toplamına eşittir.

g Pı P2

l

a2 b2

aı bı

g

gl/2 gl/2

+

+

Ra Rb

Pı.bı/l Pı.aı/l

Pı

P2.b2/l

P2

P2.a2/l

Ra = gl/2 Pı.bı/l + + P2.b2/l

Rb gl/2 = + Pı.aı/l + P2.a2/l

SONUÇ:

2) İÇ KUVVET VE 2) İÇ KUVVET VE GERİLME HALİ GERİLME HALİ

• Şekilde görülen dış yüklere maruz ve denge Şekilde görülen dış yüklere maruz ve denge durumunda olan bir cisim herhangi bir yerden durumunda olan bir cisim herhangi bir yerden ayırma düzlemi ile iki parçaya ayrıldığında ayırma düzlemi ile iki parçaya ayrıldığında her bir parçanın tek başına düşünülmesi her bir parçanın tek başına düşünülmesi halinde ayırma düzleminde diğer parça halinde ayırma düzleminde diğer parça yerine geçecek gibi bir kuvvetin yerine geçecek gibi bir kuvvetin alınması gerektiğini ifade etmiştik. alınması gerektiğini ifade etmiştik.

• İşte ayırma düzleminde alınacak dengeyi İşte ayırma düzleminde alınacak dengeyi sağlayan bu kuvvetine sağlayan bu kuvvetine İÇ KUVVETİÇ KUVVET denir. denir.

• İç kuvveti dengeyi sağlayan kuvvet İç kuvveti dengeyi sağlayan kuvvet olduğundan daima denge esnasında olduğundan daima denge esnasında bulunabilecek bir büyüklüktür. Gerçekte bulunabilecek bir büyüklüktür. Gerçekte kuvveti ayırma düzlemi içerisinde dağılı kuvveti ayırma düzlemi içerisinde dağılı vaziyette bekleyen birçok kuvvetin bileşkesi vaziyette bekleyen birçok kuvvetin bileşkesi olacaktır.olacaktır.

R

R

R

R

R

• Yayılı olan bu iç kuvvetlerin şiddetinin Yayılı olan bu iç kuvvetlerin şiddetinin belirlenmesi için ayırma düzleminde belirlenmesi için ayırma düzleminde alınan her birim alan düşen iç kuvvet alınan her birim alan düşen iç kuvvet miktarının bilinmesine gerek vardır. miktarının bilinmesine gerek vardır. Buna göre ayırma düzlemindeki Buna göre ayırma düzlemindeki herhangi bir herhangi bir A alanına etkiyen A alanına etkiyen iç iç kuvveti biliniyorsa:kuvveti biliniyorsa:

R

A

RP A

0lim

• Tarif edilen büyüklüğe gerilme adı Tarif edilen büyüklüğe gerilme adı verilir. Birimi t/cm², kN/cm²,kg/cm²verilir. Birimi t/cm², kN/cm²,kg/cm²

• Genellikle vektörü ayırma Genellikle vektörü ayırma düzlemindeki n dış normali ile düzlemindeki n dış normali ile çakışmaz. gerilme vektörünün iki çakışmaz. gerilme vektörünün iki bileşeni alınabilir. bileşeni alınabilir.

• Biri vektörünün normali Biri vektörünün normali doğrultusundaki bileşeni ki buna doğrultusundaki bileşeni ki buna NORMAL GERİLMENORMAL GERİLME denir ve denir ve (sigma) (sigma) ile gösterilir. ile gösterilir.

• Diğer bileşen ise gerilme vektörünün Diğer bileşen ise gerilme vektörünün ayırma düzlemi üzerindeki bileşeni ayırma düzlemi üzerindeki bileşeni olup buna da olup buna da KAYMA GERİLMESİKAYMA GERİLMESİ denir ve denir ve (to) ile gösterilir. (to) ile gösterilir.

P

P

P

n

P

• Özel olarak ve çakışırsa bu halde Özel olarak ve çakışırsa bu halde =0 olur ki bu durumda =0 olur ki bu durumda gerilmesine gerilmesine ASAL NORMAL GERİLMEASAL NORMAL GERİLME denir. denir.

n

Gerilmesi için işaret Gerilmesi için işaret prensibi:prensibi: Normal gerilmesi ayırma Normal gerilmesi ayırma

düzleminin dış normali ile çakışık düzleminin dış normali ile çakışık veya aynı yönde olursa pozitif (+) zıt veya aynı yönde olursa pozitif (+) zıt yönde ise negatif (-) alınır.yönde ise negatif (-) alınır.

n

n(+)

n(-)

Gerilmesi için işaret Gerilmesi için işaret prensibi:prensibi:

• Ayırma düzleminin dış normali 90Ayırma düzleminin dış normali 90 saat saat ibresinin tersi yönünde döndürüldüğünde ibresinin tersi yönünde döndürüldüğünde Kayma gerilmesi ile aynı yönde Kayma gerilmesi ile aynı yönde oluyorsa (+), aksi halde (-) olur.oluyorsa (+), aksi halde (-) olur.

n

(+)

n

(-)

GERİLME HALİ:GERİLME HALİ:

• Ayırma düzlemindeki D noktası Ayırma düzlemindeki D noktası civarında kenar uzunlukları dx,dy,dz civarında kenar uzunlukları dx,dy,dz olan elemanter prizma kesip olan elemanter prizma kesip çıkaralım. Bu prizmanın z eksenine çıkaralım. Bu prizmanın z eksenine dik olan yüzündeki gerilme dik olan yüzündeki gerilme vektörü 3 bileşene ayrılabilir. Bunlar vektörü 3 bileşene ayrılabilir. Bunlar dir. Bu gerilmelerdeki indisler şu dir. Bu gerilmelerdeki indisler şu esaslarla belirlenmiştir:esaslarla belirlenmiştir:

P

zyzxz ,,

• Normal gerilme hangi eksene paralelse Normal gerilme hangi eksene paralelse o eksen indis olarak gösterilmiştir. o eksen indis olarak gösterilmiştir.

