56598804 gestion de la production industrielle
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GESTION DE LA PRODUCTION
INDUSTRIELLEINDUSTRIELLE
ISA2 & LST:PCM S6
I. EL ABOUDI
2009-2010
i.elaboudi@fstg-marrakech.ac.ma
PLAN
• Introduction
• Gestion des stocks
• Planification de la production
• Programmation linéaire de la production
• Méthodes de prévision
• Méthodes d’ordonnancement de la production
• Le lancement et le suivi directs
• La gestion globale MRP(manufacturing ressources planning)
2
INTRODUCTION A LA GESTION DE LA PRODUCTION
Objectif de l’entreprise Durer longtemps (éternellement)
Satisfaire ses clientsProposer des produits innovants
répondants aux exigences des clients
dans les meilleurs délais et avec un
meilleur rapport qualité/prixConserver ou même
meilleur rapport qualité/prixConserver ou même
augmenter sa part
de marché
Vente des produits: maintenir l’équilibre budgétaire (achat matières premières,
payement de la main d’œuvre, machines,…
But de la gestion de la production: fluidifier et flexibiliser la production de façon à
optimiser le flux de trésorerie de l’entreprise
3
INTRODUCTION A LA GESTION DE LA PRODUCTION
Sur quoi on peut agir pour atteindre ce but ?- Réduire les délais
- Réduire les prix
- Améliorer la qualité
Quels sont les moyens dont on dispose pour atteindre ce but?
- Moyens: toutes les actions que l’ensemble du personnel va mettre en point dans
son plan d’entreprise (mise en place de la qualité totale)
1- Prévoir à long terme (mois, années) pour assurer l’avenir de l’entreprise: planification, c’est
la conversion du plan d’entreprise en décision d’investissement humain et matériel (plan dela conversion du plan d’entreprise en décision d’investissement humain et matériel (plan de
production industriel)
2- Engager (moyen terme: semaines, mois) les commandes le plus rapidement possible:
programmation, on définit aussi le programme directeur de production (P.D.P), celui-ci donne
une image précise des fabrications à engager en fonction des données fournies par le service
commercial.
3- Suivre (court terme): il s’agit de l’exécution contrôlée du P.D.P, c.à.d. respecter les directives
du P.D.P et contrôler leur réalisation. Cette phase englobe principalement les fonctions
d’ordonnancement, lancement, gestion des stocks et expédition (programme d’assemblage).
4
INTRODUCTION A LA GESTION DE LA PRODUCTION
Planification
Programmation (P.D.P)
Ordonnancement
Lancement
Gestion des stocks
Actions qui dépendent du type
des produits et du type de la
production: classification des
entreprises
Actions
Critères de classification des entreprises ?
5
TYPOLOGIE DES ENTREPRISES
1- Mode de réponse au marché
A- Mettre à disposition des
clients, des produits conçus
et réalisés à la commande
B- Produit terminé au moment de
la commande: sous ensembles ou
modules standards. Finition qui
nécessite des phases de
conception, approvisionnement et
fabrication complémentaires
C- a partir des stocks de
produits finis. La seule activité
directe vis-à-vis du client est la
mise à disposition (transport,
installation, assistance)
2- La structure des produits2- La structure des produits
A-Transformation divergente:
obtenir à partir d’une seule
matière première, plusieurs
produits finis
B- Transformation convergente:
obtenir à partir de plusieurs
composantes ou matières
premières un seul produit fini.
C-Transformation linéaire:
fabriquer à partir d’une seule
matière de base, un seul
produit fini.
Divergence de type ET: un
processus avec lequel un seul
produit de base aboutit à
plusieurs produits semi-finis
Divergence de type OU: Un
processus qui permet d’aiguiller
la fabrication vers tel ou tel
produit fini 6
plastiques Chocolat Aciérie
TYPOLOGIE DES ENTREPRISES
3- Répétitivité de la production: quantité produite et fréquence
Répétitive (en série ou en lots). Desprocessus adaptés à chaque produitsuivent un chemin complexe parmi les
Non répétitive (unitaires ou ensérie): chaque centre deproduction agit sur une partie duproduit en vue d’un processus final
Unité fabrication 1
Unité fabrication 2
Unité fabrication 3
Produit
Unité fabrication 1
Unité fabrication 3
Unité fabrication 2
Unité fabrication 4suivent un chemin complexe parmi lesressources de production qui sontpolyvalents
De masse répétitive en processusdirect: les produits suivent une chaînede façon presque permanente etcontinue.
La production de masse répétitive encontinu: le mode de fabrication estidentique au précédent et se déroule enpermanence (absence totale d’arrêt).
Unité fabrication 3
Unité fabrication 5
Unité fabrication 4
Matière première
Matière première
Unité fabrication Unité fabrication
7
4- La nature de la valeur ajoutée au produit
TYPOLOGIE DES ENTREPRISES
Main d’œuvre direct
Main d’œuvre indirecte:
� Savoir faire études (capacité d’innovation, créativité…)
� Savoir faire fabrication (maitrise du métier)
Service qui traduit la volonté de fournir une solution au problème du client plutôt qu’un
simple produit
Méthodes correspondantes: A chaque cas évoqué, correspond une technique de Méthodes correspondantes: A chaque cas évoqué, correspond une technique de gestion de production optimale
Horizon Long terme Moyen terme Court terme
Principe à appliquer Prévoir Engager Suivre
Application planification programmation Exécution
Gestion de
productionPlan industriel P.D.P
Programme d’assemblage final
Niveau de détail grossier moyen Fin
Actions sur Grandes masses (usine) Grandes unités (ateliers)Unités élémentaires(postes de travail)8
PLAN
• Introduction
• Gestion des stocks
• Planification de la production
• Programmation linéaire de la production
• Méthodes de prévision
• Méthodes d’ordonnancement de la production
• Le lancement et le suivi directs
• La gestion globale MRP
9
GESTION DES STOCKS
Le succès d'une organisation est déterminé, entre autres, par sa capacité de proposer le
bon produit (ou service) au bon moment et au bon endroit. Un stockage intelligent
contribue de manière décisive à cet objectif stratégique .
� Stocks de produits finis
� Stocks d'entrants de fabrication (matières premières, pièces sous-traitées)
Quels sont les différents types de stockage ?
� Stocks d'entrants de fabrication (matières premières, pièces sous-traitées)
� Stocks de pièces de rechange et de produits pour la maintenance des équipements de
production
� Stocks d'outillages et d'accessoires
� En-cours: articles qui ne sont plus des matières premières mais pas encore des
produits finis
10
GESTION DES STOCKS
Quels sont les rôles positifs du stockage ?
� Lissage de la production dans les cas nombreux où la demande subit des variations
saisonnières
� Réduction des délais de mise à disposition (dans le cas des stocks de produits finis)
� Robustesse par rapport à des indisponibilités de ressources de production
☺Assurer la production et éviter le risque de rupture
� Immobilisation de moyens financiers importants (ils peuvent représenter 25 à 30 % du
capital immobilisé)
� Utilisation d'espace
� Occultation d'insuffisances graves en matière de prévision et de gestion.
Quels sont les inconvénients du stockage ?
☻Investissement considérable et improductif11
GESTION DES STOCKS
Le but d’entreprise est de vendre ses produitsaux clients avec un taux de service aussi élevéque possible.
Le taux de service est le rapport entre lenombre de clients servis dans les conditionsnormales (quantité, délai,…)sur le nombre totaldes clients. Il a un impact direct sur la massed’argent investie dans les stocks.
Taux de
service %
Co
ût
du
sto
ck
60 70 80 90 100
Combien de produits finis doit-on maintenir en stock pour assurer un taux de service
correct ?
Tous les produits n’ayant pas la même valeur, ne seront pas gérés de la même façon !
CLASSIFICATION DES PRODUITS EN STOCK: METHODE PARETO ou ABC
12
GESTION DES STOCKS: Classification des produits (ABC)
Principe: Tracer le diagramme de PARETO en suivant les étapes suivantes:
1. Définir les éléments à analyser ou rechercher les critères d’analyse correspondants à laclassification désirée, exemple: Valeur=f(quantité), bénéfices=f(produits), heures defabrications=f(produits), nombre de travaux=f(postes), heures d’’arrêts=f(postes)
Cette analyse très classique permet de focaliser l’attention des gestionnaires sur les articles vitaux: � Sont classés A, les 20% d’articles du stock qui correspondent aux valeurs annuelles les plus grandes. � Sont classés B , les 45% d’articles qui suivent (représente 15% de la valeur annuelle). � Les 35% subsistants sont classés C (représente moins de 5% de la valeur annuelle).. Il arrive fréquemment que les articles A correspondent à 80% de la valeur annuelle totale. Il va de soi que la plus grande attention doit être dévolue à cette catégorie d’articles.
