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LA REGLA DE LA CADENA Y DE LA POTENCIA
Cรกlculo en una Variable
Regla 7
REGLA DE LA CADENA.
Si ๐ฆ es una funciรณn diferenciable de ๐ข, y ๐ข es una funciรณn diferenciable de ๐ฅ, entonces ๐ฆ es una funciรณn diferenciable de ๐ฅ y entonces
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ
Sea ๐ฆ = 8๐ข + 5 y ๐ข = 2๐ฅ โ 3.
Si ๐ฅ varรญa en una unidad, ยฟcรณmo cambia ๐ข? Respuesta: ๐๐ข/๐๐ฅ = 2. Pero, para cada cambio unitario en ๐ข, existe un cambio en ๐ฆ de ๐๐ฆ/๐๐ข = 8. Por lo tanto, ยฟcuรกl es el cambio en ๐ฆ si ๐ฅ varรญa en una unidad, es decir, cuรกnto vale
๐๐ฆ/๐๐ฅ? Respuesta: 8 โ 2, que es ๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ. Por ello,
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ
EJEMPLO 1
Si ๐ฆ = 2๐ข2 โ 3๐ข โ 2
y ๐ข = ๐ฅ2 + 4,
determinar ๐๐ฆ/๐๐ฅ.
Soluciรณn
Por la Regla 7, regla de la cadena,
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ
=๐
๐๐ข(2๐ข2 โ 3๐ข โ 2) โ
๐
๐๐ฅ(๐ฅ2 + 4)
= (4๐ข โ 3)(2๐ฅ)
Se puede escribir la respuesta en tรฉrminos solo de ๐ฅ reemplazando ๐ข por ๐ฅ2 + 4.
๐๐ฆ
๐๐ฅ= [4(๐ฅ2 + 4) โ 3](2๐ฅ) = [4๐ฅ2 + 13](2๐ฅ)
= 8๐ฅ3 + 26๐ฅ
DIFERENCIAR UNA FUNCIรN COMPUESTA
La regla de la cadena establece que si ๐ฆ = ๐(๐ข) y ๐ข = ๐(๐ฅ), entonces
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ
En realidad, la regla de la cadena se aplica a una funciรณn compuesta porque
๐ฆ = ๐(๐ข) = ๐ ๐ ๐ฅ = (๐ โ ๐)(๐ฅ)
Por consiguiente, ๐ฆ, como funciรณn de ๐ฅ es ๐ โ ๐. Esto significa que se puede utilizar la regla de la cadena para diferenciar una funciรณn cuando se sabe que la funciรณn es compuesta. Sin embargo, primero debe descomponerse la funciรณn en sus partes.
EJEMPLO
Diferenciar
๐ฆ = ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 6 100
Soluciรณn
Se considera que la funciรณn es una funciรณn compuesta. Sean
๐ฆ = ๐(๐ข) = ๐ข100
y ๐ข = ๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 6
Entonces, ๐ฆ = ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 6 100 = ๐ ๐ ๐ฅ .
Ahora que se tienen las partes de la composiciรณn, se diferencia. Puesto que ๐ฆ = ๐ข100 y ๐ข = ๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 6, por la regla de la cadena
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ๐๐ข
๐๐ฅ
= (100๐ข99)(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ)
= 100(๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 6)99(3๐ฅ2 โ 2๐ฅ)
Regla 8
REGLA DE LA POTENCIA.
Si ๐ข es unu funciรณn diferenciable de ๐ฅ y ๐ es cualquier nรบmero real, entonces
๐
๐๐ฅ๐ข๐ = ๐๐ข๐โ1
๐๐ข
๐๐ฅ
Otra forma de escribir la citada regla es
๐
๐๐ฅ[๐ข(๐ฅ)]๐ = ๐[๐ข(๐ฅ)]๐โ1๐ขโฒ(๐ฅ)
EJEMPLO 2
Si
๐ฆ = ๐ฅ3 โ 1 7
encontrar ๐ฆโฒ.
Soluciรณn
Debido a que ๐ฆ es potencia de una funciรณn de ๐ฅ, se aplica la regla de la potencia. Haciendo ๐ข(๐ฅ) = ๐ฅ3 โ 1 y ๐ = 7,
๐ฆโฒ = ๐[๐ข(๐ฅ)]๐โ1๐ขโฒ(๐ฅ)
= 7 ๐ฅ3 โ 1 7โ1๐
๐๐ฅ(๐ฅ3 โ 1)
= 7 ๐ฅ3 โ 1 6 3๐ฅ2 = 21๐ฅ2 ๐ฅ3 โ 1 6
Producto de ingreso marginal
Ahora, se utilizarรก lo que ya se ha analizado del Cรกlculo para desarrollar un concepto que es importante en estudios econรณmicos. Supรณngase que un fabricante contrata a ๐ trabajadores que fabrican un total de ๐ unidades de un producto al dรญa. Se puede considerar a ๐ como una funciรณn de ๐. Si ๐ es el ingreso total que el fabricante recibe por la venta de esas unidades, entonces tambiรฉn puede considerarse que ๐ es funciรณn de ๐.
Por ello, hay que analizar ๐๐/๐๐, que es la tasa de variaciรณn del ingreso con respecto al nรบmero de empleados. A la derivada ๐๐/๐๐ se le denomina producto de ingreso marginal, es aproximadamente el cambio que resulta en los ingresos cuando un fabricante contrata un empleado adicional.
EJEMPLO 4
Un fabricante determina que ๐ trabajadores fabricarรญan un total de ๐ unidades de un producto al dรญa, en donde ๐ = 10๐2/
๐2 + 19. Si l a ecuaciรณn de demanda para el producto es ๐ = 900/(๐ + 9), determinar el producto de ingreso marginal cuando ๐ = 9.
Soluciรณn
Se debe evaluar ๐๐/๐๐, en donde ๐ son ingresos. Obsรฉrvese que, mediante la regla de la cadena,
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐
La funciรณn de ingreso estรก dada por
๐ = ๐๐ =900
๐ + 9๐ =
900๐
๐ + 9
por lo que, mediante la regla del cociente,
๐๐
๐๐=
๐ + 9 900 โ 900๐(1)
๐ + 9 2 =
8100๐
๐ + 9 2
Con objeto de evaluar lo anterior cuando ๐ =9, se utiliza en primer lugar la ecuaciรณn dada
๐ = 10๐2/ ๐2 + 19 para obtener el correspondiente valor de ๐.
๐ =10(92)
92 + 19= 81
Por lo que ๐๐
๐๐ ๐=9
=๐๐
๐๐ ๐=81
=8100
81 + 9 2= 1
Ahora, de las reglas del cociente y la potencia, ๐๐
๐๐=
๐
๐๐
10๐2
๐2 + 19
=๐2 + 19 1/2 ๐
๐๐10๐2 โ (10๐2)
๐๐๐
[ ๐2 + 19 1/2]
๐2 + 19 1/2 2
=๐2 + 19 1/2 20๐ โ (10๐2)[
12
๐2 + 19 โ1/2(2๐)]
๐2 + 19
por lo que ๐๐
๐๐ ๐=9
=81 + 19 1/2 20 โ 9 โ (10 โ 81)[
12 81 + 19 โ1/2(2 โ 9)]
81 + 19= 10.71
Por tanto, de la regla de la cadena, ๐๐
๐๐ ๐=9
= 1 10.71 = 10.71
Esto significa que si se contrata a un dรฉcimo empleado, el ingreso aumentarรญa aproximadamente en 10.71 (unidades monetarias) por dรญa.
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