2011-bahan ajar kalkulus 2
Post on 30-Jul-2015
458 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
BAHAN AJAR
KALKULUS 2
Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS.
Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011
ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................................................................................ ii BAB I. ANTI TURUNAN ...................................................................................... 1
I.1 Turunan ......................................................................................................... 1 I.2 Antiturunan ................................................................................................... 6
I.3 Evaluasi ....................................................................................................... 20 BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN ................................... 21
II.1 Notasi Sigma ............................................................................................ 21 II.2 Induksi Matematika .................................................................................. 24 II.3 Jumlah Riemann ....................................................................................... 25 II.4 Integral Tertentu ....................................................................................... 29
II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu .......................................................... 32 II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya ....................... 38 II.7 Evaluasi ................................................................................................... 44
BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL .............................................................. 46 III.1 Luas Daerah Bidang Datar........................................................................ 46 III.2 Volume Benda Putar ................................................................................ 46
BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK ........................................................................................................ 49
IV.1 FUNGSI LOGARITMA ........................................................................... 49 IV.2 Bilangan e ................................................................................................ 54 IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan ...................................................... 55 IV.4 Fungsi Eksponen Asli ............................................................................... 59
IV.5 Hampiran Nilai bilangan e ........................................................................ 65 IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain ......... 67
BAB V. TEKNIK INTEGRAL .............................................................................. 68
V.1 Teknik Substitusi ...................................................................................... 68 V.2 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 73 V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ..................................................... 84
V.4 Integral Parsial ......................................................................................... 95 V.5 Integral Fungsi Rasional. .......................................................................... 99 V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x ......................... 112
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 117
1
BAB I. ANTI TURUNAN
I.1 Turunan
Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang
fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi
yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk 푦 = 푓(푥), sedangkan
fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam
bentuk 푓(푥, 푦) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. 푦 = 2 − √2− 3푥
2. 푦 = 3푥 − 4푥 + 3
3. 푦 = 푥 푥√푥
4. 푥 + 푦 − 25 = 0
5. 푥푦 + 푥 푦 − 2 = 0
6. 푥 − 2푥 + 푦 − 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan
contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk
eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua
fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit.
Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan
turunannya.
Tulis (푥 + )x = 푡. Jelas ∆푥 = 푡 – 푥
Karena 0x maka xt
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
Definisi I-1
Turunan fungsi 푦 = 푓(푥) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan 푓 ’(푥) dan
didefinisikan oleh f’(x) = x
xfxxfx
)()(lim0
, asalkan limitnya ada.
2
푓 ’(푥) = xt
xftfxt
)()(lim , asalkan limitnya ada.
Notasi lain untuk turunan 푦 = 푓(푥) dinyatakan dengan )(, xfDdxdy
x , dx
xdf )( .
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka
turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan
cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini
diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh I-1
Berikut cara mencari dxdy dari beberapa fungsi yang diberikan.
1. Dipunyai 푦 = x + 퐶.
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
x
xfxxfdxdy
x
)()(lim0
= x
xxxx
0
lim
= x
xxxx
0
lim . xxxxxx
= 0
limx }{
)()(xxxx
xxx
= xxxxx
x
0lim
= xxxx
1lim0
= x2
1
2. Dipunyai y = )1(
3x .
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
x
xfxxfdxdy
x
)()(lim0
3
= x
xxxx
13
)1(3
lim0
= )}1)(1{()1(3)1(3lim
0 xxxxxxx
x
= )1)(11(
3lim0 xxx
= 2)1(3x
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh
di atas disebut fungsi yang differensiabel (dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim0
= x
xxxLimnn
x
)(0
=x
xxxxnnnxxnnxnxx nnnnnn
x
)(...)(!3
)2)(1()(!2
)1(
lim
33221
0
= x
xxxnnnxxnnxnx nnnn
x
)(....)(!3
)2)(1()(!2
)1(
lim
33221
0
= ])(....)(!3
)2)(1()(!2
)1([lim 12321
0
nnnn
xxxxnnnxxnnnx
= nx 1n
3. Dipunyai x 02522 y
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
d(x )2 + d(y )2 - d(25) = d(0)
022 ydyxdx
x + y dxdy = 0
yx
dxdy
4
4. Tentukan dxdy dari x2y + xy2 – 2 = 0.
Penyelesaian:
Jelas d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
(x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
dxdy = - 2
2
22
xxyyxy
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang
masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan
menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan
fungsi sebagai berikut.
1. dxd (c) = 0
2. dxd (x) = 1
3. dxd (xn) = nxn1
4. dxd (un) = nun1
dxd (u)
5. dxd ( u + v) =
dxd (u) +
dxd (v)
6. dxd (u – v) =
dxd (u)
dxd (v)
7. dxd ( u v w ... ) =
dxd (u)
dxd (v)
dxd (w) ...
8. dxd (cu) = c
dxd (u)
9. dxd (uv) = u
dxd (v) + v
dxd (u)
10. dxd (uvw) = uv
dxd (w) + uw
dxd (v) + vw
dxd (u)
5
11. dxd (
vu ) = 2v
dxdvu
dxduv
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
dxdy =
xxfxxf
x
)()(lim0
, dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di
bawah ini.
y = cos x, maka
dxdy =
xxfxxf
x
)()(lim0
= x
xxxx
cos)cos(lim0
= x
xxxxxx
x
2)(sin
2)(sin2
lim0
= 2
sin2
)2sin(2lim0
xx
xxx
= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1. dxd (sinx) = cos x
2. dxd (cos x) = -sin x
3. dxd (tan x) = sec2x
4. dxd (cot x) = -csc2x
5. dxd (sec x) = sec x tan x
6. dxd (csc x) = -csc x cot x
6
I.2 Antiturunan
Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya
harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y = x maka xdx
dy2
1 .
Dengan cara yang sama, diperoleh
1. Jika y = x +3 maka xdx
dy2
1 .
2. Jika y = x - 3 maka xdx
dy2
1 .
3. Jika y = x - 100 maka xdx
dy2
1
4. Jika y = x + 71 maka
xdxdy
21
, dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka xdx
dy2
1 .
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas
dapat disederhanakan dengan 퐴√
= √푥 + 퐶.
Hal ini berarti bahwa fungsi y = Cx , dengan C R mempunyai turunan
xdxdy
21
atau antiturunan dari f(x) =
x21 adalah F(x) = x + C, C R .
Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable
(terintegralkan).
Definisi antiturunan diberikan di bawah ini.
Dalam hal yang lebih umum, bentuk 퐴√
= √푥 + 퐶 dinyatakan dengan
∫√
= √푥 + 퐶.
Definisi I-2
Dipunyai 퐹: 퐼 ⟶ 푅 dan 푓: 퐼 ⟶ 푅.
Jika 퐹 (푥) = 푓(푥) untuk setiap 푥 휖 퐼 maka. F disebut suatu anti turunan f pada selang I.
Jika 푥 merupakan suatu titik ujung dari I maka 퐹 ,(푥) hanya perlu turuanan satu sisi.
7
Jadi, Jika y = f(x) mempunyai antiturunan F(x) + C, maka
∫ 푓(푥) 푑푥 = 퐹(푥) + 퐶,퐶 휖 푅.
Bentuk ∫ 푓(푥) 푑푥 = 퐹(푥) + 퐶, f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti
turunan.
Bukti:
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa )(])([ xfCxFDx
Dalam kasus di atas rrr
x xxnr
CrxD
)1(1
11
1
Kelinearan integral diberikan oleh teorema berikut.
Bukti:
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan
dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. [ ∫ ( ) ] = 퐾 [∫ ( ) ] = 퐾푓(푥)
Teorema I-5
Dipunyai f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan K suatu konstanta. Untu
f dan g berlaku aturan di bawah ini.
1. dxxKf )( = K dxxf )( ,
2. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,
3. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,
Teorema I-4
∫ sin 푥 푑푥 = − cos푥 + 퐶 dan ∫ cos푥 푑푥 = sin 푥 + 퐶
Teorema I-3
Jika r sebarang bilangan rasional kecuali 1, maka
Crxdxx
rr
1
1
.
8
2. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] + [∫ ( ) ] = 푓(푥) + 푔(푥)
3. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] [∫ ( ) ] = 푓(푥)− 푔(푥)
Contoh I-2
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1. dxxx 2
Penyelesaian:
Jelas dxxx 2 = xdxdxx 2
= 22
13
21
31 CxCx
= Cxx 23
21
31
2. dxx
x22 1
Penyelesaian:
Jelas dxx
x22 1
= dxxxx
12 24
= dxx
dxx
xdxx
x 12 24
= dxxdxxdxx 2/12/32/7 2
3. dxx
xx
3
2)1(
Penyelesaian:
Jelas dxx
xx
3
2)1(=
3
2 )12(x
xxxdx
= dxx
xdxx
xdxx
x
33
2
3
3
2
= dxxdxxdxx 3/23/53/8 2
= Cxxx 3/53/83/11
53
43
113 .
9
Contoh I-3
1. Hitunglah . .1144 2 dxxx
Penyelesaian:
Jelas )114( 2 xd = 8x dx.
Jadi dxxx 1143 2 = 11421 2x d(8x)
= Cx
2/3
)114(21 2/32
= 2/32 )114(31
x + C.
2. Hitunglah .52
32
dyy
y
Penyelesaian:
Jelas d(2y )52 = 4y dy.
Jadi
dyy
y52
32
= ydyy 3)52( 2/12
= ydyy 443)52( 2/12
= ydyy 4.)52(43 2/12
= Cy
2/1
)52(.43 2/12
= Cy 5223 2 .
Teorema I-6
Diberikan f fungsi yang differensiabel dan n bilangan rasional dengan n ≠ 1, maka:
,1
)()(')(1
Crxfdxxfxf
rr C Real.
10
3. Hitunglah .)26sin(3 dxx
Penyelesaian:
Tulis U = 6x + 2.
Jelas dU = 6 dx atau 3 dx = 2
dU .
Jadi dxx )26sin(3 = 2sin dUU
= CU )cos(21
= .)26cos(21 Cx
4. Hitunglah .sincos1 xdxx
Penyelesaian:
Tulis A = .cos1 x
Jelas A xcos12 dan 2A dA = (-sin x) dx.
xdxx sincos1 = dAAA )2.(
= -2 dAA2
= CA 3
32
= .)cos1(32 3 CA
Contoh I-4
Tentukan: (a) dxxx ).cos2( dan (b) dxx ).12( .
Penyelesaian:
(a) Jelas dxxdxxdxxx .cos.2).cos2(
= )(sin)( 212 CxCx
= )(sin 212 CCxx
= Cxx sin2 .
(b) Jelas dxdxxdxx .2).12(
= Cxx 2 .
11
Teorema berikut diperlukan untuk menentukan integral tak tentu fungsi-
fungsi komposisi yang juga dikenal dengan teorema penggantian.
Bukti:
Dipunyai IRg .
Jadi )]([)]([' xgfxgF )]([)]([)]]([[
xgfxgdxgFd
.
Jadi CxgFxgdxgf )]([)]([)].([
CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .
Contoh I-5
Tentukan: (a) dxx.2cos.2 , dxx .)5(10 9 , dan (c) dxxxx ).23()62( 263 .
(a) Strategi:
(1) Ingat rumus:
Cxdxx sin.cos .
(2) Jika x diganti 2x, diperoleh:
Cxxdx 2sin)2(.2cos .
Penyelesaian:
Jelas dxx.2cos.2
= )2(.2cos xdx
= Cx 2sin .
(b) Strategi:
(1) Ingat rumus:
.10
.10
9 Cxdxx
(2) Jika x diganti (x+5), diperoleh
(3) .10
)5()5(.)5(10
9 Cxxdx
Penyelesaian:
Jelas dxx .)5(10 9
= dxx 9)5(10
= )5()5(10 9 xdx
= Cx
10
)5(.1010
= Cx 10)5( .
Teorema I-7 (Penggantian)
Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada gD dan IRg dengan I adalah suatu
selang. Jika )(xfy terdefinisi pada selang I sehingga )()(' xfxF , maka
CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .
12
(c) Strategi:
(1) Ingat rumus:
Cxdxx7
.7
6 .
(2) Jika x diganti 623 xx ,
Diperoleh:
)62()62( 363 xxdxx
= Cxx
7
)62( 73
.
(3) Jelas dxxxxd ).23()62( 23
Penyelesaian:
Jelas dxxxx ).23()62( 263
= )62()62( 363 xxdxx
= Cxx
7
)62( 73
.
Bukti:
Dipunyai dUVdVUVUd ..).( .
Jadi )..().( dUVdVUVUd
dUVdVUVU ...
dUVVUdVU ... .
Teorema ini efektif apabila dVU . sulit dicari, akan tetapi dUV . dengan
mudah dapat ditentukan.
Contoh I-6
Tentukan: (a) dxxx .cos. dan (b) ..sin.2 dxxx
Teorema I-8 (Integral Parsial)
Jika )(xUU dan )(xVV adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka dUVVUdVU ... .
13
(a) Strategi:
(1) Ubah dxxx .cos. menjadi
)(sin. xdx
(2) Tulis )(xUx dan )(sin xVx .
(3) Gunakan Teorema 7.