2. Établir le classement de ces éléments selon leurs valeurs du critère sur la période concernée3. Ordonner ces éléments (ordre décroissant des pourcentages en valeur du critère)4. Réaliser leur cumul des pourcentages en valeur du critère5. Tracer le diagramme de PARETO (pourcentage en valeur du critère cumulé en fonction des
produits à classifier) (choisir des échelles qui représente la courbe dans un carré)6. Pour interpréter la courbe: déterminer les classes de répartition des produits en calculant le ratio
de discrimination:
7. Selon la valeur de RD, on détermine les valeurs des classes A, B et Cselon le tableau suivant (page suivante)
8. L’exploitation des résultats consistera à savoir quelle technique de gestion des stocks il faudraappliquer aux différents produits selon la classe à laquelle ils appartiennent (chapitre suivant)
LongueurAB
LongueurACRD = C
A
B
13
GESTION DES STOCKS: Classification des produits (ABC)
RD Zone A B C
0.9<RD<1 1 10 10 80
0.85<RD<0.9 2 10 20 70
0.75<RD<0.85 3 20 20 60
0.65<RD<0.75 4 20 30 50
RD<0.65 5 Non interprétable
Choix du critère de classification ABC: (affaire de bon sens) connaissance
Exemple Les informations concernant le stock d’une entreprise sont:
Produit consommation Prix unitaire Produit Consommation Prix unitaire
1 3000 20 6 15000 73
2 20000 150 7 10000 37
3 5000 70 8 1500 33
4 4000 199 9 8000 2
5 500 178 10 1000 198
Analyser le critère consommation avec la méthode ABC
Choix du critère de classification ABC: (affaire de bon sens) connaissance
des problèmes du terrain !
14
MESURE DE L’ETAT DES STOCKS
Exemples des méthodes d’inventaire
Inventaire permanent: le stock est comptabilisé et enregistré et valorisé à chaquemouvement. Cette technique n’est applicable qu’à des faibles volumes ou à l’aide de l’outilinformatique avec un enregistrement automatique des entrées/sorties (système à codebarre).
Inventaire périodique: le stock est contrôlé par comptage manuel, comparé àl’enregistrement fait en cours de période (manuel ou informatique), enregistré, remis àjour si nécessaire et valorisé. Cette technique est la plus utilisée en entreprise.jour si nécessaire et valorisé. Cette technique est la plus utilisée en entreprise.
A retenir:
- Les articles pourront se répartir en classes d’après la méthode de PARETO (ABC),
et suivant la classe à laquelle ils appartiennent on appliquera une des méthodes de
réapprovisionnement,
- Pour chaque article il sera nécessaire de calculer statistiquement un seuil de
sécurité en fonction du risque de rupture qu’on accepte de prendre.
15
Coûts des Stocks
1. Définition: Coût des stock
On distingue entre le coût de possession, le coût de passation et le coût de rupture.
�Le coût de possession ou de maintien en stock comprend:� Coût d’opportunité (ce qu’on aurait pu faire avec l’argent si on l’avait pas investi dans le stock� Les salaires et charges des sections: gestion de stock, magasinage� Loyer et amortissement des locaux utilisés� Frais d’éclairage, chauffage,… de ces locaux,� Prix de l’énergie dépensée pour conserver la qualité des produits en stock� Entretien du stock et du matériel nécessaire à cet entretien� Loyer et amortissement des moyens de manutention� Frais administratifs (assurances…)� Frais administratifs (assurances…)� Perte par obsolescence, vol, détérioration,…
Soit Cp le coût de possession d’un article pendent une période
�Le coût de passation (d’acquisition) d’une commande comprend:
� Salaires et charges des sections d’achat, de réception, et de comptabilité� Frais de déplacement des commerciaux,� Fournitures et imprimés nécessaires, timbres, téléphone, fax,…� Amortissement des matériels et mobiliers utilisés� Loyer et amortissement des locaux occupés� Energie nécessaire pour éclairer, chauffer ces locaux,� Utilisation du service informatique
Ce coût est toujours estimé proportionnel au nombre de commandes passées
���� Soit CC le coût d’une commande (!! ne comprend pas le prix de la commande) 16
Coûts des Stocks
Coût de rupture (���� pénurie)
� La perte d’une vente ou d’une commande = perte d’un profit ponctuel� Pénalités suite à un retard de livraison = détérioration de l’image de marque de l’entreprise
(plusieurs retards entraînera la perte d’un client)
� Démontage des produits achevés pour récupérer des pièces manquantes (!! Cannibalisme)� Mise en œuvre des procédures d’approvisionnement d’urgence � Remplacement d’une pièce par une autre plus coûteuse sans augmentation du prix de
livraison (diminution des bénéfices)
☺☺☺☺ Comment limiter la pénurie et les retards ?
livraison (diminution des bénéfices)
Définition:
Soit Cr le coût de rupture, selon le cas, Cr sera estimé proportionnel à:
� nombre de pénuries constatées
� nombre de produits manquants multiplié par le temps
� nombre de jours d’arrêt
17
Fonction économique: Le but de la gestion de stocks est de les minimiser en respectantle taux de service donné. Ce niveau de service est quantifié par la probabilité de rupture.Si e (t) et s (t) représentent les débits d' entrée et de sortie d'un stock donné, le contenuinstantané dudit stock correspond à :
Définitions:
( ) )0()()()(0
CdttstetCt
−−= ∫Dans le cas un peu idéalisé d'une fonction s(t) constante et d’une réception
Fonction économique
Dans le cas un peu idéalisé d'une fonction s(t) constante et d’une réception
instantanée, on obtient l'évolution de la figure ci-dessous:
Il existe une quantité optimale moyenne qui permetde minimiser le coût des stocks en évitant toutepénurie, il s’agit de la quantité économique.
e (t) = Q pour t = nT e (t) = 0 pour t ≠ nT
� Comment calculer cette quantité optimale (Q, T fixes) ?
(voir modèle de Wilson)
Niveau du stock en fonction du temps 18
METHODES DE REAPPROVISIONEMENT
Un stock est défini par son niveau et par les variations qu’il subit dans le temps, les questions
centrales dans la gestion des stocks se résument à:
Quant il faut approvisionner ?
Combien faut-il commander ?
Quant il faut approvisionner ?
� Faut-il s’approvisionner à un intervalle de temps T (gestion calendaire)� Lorsque le niveau du stock devient inférieur à un niveau S déterminé (gestion à point de commande)� On passe la commande si au bout d’un temps T le stock devient inférieur au niveau S (gestion
calendaire conditionnelle)
Réponses liéesCombien faut-il commander ?
� Une quantité q fixée par calcul ou règle empirique, cette valeur sera constante si la demande est stationnaire, et variable si la demande est dynamique
� La quantité nécessaire pour recomplèter le stock au niveau S le jour de la livraison
La réponse à ces deux questions constitue en elle-même la décision dans le choix de la méthode deréapprovisionnement. Celle-ci dépend de la connaissance que l’on a a sur la demande:
Demande constante: régulière (fluctuation autour d’une valeur moyenne avec un écart type faible) et stabledans le temps
Demande statistique: la demande est fluctuante, mais statistiquement prévisible, à partir de l’étude desdemandes passées,
Demande anticipée: la demande est déterminée par la connaissance des ventes futures (fermes ouprévisionnelles) et non par référence aux consommations passées.
