2-hedef programlama(2sunu)
Post on 14-Apr-2018
238 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
1/13
1
Seluk niversitesi
Mhendislik Mimarlk Fakltesi - Endstri Mhendislii Blm
HazrlayanYrd. Do. Dr. smail Karaolan
YNEYLEM ARATIRMASI-2-Hedef Programlama-
Giri
Bugne kadar anlatlan btn DP modellerinde tek bir amazerinde duruldu. Yani ama fonksiyonundaki btn karardeikenleri llebilen ayn birime sahipti.
Baz durumlarda ayn birime evrilemeyen birok ama
birlikte isteniyor olabilir.Bu tip problemlerin zmnde 1972 ylnda LEE veIGNIZOnun gelitirdii ama (hedef) programlamayaklam kullanlmaktadr.
Ama programlama, belirli kararlar erevesinde farkl veelien amalarn en iyilenmesini ayn anda salayanmatematiksel bir yntemdir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 2/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
2/13
2
Giri
Verilen herhangi bir problemin formlasyonunda mmkn olduukadar salanmas gereken ve geici olabilmekle birlikte kesin olarakbelirlenen ihtiyaca hedefdenir.
Greli nem derecesine gre arlklandrlan birok hedeften negatif,pozitif veya her iki yndeki sapmalar e zamanl olarak minimize etmeyiamalayan ok amal dorusal programlama zm tekniine hedefprogramlama denir.
Hedef programlama iin iki durum incelenecektir;
1. nceliksiz Hedef Programlama (non-preemptive goal
programming)2. ncelikli Hedef Programlama (preemptive goal programming)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 3/25
nceliksiz Hedef Programlama
Her bir amacn bir birine yakn nemde olmas (yani nceliin sz konusuolmad) durumunda kullanlan ama programlama yaklamdr.DPde olduu gibi ama kst denklemi 3 ekilde karmza kabilir;
= 1
= 2
= = 3
1. kstta biyi aan her bir birimin cezasnn 3,2. kstta binin altnda kalan her bir birimin cezasnn 5,3. kstta ise biyi aan her bir birimin cezasnn 2, binin altnda kalan her birbirimin cezasnn ise 4 olduunu varsayalm.Hedef programlamada bu hedeflerin tamamn ayn anda karlayabilmek ouzaman mmkn olamamaktadr.Bunun yerine ynetimin amalarna mmkn olduunca yaklalmayaallmaktadr.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 4/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
3/13
3
nceliksiz Hedef Programlama
rneimizde, farkl ama fonksiyonunu, istenensnrlardan sapmalar en kklenecek ekildeaadaki gibi tek bir ama fonksiyonunadntrlebilir.
Burada : hedeften pozitif ynl sapma
= 0, : hedeften negatif ynl sapma
= 0,
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
i i i if x b f x b f x b f x b
MinZ1 2 3 3
3 5 2 4
5/25
nceliksiz Hedef Programlama
Ama fonksiyonunun dorusal olmayan yapsndan dolay hedefprogramlama modelini dorusallatrmak gerekmektedir.Bu nedenle her bir ama fonksiyonu iin yardmc karardeikeni tanmlanr.