Penyelesaian:
Jelas dxxx .cos.
= )(sin. xdx
= dxxxx .sinsin.
= Cxxx cossin.
(b) Strategi
(1) Ubah dxxx .sin.2 menjadi
)(cos.2 xdx .
(2) Tulis )(2 xUx dan
)(cos xVx .
(3) Gunakan Teorema 7.
(4) Ubah dxxx .cos. menjadi
)(sin. xdx
(5) Gunakan sekali lagi Teorema 7
Penyelesaian:
Jelas dxxx .sin.2
= )(cos.2 xdx
= )](.coscos.[ 22 xdxxx
= dxxxxx .cos.2cos.2
= )(sin.2cos.2 xdxxx
= ).sinsin.(2cos.2 dxxxxxx
= Cxxxxx cos2sin.2cos.2 .
Berikut ini disenarai beberapa rumus teknis yang diperoleh berdasarkan
pengalaman.
No Rumus Teknis No Rumus Teknis
1 Cxdx 9 Cxdxxx csc.cot.csc
2 Cxdxx
2.
2
10
Cxx
dx
1
2sin
1
= Cx 1cos
3 C
nxdxx
nn
1.
1
11
Cxx
dx
1
2 tan1
= Cx 1cot
4 Cxdxx cos.sin 12 Cx
xxdx
1
2sec
1
= Cx 1csc
14
5 Cxdxx sin.cos 13 C
aU
Ua
dU
1
22sin
= CaU
1cos
6 Cxdxx tan.sec 2 14 C
aU
aUadU
122 tan1
= CaU
a 1cot1
7 Cxdxx cot.csc 2 15
C
aU
aUU
dU 1
2sec1
1
= CaU
a 1csc1
8 Cxdxxx sec.tan.sec
Contoh I-7
Tentukan:
(a) dxx.21 (b) dxxx .21 (c) 12.2xdxx (d) dxx.sin 3
(e) dxx.sin 4 (f) dxx.sin (g) xdxx
cos1.sin (h) dxx.tan 4
(i) xxdx
).1( (j) 522 xx
dx (k) 24 xx
dx (l) 22
.
xx
dxx
Strategi:
(1) Ingat rumus Cxdxx 23
23
21
. .
(2) Jika x diganti (1-2x), diperoleh:
(3) Cx
xdx
23
23
21 )21(
)21(.)21(
(4) Ingat bahwa dxxd 2)21(
Penyelesaian:
(a) Jelas dxx.21
= dxx 21
)21(
= )21(.)21(21
21
xdx
= Cx
23
23
)21(.
21
= Cxx
321)21( .
15
Strategi:
(1) Ubah dxxx .21 menjadi bentuk
yang ada seperti pada contoh (a).
Penyelesaian:
(b) Jelas dxxx .21
= dxxx .)21)].21(1[21
= dxxdxx .)21(21.)21
21
23
= dxx .)2121 dxx .)21(
41
23
=
6
21)21( xxCxx
1021)21( 2
(c) Penyelesaian:
Jelas 12.2xdxx =
dxxx .)12(2 2
1
=
dxxx .)12].(1)12[( 21
=
dxxdxx .)12(.)12( 21
21
=
)12(.)12(21)12(.)12(
21 2
121
xdxxdx
= Cxxx
123
12)12( .
Strategi:
(1) Ingat dxxxd .sin)(cos
(2) Ingat Cxdxx3
.3
2
(3) Jika x diganti cos x diperoleh:
Cxxdx3
cos)(cos.cos3
2 .
Penyelesaian:
(d) Jelas dxx.sin 3
= dxxx .sin.sin 2
= )(cos).cos1( 2 xdx
= )(cos.cos)(cos 2 xdxxd
= Cxx 3
coscos3
.
16
Strategi:
(1) Ingat rumus
2sin = 22 sincos
= 2sin21 = 1cos2 2 .
Penyelesaian:
(e) Jelas dxx.sin 4
= dxx .)(sin 22 =
dxx 2
22cos1
= dxxdxxdx .cos41.2cos
21
41 2
= )2(2cos41
4xxdx
dxx .2
4cos141 2
= dxxx81
42sin
4
)4(.4cos321 xdx
= Cxdxxx32
4sin81
42sin
4
= Cxxx32
4sin42sin
83 .
Strategi:
(1) Tulis yx
(2) Jelas x
dxdy2
(3) Jadi dxx.sin
= dyyy .sin.2
= )(cos. ydy .
(4) Selanjutnya gunakan integral parsial,
yaitu: dUVUVUdV .
Penyelesaian:
(f) Jelas dxx.sin
= )(cos. ydyt
= dyyyy .coscos.
= Cyyy sincos.
= Cxxx sincos. .
17
Strategi:
(1) Ingat dxxxd .sin)cos1(
(2) Ingat
Cxdxx 21
21
.2
(3) Jika x diganti xcos1 , diperoleh:
)cos1(.)cos1( 21
xdx
= Cx 21
)cos1(2
Penyelesaian:
(g) Jelas xdxx
cos1.sin
=
)cos1()cos1( 21
xdx
= Cx 21
)cos1(2
= Cx cos12 .
Strategi:
(1) Ingat rumus:
,tan1sec 22 xx
dxxxd .sec)(tan 2 ,
Cxdxx3
.3
2 , dan
Cxdxx tan.sec 2 .
Penyelesaian:
(h) Jelas dxx.tan 4
= dxxx .tan.tan 22
= dxxx ).1.(sectan 22
= dxxdxxx .tan.sec.tan 222
= dxxxdx ).1(sec)(tan.tan 22
= dxdxxx .sec3
tan 23
= Cxxx tan
3tan3
.
Strategi:
(1) Tulis yx .
(2) Jelas x
dxdy2
.
Penyelesaian:
(i) Jelas xxdx
).1(
= 212
ydy
= Cy 1tan.2
= Cx 1tan.2 .
18
Strategi:
(1) Tulis 522 xx menjadi
4)1( 2 x
(2) Ingat rumus:
Cxx
dx 12 tan
1
(3) Jika x diganti 2
1x , diperoleh:
Cxx
xd
21tan
12
12
11
2
Penyelesaian:
(j) Jelas 522 xxdx
= 4)1( 2xdx
=
1
214
12x
dx
=
12
12
1
21
2x
xd
= C
x
22
1tan 1
.
Strategi:
(1) Ubah 24 xx menjadi:
4)42..2( 2 xx
= 2)2(4 x .
(2) Ingat Rumus:
Cxx
dx
1
2sin
1.
Penyelesaian:
(k) Jelas 24 xx
dx
= 2)2(4 x
dx
=
2
221
)2(21
x
xd
= C
x
22
2sin 1
Strategi:
(1) Ingat )1(2)2( 2
x
dxxxd
.
(2) Tulis )]1(1[ xx
dan
22 )1(12 xxx .
Penyelesaian:
(l) Jelas 22
.
xx
dxx
= dxxx
x .2
)1(12
=
22 )1(12
).1(
xdx
xx
dxx
19
= )2()2(21 22
12
xxdxx
2)1(1
)1(
x
xd
= 22 xx Cx )1(sin 1 .
20
I.3 Evaluasi
Kerjakan soal-soal di bawah ini.
1. Periksa kebenaran pernyataan berikut ini:
(a) 20 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( .
(b) xxF 1)( merupakan antu turunan x
xf
121)(
(c) xxxF 2cos.)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin.22cos)( .
(d) xxxF .)( merupakan anti turunan dari xxxf .)( pada .
2. Jika suatu fungsi )(xfy terdefinisi untuk 0x , melalui titik (4,0), dan
gradien garis singgung di setiap titik ditentukan oleh persamaan
21
21
)(' xxxf
, tentukanlah persamaan fungsi f .
3. Berikan masing-masing 3 buah contoh untuk membenarkan Teorema 5, yaitu:
dxxgdxxfdxxgxf ).().()].()([
dan .).(.).(. dxxfKdxxfK
4. Hitunglah anti turunan dari:
(a) 23 2)( xxxf (b) 22sin.3)( xxxf
5. Tentukan:
(a) dxxx .4
(b) dxxx .12
(c) xx 215
(d) dxxx .sin1.cos
(e) 3 cos1.sin
xdxx
(f) xdxx
1.2
21
BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN
Pada BAB 2 ini dibicarakan teorema yang cukup melandasi tentang integral,
yaitu teorema dasar kalkulus 1 dan 2. Dengan ditemukannya dua teorema ini dunia
menjadi gempar. Perhitungan integral yang tadinya harus dihitung dengan waktu la-
ma, bahkan perlu dibantu dengan mesin hitung, dengan kledua teorema ini pekerjaan
menjadi cukup sederhana dan dapat diselesaikan dengan cepat tanpa bantuan mesin
hitung. Dibuka dengan pasal yang berisi tinjau ulang tentang notasi sigma.
II.1 Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + … + 10. Bentuk ini
dapat ditulis dengan
10
1
10321i
i
yang dibaca"sigma I, I dari 1 sampai 10". Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:
(a)
50
1
22222 )50(321s
s ,
(b)
n
iin aaaaa
1321 ,
(c)
10
1
1101
31
21
11
n n , dan
(d)
n
i in 3 121
1.21
15.21
14.21
13.21
.
Contoh II-1
Jelas 1032110
1
i
i
= )10543()21(
=
10
3
2
1 iiii .
Contoh II-2
Tulis dengan notasi sigma bentuk-bentuk berikut ini:
(a) 22222 ,
(b) 15131197531 ,
22
(c) 18161412108642 , dan
(d) 1018265503726171052 .
Strategi:
(1) Tulis 2ic untuk setiap i = ,2,3,4,5.
Penyelesaian:
(a) Jelas 22222
= 54321 ccccc
=
5
1iic
=
5
1
2i
.
Strategi:
(1) Ingat: Bilangan asli ganjil yang ke-n
adalah 2 . n. 1.
Penyelesaian:
(b) Jelas 15131197531
=
8
1
)12(i
i .
Strategi:
(1) Ingat: Bilangan asli genap yang ke-n
adalah 2 . n.
(2) Jelas 18 = 2 . 9.
Penyelesaian:
(c) Jelas 2 + 4 + 6 + … + 18 =
9
1
2n
n .
Strategi:
(1) Jelas: 112 2 ,
125 2 ,
110101 2 .
Penyelesaian:
(d) Jelas
10
1
2 )1(10011052i
i
Berikut ini disajikan beberapa teorema yang sering digunakan. Khususnya dalam
perhitungan integral tentu melalui limit jumlah Riemann.
Teorema II-1
(a) cncn
i.
1
untuk sembarang konstanta c,
(b)
n
ii
n
ii accac
11
... .
(c)
n
i
n
ii
n
iiii bdacbdac
1 11
..)..(
23
Strategi:
Tulis cci untuk setiap ni ,...,2,1 .
Bukti (a):
Jelas
n
ii
n
icc
11
= nccc 21
= ccc
= cn. .
Bukti (b):
Jelas n
n
ii acacacac .... 21
1
= )( 21 naaac
=
n
iiac
1
. .
Bukti (c):
Jelas
n
iii bdac
1
)..( = )..()..()..( 2211 nn bdacbdacbdac
= nacacac ... 21 + nbdbdbd ... 21
=
n
iiac
1
. +
n
iibd
1
. .
Contoh II-3
Hitunglah: (a)
6
1
5i
dan (b)
5
1
2 )54(i
ii
Penyelesaian:
(a) Jelas
6
1
5i
= 6 . 5 = 30.
(b) Jelas
5
1
2 )54(i
ii =
5
1
2
ii +
5
1
4i
i -
5
1
5i
.
= (1+4+9+16+25) + 4(1+2+3+4+5) + 5 . 5
= 90.
24
II.2 Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar
untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam
induksi matematik, yaitu:
pertama P(1) benar dan
kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Dengan demikian dapat dinyakan:
Contoh II-4
Buktikanlah: (a) 2
)1(321
nnn ,
(b) nn .22 untuk setiap bilangan asli n,
(c) 83 n habis dibagi 2n untuk setiap bilangan asli n,
(d) 6
)12)(1(941 2
nnnn ,
(e) 2
1
3
2)1(
nnin
i
, dan
(f) 30
)196)(1( 23
1
4
nnnnnin
i.
Buktinya sederhana. Berikut ini hanya dibuktikan butir (a), sedang butir yang lain
diserahkan pembaca sebagai latihan.
P(1) benar
P(n) benar P(k+1) benar apabila P(k) benar
25
Bukti (a):
Tulis
n
iin
1
321 .
Tulis )(nP :
n
i
nni1 2
)1( .
Jelas )1(P :
1
1 2)11.(1
ii .
Jelas
1
1
1i
i dan 12
)11.(1
.
Jadi )1(P benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jadi 2
)1(1
kkik
i.
Jelas
1
1
k
ii = )1(
1
kik
i= )1(
2)1(
kkk =
2]1)1).[(1( kk .
Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi P(n) benar.
Jadi 2
)1(321
nnn .
II.3 Jumlah Riemann
Pada pasal ini disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang meru-pakan
dasar pendefinisian integral tentu.