• Kayma gerilmesindeki birinci indis Kayma gerilmesindeki birinci indis gerilmenin bulunduğu yüzeyin gerilmenin bulunduğu yüzeyin normalinin doğrultusu, ikinci indis ise normalinin doğrultusu, ikinci indis ise gerilmenin doğrultusunu gösterecektir.gerilmenin doğrultusunu gösterecektir.

z

x

y

z

zx

zy

y

yz

yx

x

xy

xz

yx = xy

zx = xz

zy = yz

GT=

x xy xz

yx y yz

zx zy z

• Gerilme tansörü 9 elemandan oluşan Gerilme tansörü 9 elemandan oluşan bir büyüklüktür. Bu tansörün bir büyüklüktür. Bu tansörün elemanları diyagonale göre elemanları diyagonale göre simetriktir. Yani aslında 6 simetriktir. Yani aslında 6 elemanlıdır. Gerilme tansörünün elemanlıdır. Gerilme tansörünün bilinmesi için 6 elemanın bilinmesi bilinmesi için 6 elemanın bilinmesi yeterlidir. yeterlidir.

• Gerilme Tansörünün özel halleri:Gerilme Tansörünün özel halleri:

1- Bir eksenli gerilme hali:1- Bir eksenli gerilme hali:

2- İki eksenli gerilme hali:2- İki eksenli gerilme hali:

BİR EKSENLİ GERİLME BİR EKSENLİ GERİLME HALİHALİ

• Şekildeki P kuvvetine maruz kafes kiriş Şekildeki P kuvvetine maruz kafes kiriş çubuğun AB ayırma düzlemindeki çubuğun AB ayırma düzlemindeki normal gerilme bu düzlemin her normal gerilme bu düzlemin her noktasında aynı olacaktır. noktasında aynı olacaktır.

P P

t

P

A kesit alanıA

B

xx = P / A

• Şimdi de düşeyle Şimdi de düşeyle açısı yapan açısı yapan herhangi bir CD eğik düzlemindeki herhangi bir CD eğik düzlemindeki gerilmeleri bulalım:gerilmeleri bulalım:

P

D

C

P

n

D

Cx A

B

= P. Cos= P. Cos = = x.Cos² x.Cos² = - P.Sin= - P.Sin = - = -x.Sinx.Sin.Cos.Cos X = 0 X = 0

• P.CD.t =.AB.t P.CD.t =.AB.t P = P = x.Cos x.Cos

açısı değiştikçe açısı değiştikçe ve ve değerlerinin değerlerinin ne şekilde değişeceğini görmek için ne şekilde değişeceğini görmek için bu ifadelerde 2bu ifadelerde 2 açısı yok edilerek bir açısı yok edilerek bir geometrik yer bulunabilir. Şöyle ki:geometrik yer bulunabilir. Şöyle ki:

22

)21(2

Sin

Cos

x

x

• Bu ifadenin verdiği geometrik yer Bu ifadenin verdiği geometrik yer şekilde görülen daire olacaktır. Bu şekilde görülen daire olacaktır. Bu daireye MOHR adı verilir. Bu daire daireye MOHR adı verilir. Bu daire üzerindeki her nokta gerçekte bize üzerindeki her nokta gerçekte bize verilen çubuğun her kesitindeki verilen çubuğun her kesitindeki gerilme haline karşılık gelecektir. gerilme haline karşılık gelecektir.

222

22

22

)2

()2

(

)22

(

)22

()2

(

xx

x

xx

Sin

Cos

x

O

C

r = x/2

B’

B(,)

tg B’CB = tg 2 B’CB = 2

2

• Buna göre Mohr çemberinde aldığımız Buna göre Mohr çemberinde aldığımız noktayı belirleyen B’CB açısı çubukta noktayı belirleyen B’CB açısı çubukta ele aldığımız CD kesitinin konumunu ele aldığımız CD kesitinin konumunu belirleyen belirleyen açısının 2 katı olmakta, açısının 2 katı olmakta, ayrıca Mohr çemberindeki açıların ayrıca Mohr çemberindeki açıların dönüş yönü ile kesitleri belirleyen dönüş yönü ile kesitleri belirleyen açıların dönüş yönleri birbirine zıt açıların dönüş yönleri birbirine zıt olmaktadır. Örneğin:olmaktadır. Örneğin:

• Soruda 30Soruda 30 CD açısı verilmiş olsun. Bu CD açısı verilmiş olsun. Bu durumda:durumda:

• A noktası : A noktası : max =max =ı=ı=x 2x 2=0 =0 =0 olur.=0 olur.

• O noktası: O noktası: min =min =2=0 22=0 2== = = /2 olur./2 olur.

O

CB’

B(,)

Kayma Gerilmeleri:E Noktası: min= -x/2 2=/2 = /4 D Noktası: max= x/2 2=3/2 = 3/4

60

A

D

E

max

min

• Çubuktan kesit alırsak:Çubuktan kesit alırsak:

ı=xı

2=0

45 çevirirsek:

min

x/2

max

x/2

min

max

x/2

x/2

45