=
1 =
2
=
3
1. kst iin pozitifyndeki sapmay ifade eden , 2. kst iin
negatifyndeki sapmay ifade eden , 3. kst iin ise her iki
yndeki sapmalar ifade eden ve
ama fonksiyonunda yeralacaktr. Bu deikenler amatan sapmalar gsterir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 6/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
4/13
4
nceliksiz Hedef Programlama
Dnm ilemlerinden sonramatematiksel model yandaki gibiolacaktr.Bu dnmden sonra ok amalmatematiksel model uygun bir dorusalprogramlama modeli zcs (simpleksyntemi gibi) ile zlerek optimal sonuelde edilebilir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
i
i
i
k k
d d d d
ST f x d d b
f x d d b
f x d d b
d d k
1 2 3 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
3 5 2 4
0, 0 1,2,3
MinZ
dier model kstlar
dier iaret kstlar
Orijinal Ama Kst
Denklemi
Ama Programlama
Gsterimi
En kklenecek Sapma
Deikeni
+
=
= ,
ZET
7/25
nceliksiz Hedef ProgramlamaRNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
Bir otomobil firmas yeni rettii bir model iin televizyonda reklam yaynlamayplanlamaktadr. Otomobil firmasnn reklam irketine bildirdii hedefler:
1. Reklam en az 40 milyon yksek gelirli izlemelidir.(YG hedefi)2. Reklam en az 60 milyon orta gelirli izlemelidir.(OG hedefi)3. Reklam en az 35 milyon dk gelirli izlemelidir.(DG hedefi)
Reklam irketi futbol ma veya sinema arasnda olmak zere iki reklam kuandikkate alacaktr. Otomobil irketinin reklam btesi ise en fazla 600 birimdir.Dier bilgiler ise aadaki gibidir. Bu verilere gre ve yukardaki hedefidikkate alacak ekilde reklam plan nasl olacaktr.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
zleyici Says (milyon kii/dakika) Maliyet(birim/dakika)YG OG DG
Futbol 7 10 5 100
Sinema 3 5 4 60
Hedef (milyon kii) 40 60 35
Hedeften Saplan Her 1 Milyon zleyici iin Kayp 200 100 50
8/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
5/13
5
nceliksiz Hedef Programlama
Karar Deikenleri: Futbol arasnda yaynlanacak reklam sresi (dakika)
: Sinema arasnda yaynlanacak reklam sresi (dakika)
Sapma Deikenleri
: i. hedeften pozitif sapma miktar (i=1,2,3)
: i. hedeften negatif sapma miktar (i=1,2,3)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
zleyici Says (milyon kii/dakika) Maliyet(birim/dakika)YG OG DG
Futbol 7 10 5 100
Sinema 3 5 4 60
Hedef (milyon kii) 40 60 35
Hedeften Saplan Her 1 Milyon zleyici iin Kayp 200 100 50
9/25
Optimal zm
Matematiksel Model
nceliksiz Hedef Programlama
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
j
i i
d d d
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x
x j
d d i
1 2 3
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
200 100 50
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,3
MinZ Ama Fonksiyonu
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kst
aret Kst
aret Ks t
Z
x x
d d
d d d d
1 2
1 3
1 2 2 3
250
6, 0
2, 5
0
zleyici Says (milyon kii/dakika) Maliyet(birim/dakika)YG OG DG
Futbol 7 10 5 100
Sinema 3 5 4 60
Hedef (milyon kii) 40 60 35
Hedeften Saplan Her 1 Milyon zleyici iin Kayp 200 100 50
10/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
6/13
6
nceliksiz Hedef Programlama
= 5 sonucu 3 numaral amatan 5 birimlik sapma olduuanlamna gelmektedir.
SORU: Bte ne kadar arttrlrsa btn hedefler salanm olur?
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Optimal zm
Matematiksel Model
j
i i
d d d d
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x d d
x j
d d i
1 2 3 4
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
200 100 50 0.1
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,3,4
MinZ AF
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kstaret Kst
aret Kst
Z
x x
d d
d d
d d d d
1 2
1 4
2 3
1 2 3 4
3.33
4.33, 3.33
0.33, 33.33
0
0
11/25
ncelikli Hedef Programlama
nceliksiz Hedef Programlama ama fonksiyonlarnn ayncinsten (maliyet, uzaklk vb.) tanmlanabildii durumlar iinkullanlabilecek bir yntemdir.Ancak, ama fonksiyonlar ayn birimden olmad ya dabirbirleri arasnda bir ncelik olduu durumda hepsini dorudantek bir fonksiyon ierisine alp zm aramak anlamsz olacaktr.Bu durumda ama fonksiyonlarn kendi ierisinde sralayp,srasyla zm elde etme (ncelikli Hedef Programlama) yolunagidilmektedir.zm iin yntem bulunmaktadr.