Definisi II-2
Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi nP untuk selang [a,b] adalah sembarang
himpunan yang terdiri (n+1) bilangan
nxxxx ,,,, 210 ,
dengan
bxxxxa n 210 .
26
Contoh II-5
Jelas bahwa
3
25,2,
23,
34,
45,16P adalah suatu partisi untuk selang [1,3]. Agar
lebih memahami konsep yang dikembangkan, perhatikanlah gambar berikut
ini.
Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3]. memperlihatkan bahwa dengan partisi 6P ,
selang [1,3] terbagi menjadi 6 buah subselang, yaitu:
]25,2[],2,
23[],
23,
34[],
34,
45[],
45,1[ , dan ]3,
25[ .
Panjang untuk tiap subselang tidak perlu sama, sebagai contoh, panjang subselang
pertama ditulis dengan:
011 xxx = 145 =
41 .
Selanjutnya:
122 xxx = 45
34 =
121 ,
233 xxx = 34
23 =
61 ,
344 xxx = 232 =
21 ,
455 xxx = 223 =
21 , dan
566 xxx = 233 =
21 .
Panjang subselang terbesar dinyatakan dengan 6P dibaca denga "norm 6P ". Dengan
demikian pada contoh ini 21
6 P .
1 45
34
23
2 25
3
Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3].
27
Contoh II-6
Periksa apakah
1,
54,
53,
52,
51,
61,0 merupakan suatu partisi untuk selang [0,1]. Jika
merupakan suatu partisi, tentukan normnya.
Penyelesaian:
Tulis P =
1,
54,
53,
52,
51,
61,0 .
Jelas .154
53
52
51
610
Jadi P suatu partisi untuk selang [0,1].
Jelas
531,
53
54,
52
53,
51
52,
61
51,0
61maksP =
51,
301,
61 =
51 .
Contoh II-7
Tentukan jumlah Riemann untuk fungsi 825)( 23 xxxxf pada selang [0,5]
dengan partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel
5,01 t , 5,12 t , 5,23 t , 6,34 t , dan 55 t .
Penyelesaian:
Jelas 5R =
n
iii xtf
1
).(
= xtfxtfxtfxtfxtf 5544332211 ).().().().().(
= )45).(5()2,34).(6,3()22,3).(25()1,12).(
23()01).(
21( fffff
= (7,875).(1,1)+(3,125).(0,9)+(-2,625)(1,2)+(-2,944).(0,8)+ (18).1
= 23,9698.
Definisi II-3
Dipunyai ],[: baf suatu fungsi, nP suatu partisi untuk selang [a,b], dan
],[ 1 iii xxt . Bangun
xtfR iin ).( .
Bangun nR disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b].
28
Gambar situasinya:
Contoh II-8
Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi xxF 9)( pada selang [0,9]
menggunakan partisi 0 < 1 < 2 < 4 < 6 < 7 < 9 dan titik sampel it yang
merupakan titik-titik tengah subselan ke i.
Penyelesaian:
Jelas 00 x , 11 x , 22 x , 43 x , 64 x , 75 x , dan 96 x .
Selanjutnya: 21
2010
201
01
xx
xt ,
23
2121
212
12
xxxt ,
32
2422
1223
xxxt ,
52
4642
2334
xxxt ,
213
2676
234
45
xx
xt , dan
82
7972
4556
xxxt .
Y 18
15 12 9 6 3 2,5 3,6 0 X 0,5 1,5 4,5 -3 -6
Gambar II-2 Interpretasi Geometri dari 5R
29
Jadi
6R =
6
1
).(i
ii xtf
= xtfxtfxtfxtfxtfxtf 665544332211 ).().().().().().(
= )79)(6()67)(5()46)(4()24)(3()12)(23()01)(
21( ffffff
= 2.31.42.52.61.2
151.2
17
= 6410122
152
17
= 40.
II.4 Integral Tertentu
Pada pasal ni didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann
sebagai berikut.
Catatan:
(a) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan ,
(b) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka
0P nm ,
(c) Pada bentuk b
a
dxxf ).( , f disebut integrn, a disebut batas bawah, dan b disebut
batas atas integral,
Definisi II-4
Dipunyai fungsi ],[: baf .
Jika
n
iiiPxtf
10).(lim ada
maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [a,b].
Selanjutnya ditulis
n
iiiPxtf
10).(lim =
b
a
dxxf ).(
disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.
30
(d) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)( xf pada [a,b],
b
a
dxxf ).( menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis
x = b, dan sumbu X,
(e) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol,
atau negatif.
Contoh II-9
Hitunglah b
a
dxx ).3( .
Penyelesaian:
Tulis 3)( xxf
Bangun partisi untuk selang [1,4] yang membagi selang [1,4] menjadi n buah
subselang yang sama panjang.
Jelas nn
xi314
untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.
Jelas 10 x , n
x 311 , n
x 3.212 ,…, n
ixi3).1(11 ,
nixi
3.1 , dan 4nx
.
Pilih ii xt untuk setiap ],[ 1 iii xxt .
Jadi 23331)31()( ni
ni
niftf i .
Jadi b
a
dxx ).3( =
n
iiiPxtf
10).(lim
=
n
in nni
1
3.23lim
=
n
i
n
in ni
n 112 169lim
=
nn
nnnn
.62
)1(.9lim 2
=
nn
nnnn
.62
)1(.9lim 2
= 629 =
23
.
31
Contoh II-10
Hitunglah 1
0
2 .dxx .
Penyelesaian:
Bangun partisi untuk selang [0,1] yang membagi selang [0,1] menjadi n buah
subselang yang sama panjang.
Jelas nn
xi101
untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.
Jelas 00 x , n
x 11 ,
nx 2
2 ,…, n
ixi1
1
, nixi , dan 1nx .
Pilih n
ixt ii1
1
.
Jadi 1
0
2 .dxx =
n
iiiPxtf
10).(lim
=
n
in nni
1
2 3.23lim
=
n
inii
n 1
23 )12(1lim
=
n
i
n
i
n
inii
n 111
23 121lim
=
nnnnnnnn 2
)1(.26
)12)(1(1lim 3
=
222
116
)12)(1(limnn
nn
nnn
= 31 .
Contoh II-11
Hitunglah b
a
dxx. .
Penyelesaian:
Bangun partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah
subselang yang sama panjang.
Jelas n
abxi
untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.
32
Jadi ax 0 ,n
abax 1 ,
nabax )(2
2
,…,n
abiaxi))(1(
1
,
nabiaxi
)( dan bxn .
Pilih 1 ii xt .
Jadi b
a
dxx. =
n
iiiPxtf
10).(lim
= n
abn
abian
in
.))(1(lim
1
=
n
ini
nab
naba
1
2
)1()(lim
=
n
i
n
ini
nab
naba
1
2
1
)1(1)(lim
=
nnn
nabn
naba
n 2)1(..)(lim
2
= 2
2 222 aabbaab
= .2
22 ab
II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu
Definisi integral; tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus
푏 = 푎, atau 푏 < 푎 yang didefinisikan sebagai berikut.
Teorema II-6
Jika fungsi f kontinu pada selang [푎, 푏], maka f terintegral secara Riemann pada selang
[푎,푏].
Definisi II-5
(a) Jika f (a) terdefinisi maka a
a
dxxf 0).( .
(b) Jika a > b dan a
b
dxxf ).( terdefinisi, maka a
b
dxxf ).( = b
a
dxxf ).( .
33
Teorema II-7
Bukti:
Tulis f (x) = 1.
Jelas f terdefinisi pada .
Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang
yang sama panjang.
Jelas n
abxi
untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.
Pilih sembarang ],[ 1 iii xxt .
Jadi b
a
dxxf ).( =
n
iiiPxtf
10).(lim =
n
n
i nab
1.1lim = )(lim.1 ab
n n
= ab .
Teorema II-8
Buktinya sederhana, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Bukti:
(1) Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n bah
subselang yang sama panjang.
Teorema II-9
Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fumgsi-fungsi (f + g) dan
K.f dengan K konstanta terintegralkan, yaitu:
(1) b
a
dxxgxf )()( = b
a
dxxf ).( + b
a
dxxg ).( .
dan
(2) b
a
dxxfK ).(. = b
a
dxxfK ).(.
b
a
dxK. =
n
iiPxK
10.lim = )( abK .
b
a
n
iiP
abxdx10
lim
34
Jadi b
a
dxxgxf )()( =
n
iiiiPxtgtf
10.)()(lim
=
n
iiiPxtf
10).(lim +
n
iiiPxtg
10).(lim
= b
a
dxxf ).( + b
a
dxxg ).( .
Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Interpretasi geometri Teorema II-10:
Bukti:
Kasus a < c < b:
Teorema II-11
Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat 푎,푏, dan 푐 maka
b
a
dxxf ).( = c
a
dxxf ).( + b
c
dxxf ).(
tanpa memperhatikan urutan 푎,푏, dan 푐.
Teorema II-10
Jika D adalah daerah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f , garis x = a, x = b,
dan sumbu X maka
b
a
dxxfL .)(
Y f X 0 a b Gambar II-3 Grafik f pada [푎, 푏]
35
Buat [partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang
yang sama panjang dan c merupakan suatu titik ujung suatu subselang.
Tulis
n = m + p
dengan m merupakan banyak subselang dalam selang [a,c] dan p adalah banyak
subselang dalam selang [c,b].
Tulis
kmk xz dan kmk tu .
Jadi b
a
dxxf ).( =
n
iiiPxtf
10).(lim
=
m
i
n
kkkiinzufxtf
1 1).(.).(lim
=
n
iiinxtf
1
).(lim +
n
kikpzuf
1
).(lim
= c
a
dxxf ).( + b
c
dxxf ).( .
Kasus c < a < b:
Berdasarkan kasus 1, dapat disimpulkan bahwa
b
c
dxxf ).( = a
c
dxxf ).( + b
a
dxxf ).( .
Jelas a
c
dxxf ).( = c
a
dxxf ).( .
Jadi b
c
dxxf ).( = c
a
dxxf ).( + b
a
dxxf ).(
b
a
dxxf ).( = c
a
dxxf ).( + b
c
dxxf ).( 5tanpa memperhatikan urutan dari a, b, dan
c.
Teorema II-12
Jika f terintegral pada selang [푎,푏] dan 0)( xf pada selang [푎,푏] maka
b
a
dxxf 0).( .
36
Bukti:
Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang
yang sama panjang.
Jelas
n
iiiPxtf
10).(lim .
Andaikan b
a
dxxf 0).( .
Pilih 0)(],[ iiii tfbat .
Ini adalah suatu kontradiksi.
Jadi b
a
dxxf 0).( .
Bukti:
Dipunyai )()( xgxf pada selang [푎, 푏].
Jelas 0)()( xfxg pada selang [푎,푏].
Jadi b
a
dxxfxg 0)].()([
0).().( b
a
b
a
dxxfdxxg
b
a
b
a
dxxgdxxf ).().( .
Teorema II-13
Jika f dan g terintegral pada selang [푎, 푏] dan )()( xgxf pada [푎,푏]
Maka
b
a
b
a
dxxgdxxf ).().( .
37
Bukti:
Dipunyai )(min xfmbxa
dan )(xfmaksMbxa
.
Jelas Mxfm )( .
Jadi b
a
b
a
b
a
dxMdxxfdxm .).(. b
a
abMdxxfabm )().()( .
Interpretasi geometri Teorema II-14:
Contoh II-12
Hitunglah: (a) 1
0
2 ).( dxxx (b) 1
0
2 .6 dxx (c) 1
0
2 ).763( dxxx .
Strategi:
(1) ingat 21.
1
0
dxx dan 31.
1
0
2 dxx .
Penyelesaian:
(a) Jelas 1
0
2 ).( dxxx
Teorema II-14
Jika f kontinu pada selang [푎, 푏], )(min xfmbxa
, dan )(xfmaksMbxa
,
maka
b
a
abMdxxfabm )().()( .
Y M m X 0 a b Gambar II-4 Terlihat bahwa luasan yang dinyatakan dengan
b
a
abMdxxfabm )().()(
38
(2) Gunakan teorema kelinieran
= 1
0
21
0
.. dxxdxx
= 31
21 =
65 .
(b) Jelas ∫ 6푥 푑푥 = 2푥 ] = 2.
(c) Jelas ∫ (3푥 − 6푥 + 7)푑푥 = 푥 − 3푥 + 7푥] = 1 − 3 + 7 = 5.
II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya
Contoh II-13
Tentukan:
(푎)푑 ∫ 푡 푑푡
푑푥
(푏)푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡
푑푥
Penyelesaian:
(a) Jelas ∫ 푡 푑푡 = = − .
Jadi ∫
= = 푥 .
Atau
Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh
푑 ∫ 푡 푑푡푑푥 = 푥 .
(b) Jelas ∫ (3푡 − 1)푑푡 = − 푡 = − 푥
푑 ∫ 푓(푡)푑푡푑푥 = 푓(푥)
Teorema II-15
Jika f kontinu pada selang [푎, 푏] dan 푥 suatu titik dalam [푎, 푏]
maka
39
Jadi ∫ ( )
= = 6푥 − 2푥.
Atau
Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh
푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡푑푥 =
푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡푑(푥 ) .