Réponses liées
19
Méthodes de réapprovisionnement selon la valeur des produits
Période fixe Période variable
Méthode Modèle Méthode Modèle
Quantité
fixe
M1: Quantité économique de commande:
Demande constante
Modèle de Wilson
M3: gestion à point de commande:
Demande statistique Modèle (q, s)
Quantité M2: Recomplètement
calendaire:M4:
Réapprovisionnement à la Méthodes de
Méthodes de gestion des stocks: classées par ordre de complexité
Quantité
variablecalendaire:
Demande statistiqueModèle (T, S)
Réapprovisionnement à la demande:
Demande anticipée
Méthodes de Prévision de la demande
Valeur du produit et méthode de réapprovisionnement correspondante:
Pièces de faible valeur, utilisées en grand nombre: Quantité économique de commande
Produits de moyenne consommation (tel que les produits volumineux, responsables d’un fort
coût d’immobilisation): Méthode 2 et 3
Produits de valeur importante (Produits de Classe A-PARETO): Méthode 4 20
Méthode de réapprovisionnement 1: Modèle de Wilson
Modèle de Wilson (EOQ: Economic Order Quantity): Trouvé par Harris en 1915, appliqué par le conseiller d’entreprise Wilson:
Hypothèses:
-La demande D est connue et constante sur la période d’étude- La pénurie est interdite- Le délai de livraison est nul: L = 0- Le coût de passation est Cc par commande- Le coût de possession d’un article pendent une période est Cp
� Coût d’une commande: Cc, soit des coûts moyens de commande par article: fc = Cc/Q
� Coût de possession égale à: CpQ²/2D(*), soit des coûts moyens de possession par article: fP = CPQ/2D� Coût de possession égale à: CpQ²/2D , soit des coûts moyens de possession par article: fP = CPQ/2D
On cherche la valeur Q* qui minimise la fonction: DQCQCffQC pcpc 2//)( +=+=
*Q (en stock) = Demande x période T , la quantité en stock moyenne est Q/ 2, d’où l’expression du coût de possession
Q
Coût
fP = CPQ/2D
fc = Cc/Q
Q*
pc ffQC =⇔min)(
Quantité économique de commande: p
cC
DCQ
2* =
Coût de stockage minimum: D
CCQC
pc2*)( =
Intervalle entre deux commandes: p
cDC
CT
2=
21
Exemple
Dans une entreprise, la demande hebdomadaire d’une pièce est de 200, le coût depossession d’un article est estimé à 0.5 € par semaine. Le coût administratif d’unecommande s’élève à 500 € auquel il faut ajouter 500 € de frais de livraison.
1- Calculer la quantité économique de commande
2- Calculer le délai entre deux livraisons
3- Calculer le coût moyen de stockage
Méthodes de réapprovisionnement: Modèle de Wilson
3- Calculer le coût moyen de stockage
Résultats:
�Q* n’est pas un nombre entier, il faut choisir entre 894 et 895 pièces. Il se peut aussi que les pièces soient livrées par palettes de 10, il faut donc choisir entre 890 et 1000 pièces.� Il se peut qu’un délai de livraison de 4,47 soit peu commode à gérer et l’on se ramènera à une livraison toute les quatre semaines (soit 800 pièces) ou cinq semaines (soit 1000 pièces).
Ces arrangement remettent-elles en question le calcul de Q*? Quel choix doit –en faire?
22
Modèle de Wilson: Analyse de sensibilité
S’il on commande Q au lieu de Q*, comment varie le coût C(Q) en fonction de C(Q*)?
+=
*
*
2
1
*)(
)(
Q
Q
Q
Q
QC
QC
Une variation relative de: induit une variation relative du coût de stockage:
−=*
*
Q
QQα
+=
ααβ
22
2
ββββ en fonction de αααα, ou sensibilité - Le coût de stockage est peu sensible à
la variation de Q : 10% autour de Q*
entraîne une variation de ββββ inférieure àentraîne une variation de ββββ inférieure à
1%, et compte tenu des incertitudes sur
Cp et Cc, ce résultat est acceptable.
-Qu’elle quantité Q doit-on choisir pour
faciliter la gestion des tournées de
livraison ( 4 semaines, ou 5 semaines) ?
- A variation égale, on retient la valeur
de Q supérieure à Q*:une quantité supérieure de 20% induit une
augmentation du coût de 1,67%, et inférieure à 20%
induit une augmentation de 2,5%.23
Modèle de Wilson: Estimation du coût de possession Cp
Difficile d’estimer Cp! il existe une méthode simple qui consiste à déterminer le coût de
possession annuel, en prenant un pourcentage γγγγ de la valeur moyenne V de l’article. Ce
pourcentage γγγγ est de l’ordre de 20 à 30%.
Il faut considérer la demande annuelle Dan pour calculer Q*, C(Q*), et T*:
V
CDQ can
γ2
* =an
cD
VCQC
γ2*)( =
Vγ anD
an
cVD
CT
γ2
* =T* est exprimée en années
Exemple
La demande annuelle d’une pièce est de 10000. Le coût de la livraison est de 500 € , et la
valeur moyenne d’une pièce est de 100 €, L’entreprise utilise un taux de possession de
30%. Calculer Q*, C(Q*) et T*.
24
Modèle avec coût variable: Prix de l’article fonction de la quantité commandée
Lorsque les quantités commandées passent certains seuils, le fournisseur peut réduire le prix
unitaire.
Exemple:
� 10 € par article si la commande est inférieure à 400
� 9,5 € par article si la commande est supérieure à 400 mais inférieure à 600
� 9 € par article au-delà de 600 articles
La demande D est de 100 articles par jour, le coût d’acquisition Cc= 1000 euros et le coût de
possession Cp = 1 euro par article.
On partitionne les commandes en intervalles [ai, bi]
de prix d’achat p . On doit minimiser le coût de
Détermination de l’optimum
25
de prix d’achat pai. On doit minimiser le coût de
revient global d’un article, c’est-à-dire la somme du
coût d’achat, du coût de possession et du coût
d’acquisition(ces deux derniers coûts ne sont pas
modifiés). La fonction à optimiser sur [ai, bi] est:
DQCQCpaQR pcii 2//)( ++=
Compte tenu de l’intervalle [ai, bi], trois cas se
présentent:Si bi < Q*, alors Qopti=bi
Si ai ≤≤≤≤ Q*≤≤≤≤ bi alors Qopti=Q*
Si ai > Q*, alors Qopti=ai
Algorithme de résolution
p
cC
DCQ
2* =1- Calculer
2- Sur chaque intervalle i, déterminer Qopti
et R(Qopti)
3- Garder Qoptk donnant Min R(Qopti)Application: Reprendre l’exemple pour lequel Q*=447, et
suivre l’algorithme de résolution.
Modèle avec coût variable: Coût de commande dépendant de la quantité
Le coût administratif d’une commande est indépendant des quantités, néanmoins, le coût de
livraison est fonction de la quantité livrée.
DQCQCQC i 2//)( +=
Exemple: on a le choix entre deux modes de transport en fonction de la quantité à livrer:
� Si la quantité est inférieure à 400 pièces: le plus compétitif est la livraison par route et Cc = 1000 euros
� Si la quantité est au dessus de 400 pièces, le rail l’emporte et Cc = 1500 euros.
On a un coût de commande Cci sur l’intervalle [ai, bi]. On, doit minimiser la somme des coûts de
possession et d’acquisition. La fonction à optimiser sur [ai, bi] est celle du modèle de base:
26
DQCQCQC pici 2//)( +=
Sur l’intervalle [0,∞[. Le minimum est : . Compte tenu de l’intervalle existant [ai, bi],on a
trois cas: p
ic
C
DCQ
2* =
Si bi < Qi*, alors Qopti=bi
Si ai < Qi*< bi alors Qopti=Qi*
Si ai > Qi*, alors Qopti=ai
Algorithme de résolution
p
ic
iC
DCQ
2* =1- Calculer
2- Sur chaque intervalle i, déterminer Qopti
et C(Qopti)
3- Garder Qoptk donnant Min C(Qopti)
Application: Reprendre l’exemple pour
lequel Q*=447, et suivre l’algorithme de
résolution.
Modèle de Wilson avec rupture de stock
On suppose que la pénurie est permise avec ventes différées. Le coût de pénurie Cr est proportionnel au
nombre d’articles manquants et à la durée de pénurie.
Soit P le nombre d’articles manquants. A la livraison, ces P articles seront livrés immédiatement (vente
différée) et le stock initial sera (Q – P).
Au bout d’un temps T1=(Q-P)/D, il y aura rupture de stock, pendent un temps T2 = P/D. Le coût moyen
par article est:
QD
PC
QD
PQC
Q
CPQC rpc
22
)(),(
22
+−
+=
La condition nécessaire pour minimiser le coût du stock en tenant compte de la pénurie est:
27
0),(),( ==
dQ
PQdC
dP
PQdC
p
cC
DCQ
ρ2
* =pr
rCC
C
+=ρ
Quantité économique de commande:
avec
Modèle avec pénurie
Cette méthode est appliquée si le réapprovisionnement se fait à intervalle régulier de période T. La quantité
de commande Q est déterminée afin de recomplèter le stock de début de période à un niveau S
prédéterminé. Lorsqu’il y a une pénurie de p articles en fin de période précédente , Q sera égale à S si les
ventes sont perdues, Q sera égale à p+S si les ventes sont différés. En général si α % de ventes est différée,
le reste perdu, Q sera égale à ααααp+S .