Arlklandrma Yntemi: Amalara nceliine gre arlk verip tek bir ama fonksiyonu gibi zmek.
Hedef Programlama Simpleks Yntemi: Simpleks ynteminin hedefprogramlanma iin uyarlanmas.
Ardk zm: Ama fonksiyonlarnn nceliklerine gre teker tekerzlp bir sonraki aamada kst olarak tanmlanmas.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 12/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
7/13
7
ncelikli Hedef ProgramlamaArlklandrma Yntemi
RNEK UYGULAMABir otomotiv yan sanayi firmas retiminde kullanmak zere drt cinsmakina ve tehizatn almn planlanmakta olup bunun iin toplam 3500birim denek ayrmtr. Gerekli bilgiler aadaki tabloda verilmitir. Buproje ile ilgili hedefler ncelik srasna gre aada verilmitir:
1. Toplam etkinliin en az 80 puan olmas.2. Yllk toplam bakm ve iletme giderinin mmkn olduu kadar 70 birimi
amamas.3. Torna tezgah ihtiyacnn mmkn olduu kadar tam karlanmas.4. Dier makina ve tehizat ihtiyalarnn ise ihtiya miktarndan az olmayacak
ekilde karlanmas.
Buna gre ncelikli hedef programlama modelini oluturunuz.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Tehizat
Cinsi
Birim
Maliyet
Bakm-letme
Giderleri
Etkinlik
Puan
htiya
(adet)Torna Tezgah 600 4 6 5
Freze Tezgah 250 3 4 5
Kumpas 150 2 5 10
Rntgen Cihaz 40 1 3 20
13/25
ncelikli Hedef ProgramlamaArlklandrma Yntemi
Karar Deikenleri:: satn alnacak i. tezgah miktar (i=1,2,3,4)
:j. hedeften negatif ynl sapma miktar (j=1,,6)
:j. hedeften pozitif ynl sapma miktar (j=1,,6)
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
TehizatCinsi
BirimMaliyet
Bakm-letmeGiderleri
EtkinlikPuan
htiya(adet)
Torna Tezgah 600 4 6 5
Freze Tezgah 250 3 4 5
Kumpas 150 2 5 10
Rntgen Cihaz 40 1 3 20
14/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
8/13
8
ncelikli Hedef ProgramlamaArlklandrma Yntemi
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model
2
2
Min Z P d P d P d P d P d P d P d
S .T . x x x x
x x x x d d
x x x x d d
x d d
x d d
x d d
x d d
x ,x ,x ,x ,tmsd ,
1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 4 6
1 3 4
1 3 4 1 1
1 2 3 4 2 2
1 3 3
2 4 4
3 5 5
4 6 6
1 2 3 4
1
600 250 150 40 3500
6 4 5 3 80
4 3 2 70
5
5
10
20
0
d ,d ,d ,d ,d
d ,d ,d ,d ,d ,d
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
Optimal zm
x
x
x
x
d
d
d
d
d
d d
d d
d d
d
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2 3
4 5
6 1
6
4
0
2
20
14
30
1
5
8
0
0
0
0
15/25
ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi
ncelikli hedef programlama problemleri aada simpleksmetodundan farkllklar belirtilen ve simpleks metodunun biruzants olan hedef programlama simpleksi ile zlebilir.
