2011 runge kutta
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Notas de clase de Instrumentación
Prof: Lucelly Reyes H
Método numérico de Runge Kutta
Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias. El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:
)1(
)(
),()(
oo yxy
yxfdx
xdy
o en su forma implícita:
oo yxycondx
dyyxf )(0),,(
Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en el cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n.
El método RK4 para este problema esta dado por la siguiente ecuación:
43211 226
1kkkkyy ii
Para i=0,…,n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (xo,xo+hn)
Donde
342
3
121
,.,2
,2
.
2,
2.),,(.
kyhxfhkk
yh
xfhk
ky
hxfhkyxfhk
iiii
iiii
Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
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k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xi + h/2.
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
6
22 4321 kkkkpendiente
Vamos a ver algunos ejemplos sencillos para ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ejemplo 1
Usar el método de Runge Kutta para aproximar dada la siguiente ecuación diferencial:
Solución
Primero, identificamos las condiciones iniciales, el intervalo y la función:
Para poder calcular el valor de , debemos calcular primeros los valores de
, , y . Tenemos entonces que para la primera iteracion:
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Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:
El proceso debe repetirse hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
n
0 0 1
1 0.1 1.01005
2 0.2 1.04081
3 0.3 1.09417
4 0.4 1.17351
5 0.5 1.28403
Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:
Calculemos el valor de y(x) por método de integración directa
xdxy
dyxy
dx
dy22
2
)()ln( 2 xexyxy
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Evaluando en 0.5 tenemos:
28402.1)5.0( y
Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:
Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación!
Ejemplo 2
Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada la ecuación
diferencial:
Solución
Igual que siempre, tomamos y llegaremos a la aproximación en dos pasos.
Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:
Primera Iteración:
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Segunda Iteración:
Concluimos entonces que el valor buscado es:
Para comprobar nuestra respuesta resolvamos la ecuacino diferencial
Sabemos que la ecuacion del ejercicio corresponde a una ecuacion lineal de primer orden las cuales se caracterizan por ser de la forma :
)()( xQxyPy
La solucion a esta ecuacion viene dada por:
CdxexQexyx dxxPdxxP
xx
2
)()(22 )()(
xxQxPxyy )(1)(
dxxedxexQxdxxP xdxxP )(
)()(
Integrando por partes esta sugunda integral tenemos:
xx evdxedvxuvduuvudv
)1(
xeexedxexedxxe xxxxxx
Remplazando en la ecuacion general tenemos:
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xxx CexxyCxeexy 1)()1()(
Para encontrar la constante C evaluamos la ecuacion en el punto (2,4) que son las condiciones iniciales, entonces c sera:
22 7124)2( eCCey
La solucion a la ecuacion es:
271)( xexxy
Evaluando en x=2.2 tenemos:
34981.572.3)2.2( 2.0 ey
Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:
%001.0%10034981.5
34982.534981.5
Ecuación diferencial de segundo orden
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge Kutta a una ecuación diferencial de segundo orden.
con las condiciones iniciales
Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.
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En la primera columna, las variables k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función.
Ejemplo 3
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo orden.
Péndulo simple
Las leyes de newton nos llevan a obtener la ecuación diferencial que describe el movimiento del péndulo. Generalmente esta se resuelve de manera analítica teniendo en cuenta la aproximación de ángulos pequeños, pero en este caso utilizaremos el método numérico llamado Runge Kutta cuatro para resolver la ecuación de movimiento sin ninguna restricción del ángulo de oscilación. La ecuación diferencial a resolver se obtiene a partir de la descomposición de fuerzas en el sistema como se muestra en el siguiente dibujo.
Para el problema no tendremos en cuenta los efectos de fricción, por consiguiente tenemos:
2
02
2
76.9
0)0(3
)0(
0)(
s
mg
parasenL
g
dt
d
que corresponde a un péndulo cuya masa se suelta partiendo del reposo con un ángulo inicial a.
Podemos reescribir esta ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de ecuaciones de primer orden.
dt
d
),()( tfsen
L
g
dt
d
Si sustituimos
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se tendrá el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en forma canónica
Los pasos de Runge Kutta serán:
)()(
)5.0()5.0(
)5.0()5.0(
)(
314324
213223
112122
1121
kusenL
ghlluhk
kusenL
ghlluhk
kusenL
ghlluhk
usenL
ghluhk
Las ecuaciones que describen la posición angular y su velocidad serán
)22(6
1)22(
6
1432122432111 lllluukkkkuu
En LABVIEW será:
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La grafica de posición angular contra velocidad angular nos muestra un sistema que tiene un comportamiento periódico como se esperaba.
Ejemplo 4
Simulación de un oscilador amortiguado forzado utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden.
6.0)0(
4.0)0()(22
2
2
2
y
yparatseny
dt
dy
dt
yde
t
Sustituyendo
)()(
)()(
2
1
tudt
tdy
tuty
tenemos:
)(222
122 tsenuu
dt
due
t
Esta vez vamos a utilizar el modulo de Runge Kutta de LabVIEW
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Inicializando el modulo
Ejemplo 5
La ecuación diferencial de tercer orden ),,( xxxJx es comúnmente conocida
como función de Jerk. El siguiente circuito tiene por solución una función de JerK
)1( xxxAx
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12
2
3
3
xdt
dx
dt
xdA
dt
xd
Sustituyendo
3
3
2
2
)(
)(
dt
xd
dt
dz
dt
xdtz
dt
dxty
tenemos:
1 xyAzdt
dz
Podemos encontrar su solución utilizando métodos numéricos (Runge Kutta) de la siguiente manera:
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