푑(푥 )푑푥
= (3푥 − 1). 2푥 = 6푥 − 2푥.
Berikut ini merupakan teorema nilai rata-rata integral
Berikut ini merupakan teorema substitusi dalam integral tertentu
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu,
berikut teorema tersebut :
Contoh II-14
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
11
11
ra
rbdxx
rrb
a
r
Teorema II-18
Jika 푓(푥) kontinu pada [푎, 푏] dan 퐹(푥) sebarang anti turunan 푓(푥),
maka b
a
dxxf )( = F(b) – F(a). Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([
푓 푔(푥) 푔 (푥)푑푡 = 푓(푢)푑푢( )
( )
Teorema II-17
Jika 푔 mempunyai turunan kontinu pada [푎, 푏] dan f kontinu pada daerah nilai 푔 maka
푓(푡)푑푡 = 푓(푐)(푏 − 푎)
Teorema II-16
Jika f kontinu pada selang [푎, 푏] dan maka terdapat suatu bilangan 푐 antara 푎 dan 푏
sedemikian hingga
40
Penyelesian
Karena F(x) = 1
1
rx r
suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar
Kalkulus .11
)()(11
ra
rbaFbFdxx
rrb
a
r
Contoh II-15
1. Jelas
0 4cos2
4cos dxxdxx 24
41.
4cos8
0
dxx
2. Jelas dxx
x
5
52
5
4= 0.
Tentukan hasil integral
1. dxx 2
0
)2(
Penyelesaian:
dxx 2
0
)2( = 2
0
2
22
xx
=
200.2
222.2
22
= (4+2) – (0+0) = 6
2. 2
0
32 )1( dxxx
Penyelesaian:
Misalnya u = (x 13 ) du = 3x 2 dx dxxdu 2
3
Teorema II-19
Jika 푓(푥) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 푓(−푥) 푓(푥) , maka:
dxxfa
a
)( = 2 dxxfa
0
)( dan
Jika 푓(푥) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 푓(−푥) = − 푓(푥),
maka dxxfa
a
)( = 0.
41
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
2
0
32 )1( dxxx = 9
1 3duu =
9
1
2
6
u =
61
691 =
690
3. 4
1
)1( duuu
Penyelesaian:
Misal p = u p 2 = u 2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4
1
)1( duuu = 2
1
2 2.)1( pdppp
= 2
1
32 )22( dppp
= 2
1
43
42
32
pp
=
4343 )1(
42)1(
32)2(
42)2(
32
=
42
328
316
= 4
303
14 =
431
4.
8
42 15xxdx
Penyelesaian:
Misal A = 152 x A 2 x 152
2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
8
42 15xxdx =
7
1 AAdA
=
7
1
dA = [A] 71 = 7 – 1= 6
5. Jelas
10
6225 x
dx = 10
655ln
5.21
xx
42
= 5656ln
101
510510ln
101
= 11ln1013ln
101
6. Tentukan b
a
dxxf )(
dengan f(x) =
2,21,2
10,2
untukxxxuntuk
xuntukx
Penyelesaian:
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
b
a
dxxf )( b
c
c
a
dxxfdxxf )()( , c ),( ba
sehingga:
b
a
dxxf )( 2
1
5
2
1
0
22 dxxdxxdx
= 5
2
2
1
1
0
2
22
xxx
= (1-0) +(4-2) + 112/5
= 29
8.
3
3
x dx
Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
3
3
x dx = 3
0
x dx +
0
3
x dx.
= 0
3
23
0
2
22
xx
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
= 3
16
43
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1. 8
1
31 dxx
2. dxxx 2)1(
= dxxxx 21
= dxxxxx )2( 2 , dengan sifat integral diperoleh
= xdx - xx2 dx + dxx2
= 33
225
12
31)
52(2
21 CxCxCx
= 32132
52
31)
52(2
21 CCCxxx
= Cxxx 325
2
31)
52(2
21
44
II.7 Evaluasi
Kerjakan soal-soal berikut ini
1. dzz
z
22 )1(
2. dss
ss3
2)1(
3. dxxx 3)2(
4.
1
1
22 4 dxxx
= 2 221
0
4 xx dx
Misal 24 x = u
4-x 2 = u 2 atau x 2 = 4 - u 2
-2x dx = 2 u du atau dx = duxu
5.
2
2
24 dxx
6.
3
0 1 xdx
7. 4
2
216 dxx
x
8.
27
83/1xx
dx
9. 2
0 2sin dxx
10. 3/
0
2 3sin
xdxx
11.
2/
0 2cos3
xdx
12. 11
3
32 dxx
13. 9
4 11
xx dx
14. dxex x2
0
3 2
15. 4/
6/ 2sin
xdx
16.
2
12 22xx
dx
17.
2
12 )1(
)1( dxxx
x
18.
2
12)2(
)2(xx
dxx
19. 2
1
2 )1ln( dxxx
20.
4/
0 sin2
xdx
21.
1
22 34
)1( dxxx
x
22. 4
0
12 dxxx
23.
3
13
2
31 dx
xxx
24. a
a
dxxa8
33/13/1
25. 2/
0
2 3sin3cos
xdxx
45
26. xdxx 3cos3sin2/
0
2
27. Hitunglah b
a
dxxf )( , jika:
a. f(x) =
21,2)1(210,2
xuntukxxuntukx
b. f(x) =
21,110,1 2
xuntukxxuntukx
c. f(x) =
20,2202,1 2
xuntukxxuntukx
d. f(x) = 2x untuk - 44 x
e. f(x) = xx , untuk -1 2 x
f. f(x) = (x- x ) 2
g. f(x) = x x2 , untuk - 21 x
46
BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL
III.1 Luas Daerah Bidang Datar
Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk
menghitung luas daerah pada bidang Datar.
III.2 Volume Benda Putar
Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan
menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung dengan
menggunakan integral tertentu.
퐴 = − 푓(푥)푑푥
Teorema III-3
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [푎, 푏] dan
푓(푥) < 0 untuk setiap 푥휖[푎,푏],푥 = 푎,푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D,
maka
퐴 = [푓(푥)− 푔(푥)]푑푥
Definisi III-2
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh dua grafik fungsi f dan g dengan 푓(푥) ≥ 푔(푥)
untuk setiap 푥휖[푎,푏],푥 = 푎,푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka
퐴 = 푓(푥)푑푥
Definisi III-1
Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsif dengan 푓(푥) ≥ 0 untuk setiap
푥휖[푎, 푏],푥 = 푎, 푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka
47
1. Metode Cakram
Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [푎, 푏]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik
f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatu
benda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan
metode cakram sebagai berikut.
Buat partisi untuk selang [푎,푏]. Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].
Volum cakram ke-i adalah
푉 = 휋. [푓(푡 )] .∆ 푥.
Jadi
푉 = lim‖ ‖→
휋. [푓(푡 )] .∆ 푥 = 휋 [푓(푥)] 푑푥
2. Metode Cincin
Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan 푔(푥) ≥ ℎ(푥)
pada [푎, 푏],푥 = 푎, dan 푥 = 푏. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika
daerah D diputar terhadap sumbu X.
Buat partisi untuk selang [푎, 푏] pada sumbu X.
Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].
Tulis Vi : volum cincin ke-i.
Jelas
푉 = 휋. [푔(푡 )] .∆ 푥 − 휋. [ℎ(푡 )] .∆ 푥
= 휋. [[푔(푡 )] − [ℎ(푡 )] ].∆ 푥.
Jadi
푉 = lim‖ ‖→
휋. [[푔(푡 )] − [ℎ(푡 )] ].∆ 푥. = 휋 [[푔(푥)] − [ℎ(푥)] ]푑푥
3. Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)
Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 푓 dengan 푓(푥) ≥ 0
pada selang [푎,푏], garis 푥 = 푎, garis 푥 = 푏, dan sumbu X. Akan ditentukan volum
benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y. Bangun partisi untuk
selang [푎,푏].
Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ] dengan ti berada tepat di tengah subselang
[푥 ,푥 ]. Jadi 푡 = atau 2푡 = 푥 − 푥 .
Tulis Vi = volume silinder ke – i.
48
Jelas 푉 = 휋.푥 .푓(푡 ) − 휋.푥 . 푓(푡 )
= 휋. 푓(푡 )(푥 −푥 )
= 휋. 푓(푡 )(푥 + 푥 )(푥 − 푥 )
= 2휋. 푡 . 푓(푡 )∆ 푥.
Jadi
푉 = lim‖ ‖→
2휋. 푡 .푓(푡 )∆ 푥 = 2휋 푥푓(푥)푑푥.
49
BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN,
DAN FUNGSI HIPERBOLIK
IV.1 FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma merupakan fungsi yang sering dijumpai dalam te-rapan.
Sebagai contoh model pertum-buhan populasi dan model peluruhan radio aktif yang
sederhana. Pada bab ini diawali dengan membangun fungsi logaritma asli.
Dipunyai
C1n
xdxx1n
n untuk n –1. Masalahnya sekarang bagaimana
mencari xdx . Bangun fungsi f: (0,+)R dengan
t1)t(f . Jelas bahwa f kontinu.
Grafik f disaji-kan berikut ini.
Y
f
1
T
1 x=1+h Gambar IV-1 Grafik fungsi f dengan ttf 1)( .
Langkah selanjutnya bangun pengaitan R),0(:F dengan x
1 tdt)x(F . Akan
ditunjukkan F merupakan suatu fungsi.
(1) Ambil sembarang ),0(x .
Kasus x = 1:
Jelas R0t
dt)1(F1
1 .
Pilih 0 R.
Jelas 0 = F(1).
Kasus x > 1:
Tulis x = 1 + h, h > 0.
Jelas )h1(F)x(F = h1
1 tdt = 0x R+.
Pilih Rx0 .
Jelas )x(Fx0 .
50
Kasus 0 < x < 1:
Tulis x = 1 – , 0 < < 1.
Jelas F(x) = F(1 – ) = 1
1 tdt =
1
1 tdt = 1x R– .
Pilih 1x R.
Jelas 1x = F(x).
Jadi Ry),0(x y= F(x).
(2) Ambil sembarang ),,0(x,x 21 21 xx .
Jelas F(x1)= 1x
tdt
1=
2x
tdt
1=F(x2).
Jadi ),,0(x,x 21 21 xx , F(x1) = F(x2).
Jadi F suatu fungsi.
Sekarang dikaji lebih mendalam mengenai sifat-sifat fungsi F tersebut.
Berdasarkan sifat-sifat yang teridentifikasi, akan dapat dibuat sket grafik F.
Fungsi R),0(:F yang di-definisikan sebagai x
1 tdt)x(F memi-liki
sifat-sifat: (a) F(1) = 0.
(b) F(x) > 0 apabila x > 1.
(c) F(x) < 0 apabila 0 < x < 1.
(d) F(x) ada pada (0,+).
Bukti:
Tulis )t(ft1 .
Jelas f kontinu pada (0,+).
Jadi F(x) ada dan x1)x(F .
(e) F kontinu pada (0,+).
(f) Grafik F naik.
Bukti:
Ambil sembarang 2121 xx),,0(x,x .
Jelas )x(F 1 1
1
x
tdt =
2
1
x
tdt = F(x2).
51
Jadi 2121 xx),,0(x,x , F(x1) = F(x2).
Jadi grafik F naik.
(g)
)x(Flimx
dan
)x(Flim0x
.
(h) Grafik F cekung ke bawah.
Bukti:
Ambil sembarang ),0(x .
Jelas x > 0.
Jelas F(x) = dx
xFd )]([ =
dxd x )( 1
= 2x1
0.
Jadi grafik F cekung ke bawah. Berdasarkan sifat-sifat fungsi F ini, dapat
dibuat sket grafik F sebagai berikut .
Y f
X
0 1
Gambar IV-2 Grafik F dengan x
1 tdt)x(F .
Selanjutnya fungsi yang diba-ngun ini diberi lambang dengan
F(x) = ln x
dan disebut dengan fungsi logaritma asli.
Berdasarkan definisi itu, diperoleh suatu teorema:
Teorema IV-1
..
Contoh IV-1
Tentukan f(x) apabila:
(a) f(x) = ln 2x,
(b) f(x) = ln (3x2 + 5), dan
(c) f(x) = ln7(2x – 3).
0dengan1)(ln x
xdxxd
52
Strategi:
(1) Ingat rumus xdx
xd 1)(ln .
(2) Jika x diganti 2x, diperoleh:
xxd
xd21
)2()]2[ln( .
(3) Gunakan aturan rantai
Penyelesaian (a):
Jelas dx
xfdxf )]([)(
= dx
xdxdxd )2(.)2()2(ln
= 2.21x
= x1 .
Strategi:
(1) Ingat rumus xdx
xd 1)(ln .
(2) Jika x diganti (3x2 + 5), diperoleh:
5x3
1)5x3(d)]5x3[ln(d
22
2
.
(3) Gunakan aturan rantai
Penyelesaian (b):
Jelas dx
)]x(f[d)x(f
= dx
)5x3(d.)5x3(d)]5x3[ln(d 2
2
2
= 5x3
x62
.
Strategi:
(1) Ingat rumus 67
7)( xdxxd
.
(2) Jika x diganti ln7(2x–1), diperoleh:
)12(ln7)]12[ln()]12([ln 6
7
x
xdxd
.