Algoritma
1. Normal simpleks tablosunda sadece bir ama satr var iken, mhedef bulunan bir hedef programlama simpleks tablosunda herhedef iin bir ama satr olmak zere toplam m adet ama satrvardr. Her ama fonksiyonu ilgili hedefteki istenmeyen yndekisapmadan doan cezay (maliyeti) temsil etmektedir. Buna greherhangi bir i hedefinin ama fonksiyonu deerinin sfrdan bykolmas > , i hedefinde istenmeyen ynde bir sapmaolduunu gsterir. deeri sfra yaklatka hedefe yaklalmaktaolup, = ise ihedefi elde edilmi demektir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 16/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
9/13
9
ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi
Algoritma (devam)2. Hedef programlama probleminde giren deiken aada akland
ekilde belirlenir.a) Henz elde edilmemi en ncelikli hedef bulunur. Baka bir ifade ile > olan
en ncelikli ihedefi bulunur.b) i hedefinin ama satrnda katsays en pozitif olan deiken giren deiken
olarak seilir. Ancak bu hedeften daha ncelikli bir hedefin ama satrndaki ayndeikenin katsays negatif ise o deiken temele giremez. Bu durumda birsonraki ama satrna (i+1 hedefine) geilir ve i+1 hedefine yaklalmaya allr.
3. Herhangi bir satr ilemi yapldnda bu ilem mutlaka her hedefinama satrna uygulanr.
4. Eer btn hedefler elde edilmi ise ( = = = = ise), veya
elde edilmemi her ihedefi iin, temele girebilecek ve deeriniazaltabilecek btn deikenler i'den daha ncelikli bir hedefteki sapmayartryorsa optimal zm elde edilmi demektir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 17/25
ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi
RNEK UYGULAMA(REKLAM RKET
PROBLEM)Reklam irketi
rneindeki hedeflerinncelikleri sras ile (YG)hedefi, (OG) hedefi ve(DG) hedefi olarak kabuledilirse, bu probleminncelikli hedefprogramlama modeliyandaki ekilde olur.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Matematiksel Model
ji i
d
d
d
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x
x j
d d i
MinZ YG Amac
MinZ OG Amac
MinZ DG Amac
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kst
aret Kst
1 1
2 2
3 3
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2, aret Kst3
18/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
10/13
10
Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
Z2 2 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
Z3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
? 4 0 7 3 -1 0 0 1 0 0 0 40
? 5 0 10 5 0 -1 0 0 1 0 0 60
? 6 0 5 4 0 0 -1 0 0 1 0 35
s4 7 0 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600
0
ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Z X1 X2 d1+ d2
+ d3+ d1
- d2- d3
- s4
EnKk
Oran Testi
ter.No.
TD D.NoKatsaylar
STD
RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
19/25
Z1 1 1 7 3 -1 0 0 0 0 0 0 40
Z2 2 1 10 5 0 -1 0 0 0 0 0 60
Z3 3 1 5 4 0 0 -1 0 0 0 0 35
d1- 4 0 7 3 -1 0 0 1 0 0 0 40 5 5/7
d2- 5 0 10 5 0 -1 0 0 1 0 0 60 6
d3- 6 0 5 4 0 0 -1 0 0 1 0 35 7
s4 7 0 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600 6
0
Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
Z2 2 1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 - 1/10 -0
Z3 3 1 0 1 0 0 -1 0 0 0 - 1/20 5
X1 4 0 1 3/5 0 0 0 0 0 0 1/100 6
d2- 5 0 0 -1 0 -1 0 0 1 0 - 1/10 -0
d3- 6 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 - 1/20 5
d1+ 7 0 0 1 1/ 5 1 0 0 -1 0 0 7 /10 0 2
2
Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
Z2 2 1 0 5/7 1 3/7 -1 0 -1 3/7 0 0 0 2 6/7
Z3 3 1 0 1 6/7 5/7 0 -1 - 5/7 0 0 0 6 3/7
X1 4 0 1 3/7 - 1/7 0 0 1/7 0 0 0 5 5/7 ---
d2-
5 0 0 5/7 1 3/7 -1 0 -1 3/7 1 0 0 2 6/7 2d3
- 6 0 0 1 6/7 5/7 0 -1 - 5/7 0 1 0 6 3/7 9
s4 7 0 0 17 1/7 14 2/7 0 0 -14 2/7 0 0 1 28 4/7 2
1
ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
Z X1 X2 d1+ d2
+ d3+ d1
- d2- d3
- s4
EnKk
Oran Testi
ter.No.