Méthodes de réapprovisionnement: Recomplètement calendaire
Avantages: � La gestion administrative de la commande est simplifiée� Il permet la mise en place des tournées de livraison régulières�Le contrôle du stock se fait lui aussi de manière régulière au moment de la passation de la commande.
Paramètres: La politique calendaire dépend des deux paramètres T et S. La période T découle deconsidérations extérieures telle que la mise en place de tournées régulières de livraison, du lissage dela charge du service de réception, c’est pourquoi, la période T sera considérée comme une donnée, etnous recherchons à trouver le niveau optimal de recomplètement S. L’optimisation a pour butd’assurer un taux de service fixé par l’entreprise ou de minimiser le coût du stock.
Hypothèses: La demande pendent la période T est aléatoire, mais statistiquement prévisible. Pourdéterminer la loi de la demande, on relèvera les demandes faites sur n périodes consécutives.Soit X=(x1, x2,…xn) la série ordonnée croissante des différents valeurs, ni le nombre d’observation dexi, et , la probabilité d’observer une demande X de valeur xi est donnée par:∑=
i
inN
NnpxXP ixii /)( ===28
Recomplètement calendaire: Modèle basé sur le taux de service
Définitions:
� La loi de probabilité discrète (ou fonction de répartition):
� La loi de probabilité continue (ou fonction de répartition):
∑=
==≤=i
k
kii xXPxXPxF
1
)()()(
∫ ==≤=
x
zdzzfxXPxF
0)()()(
La quantité de commande est déterminée à l’aide du modèle basé sur le taux de service
Le rôle du stock est de fournir les matières et composants nécessaires à la production. Le
critère retenu sera la probabilité de fournir (ou de servir) la demande. Il existe deux
indicateurs de service notés α et β:
� Si le problème réside dans l’existence d’une rupture, l’indicateur retenu sera la
probabilité de satisfaire la demande sans interruption, il est noté α .
� Si l’on considère que l’important est le nombre d’articles manquants, l’indicateur sera
le rapport entre le nombre d’articles fournis et la demande, il est noté β.
29
Recomplètement calendaire: Modèle basé sur le taux de service
Exemple
���� Un pharmacien vend chaque jour 6 à 9 boites d’un certain vaccin infantile obligatoire. Sur le mois
précédent, la loi de demande journalière a été:
X px F(x)
6 35% 35%
7 50% 85%
8 10% 95%
9 5% 100%
Ce vaccin doit être conservé au réfrigérateur. La place étant
comptée .
85.6%5*9%10*8%50*7%35*6)( =+++=XELa demande moyenne est de:
Le pharmacien décide de fixer le seuil de réapprovisionnement
à 7 boites.9 5% 100%
à 7 boites.
Considérant une période de fonctionnement de 100 jours:
�Sur 100 jours, il y a 15 jours pour lesquels la demande est supérieure strictement à 7. Certains
clients repartiront sans vaccin, le stock étant épuisé. Le service est donc pleinement assuré 85% du
temps, donc α = 85%.
� La demande moyenne étant de 685, en 100 jours, 685 vaccin ont été demandés (en moyenne),
Les 10 jours où la demande était de 8, un seul vaccin n’a pu être fourni (soit 10 vaccins sur 10
jours). Les 5 jours où la demande était de 9, deux vaccins n’ont pu être livrés sur le champs (soit 10
vaccins sur 5 jours). Soit une pénurie de 20 vaccins. On a pu fournir sans retard 665 vaccins sur
685, ce qui donne une valeur de: β = 97%30
Calcul du taux de service en temps α���� Pour être en rupture, il suffit que la demande X sur la période T excède le stock S en début de
période.
� La probabilité de rupture est donnée par:
���� La probabilité de service sans rupture est: αααα = F(S)
)(1)(1)( SFSXPSXP −=≤−=>
Exemple discret(1):
���� Dans un magasin de pièces détachées, la référence RT35 fait l’objet d’un réapprovisionnement
mensuel. Sa demande mensuelle suit la loi de probabilité discrète ci-dessous:
X px F(x)
4 5% 5%
5 10% 15%
6 25% 40%
7 30% 70%
8 15% 85%
9 10% 95%
10 3% 98%
11 2% 100%
L’objectif fixé par le directeur du magasin est de
pouvoir satisfaire tous les clients 90% du temps. Pour
cela, nous devons prendre S = 9. Le taux effectif de
satisfaction est de 95%.
31
Calcul du taux de service en temps αExemple continu (2):
�Une pièce est gérée selon la méthode de recomplètement calendaire. Sa demande
pendent l’intervalle T suit une loi normale de moyenne 1000 et d’écart type 100. On s’est fixé
une valeur de α=99%. Pour cette valeur, le tableau de la loi normale N(0,1) nous donne
� z = 2,33=[(S-1000)/100]
(voir valeurs de Fs utilisé pour calculer le stock de sécurité)
���� Le stock S en début de période pour assurer la valeur voulue de α sera: S = 1000+2,33*100
S = 1233 piècesS = 1233 pièces
32
Calcul du taux de service en pièces ββ est le rapport entre le nombre d’articles fournis sur la demande moyenne. Le nombred’articles fournis est égal au nombre d’articles demandés moyen E(X) moins le nombred’articles manquants P(S):
)(
)(1
)(
)()(
XE
SP
XE
SXE −=Ρ−=β
En pénurie, la demande x est supérieure à S et le nombre de manquants est (x-S). La
rupture moyenne est donnée par:
� Cas discret: ∑∞
−= xpSxSP )()(
� Cas continu:
∑=Sx
x
∫∞
=−=
SxdxxfSxSP )()()(
La demande moyenne E(X) est calculée à partir de:
� Cas discontinu:
� Cas continu:
∑∞
=
=0
.)(
x
xpxXE
∫∞
=0
)(.)( dxxfxXE33
Exemple discret:
�On reprend l’exemple précédent (1), mais l’objectif est que dans 90% des cas, le client repart avec les
pièces qu’il était venu chercher.
� Calculer la demande moyenne: E(X)=
�Nous voulons ββββ ≥≥≥≥ 90%, calcul de P(S):
Calcul du taux de service en pièces β
6.92
[ ])(1)()()(
11
1
11
1
11
1
SFSSGpSxppSxSP
Sx
x
Sx Sx
xx −−=−=−= ∑∑ ∑+=+= +=
x px F(x) x.px G P(S) ββββ
4 5% 5% 0.2 6.72 2.92 57.80%
5 10% 15% 0.5 6.22 1.97 71.53%
6 25% 40% 1.5 4.72 1.12 83.82%
7 30% 70% 2.1 2.62 0.52 92.49%
8 15% 85% 1.2 1.42 0.22 96.82%
9 10% 95% 0.9 0.52 0.07 98.99%
10 3% 98% 0.3 0.22 0.02 99.71%
11 2% 100% 0.22 0.00 0.00 100.00%
Le calcul de G s’obtient par
sommation des termes (x.px) et G
de la ligne d’en dessous et en
initialisant G(11) à zéro.
Pour avoir ββββ ≥≥≥≥ 90%, nous
prenons S = 7 et nous pourrons
satisfaire 92,49% des
demandes.34
Calcul du taux de service en pièces βLa détermination de β repose sur le calcul de P(S). Lorsque la demande X suit la loi normaleN(µ,σσσσ) de moyenne µ et d’écart type σ, on se ramène à la variable centrée réduite z = (X-µ)/ σσσσde loi N(0,1) avec: P(S)= σσσσ P(z) (voir diapo 41 ).
P(z) est calculée à partir de la fonction de répartition de la loi normale F(z) selon*:
zzzFe
zPz
−+=−
)(2
)(2/2
π
Pour la loi normale, la demande moyenne est égale à µ, et l’on obtient: µ
zP σβ )(1 =−
Exemple continu:
�On reprend l’exemple précédent (2): µ = 1000, σσσσ=100, ββββ= 99%.
� P(z) = 0.1, z = 0.9 et
S = 1000 + 0.9*100 = 1090
35
*: H. Molet, une nouvelle gestion industrielle, Edition 1997
Gestion calendaire de stock: Modèle basé sur le coût global
Exemples : stock à rotation nulle :
1- Un marchand de journaux achète chaque jour une quantité fixée d’un certain quotidien.Il paye chaque exemplaire 4DH et le revend à 6DH, soit une marge de 2DH. Si la demandeest supérieure à son stock, le marchand constate un manque à gagner de 2DH, d’où Cr =
2DH. Tout exemplaire non vendu lui est racheté 3DH par le groupe de presse, ce quiengendre une perte sèche de 1DH, d’où Cp=1DH.