(3) Gunakan aturan rantai.
Penyelesaian (c):
Jelas dx
xfdxf )]([)(
= dx
xd )]12([ln 7
= dxxd
xdxd
xdxd )12(.
)12()]12([ln
.)]12([ln)]12([ln 7
= 2.12
1)].12(ln.7[ 6
xx
= 12
)12(ln.14 6
xx .
53
Berikut ini disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan fungsi logaritma
asli.
Bukti (a):
Ambil sembarang 푥 (0, +).
Bangun 푓: (0, +)푅 dan 푔: (0, +)푅 dengan 푓(푥) = ln푎푥 dan 푔(푥) = ln 푥.
Jelas xdx
axdaxdaxdxf 1)(.
)()(ln)( dan
xdxxdxg 1)(ln)( .
Jadi 푓(푥) = 푔(푥) + 퐶 ln푎푥 = ln푥 + 퐶.
Pilih 푥 = 1.
Jelas 퐶 = ln푎.
Jadi ln푎푥 = ln 푥 + ln푎.
Pilih 푥 = 푏.
Jadi ln(푎푏) = ln푎 + ln푏.
Bukti (b):
Ambil sembarang 푥 (0, +).
Bangun 푓: (0, +)푅 dan 푔: (0, +)푅 dengan 푓(푥) = 푙푛 dan 푔(푥) = 푙푛 푥.
Jelas xdx
dd
dxf b
x
bx
bx 1)(
.)()(ln
)( dan xdx
xdxg 1)(ln)( .
Jadi 푓(푥) = 푔(푥) + 퐶 푙푛 = 푙푛 푥 + 퐶.
Pilih 푥 = 푏.
Jelas C = – ln b.
Jadi ln = ln 푥 − ln푏
Pilih x = a.
Jelas ln ba = ln a – ln b.
Teorema IV-2
Jika 푎, 푏, 푟푅, 푎 > 0,푏 > 0, dan 푟 rasional maka:
(a) ln(푎푏) = ln푎 + ln푏.
(b) blnalnbaln
(c) aln.raln r
54
Bukti (c):
Buktinya sederhana, diserahkan kepa-da pembaca sebagai latihan.
IV.2 Bilangan e
Karena fungsi f: (0,+)R de-ngan f(x) = ln x kontinu, naik, dan mempuinyai
range Rf = R, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan menjamin adanya x secara
tunggal sehingga ln x = 1. Bilangan ini diberi lambang dengan e. Dengan demikian
dapat didefinisikan:
Definisi IV-3
Telah ditunjukkan bahwa bi-langan e merupakan bilangan irrasional dan hampiran e
teliti sampai 12 desi-mal adalah
e 2,718281818459.
Dari Teorema I-2, diperoleh:
ln en = n. ln e = n . 1 = n.
Dari persamaan ini dapat ditentukan titik-titik yang terletak pada grafik f(x) = ln x.
Hasilnya dicatat dalam daftar berikut ini.
Daftar 1: nilai ln en
n x = en f(x) = ln en
–2 0,13534 –2
–1 0,36788 –1
0 1 0
1 2,71828 1
2 7,38906 2
ln e = 1.
55
Jika titik-titik ini digambar, akan diperoleh gambar berikut ini:
Y
(e2,2) (e,1) (1,0) X (e– 1,–1) (e–2 ,–2 ) (e–3,–3 )
Gambar 3: Grafik f (x) = ln x
IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan
Berdasarkan definisi fungsi lo-garitma asli dapat diturunkan teorema berikut
ini.
Teorema IV-4
Bukti:
Tulis )x(fx1 dan xln)x(F .
Ambil sembarang x R, x 0.
Kasus x < 0:
Jelas )(lnln xx .
Jadi dx
xfdxF )]([)(
= dx
xdxdxd )(.)()][ln(
= x1 = 푓(푥).
Kasus x > 0:
Jelas xx lnln .
Jadi dx
xfdxF )]([)(
= dx
xd )(ln
= x1 = 푓(푥).
Jadi 퐹(푥) suatu anti turunan 푓(푥).
Jadi anti diferensial 푓(푥) adalah 퐹(푥) + 퐶.
Jadi Cxx
dx ln .
Jika x R, x 0 maka
Cxx
dx ln .
56
Contoh IV-2
Tentukanlah integral-integral berikut ini:
(a) 3x2
dx (b) dx
xsinxxcos1 (c)
dxx2x
1x2 (d)
dx
1xx3x 2
.
Penyelesaian (a):
Jelas 3x2
dx = 3x2
)3x2(d21
= C2
3x2ln
.
Strategi:
(1) Ingat Cxlnx
dx
(2) Jika x diganti (2x+3), diperoleh:
C3x2ln3x2
)3x2(d
.
(3) Jelas d(2x+3) = 2 dx.
(4) Adakan koreksi akibat pengganti-
an.
Penyelesaian (b):
Jelas dx
xsinxxcos1 =
xsinx)xsinx(d
= Cxsinxln .
Strategi:
(1) Ingat Cxlnx
dx
(2) Jika x diganti (x + sin x), diper-
oleh:
Cxsinxlnxsinx
)xsinx(d
.
(3) Jelas d(x + sin x) = (1 + cos x) dx.
(4) Adakan koreksi akibat pengganti-
an.
Penyelesaian (c)
Jelas
dxx2x
1x2 =
x2x)x2x(d
21
2
2
= C2
x2xln 2
.
Strategi:
(1) Ingat Cxlnx
dx
(2) Jika x diganti (x2 + 2x), diper-
oleh:
Cx2xlnx2x
)x2x(d 22
2
.
(3) Jelas d(x2 + 2x) = 2(x + 1) dx.
(4) Adakan koreksi akibat penggan-
tian.
57
Penyelesaian (d):
Jelas dx
1xx3x 2
=
dx].1x
2)2x[(
=
1x
dx2dx)1x(
= C1xln2x2
x2 .
Strategi:
(1) Sederhanakan 1x
x3x 2
menjadi
1x
2)2x(
.
(2) Ingat Cxlnx
dx
(3) Jika x diganti (x + 1), diper-
oleh:
C1xln1x
)1x(d
.
(4) Jelas d(x + 1) = dx.
(5) Adakan koreksi akibat penggan-
tian.
Perhatian 1:
Contoh IV-3
Dipunyai f: (e– 2 ,1)R , f (x) = ln x.
(a) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = e– 2, dan x = 1.
(b) Tentukan panjang busur grafik f.
Penyelesaian:
Grafik f:
Y X . Gambar IV-3 Grafik 푓 (푥) = ln 푥.
Bentuk Cx 32ln21 dapat ditulis dalam bentuk lain, sbagai contoh:
Tulis C = 1ln21 C .
Jadi Cx 32ln21 = 1ln
2132ln
21 Cx
1
58
Penyelesaian (a):
Tulis A: luas daerah yang diminta
Jelas A =
1
2
)(e
dxxf =
1
2
lne
dxx =
1
2
lne
dxx =
1
1
2
2 )(ln.ln.e
exdxxx
=
1
1
2
2ln.e
edxxx = 1
e2 2x)2(e1
= 22
112ee
= 112 e
.
Penyelesaian (b):
Dipunyai 푓(푥) = ln 푥.
Jelas f(x) = dx
xfd )]([ = xdx
xd 1)(ln .
Tulis l: panjang busur grafik f.
Jelas l = dxxfe
1
2
2
)]([1
= dxxe
1
22
11
= dxx
x
e
1 2
2
1 .
Tulis 푥 + 1 = 푦 .
Jelas 2x.dx = 2y.dy dan 12 yx .
Batas y:
x y
e– 2 14 e
1 2
Jadi l =
2
14 12
2
ey
dyy
= dxy
e
2
14 111 2
=
2
14
2
14
2
14 1
)1(
2
1
1
)1(
2
1
eee y
yd
y
yddx
= x + 2
1411ln
21
eyy =
59
1e2 4 C
ee
1111ln
1212ln
21
4
4
Contoh IV-4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafk 푓(푥) = 푥 − , sumbu X, 푥 = 1, dan
푥 = 푒.
Penyelesian:
Grafik f:
Y 1 f 1 e X
Gambar IV-4 Grafik 푓: [1,푒]푅 dengan 푓(푥) = 푥 − .
Tulis A: daeah yang diarsir.
Jelas 1 x < e 111
xe.
Jadi e
ex
x 110 .
Jelas A = e
dxxf1
)( = e
dxx
x1
1 = e
dxx
x1
)1( = e
xx
1
2
ln2
( =
211
2
2e
= 2
32 e 2,19.
Jadi hampiran luas daerah yang diarsie adalah 2,19 satuan luas.
IV.4 Fungsi Eksponen Asli
Dipunyai fungsi f: (0,+)R dengan f(x) = ln x. Jelas f kontinu dan grafik f
naik. Ini menunjukkan bahwa fungsi f memiliki invers. Fungsi ekspo-nen asli
dibangun dengan diawali dengan definisi berikut ini.
Definisi IV-5
Jika x (0,+) didefinisikan y = ln x x = ey.
60
Berdasarkan definisi ini, fungsi invers untuk f ditulis f –1 dengan
f –1(x) = ex, – < x < + .
Jelas
(f f –1)(x) = f [f –1(x)] = ln (ex) = x
dan
(f –1 f )(x) = f –1 [f (x)] = e ln x = x.
Karena f –1 merupakan invers f, maka untuk menggambar grafik f –1 diperoleh
dengan mencerminkan grafik f terhadap garis y = x. Daftar nilai f dan f –1 terlhat pada
daftar berikut ini.
Daftar nilai f:
x ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...
ln x ... –2 –1 0 1 2 ...
Daftar nilai f –1:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
ex ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...
Grafik f dan f –1 seperti tampak pada gambar berikut ini.
Y y= x X
Gambar IV-5 Grafik f (x) = ln x dan inversnya.
Berikut ini disajikan beberapa teorema fungsi eksponen asli.
Teorema IV-6
Jika x1, x2 R dan r rasional maka (1) 2121. xxxx eee
(2) 21
2
1xx
x
x
eee
(3) 11 )( rxrx ee
61
Bukti:
(1) Tulis 11
xey dan 22
xey .
Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .
Jadi x1 + x2 = ln y1 + ln y2 x1 + x2 = ln (y1.y2) y1.y2 = 21e xx
2121. xxxx eee .
(2) Tulis 11
xey dan 22
xey .
Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .
Jadi 2121 lnln xxxx 2
121 ln
xxxx 21e
xx xx
2
1 .
(3) Bukti untuk (3) diserahkan pembaca sebagai latihan.
Teorema IV-7
Bukti:
Ambil sembarang x R.
Dipunyai ln ex = x.
Jelas dx
xddx
ed x )()][ln( 1)(.
)()][ln(
dxed
eded x
x
x
1)(.1
dxed
e
x
x xx
edxed
)( .
Interpretasi Geometri Teorema 4.7
Y (1,e) 0 (e,1) X Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex.
Jika x R maka xx
edxed
)( .
62
Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex. merupakan grafik fungsi 푓: 푅 푅 dengan f (x) = ex. Teorema IV-7 menyatakan bahwa
f ’(x) = f (x).
Ini berarti bahwa kecenderungan garis singgung di sembarang titik (x, y) pada grafik f
sama dengan koordinat y titik tersebut.
Sebagai contoh:
(a) kemiringan garis singgung di titik (– 1, 1/e) adalah 1/e.
(b) kemiringan garis singgung di (0,1) adalah 1, dan
(c) kemiringan garis singgung di titik (1, e) adalah e.
Contoh IV-5
Tentukan dxdy apabila:
(a) y = e6x (b) y = ex.sin x. Penyelesaian:
(a) Jelas dxed
dxdy x )( 6
= dx
xdxd
ed x )6(.
)6()( 6
= 6.6xe = 6 . e6x.
Stratetgi:
(1) Ingat rumus xx
edxed
)( .
(2) Jika x diganti 6x, diperoleh xx
exd
ed 66
)6()( .
(3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.
Penyelesain (b) :
Jelas dx
eddxdy xx )( sin.
= dx
xxdxxd
ed xx )sin.(.
)sin.()( sin.
= ))(sin)(sin..(sin.
dxxdx
dxxdxe xx
= xxexxx sin.).sincos.(
= )sincos..(sin. xxxe xx .
Strategi:
(1) Ingat rumus xx
edxed
)( .
(2) Jika x diganti x.sin x, diperoleh:
xsin.xxsin.x
e)xsin.x(d)e(d .
(3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.
63
Contoh IV-6
Tentukan semua ekstrim relatif untuk fungsi f: R R dengan f (x) = x2.e– x .
Strategi:
(1) Tentukan dx
xfd )]([ .
(2) Tentukan bilangan kritis untuk f.
Tulis dengan x1 dan x2.
(3) Tentukan )(xf
(4) Tentukan tanda )( 1xf dan )( 2xf
(5) Gunakan uji turunan kedua
Y 3 f 2 1 X -2 -1 1 2 3 4
Gambar IV-7 Grafik f : R R, f (x) = x2.e– x .