TD D.NoKatsaylar
STD
RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
Optimal zm
Z Z ,Z ,x ,x ,d d d d ,d ,d1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 30 5 6 0 0 2 5
20/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
11/13
11
ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm
Hedef programlama simpleks yntemi ile benzerlik gsteren bir yaklamdr.Matematiksel modelin tek seferde zlmesi yerine her bir kst iin teker tekerzlp kst olarak eklenmesi mantna dayanmaktadr.
AlgoritmaAdm 1:Hedef ama fonksiyonlar, nceliklerine gre bykten ke sralanr.Adm 2:zm yaplmam ncelii en bykolan hedefin ama fonksiyonu
modelin ama fonksiyonu olarak alnr ve optimal zm bulunur.Adm 3:Btn ama fonksiyonlar zlmse ilem durdurulur. Bu durumda en
son ncelikli hedefin optimal zm, ncelikli hedef programlamaprobleminin optimal zmdr. Eer zlmemi ama fonksiyonu varsa
Adm 4e gidilir.
Adm 4:zlen ama fonksiyonu, bulunan optimal ama fonksiyonu deerine eitolacak ekilde alnarak modele kst olarakeklenir veAdm 2ye gidilir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 21/25
Balang Kstlar
ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm
RNEK UYGULAMA(REKLAM RKET
PROBLEM)Reklam irketi
rneindeki hedeflerinncelikleri sras ile (YG)hedefi, (OG) hedefi ve(DG) hedefi olarak kabuledildii durum iinproblemi ardkzmleme yntemi ilezn.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
ncelik Srasnda Ama Fonksiyonlar
j
i i
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x
x j
d d i
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kst
aret Kst
aret Kst
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,3
d
d
d
MinZ YG Amac
MinZ OG Amac
MinZ DG Amac
1 1
2 2
3 3
22/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
12/13
12
Balang Kstlar
ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm
Birinci Hedef:Bu modelin optimalzm ile =
= elde edilmektedir. Yani 1.hedef salanmtr. 1.hedefi bozmadan 2.hedefi elde etmek iin
= kst modeleeklenerek 2. hedefinistenmeyen yndekisapmas (
deikeni)
minimize edilir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
j
i i
d
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x
x j
d d i
MinZ YG Amac
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kst
aret Kst
aret Kst
1 1
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,3
RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
23/25
Balang Kstlar
ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm
kinci Hedef:Bu modelin optimalzm ile =
= elde edilmektedir. Yani 2.hedef salanmtr. 2.
hedefi bozmadan 3.hedefi elde etmek iin
= kst modeleeklenerek 3. hedefinistenmeyen yndekisapmas (
deikeni)minimize edilir.
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
j
i i
d
ST x x d d
x x d d
x x d dx x
x j
d i
d
d
MinZ OG Amac
YG Kst
OG Kst
DG KstBte Kst
aret Kst
aret Kst
2 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
1
7 3 40
10 5 60
5 4 35100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,3
0
RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
24/25
-
7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)
13/13
Optimal zm
Balang Kstlar
ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm
Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan
j
i i
d
ST x x d d
x x d d
x x d d
x x
x j
d d i
d
d
MinZ DG Amac
YG Kst
OG Kst
DG Kst
Bte Kst
aret Kst
aret Kst
3 3
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
1
1
2
3 3
2
7 3 40
10 5 60
5 4 35
100 60 600
0 1,2
0, 0 1,2,
0
3
0
RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)
Z Z ,Z ,x ,x ,d d d d ,d ,d1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 30 5 6 0 0 2 5
nc Hedef:Bu modelgerekletirilmesigereken son hedefi ifadeettiine gre, bu modelinoptimal zm aynzamanda ncelikli hedefprogramlamamodelinin optimal
zmdr.
25/25
top related