2- Une entreprise fabrique en série des articles de mode et des gadgets. Si les séries sont
On distingue entre la gestion calendaire de stock à rotation nulle et à rotation non nulle
2- Une entreprise fabrique en série des articles de mode et des gadgets. Si les séries sonttrop longues, les articles restants sont écoulés à bas prix chez un soldeur (Cp est égal à laperte sèche), si les séries sont très courtes, il perd les clients (Cr est égal au manque àgagner).
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
Stock à rotation nulle: lorsqu’il n’y a pas de report possible des invendus aux périodes suivantes.
Cas où la demande suit une loi de probabilité discrète: Exemple du pâtissier []:
Objectif: déterminer le niveau du stock initial S, qui est donc ici la variable de commande. Remarque: la période de révision calendaire, c.-à-d. l’intervalle entre deux approvisionnements (T) est fixé
par la nature de l’approvisionnement. Par exemple, un pâtissier met en fabrication des gâteaux chaque jour. Le libraire commande des journaux chaque jour, des périodiques chaque semaine ou chaque mois.
Le coût de fabrication d’un gâteau est de 25 F l’unité et le prix de vente est de 60 F l’unité. Supposons quela demande quotidienne de ce gâteau, que nous noterons X, suive une loi de Poisson de moyenne égale à2,5 gâteaux par jour (λ=2,5). Le tableau ci dessous reprend la distribution de probabilité du nombre X declients par jour pour ce produit. Dans ce tableau x indique une valeur possible de la demande et P(X = x)indique la probabilité d’occurrence de cette valeur.indique la probabilité d’occurrence de cette valeur.
Question du pâtissier: combien mettre de gâteaux en fabrication chaque jour pour maximiser son bénéfice ?
� Le coût de possession, Cp, lié `a l’invendu en fin de journée est 25 F, c.-à-d. le coût de production.� Le coût de rupture, Cr lié à une vente manquée est égal à la marge, c.-à-d.: 60 F - 25 F = 35F.� Le coût de commande, c.-à-d. CC , correspond au coût de mise en route d’une fabrication de gâteaux.
Réponse à la question: On doit déterminer S, le stock initial, de manière à minimiser:
ccrrpp ICSICSICSC ++= )()()(
Ip(S): le stock moyen résiduel en fin de journée et Ir(S), nombre moyen de ruptures sur la
journée. Ic le nombre moyen de commandes fixé par jour.
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
Résolution numérique du problème
- On prend pour S différentes valeurs de 1 à 6- Calculer le nombre de rupture ( valeurs positives de (x-S)) en fonction du stock initial et de la demande
observée x.- Calculer Ir(S), le nombre moyen de ruptures, pour chaque valeur de S, faire la moyenne pondérée de ce
nombre par la probabilité d’observer x.
∑+=
−=n
Sx
xr pSxSI
1
)()( n demandes observées
38
- Calculer le stock final possédé en fonction du stock initial (S) et de la demande observée (x) : c’est la partie
positive de (S-x).
- Calculer Ip(S), le stock moyen possédé en fonction du stock initial (S): pour chaque valeur de S, faire la moyenne pondérée du stock final (S-x) par la probabilité d’observer x.
- Calculer le coût moyen de possession du stock en appliquant la formule suivante:
- Tracer le graphique C(S) et en déduire la valeur de S optimale: S*
∑+=Sx 1
∑=
−=S
x
xp pxSSI
0
)()(
)(25)(35)( SISISC pr +=
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
Résolution analytique du problème
Le stock optimal S* est celui pour lequel le coût de gestion C(S*) est inférieur à celui des stocks
immédiatement inférieur et supérieur:
)()1(
)()1(
**
**
SCSC
SCSC
>−
>+
Pour déterminer S*, il suffit d’étudier l’´evolution de la différence de coût de stocks successifs définiecomme : C(S + 1) − C(S),
La différence des coût de deux stocks initiaux consécutifs:
40
[ ] [ ])()1()()1()()1( SISICSISICSCSC rrrppp −++−+=−+
La différence des coût de deux stocks initiaux consécutifs:
−−−−+
−−−+= ∑∑∑ ∑
+=+=
+
= =
n
Sx
x
n
Sx
xr
S
x
S
x
xxp pSxpSxCpxSpxSC
12
1
0 0
)()1()()1(
))(1()()()(
10
SFCSFCSXPCSXPCpCpC rprp
n
Sx
xr
S
x
xp −−=>−≤=
−
= ∑∑
+==
[ ] rrp CCCSFSCSC −+=−+ )()()1(
Détermination de la solution optimale: stock initial S* qui minimise le coût global:
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
Résolution analytique du problème
Les conditions d’optimalité deviennent:
0*)()( >−+ rrp CSFCC
0)1*()( <−−+ rrp CSFCC*)()1*( SF
CC
CSF
pr
r <=+
<− ρ
Application: exemple du pâtissier
41
583,02535
35 =+
=+
=pr
rCC
Cρ
3* =S
On en conclut qu’il est optimale de mettre en production 3 gâteaux chaque jour
Voir tables de la loi
de poisson
7576,0)3*(583,05438,0)21*( ==<=<==− SFSF ρPour λ = 2,5, on a
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
Cas où la demande suit une loi de probabilité continue [1]:
Exemple : Marchand des journaux
Un marchand de journaux qui vent un quotidien à 3,5F l’unité, qui lui-même l’acquièreà 2,8F auprès de son grossiste qui lui reprend les invendus au prix de 2,6F l’unité.
Le coût de rupture, Cr est lié à l’invendu et vaut donc la marge bénéficiaire:
3,5F - 2,8F = 0,7F
Le coût de possession, C , vaut la perte enregistrée par invendu, c’est-à-dire:Le coût de possession, Cp, vaut la perte enregistrée par invendu, c’est-à-dire:
2,8F - 2,6F= 0,2 F.
On suppose que la demande quotidienne suit approximativement une loi normale demoyenne E(X) = 300 et d’´ecart type σ = 20.
Question: quel est le nombre d’exemplaires à commander S de manière àminimiser le coût de gestion :
)()()( SICSICSC rrpp += ∫∫∞
−+−=S
r
S
p dxxfSxCdxxfxSCSC )()()()()(0
[1]: Vincent Giard, Gestion de la production et des flux, Ed 2003
La condition d’optimalité s’écrit dans le cas d’une loi continue : C’(S*) = 0
Gestion calendaire de stock à rotation nulle
1.)()()()()(00
rrpr
S
rp CSFCCdxxfCdxxfCC −+=−+= ∫∫∞
−−=−== ∫∫∫∫∫
∞∞ S
r
S
pS
r
S
p dxxfdxxfCdxxfCdxxfCdxxfCdS
SdCSC
0000)()()()()(
)()('
S* est optimal si: ρ=+
=rp
rCC
CSF *)(
ρρρρ est donc la probabilité de ne pas
être en rupture de stock lorsque le
niveau initial est S*
43
+ rp CC
Application: exemple du marchand des journaux
niveau initial est S*
78,02,07,0
7,0 =+
=+
=pr
rCC
Cρ
Comme on ne dispose que de la table de la normale réduite, il faut réduire la variable aléatoire X en lui retranchant sa
moyenne et en la divisant par son écart type. On obtient:
78,0)20
300*( =−S
F 765,020
300* =−S
315* ≈SL’approvisionnement périodique optimal:
Gestion calendaire de stock à rotation nulle:
Les conséquences économiques de la solution optimale
La rupture du stock
Cas discret
Le nombre moyen des ruptures Ir(S) correspond au
nombre de demandes non satisfaites:
∑∑∑+=+=+=
−=−=n
Sx
x
n
Sx
x
n
Sx
xr pSxppSxSI
111
)()(
Pour la distribution de Poisson de paramètre λ[1]: )1(
1
−>=∑+=
SxPxp
n
Sx
x λ
44
)()1()( SxSPSxPSI r >−−>= λ
Loi de demande continue )()()()()( SxSPdxxxfdxxfSxSIss
r >−=−= ∫∫∞∞
Pour la distribution normale N(µ, σ) [1] : [ ]
πσ
σσ
2)(;
)(
)(.)()()(2St
SS
SSssr
etf
XESt
tgttPttfSI
−=−=
=>−=
Gestion calendaire de stock à rotation nulle:
Les conséquences économiques de la solution optimale
Le stock moyen possédé
Il correspond au stock résiduel moyen. Cet indicateur s’obtient à partir de la rupture
moyenne aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation[1]:
)()()( SIXESSI rp +−=
Le coût moyen
45
Le coût moyen
Le coût moyen C(S) peut être calculé par la relation suivante :
)()()()( SICSICSICSC ccrrpp ++=
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
On parle de stocks à rotation non nulle lorsque les invendus d’une période seront vendusaux périodes suivantes (ventes différées). C’est de loin le cas le plus répandu.