Penyelesaian:
Jelas dx
xfdxf )]([)( = dx
exd x ).( 2
= dxxde
dxedx x
x )(.)(.2
2
= xedx
xdxd
edx xx
2.)(
.)()(
.2
= )2( x
exx .
Jelas 0)( xf )2( xexx = 0 x = 0 x = 2.
Jadi titik kritis f adalah x1 = 0 dan x2 = 2.
Selanjutnya dx
exexdxfxx ).2.()(
2
= dx
exddx
exd xx ).(.2).( 2
=
dxxde
dxedx x
x )(.)(.2
2
+
dxxde
dxedx x
x )(.)(. =
xedx
xdxd
edx xx
2.)(.)()(.2
64
+
xx
edx
xdxd
edx )(.)()(. = xxxx eexexex ..2.2
= xexx ).13( 2 .
Jadi 01)0()( 1 fxf dan 01)2()( 22 e
fxf .
Jadi f (0) = 0 merupakan minimum re-latif f dan f (2) = 2
4e
merupakan mak-simum
relatif f.
Teorema IV-8
Teorema IV-8 merupakan akibat langsung Teorema IV-7, yaitu:
(1) ex merupakan suatu anti turunan ex.
(2) anti diferensial ex adalah ex + C.
(3) dengan demikian
Cedxe xx . .
Contoh IV-7
Tentukan integral-integral berikut ini
(a) dxe x3 dan
(b) dxex x .. 12 3
Penyelesaian (a):
Jelas dxe x3 = )3(31 3 xde x
= Ce x
3
3
.
Strategi:
(1) ingat rumus Cedxe xx .
(2) jika x diganti (-3x), diperoleh:
Cexde xx 33 )3(.
(3) jelas d(–3x) = –3.dx
(4) adakan koreksi dengan ada nya
penggantian itu.
Untuk setiap x R, Cedxe xx .
65
Penyelesaian (b):
Jelas dxex x .. 12 3
= )1(.31 313
xde x
= Cx
3
13
.
Strategi:
(1) ingat rumus Cedxe xx .
(2) jika x diganti (x3 – 1), diperoleh:
Cexde xx 131 33
)1(. .
(3) jelas d(x3 – 1) = 2x2.dx
(4) adakan koreksi dengn adanya
penggantian itu.
IV.5 Hampiran Nilai bilangan e
Mencari hampiran untuk bi-langan e menggunakan definisi
e
dtt
e1
1.1ln
agak sulit. Untuk keperluan ini diberi-kan definisi lain untuk bilangan e se-bagai
berikut:
Definisi IV-9
Hasil untuk hampiran nilai e, dicatat pada daftar berikut.
Daftar 2: Nilai e untuk beberapa nilai n.
n
n
n
11
n
n
n
11
1 2,000000 500 2,715569
5 2,488320 1.000 2,716924
20 2,653298 2.500 2,717738
50 2,691588 5.000 2,718010
100 2,704814 10.000 2,718146
250 2,712865 100.000 2,718268
… … … …
Jika nilai n diperbesar, akan diperoleh nilai hampiran untuk bilang-an e, yaitu:
e 2,7182818 …
memanfatkan Definisi IV-9.
x
x x11lime
Teorema IV-10
Bukti:
Jelasx
x xr1lim
=
x
x xr1lim
=
r.rx
xrx11lim
=
r
rx
rx
rx11lim
= re .
Contoh IV-8
Hitunglah nilai limit berikut ini:
(a) x
x x
11lim , (b) x
x x
31lim , (c) x
x x
261lim
, (d)
x
x x
2
11lim .
Penyelesaian:
(a) Jelas x
x x
11lim = )1.(
)(11lim
x
x x=
111lim
x
x x= e–1 =
e1 .
(b) Jelas x
x x
31lim =
3.3
3
11lim
x
x x
=
3.3
33
11lim
x
x x
=
3
3
33
11lim
x
x x = e3.
(c) Jelas x
x x
261lim
=
12.6
6
11lim
x
x x
=
12
6
66
11lim
x
x x = e12.
(d) Jelas x
x x
2
11lim = xx
x xx
1111lim = x
x
x
x xx
11lim.11lim
= 1
11lim.11lim
x
x
x
x xx = e .
e1 = 1.
x
x
r
xre
1lim
IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain
Dengan menggunakan definisi fungsi eksponen asli, domain f (x) = ax, x > 0
dapat diperluas untuk semua bilangan real, baik rasional atau tak rasional. Untuk
membangun perluasan ini diperlukan teorema-teorema berikut ini.
Teorema IV-11
Teorema IV-12
Bukti:
Ambil sembarang a, x R, a > 0, dan r bilangan rasional.
Dipunyai ax = ex. ln a.
Jika x diganti r, diperoleh: ar = er. ln a.
Jadi aln.rr elnaln aln.raln r .
Teorema IV-13
Bukti:
Tulis [ex]r = y.
Jelas ln y = ln [ex]r = r. ln ex = r.x.
Jadi y = er.x [ex]r = ex.r.
Teorema IV-14
Hanya dibuktikan untuk (c), bukti yang lain diserahkan pembaca sebagai latihan.
Bukti (c):
Jelas (ax)y = (ex.ln a)y = exy.ln a = xyaeln = axy.
Jika a, x, y R dan a > 0 maka (a) yxyx aaa .
(b) yxy
x
aaa
(c) (ax)y = ax.y.
Jika x,r R maka [ex]r = ex.r.a
Jika a R, a > 0, dan r bi-langan rasional, maka aln.raln r .
ax = ex. ln a, x R.
BAB V. TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan
antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam
menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik
pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan
teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-
teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi
Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral
Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi
Trigonomteri.
Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.
V.1 Teknik Substitusi
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi
pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk
rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. nx dx = 1
1
nx n
+ C, asalkan n -1 atau
b. dxxfxf n )(')( = 1
)( 1
nxf n
+ C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya
menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari
bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian
setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan
mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat
dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. x1 dx
Misal u = x1
xu 12
)1()( 2 xdud
dxudu 2
Substitusi bentuk terakhir ke x1 dx, diperoleh
duuu )2( = -2 duu2
Dengan rumus dasar di dapat
x1 dx = -2 duu2
= -2 Cu
3
3
= - Cx 3)1(32
2. dxx 11)123(
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx = 3
dA
Sehingga dxx 11)123( = 311 dAA
= dAA11
31
= CA)
12(
31 12
= CA 12
361
= Cx
36
)123( 12
3. xCos 22 dx
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dx = 2
dA
xCos 22 dx = 2
cos2 dAA
= ACos2 dA21
= AdA2cos21
= dAA
22cos1
21
= AdAdA 2cos41
41
= CAA 82sin
4
= Cxx
84sin
42
= Cxx
84sin
2
4. xx 44 2 (4x+2) dx
Jawab
Misal A = xx 44 2
A 2 = 4x 2 4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga
xx 44 2 (4x+2) dx = A .A dA
= dAA2
= CA 3
31
= 3 2 4431 xx + C
5. 43ttdt
Jawab
Misal P = 43 t
P 2 = 3t + 4 t = 3
42 P
d(P 2 ) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt dt = Pdp32 , sehingga
43ttdt =
p
dppP )32)(
34(
2
= dpP )82(91 2
6. 2
2
16 xdxx
Jawab
Misal U = 216 x
U 2 = 16 - x 2 x 2 = 16 - U 2
d(U 2 ) = d(16 - x 2 )
2U du = (-2x)dx
dx = dux
U
2
2
16 xdxx =
uxuu )16( 2
du
= dux
u
216
= - duux
)16(1 2
= 2
3
1 316 C
xuC
xu
= Cx
xxx
x
316)16(1616
22
2
= Cxx
xx
3
)16()16(16 2/322/12
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1. dttt 2/3)2(
Jawab
Misal M = (t+2) 23
M 2 = (t+2) 3
2M dM = 3(t+2) 2 dt
dttt 2/3)2( = 2)2(32..
tMdMtM
= dMM
tt 2
2)2(32
= 32 3
1)2(3
2 Mt
t
+ C
= 29
2 )2()2(9
2
t
tt + C
= Ctt 2
5
)2(92
2. dxx
x
sin
3. 123tdt
4. dx
xx
2sin2cos1
2
5.
dttt
ttt13
13sin)16(2
2
6. 92xxdx
7. dxxx 2/3)23(
8. dx
xx
162
9. dxx3
sin
10. xxdx
2cos16sin
11. dxx )42cos(
12. dxxx )1sin( 2
13. dxxx )1cos( 32
14. dxxx 7/122 )3(
15. dx
xxx1
322
16.
dx
eeee
xx
xx
22
22
17. dte
et
t
6
3
4
18. dx
xx
44
2
19. 44xxdx
20. dxxx cos21sin
V.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih
rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi
acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi
trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
1. xsin dx = -cos x + C
2. xcos dx = sin x + C
3. tan x dx = ln Cx sec
= -ln Cx cos
4. cot x dx = - ln Cx csc
= ln Cx sin
5. xsec dx = ln Cxx tansec
6. csc x dx = ln Cxx cotcsc
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk
integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. ,sin xdxm dan xdxmcos dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau
m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas 1cossin 22 xx atau sin x2 = 1 - cos x2 atau cos x2 = 1 - sin x2 .
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran
dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
1. xdx3sin
Jawab
xdx3sin = dxx 1)13(sin
= xxsinsin 2 dx
= )cos()cos1( 2 xdx
= )(coscos)cos(1 2 xdxd
= -cos x + Cx 3cos31
2. dxx 5cos
Jawab
dxx 5cos = x1)15(cos dx
= xdxxcoscos4
= )(sin)sin1( 22 xdx
= )(sin)sinsin21( 42 xdxx
= )(sinsin)(sinsin2)(sin1 42 xxdxxdxd
= sin x - Cxx 53 sin51sin
32
3. dxx)2(sin 5
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2
du
Sehingga 2sin)2(sin 55 duudxx
= udu5sin21
= uduu sinsin21 4
= )cos()cos1(21 22 udu
= )cos()coscos21(21 42 uduu
= Cuuu 53 sin101sin
31cos
21
= Cxxx 2sin1012sin
312cos
21 53
Bentuk xdxmcos , dxmsin , jika m bilangan bulat positip genap,
selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan
setengah sudut
sin x2 = 2
2cos1 x dan cos 2
2cos12 xx
Contoh:
1. xdx2sin
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
xdx2sin = dxx
22cos1
= xdxdx 2cos21
21
= Cxx 42cos
2
2. xdx4cos
Jawab
xdx4cos = 22 )(cos x dx
=
dxx 2
22cos1
= dxxx )2cos
41
22cos
41(
2
= xdxdxxdx 2cos41
22cos
41 2
= + dxx
2)4cos1(
41
= Cxxxx
324sin
842sin
4
= Cxxx
324sin
42sin
83
3. xdx2sin 4
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2
du , sehingga
xdx2sin 4 = 2sin
4 duu
=
duu 2
22cos1
21
= duuu )2cos2cos21(41
21 2
= uduududu 2cos812cos
41
81 2
=
duuududu2
4cos1812cos
41
81
42sin
4xx
= ududuududu 4cos161
1612cos
41
81
= Cuuuu 4sin641
1612sin
81
81
Karena u = 2x, maka
xdx2sin 4 = Cxxxx )2(4sin641)2(
161)2(2sin
81)2(
81
B. xdxx nm cossin
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang
bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan
identintas 1cossin 22 xx dengan terlebih dahulu mengubah salah satu
bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n
ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan
setengah sudut sin x2 = 2
2cos1 x dan cos 2
2cos12 xx sehingga diperoleh
hasil pengintegralannya.
Contoh
1. xdxx 23 cossin
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
xdxx 23 cossin = dxx 21)13( cossin
dxxx 22 cossinsin = xdxxx sincos)cos1( 22
= )cos()cos(cos 42 xdxx
= )cos(cos)cos(cos 42 xxdxxd
= Cxx 53 cos51cos
31
= cos Cxx )31cos
51( 23
2. xdxx 32 cossin
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
xdxx 32 cossin = xdxxx coscossin 22
= )(sin)sin1(sin 22 xdxx
= )(sinsin)(sinsin 42 xxdxxd
= Cxx 53 sin51sin
31
3. xdxx 33 cossin
Jawab xdxx 33 cossin
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah
menjadi genap
xdxx 33 cossin = xdxxx coscossin 23
= )(sin)sin1(sin 23 xdxx
= )(sinsin)(sinsin 53 xxdxxd
= Cxx 64 sin61sin
41
Atau
xdxx 33 cossin = dxxxx 32 cossinsin
= )cos(cos)cos1( 32 xxdx
= )cos()cos(cos 53 xdxx
= Cxx 64 cos61cos
41
4. xdxx 22 sincos
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
xdxx 22 sincos =
dxxx
22cos1
22cos1
= dxx)2cos1(41 2
=
dxx
24cos11
41
=
dxx
24cos
21
41
= Cxx
84cos
241
= Cxx
644cos
8
4. xdxx 44 cossin
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
gunakan kesamaan setengah sudut sin x2 = 2
2cos1 x dan cos 2
2cos12 xx ,
sehingga:
xdxx 44 cossin = dxxx 2222 )(cos)(sin
=
dxxx 22
22cos1
22cos1
= dxxxxx )2cos2cos21)(2cos2cos21(161 22
= dxxx )2cos2cos21(161 42
= xdxdxxdx 2cos1612cos
81
161 42
=
dxxxdx2
24cos1
161
24cos1
81
161
=
dxxxxdx 22 )4cos4cos21(641
24cos1
81
161
=
dxxxdxdxxdx2
8cos16414cos
321
641
24cos1
81
161
=
dxxdxxdxdxxdx 8cos128
1128
14cos321
641
24cos1
81
161
= dxxdxxdxdxxdxdxdx 8cos128
1128
14cos321
6414cos
161
161
161
= xdxxdxdx 8cos128
14cos321
1283
= Cxxx 8sin
102414sin
1281
1283
C. ,tan xdxn dan dxxncot
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 +
xx 22 sectan dan 1+cot xx 22 csc . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan
gunakan kesamaan 1 + xx 22 sectan dan 1+cot xx 22 csc .
Perhatikan contoh berikut:
1. xdx3tan
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah
satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 + xx 22 sectan
Sehingga diperoleh
xdx3tan = x2tan tanx dx
= )1(sec2 x tan x dx
= x2sec tan x dx - tan x dx
= tan x sec x2 dx – ln xsec + C
= xtan d(tan x) – ln xsec + C
= Cxx seclntan21 2
2. xdx4cot
Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot xx 22 csc ,
sehingga didapat
xdx4cot = dxx 22 )(cot
= dxx 22 )1(csc
= dxxx )1csc2(csc 24
= dxxxx )1csc2csc)(csc 222
= `1csc2csc)cot1( 222 dxxxx
= dxxdxdx )cot(2)cot()cot1( 2
= Cxxxx cot2cot31)cot( 3
= Cxxx cotcot31 3
D. xdxx nm sectan , dan xdxx nm csccot
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m
ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan
xx 22 sec atau
1 + cot x2 = csc x2 .
Contoh
1. dxxx 45 sectan
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
kesamaan identitas 1+tan xx 22 sec , sehingga diperoleh
dxxx 45 sectan = dxxxx 225 secsectan
= dxxxx 225 sec)tan1(tan
= )tan(tan 75 xx d(tgnx)
= Cxx 86 tan81tan
61
2. dxxx 44 csccot
Jawab
dxxx 44 csccot = dxxxx ))(csc(csccot 224
= )cot()1(cotcot 24 xdx
= )cot()cot(cot 46 xdxx
= Cxx 57 cot51cot
71
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan
menggunakan substitusi kesamaan identitas
1 + tan xx 22 sec atau 1 + cot x2 = csc x2 .
Contoh:
1. xdxx 33 sectan = xdxxxx secsectantan 22
= )(secsectan 22 xdx
= )(secsec)1(sec 22 xdxx
= )(sec)sec(sec24 xdxx
= Cxx 35 sec31sec
51
2. xdxx 2/13 sectan = x2tan tan x sec x2/3 sec x dx
= x2(sec -1)sec x2/3 d(sec x)
= x2/1(sec sec )2/3 x d(secx)
= xx 2/12/3 sec2sec32 + C
E. nxdxmxcossin , ,sinsin nxdxmx nxdxmxcoscos
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan
rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx = ])sin()[sin(21 xnmxnm
sin mx sin nx = ])cos()[cos(21 xnmxnm
cos mx cos nx = ])cos()[cos(21 xnmxnm
Contoh y
1. sin 3x cos 4x dx = ])43sin()43[sin(21 xx dx
= x7sin21 + sin (-x) dx
= x7cos141 - cos
21 x + C
2. xx 2sin3sin dx = ])23cos()23[cos(21 xx dx
= 21 (cos 5x – cos x) dx
= sin101 5x + sin
21 x + C
3. cos y cos 4y dy = y)41[cos(21 +cos(1-4)y] dy
= )]3cos(5[cos21 yx dy
= Cyy 3sin615sin
101
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1. dxx)4(sin 3
2. dxx )3
(cos4
3. dxxx )2(cos)2(sin 42
4. dxxx
5cos
5sin 33
5. xdxx 321
cos3sin
6. dttt 2cos)2(sin 3
7. xdx6tan
8. dxx)3(cot4
9. dxxx 4csccot
10. xdxx 2sec2tan 2
11. dxxx 2)cot(tan
12. xdxx sin3sin
13. ydy4csc4
14. qdqq 24 sectan
15. xdxx 3sin2cos
16.
dxx
3cot 4
17. zdzz 321
cossin
18. xdxx 2/35 sectan
19. xdxx 3coscos
20. dxxx
25sin
2sin
V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan
integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. 22 xa , a > 0, a Real
b. 22 ax = 22 xa , a > 0, a Real
c. 22 ax , a > 0, a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
222 xba = 22
xba
xba 22 = 22
xba
222 bxa = 2
2
abx atau cbxax 2 yang dapat diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna.
Integrannya memuat 22 xa atau sejenisnya, Gunakan substitusi
x = a sin t atau sin t = ax
x = a sin t dx = a cos t dt
dengan -2
2
t sehingga,
22 xa = 22 )sin( taa
= )sin1( 22 ta
= a cos t
Catatan
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui
berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t,
cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari
pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. 24 x dx
Jawab
t
xa
22 xa
Substitusi x = 2 sin t
sin t = 2x
dx = 2 cos t dt
24 x = tt cos2sin44 2
Sehingga
24 x dx = tdtt cos2.cos2
= tdtt coscos4
= 4 tdt2cos = 4 dtt
2)2cos1(
= 2 dt + 2 t2cos dt
= 2t + sin 2t + C
= 2t + 2 sin t cos t
= 2 arc sin2
422
2xxx
+ C
Atau 4 tdt2cos = 4 (2cossin tt + Ct
21 )
= 2 sint cost + 2t + C
= 2
2x
24 2x + 2 arc sin
2x + C
= Cxxx
2
arcsin22
4 2
2. 24 xx
dx
Jawab
tx
2
24 x
24 xx
dx = 2)2(4 x
dx
Substitusi (x-2) = 2 sin t,
dx = 2 cos t dt
tx cos2)2(4 2 , sehingga
2)2(4 x
dx = ttdt
cos2cos2
= dt
= t + C
= arc sin
22x + C
3. 2616 xx
dx
Jawab
2616 xx
dx = 2)3(25 x
dx
Substitusi (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
2)3(25 x = 5 cos t, sehingga
2616 xx
dx = ttdt
cos5cos5
= dt
= t + C
= arc sin 5
3x + C
2x
24 xx
2
t
5
2616 xx
3xt
4. 22 3 xx dx
Jawab
Substitusi x = `sin3 A
dx = AdAcos3
22 )sin3(33 Ax
= Acos3 , sehingga
22 3 xx dx = AdAAA cos3.cos3sin3 2
= 9 AdAA 22 cossin
= 9
dAAA
22cos1
22cos1
= dAA)2cos1(49 2
=
dAA)2
4cos1(149
= AdAA 4cos89
89
= CAx
4sin4.8
93
arcsin89
= CAAAAx
)sin)(coscossin4(329
3arcsin
89 22
=
AAAAx 22 sin)(coscos(sin
3arcsin
89 + C
= Cxxxxx
33
)3(3
333
arcsin89 222
x
t
3
23 x
5. dxx
x 225
Jawab:
Substitusi x = 5 sin A atau sin A = 5x dan dx = 5 cos A dA
Sehingga
dxx
x 225 = dAAAA
cos5.sin5cos5
= 5 dA
AA
sinsin1 2
= 5 AdAAdA sin5csc
= 5 ln CCosActgAA 5csc
= 5 ln Cxx
xx
5
255255 22
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1. 2
32 )1( x
dx
2. 225 xxdx
5x
225 xA
3. 22 9 xxdx
4. 23
2 )4( xx
dx
5. dxxx 22 1
6. dxx
x 2
3
16
7. )45( 2xxdx
8. 2/32
2
)tan4(sec
xxdx
9. 2/32 )6( xdx
10. dxx
x
2
23
Integral yang integrannya memuat bentuk 22 xa atau bentuk yang
sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a tan t, -2
2
t sehingga,
Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan segitiga berikut ini:
22 xa = taa 222 tan
= )tan1( 22 ta
t
ax 2
a
x
= a sec t
Karena x = a tan t maka dx = a sec t2 dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1. 29 xdx
Jawab
Substitusi x = 3 tan t
dx = 3 sec dt
29 x 2)tan3(9 t
= 3 sec t, sehingga
29 xdx = t
tdtsec3
sec3 2
= tdtsec
= ln Ctt tansec
= ln 33
9 2 xx
+ C
= ln Cxx 29
2.
54
)12(2 xx
dxx
Jawab
54
)12(2 xx
dxx = dxxxxx
x )54
1
54
2(22
t2
29 xx
3t
=
1)2(1)2(
222 x
dxx
xdx
Substitusi (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
dx = sec 2 t dan
1)2( 2 x = sec t, sehingga
54
)12(2 xx
dxx =
1)2(1)2(
222 x
dxx
xdx
=
ttdt
ttdtt
secsec
secsec).2(tan2 22
= tdttdtt sec4sectan2 - tsec dt
= 2 sec t – 5 ln Ctt tansec
= 2 Cxxxxx )2(54ln554 22
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1. 22 )9( xdx
dx
2. dxx 23
3. xx 12 dx
4. 1342 xxdx
5. 52
32 xx
xdx
6. dtt
t
42
2x
542 xx
1 t
7. dxxx 25
8. 2524ttdt
9. 2/32 )186( zzdz
10. 122 xxdx
11. 2/32)16( xdx
12. 224 ppdp
Integral yang integrannya memuat bentuk 22 ax atau sejenisnya,
selesaiannya menggunakan substitusi
x = a sec t, -2
2
t .
Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan
22 ax = 222 sec ata
= a tan t
Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dxx
x 92
Jawab x
xa
t22 ax
Substitusi x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
92 x = 3 tan t, sehingga
dxx
x 92 = tdtttt tansec3
sec3tan3
= 3 tdt2tan
= 3 dtt )1(sec 2
= 3 tan t – 3 t + C
= 3 Cxarcx
3
sec33
92
2. 822 xx
dx
Jawab
822 xx
dx = 9)1( 2x
dx
Substitusi (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
9)1( 2 x = 3 tgn t, sehingga
9)1( 2x
dx = ttdt
tan3tansec3
= tdtsec
= ln Ctt tansec
3
92 x
t
822 xx
1x
t
3
= ln Cxxx
3
823
1 2
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. 12 x dx
2. 252
2
xdxx
3. dtt
t3
2 4
4. 21616 xxdx
5. 62xx
dx
6. 122 tt
dt
7. 823 xxdx
8. 2/32 )94( xdx
9. )78( 2 xxxdx
10. 44xxdx
V.4 Integral Parsial
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian
integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x)
dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
vduudvuvd )(
vduuvdudv )(
vduuvudv
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang
digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di
manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan
persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan udv tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1. xdxxcos
Jawab
Bentuk xdxxcos diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = xcos dx = sin x
Akibatnya xdxxcos = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
vduuvudv , diperoleh
x d(sin x) = x sin x - xsin d(x)
= x sin x - xsin dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh xdxxcos = x sin x + cos x + C
2. xx 1 dx
Pilih u = x , du = dx
dv = x1 , v = x1 dx = 3 132 x
Sehingga xx 1 dx = )132( 3 xxd
Berdasarkan rumus integral parsial
vduuvudv , diperoleh
xx 1 dx = )132( 3 xxd
= 3 113
2 x - )(132 3 xdx
= 3 113
2 x - dxx3 132
= 3 113
2 x - Cx 3 4)1(42
3. xsin e x dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = dxex , v = dxe x = xe , sehingga:
xsin e x dx = sin x d( )xe
= )(sinsin xdexe xx
= xdxexe xx cossin
Diperoleh bentuk xdxe x cos yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = dxex , v = dxe x = xe , sehingga:
xcos e x dx = cos x d( )xe
= )(coscos xdexe xx
= dxxexe xx )sin(cos
= ,)sincos dxxexe xx
Akhirnya diperoleh
xsin e x dx = xdxexe xx cossin
= xex sin ,)sincos dxxexe xx
xsin e x dx = 21
xex sin21 Cxex cos
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1. dxxx 2sec
2. dxx 3sin
Jawab:
dxx 3sin = xdxx sinsin 2
Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x
dv = sin x dx maka v = xdxsin = - cos x
Sehingga
dxx 3sin = )cos(sin 2 xdx
= -cos x sin2x - dxxxd )(sincos 2
= -cos x sin2x + dxxxx cossin2cos
= -cos x sin2x + 2 dxxx )sin1(sin 2
xdx3sin = -cos x sin2x + 2 dxxxdx )sin2sin3
3 xdx3sin = -cos x sin2x + 2 xdxsin
xdx3sin = xdxxx sin
32
3sincos 2
= Cxxx
)(cos32
3sincos 2
3. x tan x dx
4. arc tan x dx
5. x ln x dx
6. 3 72xx dx
7. arc cos 2x dx
8. 2x e x2 dx
9. xxdx
21dx
10. xx 3sin3cos dx
11. dxxe x 1
12. xdxx 25 sectan
13. )2cos()2( xx dx
14. dxxex2
15. ex )12( x31 dx
16. x3sec dx
17. 3x 24 x dx
18. x3ln dx
19. xx sin2 dx
20. xx 12 dx
V.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x)
= )()(
xgxf , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)
0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a o + a 1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi
rasional adalah fungsi berbentuk )()(
xgxf yang pembilang dan penyebutnya
polinom.