La variable de commande du système est S, le niveau de recomplètement, c’est-`a-dire leniveau du stock que l’on cherche à retrouver périodiquement.
Remarques: La différence fondamentale avec le cas du stock à rotation nulle:
La commande à passer pour un approvisionnement en début de période n’est plus fixe. Deuxcas sont possibles :
46
� Il reste un stock résiduel positif : dans ce cas, on commande la différence entre Set le stock résiduel;
� Le stock résiduel est nul : dans ce cas, on commande S augmenté des demandesnon satisfaites de la période précédente qui ont pu être reportées.
On suppose que la demande hebdomadaire d’ampoules de 60Watt suit une loi normale demoyenne 300 et d’´ecart type 20. Le réapprovisionnement se fait en début de semaine chezle grossiste au prix d’achat de 3 F l’unité. Les ampoules sont vendues au prix de 3,5 F l’unité.On suppose que la valeur moyenne annuelle d’un article est de 3F, et que le pourcentage γest de 20 %, d’où un coût de possession annuel par ampoule en stock de : 3 F × 0,2 = 0, 6 F.
Pour arriver à un coût de possession hebdomadaire, il faut tenir compte du nombre desemaines sur lesquelles la demande s’exprime. Ici, on suppose le magasin ouvert 52
Exemples : Electricien
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
47
semaines sur lesquelles la demande s’exprime. Ici, on suppose le magasin ouvert 52semaines par an, d’où un coût unitaire de possession : Cp = 0, 6 F /52 = 0, 0115 F
Calculons maintenant le coût unitaire de rupture: il correspond à la marge non réalisée parampoule : 3, 5 F − 3 F = 0, 5 F.
Quel est le niveau de recomplètement optimal S*?
Il n’y a pas de rupture de stock. C’est l’exemple d’une demande observée de 310. Le stock defin de période vaut donc :
320 − 310 = 10 ampoules.
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Supposons qu’un niveau de recomplètement de 320 ait été choisi.
Evolution du stock: on peut supposer que la demande de 310 ampoules est également répartie sur toute la semaine et on peut faire une interpolation linéaire:
Cas d’une demande inférieure à S
48
le stock moyen possédé Ip(S):
2
)(
2
10320)(
xSSSI p
−+=+=
2
2)(:)(
xSSISxSi p
−=≤
on observe une rupture de stock. C’est le cas, par exemple, d’une demande observée de 350.On détermine à partir de quand le stock est nul. La demande, comme dans le cas sansrupture, est supposée uniformément répartie sur la semaine (cinq jours).La demande journalière est: 350/5=70 ampoules par jour.
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
L’évolution du stock moyen possédé est obtenue par:
Cas d’une demande supérieure à S
Le stock est nul au bout de T1:
ttS 70320)( −=
49
Le stock est nul au bout de T1:
Tx
SjoursT
/57,4
70
3201 ===
Le stock moyen possédé pendent T1:
1602
0320 =+
Le stock moyen possédé par période T :
146350
320.
2
320)( ==SI p
x
SSISxSi p 2
)(:)(2
=>x
SS
T
TSSI p 2
1
2)( ==
T1 T2
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Cas d’une demande supérieure à S
Le stock moyen de rupture par période T :
x
SxSx
T
TSxSI r
−−=−= .2
2
2)(
T1 T2
( )Sx 2−
50
( )x
SxSISxSi r 2
)(:)(2−=>
28,1350*2
)320350()(
2=−=SI r
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Détermination de la solution optimale S*: cas discret
Le stock moyen possédé Par période T: ∑∑+==
+−=n
Sx
xS
x
xp x
pSp
xSSI
1
2
02
)2
()(
∑+=
−=n
Sx
xr px
SxSI
1
2
2
)()(Le nombre moyen de rupture par période T:
nnS
Le coût de gestion global par unité de période T :
51
∑∑∑+=+==
−+
+−=
n
Sx
xr
n
Sx
xS
x
xp px
SxC
x
pSp
xSCS
1
2
1
2
02
)(
2)
2()(γ
r
n
Sx
xrp C
x
pSSFCCSS −
+++=−− ∑+= 1
2
12)()()1()( γγ
Pour déterminer S*, il suffit d’étudier l’´evolution de la différence de coût de stocks successifs définiecomme : γ(S) − γ(S-1),
∑+=
=n
Sx
xx
PSG
1
)(
)()2
1()()( SGSSFSL ++=
Soit:
rrp CSLCCSS −+=−− )()()1()( γγ
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Détermination de la solution optimale S*: cas discret
Les conditions d’optimalité deviennent:
0*)()( >−+ rrp CSLCC
0)1*()( <−−+ rrp CSLCC*)()1*( SL
CC
CSL
pr
r <=+
<− ρ
Application:
Une pièce donnée est en approvisionnement tous les 15 jours. On estime que son coût de pénurie parpériode est équivalent à 20 fois son coût de possession sur la même période. La demande sur 15 jours
52
période est équivalent à 20 fois son coût de possession sur la même période. La demande sur 15 joursvarie de 20 à 27 avec les probabilités du tableau ci-dessous. Calculer la quantité de recomplètementcalendaire S*.
S, x Px (%) F(x) Px/x G(S) L(S)
20 4
21 8
22 16
23 20
24 16
25 16
26 14
27 6
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Détermination de la solution optimale S*: cas continu
ρ=+
=rp
rCC
CSL *)(
)()()( SSGSFSL +=
∫∞
=S
dxx
xfSG
)()(
Exemple: Dans un supermarché, la demande d’un article de très grande consommation suit une demande que
53
Dans un supermarché, la demande d’un article de très grande consommation suit une demande que l’on a pu approximer par la fonction de densité (avec λ =1/2000):
Cet article revient à 10F la pièce et le supermarché applique un coefficient de 35% pour estimer lescoûts de possession annuels. La direction a jugé que l’absence prolongée de cet article deconsommation courante serait mal perçue par les clients. Aussi, on estime que le coût de rupturedoit être proportionnel au nombre d’articles manquants et au délai de rupture, et on évalue ce coûtà 20 fois le coût de possession. Le réapprovisionnement est assuré tous les mercredis.
xxexfxSi
xfxSi
λλ −=≥
=<2)();0(
0)();0(
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Détermination de la solution optimale S*: cas continu
Vu que le coût de rupture est élevé par rapport au coût de possession, la rupture de stock ne seproduira que rarement. Dans ce cas, elle ne se produira qu’en fin de période, et l’on simplifiera leproblème en supposant que: T1=T et T2=0.
Le stock moyen possédé par période T : ∑∑+==
+−=n
Sx
x
S
x
xp pS
px
SSI
102
)2
()(
54
∑+=
−=n
Sx
xr pSxSI
1
)()(Le nombre moyen de rupture pendent la période T:
Détermination de la solution optimale S*: cas discret
Détermination de la solution optimale S*: cas continu
*)(2
2)1*( SF
CC
CCSF
rp
pr <=+−
<− τ
τ=+−
== ∫ rp
prS
CC
CCdxxfSF
2
2)(*)(
0
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle
Appliquons la méthode simplifiée aux données numériques de notre exemple de ventes d’ampoules électriques:
977,00115,05,0*2
0115,05,0*2 =+−=τ
Nous disposons des valeurs de la loi normale N(0,1) correspondante à la variable centrée réduite:
220
300*023,0)
20
300*( =−
⇒=−=− SSµXP
σ
340* =SLe niveau optimal de recomplètement
55
340* =SLe niveau optimal de recomplètement
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle:Les conséquences économiques de la solution optimale
La rupture du stock
Cas discret
Le nombre moyen des ruptures Ir(S) correspond au
nombre de demandes non satisfaites:
∑∑∑+=+=+=
−=−=n
Sx
x
n
Sx
x
n
Sx
xr pSxppSxSI
111
)()(
Pour la distribution de Poisson de paramètre λ[1]: )1(
1
−>=∑+=
SxPxp
n
Sx
x λ
56
)()1()( SxSPSxPSI r >−−>= λ
Loi de demande continue )()()()()( SxSPdxxxfdxxfSxSIss
r >−=−= ∫∫∞∞
Pour la distribution normale N(µ, σ) [1] : [ ]
πσ
σσ
2)(;
)(
)(.)()()(2St
SS
SSssr
etf
XESt
tgttPttfSI
−=−=
=>−=
Gestion calendaire de stock à rotation non nulle:Les conséquences économiques de la solution optimale
Le stock moyen possédé
Il correspond au stock résiduel moyen. Cet indicateur s’obtient à partir de la rupture
moyenne aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation[1]:
2
)(
2
)()(
SIXESSI r
p +−=
Le coût moyen
57
Le coût moyen
Le coût moyen C(S) peut être calculé par la relation suivante :
)()()()( SICSICSICSC ccrrpp ++=
Gestion à point de commande
La gestion par point de commande se caractérise par:
� Une quantité de commande économique constante, notée q
� Une périodicité de commande variable
On commande lorsque le stock passe en dessous du point de commande, s
Il y a deux cas de figure:
� La gestion (q, S) en univers certain, c.à.d. la demande est certaine, on commande
58
� La gestion (q, S) en univers certain, c.à.d. la demande est certaine, on commande
avant rupture de stock et il n’ y a pas de coût de rupture. La commande correspond à la
quantité économique. Elle est déterminée en appliquant le modèle de Wilson.