Contoh
1. F(x) = 23
12
xxx (Fungsi Rasional Sejati)
2. F(x) = 44
42
2
xx
x (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. F(x) = xxxxx
512
3
35
(Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat
pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi
rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan
derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,
maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian
panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
F(x) = xxxxx
512
3
35
= x 32 + xx
x5
)114(3
F(x) = )()(
xgxf , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = )()(
xgxf sampai tidak
dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a) n
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax 2 +bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax )(2 cbx px 2 + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax )2 cbx n dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal : )()(
xgxf ...
)()( 22
2
11
1
bax
Abax
A (Penyebut kombinasi liner
berbeda)
...)()()()(
)(3
32
21
bax
Abax
Abax
Axgxf (kombinasi lenear
berulang)
...)()(
222
2
22
112
1
11
cxbxa
BxAcxbxa
BxAxgxf (kombinasi kuadrat
berbeda)
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang
merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan
konstanta A 1 , A 2 , …A n dan B1 , B 2 , …B n .
Contoh
1. Tentukan dx
x 12
2
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan
integran:
12
2x dx =
dxxx )1)(1(
2
=
dx
xB
xA
)1()1(
= dxxx
xBxA
)1)(1(
)1()1(
= dx
xxBAxBA
)1)(1()()(
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
12
2xdx =
dx
xx )1(1
11
= dx
x 11 -
dxx 1
1
= ln Cxx 1ln1
= ln Cxx
11
2. ,
11 dx
xx integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
dx
xdx
xx
121
11
= dx
xdx
12
= x + ln (x-1) 2 + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1. dxxxx
x
)6(
123
Jawab
dxxxx
x
)6(
123 =
dxxxx
x)3)(2(
1
= dxx
Cx
BxA
)3()2(
= dxxxx
xxCxxBxxA
6
)2)(()3)(()3)(2(23
= dx
xxxAxCBAxCBA
66)23()(
23
2
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - 61 , B =
103 , C =
152
Sehingga dxxxx
x
)6(
123 =
)3(15
2)2(10
361
xdx
xdx
xdx
= Cxxx 3ln1522ln
103ln
61
2. 92xdx
3. 672 xxdx
4. dx
xxxx
8243
2
2
Jawab
dx
xxxx
8243
2
2
= dxxx
x )82
451( 2 , menurut teorema 2.2
= dxxx
xdx82
451 2
= x + C1+ dxxx
x82
452
dxxx
x82
452 =
dxx
Bx
A24
, menurut teorema 2.2
= 82
)4()2(2 xx
dxxBxA
= 82
)42()(2 xx
dxBAxBA
Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1
Sehingga dxxx
x82
452 =
dxxx 2
14
4
= 4 ln cxx 2ln4
= ln (x-4) cx 2ln4
= ln Cxx )2()4( 4
5. 432 xxxdx
6. dx
xxxxx
213
23
2
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. dxxx
x44
12 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
dxxx
x44
12 =
dxxx
x)2)(2(
1
= dx
xx
2)2(1
= dxx
Bx
A
2)2()2(
= dxx
BxA
2)2(
)2(
=
2)2()2(
xABAx dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
dxxx
x44
12 =
2)2()2( x
Bx
A dx
=
dx
xxdx
2)1(3
)2(
= ln Cx
x
)2(
32
2. dxxx
x44
12
2
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu
menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
dxxx
x44
12
2
= dxxx
x44)45(1 2
= dxxx
xdx44
452
Selanjuntnya
dxxxdx
xxx
22 )2(45
4445
=
dx
xB
xA
2)2()2(
= dx
xBxA
2)2()2(
= dx
xBAAx
2)2()2(
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
22 )2(6
)2(5
)2(45
xxdx
xx dx
= 5 ln Cx
x
)2(
62
3. dx
xxxdxx
1)53(
23
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
dx
xxxdxx
1)53(
23 = 2)1)(1()53(
xx
dxx
= dxx
Cx
Bx
A
2)1()1()1(
= dx
xxxCxxBxA
2
2
)1)(1()1()1)(1()1(
= dxxx
CBAxACxBA
2
2
)2)(1()()2()(
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
dx
xxxdxx
1)53(
23 = dxx
Cx
Bx
A
2)1()1()1(
= 21
2)2(
4)2(2
1)1( x
dxxdx
xdx
= ½ ln Cx
xx
)2(
42ln211
4. 23
36
444
xxxx dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
23
36
444
xxxx dx =
dx
xxxxxx 23
223
4427268164
= dxxxx )68164( 23 + dxxx
x
23
2
44272
= xxxx 68834
41 234 + dx
xxx
23
2
44272
Selanjutnya dicari dxxx
x
23
2
44272 = dx
xxx
)4()0(4272
2
2
= dx
xC
xB
xA
)4(2
= dxxx
xCxxBxA
23
2
4)()4)(()4(
= dx
xxCxBxBxAAx
23
22
444
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4
atau A = -1, B = 41
, C = 4
1089
Sehingga:
dxxx
x
23
2
44272 = xxxx 688
34
41 234 - Cxx
x 4ln
41089ln
411
Soal-soal
Tentukan hasil dari:
1. dx
xx
2)3(1
3. dxxx
x 52
8
)1()2(
4. dxxx
xx
34
2
521019
5. dxxxx
2)4)(2(21
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda
dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.
Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan
kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n
parsial
rqxpxCBx
baxA
xgxf
2)()( , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,
dan C.
Contoh
1. dx
xxxx
)1)(14(136
2
2
Karena integran fungsi rasional sejati maka
dx
xxxx
)1)(14(136
2
2
=
dxx
CBxxA
)1()14( 2
= dxxx
xCBxxA
)1)(14(
)14)(()1(2
2
= dxxx
CAxCBxBA
)1)(14(
)()4()4(2
2
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
dx
xxxx
)1)(14(136
2
2
=
dxxx
x )1(1
)14(2
2
=
dx
xdx
xxdx
x 11
1)14(2
22
= Carctgxxx 1ln2114ln
42 2
2. dx
xxxxx
232
24
23
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
dx
xxxxx
232
24
23
= dx
xxxxx
)2)(1(2
22
23
=
dx
xDCx
xBAx
21 22
= dx
xxxDCxxBAx
)2)(1()1)(()2)((
22
22
= dx
xxDBxCAxDBxCA
)2)(1()2()2()()(
22
23
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
dx
xxxxx
232
24
23
=
dx
xx
x 211
22
=
dx
xxdx
x 211
22
= arctg x + Cx 1ln21 2
3. dxxxx
xx)1)(2)(3(
182
23
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan
kuadrat (x )12 , sehingga
dxxxx
xx)1)(2)(3(
182
23
=
dxx
DCxx
Bx
A)1()2()3( 2
=
dxxxx
xxDCxxxBxxA)1)(2)(3(
)2)(3()1)(3()1)(2(2
22
=
dx
xxxDBAxCDBAxDCBAxCBA
)1)(2)(3()632()6()32()(
2
23
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
dxx
DCxx
Bx
A)1()2()3( 2 =
dxxxx )1(
1)2(
1)3(
22
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C
= ln(x+3) 2 - ln(x-2) – arctan x + C
= ln
)2()3( 2
xx arctan x + C
Jadi dxxxx
xx)1)(2)(3(
182
23
= ln
)2()3( 2
xx arctan x + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dxxx
xx
4
823
2
Jawab
dxxx
xx
4
823
2
= dx
xxxx
)4(82
2
2
=
dxx
CBxxA )
4( 2
= dxxx
xCBxxA
4
)()4(3
2
=
xxACxxBA
44)(
3
2
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
dxx
CBxxA )
4( 2 =
dxx
xdxx 4
1422
=
dxx
dxx
xdxx 4
14
4222
= ln 4ln2 22 xx + ½ arc tan Cx
2
2. dx
xxx)1(
42
3
Jawab:
dx
xxx)1(
42
3
= dxx
xx )1
5( 2
= dx
xxxdx
152
= ½ x2 - 5 dx
xx
12
= 21 x2 – 5.
21
dxx
x1
22
= ½ x2 - Cx 1ln25 2
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln 52 )1( x + C
3. dx
xxxxx
1681652
35
23
4. dx
xxxxx
232
24
23
(fungsi rasional sejati)
Jawab
dx
xxxxx
232
24
23
= dx
xxxxx
)2)(1(2
22
23
=
21 22 xsrx
xqpx dx
= dx
xxxsrxxqpx
23)1)(()2)((
24
22
= dx
xxsqxrpxsqxrp
23)2()2()()(
24
23
Didapat
p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2
atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga
21 22 xsrx
xqpx dx =
21
122 xxdxdx
x
= arc tan x + ½ ln (x )22 + C
= arc tan x + ln 22 x + C
5. dx
xxx
22
3
)1(1
Jawab
dx
xxx
22
3
)1(1 =
222 )1(1 xsrx
xqpx dx
= dx
xsrxxqpx
22
2
)1()()1)((
= dx
xsqxrpqxpx
22
23
)1()()(
Diperoleh
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1
atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1
sehingga
dx
xxx
22
3
)1(1 =
dxx
dxx
x222 )1(
11
= ln Cx
xx
)1(2
1)1(1 2
222
6. dxxxx
xxx)32)(5(
15522
23
Jawab
dxxxx
xxx)32)(5(
15522
23
= dxxxDCx
xBAx
325 22
= dx
xxxxDCxxxBAx
)32)(5()5)(()32)((
22
22
Catatan : diteruskan sendiri
V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x
Fungsi F(x) = )(,0)(,)()( xfxg
xgxf
dan g(x) mememuat fungsi
trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak
dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan
f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan
fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE
SUBSTITUSI.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
1. F(x) = x
xcos
sin1
2. F(x) = x
xsin
cossin21
3. F(x) = x
xcos
2sin5
4. F(x) = xsin23
1
5. F(x) = xx cossin1
2
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1. xxdx
cossin1
2. xdxcos2
3. xxdx
cossin1
4. xx
sincossin21 dx
5. xsin231
dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = dzz21
2
.
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x = 2 arc tan z maka:
zx
2tan
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tan
22 x = sec
22 x
1 + z
2sec22 x
22
11
2cos
zx
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin 1cos22 xx
12
cos2
sin 22
xx , sehingga didapat
sin 22
111
2 zx
= 2
2
1 zz
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos 2x = cos x2 sin 2 x
2sin
2coscos 22 xxx
2
2
2 111cos
zz
zx
= 2
2
11
zz
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x = 2 sin
2x cos
2x
= 2 22
2
11
1 zzz
= 212
zz
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = 212
zz
, cos x = 2
2
11
zz
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Tentukan selesaian dari
1. xxdx
cossin1
Jawab
xxdx
cossin1 =
2
2
2
2
11
121
12
zz
zz
dzz
=
2
2
22
2
2
11
12
11
12
zz
zz
zz
zdz
= zdz22
2
= zdz
1
= ln z1 + C
= ln Cx
2tan1
2. xdxcos2
Jawab xdxcos2
=
2
2
2
112
12
zz
zdz
=
2
2
2
2
2
11
1)1(2
12
zz
zz
zdz
= 2312
zdz
=
22
313
2
z
dz
= 332 arc tan
3/1
z + C
= 3
2 arc tan 3 z + C
= 3
2 arc tan 3 (tan x/2) + C
3. xdx
sin53 =
Jawab
xdx
sin53 =
2
2
1253
12
zz
zdz
= zzdz
10332
2
= )3)(13(2
zzdz
=
dz
zB
zA
)3()13(
= dzzz
BAzBA
)3)(13(
)()3(
=
dz
zz )3(1
)13(3
= 3 ln Czz 3ln13
= 3 ln Cxx 3
2tanln1
2tan3
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1. xdxsin21
= 32
2tan
322
tanln
33
x
x
+ C
2. xdxsin2
= 3
12
tan2arctan
32
x
+ C
3. xdx
sin35 = arctan
21
4
32
tan5 x
+ C
4. xxdx
cossin1 = ln
2tan1
2tan
x
x
+ C
5. C
x
xdx
3
42
tan5arctan
32
sin45
6. Cxx
dx
2tan
33arctan
332
cos2
7. Cxx
dx
)
2tan5arctan(
552
23
8. Cx
xxx
xdx
coscos1ln
)cos1(cossin 2
2
9.
x
xxdxx tan1ln
tan1sec)tan2(2
22
Cx
3
1tan2arctan3
2
10. xdxtan = ln Cx sec
11. xcot dx = -ln Cx csc
DAFTAR PUSTAKA Bartle, G. Robert. & Sherbert, Donald R. 2000. Introduction to Real Analysis. Third
Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus. 2nd Edition. New York: Saunders College
Publishing. Chotim, M. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Penerbitan FMIPA UNNES. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan
oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.
top related