� La gestion (q, s) en univers incertain: le coût de rupture intervient. Les variables de
décision sont q et s, le point de commande seront déterminés de manière à réaliser un
taux de service en temps ou en pièces ou à minimiser le coût de gestion.
Gestion à point de commande
Hypothèses pour une étude générale
- La demande est connue statistiquement
Remarque : la différence entre la gestion calendaire (T,S) et à point de commande (q, s) réside dans ladéfinition de la période. Si le réapprovisionnement avec (T,S) est hebdomadaire, on s’intéresse àconnaitre la loi de demande sur la semaine, et si le délai de livraison est de quelques jours, et que l’onveut passer pour le même article à une gestion (q, s) , la connaissance de la demande hebdomadaireest peu précise, et la loi de demande journalière doit être déterminée.
- On note X la demande d’une période élémentaire et f(x) sa densité.
59
Etude générale de l’évolution du stock
L’évolution du stock entre deux points de commande consécutifs est décomposée en
deux phases:
� Le passage du point de commande au point de livraison correspondant
� Le passage du point de livraison au point de commande suivant
Gestion à point de commande: Etude générale
Le passage du point de commande au point de livraison correspondant
Description de phase: correspond à l’attente de livraison où la pénurie peut se produire. Comment?
La pénurie dépend uniquement du niveau s du seuil de commande et de la demande globale durant
cette période d’attente de durée L.
La demande pendent la phase d’attente de livraison (comme la demande X est aléatoire) XL est aussi
aléatoire. On note f(XL) sa densité. On note xL la demande réelle pendent L.
60
Cas 1: Si s ≥≥≥≥ xL , il y aura un stock résiduel de s-xL articles à l’arrivée de la nouvelle commande. Le
stock résiduel moyen R(s) est exprimé par:
LLL
s
xL dxxfxssR
L
)()()( ∫ −=
Cas 2: Si s < xL , il y aura une pénurie P(s) de (xL-s) . La pénurie moyenne est exprimée par:
LLLsx
L dxxfsxsPL
)()()( ∫∞
=−=
Gestion à point de commande: Etude générale
Le passage du point de commande au point de livraison correspondant
Lorsque le délai de livraison L est constant, cette première phase se modélise exactement comme
une gestion calendaire (T,S) en prenant:
� Pour période T = L
� Niveau de recomplètement S=s
� La loi de demande fL(xL)
Le passage du point de livraison au point de commande suivant
Description de phase: A la suite de la livraison, le stock initial est noté SInit. Il diminue de SInit à s
61
Description de phase: A la suite de la livraison, le stock initial est noté SInit. Il diminue de SInit à s
selon la loi de la demande X. La valeur moyenne de SInit dépend du devenir de la pénurie (phase 1).
Cas 1: Si les demandes sont différées, la quantité livrée q vient s’ajouter au stock résiduel R(s) ou
bien est diminué du nombre d’articles manquants P(s) s’il y a pénurie.
)()()(0
LLLLx
L XEsqdxxfxsqSInitL
−+=−+= ∫∞
=Cas 2: Si les demandes sont perdues, SInit est égale (q+s- xL ) lorsqu’il y a un stock résiduel et q s’il
y a pénurie. En moyenne:
LLL
s
xL dxxfxsqSInit
L
)()(0∫ =−+=
Gestion à point de commande: Etude générale
Durée moyenne entre deux livraisons (entre deux points de commande s)
Pour estimer la durée T entre deux livraisons, considérons la demande globale sur unhorizon assez long correspondant à n commande. Celle-ci est exprimée en fonction de lademande moyenne pour une période élémentaire E(X), de n et de T:La quantité livrée à la suite des n commandes est (nq).
� Si les demandes sont différées sur l’horizon retenu, la demande globale et laquantité livrée s’équilibrent:
)( XE
qT =
TXnE )(
62
� Si les demandes sont perdues, la demande globale est égale aux quantités livréesnq plus le nombre de demandes perdues nP(s):
)( XE
)(
)(
XE
sPqT
+=
Gestion à point de commande: Etude générale
Détermination de la loi de demande XL à partir de la loi de demande X
Pour la gestion (q,s), il faut connaitre les deux lois de probabilité de XL et de X.
Exemple: Cas discret
Il est possible de déterminer la loi de probabilité de XL par combinaison des occurrences deX. Soit la demande journalière suivante:
Demande 2 3 4 5 6
Probabilité 5% 10% 10% 45% 30%
63
On note X1: la demande relative à une journéeX2: la demande sur deux jours qui varie entre 2x2 et 2x6X3: la demande sur 3 jours qui varie entre 3x2 et 3x6� Si X varie ente xmin et xmax, alors XL varie entre L xmin et Lxmax
Poser X1=XPour k de 2 à L faireInitialisation: P(Xk=x) = 0 ∀ x
Pour x de xmin à xmax fairePour y de (k-1)xmin à (k-1)xmax faire
P(Xk=x+y)←P(Xk=x+y)+P(X=x)*P(XK-1=y)Fin pour
Algorithme pour calcul itératif des lois de X1, X2, …XL
Si le délai L est une variablealéatoire variant de Lmin et Lmax, lesvaleurs de XL varie de Lmin.xmin etLmax.xmax avec:
∑=
====max
min
)()()(
L
Lk
kL kLPxXPxXP
Gestion à point de commande: Etude générale
Exemple: Cas discret
Demande 2 3 4 5 6
Probabilité 5% 10% 10% 45% 30%
64
Cas continu
Lorsque X suit une loi continue, le calcul de la densité fL(XL) de XL est difficile, y compris lorsque X suitune loi classique sauf dans le cas de la loi normale : Si X suit une loi normale N(µ,σσσσ), la demande XL
suit une loi normale de moyenne µL et d’écart type σσσσL1/2.
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Gestion (q,s) avec les deux indicateurs de service αααα et ββββ
Le taux de service αααα: Probabilité de ne pas avoir de rupture pendant le délai de livraison:
α==≤ )()( sFsxP LL
La valeur de s est déterminée par la fonction de répartition FL(xL) et par αααα.
La valeur de q est déterminée en minimisant le coût de possession et de commande: en utilisant lemodèle de Wilson. Elle correspond à la quantité économique de commande, mais, calculée à partir
de la demande moyenne par période E(X) (ici la demande est statistique, on prend E(X) au lieu de lademande D supposé fixe dans le modèle de Wilson):demande D supposé fixe dans le modèle de Wilson):
p
cC
CXEq
)(2* =
Exemple continu
La demande journalière d’une pièce peut s’approximer par une loi normale de moyenne 100 et d’écarttype 10. Le coût de passation d’une commande est de 1000 francs et le délai de livraison 4 jours. Lecoût de possession d’une pièce est 0,01 francs par jour. On se fait livrer q pièces. On met s pièces enréserve et le reste est mis directement dans l’atelier. Si on tombe en pénurie, on doit mettre en routeune procédure d’approvisionnement d’urgence, relativement onéreuse. On ne veut pas que cela arriveplus d’une fois toutes les 100 livraisons. Calculer q* et s.
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Gestion (q,s) avec les deux indicateurs de service αααα et ββββ
Le taux de service ββββ: Dans le cas de demande différée, la demande est globalementsatisfaite, mais P(S) articles en moyenne sont livrées avec du retard:
q
SP
q
Sq )(1
)( −=Ρ−=β
Dans le cas de demande perdue, q articles sont fournis et P(S) demandes sont perdues. Lademande moyenne est la somme des deux: q+P(s), et on:
)(sPq
q
+=β
Dans les deux cas, ββββ est une fonction de deux variables (q,s). Pour déterminer (q,s), on suit la
démarche suivante:
Calculer q* par la formule de Wilson en remplaçant D par E(X)
Calculer Si la pénurie est différée
Si la pénurie est perdue
Déterminer le s* correspondant
)1(*)( β−= qsP
ββ /)1(*)( −= qsP
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Gestion (q,s) avec les deux indicateurs de service αααα et ββββ
Exemple continu
La demande journalière d’une certaine pièce suit une loi normale de moyenne µ =100 et d’écart typeσ =10. Le coût de possession est estimé à 0.5F par jour et le coût de passation d’une commande est de1000F. Le délai de livraison est de deux jours. Lorsque cette pièce est manquante, on continue quandmême le montage du produit final et on monte la pièce plus tard. On désire que cette pratique n’arrivepas un plus qu’un produit sur 1000.
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Gestion (q,s) avec minimisation du coût
Exemple continu
Il s’agit d’un électroménager de cuisine acheté par un supermarché au prix unitaire de 30 F et vendu40 F l’unité. La demande suit une loi normale de moyenne 2 400 unités et d’écart type 189,74. Le coût
de possession annuel reste de 6 F. Le coût unitaire de commande est de 300 F. Le coût de passationd’une commande est de 300 F et est indépendant de la quantité commandée. Le délai de livraison est
de 20 jours ouvrables. On considère que l’année comporte 48 semaines de 6 jours ouvrables, soit 288jours..
�La demande annuelle X suit une loi normale N(2400, 189,74) � La demande XL pendant�La demande annuelle X suit une loi normale N(2400, 189,74) � La demande XL pendantle délai de livraison L suit une loi normale N(µL, σσσσL) avec:
1672400288
20 === LµµL 5047,189288
20 === LL σσ
La fonction de coût à minimiser fait intervenir les trois variables que sont :
• Le nombre moyen de commandes, Ic
• Le stock moyen annuel, Ip
• La rupture moyenne annuelle, Ir
),(),(),(),( qsICqsICqsICqsC ccrrpp ++=
Pour résoudre le problème, On détermine s et q d’une manière indépendante
(séparation des variables) en se basant sur l’observation suivante:
� Dans l’expression du coût global, le nombre moyen de commandes dépend
essentiellement de la quantité commandée q tandis que le nombre moyen de ruptures
dépend essentiellement du point de commande s. On peut donc récrire l’expression de C
comme :
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
)()(),(),( qICsICqsICqsC ccrrpp ++=
69
� Le terme qui lie la variable q et la variable s est le stock moyen possédé Ip qui dépend àla fois de q et de s. On va déterminer une solution approchée en séparant le problème àdeux variables en deux problèmes à une variable de la manière suivante:
1. Déterminer la quantité économique q* en arbitrant entre le cout de commande et lecoût de possession à partir de la demande moyenne comme si on ´était en univers certain.
2. Déterminer le point de commande s en arbitrant entre le coût de rupture et le coût depossession en utilisant la gestion calendaire pendant le délai d’obtention L, en retenantcomme s le niveau de recomplètement optimal.
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
)()()( qICqICqC ccpp +=La solution optimum pour minimiser le coût: est:
1. Déterminer la quantité économique q* à partir de la formule de Wilson
4906
300*2400*2)(2* ===
p
cC
CXEq
2. Déterminer le point de commande s* en prenant s le niveau derecomplètement calendaire S qui minimise le coût d’une gest ioncalendaire durant le délai d’obtention L:
70
Avec Ip le stock moyen possédé durant L,
et Ir le nombre moyen d’articles non
fournis durant L.
calendaire durant le délai d’obtention L:
)()()( sICsICsC rrpp +=
� Hypothèse simplificatrice : En pratique, Le stock s est suffisamment grand pour que lapénurie soit un cas exceptionnel. Dans ce cas, que les demandes soient perdues oudifférées, le délai moyen T séparant deux livraisons est donné par:
)(
*
XE
qT =
204,02400
490)( ==annéesT joursjoursT 59
2400
288*490)( ==
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
2. Déterminer le point de commande s* en prenant s le niveau derecomplètement calendaire S qui minimise le coût d’une gest ioncalendaire durant le délai d’obtention L:
joursarticleFD
qCC pp 59//204,0*6' ==
Calcul du coût de possession du stock:Le stock moyen possédé Ip(S) correspond à une immobilisation sur 59 jours (durant toutela durée optimale de consommation de la commande q). Donc le coût unitaire (pararticle) de possession durant T est de :
71
joursarticleFD
CC pp 59//204,0*6==
)(10)(204,0*6)( sIsIsC rp +=Coût global de gestion calendaire à minimiser:
τ=+−
== ∫ rp
prS
CC
CCdxxfSF
2
2)(*)(
0Méthode simplifiée (voir diapo 60):
τσ
=+−
=−
rp
pr
L
LCC
CCµSF
2
2)
*(Ou:
884,010*2225,1
225,110*2)
*( =
+−=−
L
LµSF
σ2,1
* =−
L
LµS
σ 227* =S
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Le stock de sécurité est défini comme la différence entre le niveau de recomplètement et la demande
moyenne durant L et vaut ici:
Conséquences économiques:
articlesXEs L 60167227)( =−=−
Le nombre moyen de commandes dépend uniquement de q et se calcule par la formule :
commandesq
DqIc 9,4
490
2400)( ===
Le nombre moyen de ruptures au cours d’un cycle (pendent la durée d’obtention L), noté Irc, se calcule
par la formule de la gestion calendaire :
72
81,20561,0*50)2,1(.)227( ===== Scr tgsI σ Voir l’expression de g(ts):
diapo 50
�or le nombre de cycles est égal au nombre de commandes Ic(q). Le nombre moyen de ventes manquées
par an Ir(q) s’élève donc à:
articlessIqIsI crcr 77,1381,2*9,4)().()( ===
Le calcul du stock moyen possédé est plus compliqué car il dépend à la fois de s et de q. On peut
montrer (voir Giard [1]) que :
� En cas de ventes manquées perdues (le cas ici):
� En cas de ventes manquées différées:
405,3062
)())((
2),( =+−+= sI
XEsq
qsIcr
Lp
)(2
))((2
),( sIq
DLXEs
qqsI c
rp +−+=
Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu
Conséquences économiques:
Que les ventes manquées soient perdues ou différées, le coût de gestion se calcule par la formule :
)()().(),(),( qICqIsICqsICqsC ccccrrpp ++=
F45,344581,2490
2400104,306*6
490
2400*300 =++=
La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant à la marge bénéficiaire sur la demande
73
La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant à la marge bénéficiaire sur la demande moyenne, le coût de gestion annuel:
q) C(s,)(q) C(s, - Dm),( u −−== DPAPVqsB
45,2055445,344524000),( =−=qsB
Vente par correspondance: qu’elle politique choisir: (T,S) ou (q,s)
But: Comparer les deux méthodes de gestion de stock vues à savoir• la gestion calendaire de stock,
• la gestion par point de commande sur un même exemple pratique.
Exemple:
Une société spécialisée dans le vente par correspondance un article peu vendu. Il s’agit d’un matelasorthopédique. La demande mensuelle de cet article suit une loi de Poisson de moyenne 8. L’acheteurresponsable de l’approvisionnement hésite entre trois systèmes :
1- La gestion calendaire avec une période de révision calendaire de deux mois. Le coût de passation decommande est estimé à 20 euros, le produit est acheté 200 euros et revendu 350 euros (y compris lecoût moyen de transport vers le client égale à 50 euros). La régularité de l’approvisionnement permet
74
coût moyen de transport vers le client égale à 50 euros). La régularité de l’approvisionnement permetd’avoir un délai d’obtention insignifiant. Une demande non satisfaite est différée avec un coût de10euros (frais administratifs).
2. Une gestion du type quantité économique de commande - point de commande avec les mêmes coûtsque précédemment, mais avec cette fois un délai d’obtention de 15 jours environ.
3. Servir d’intermédiaire en répercutant au fournisseur la commande, ce qui permet `a l’entreprise depercevoir une commission de 50 euros.
L’entreprise estime que la rentabilité marginale de son capital est de 24 %. Après étude du bénéfice netdans les trois cas, quel politique doit-on choisir ?
Indice: Comparer les bénéfices de chaque politique, en calculant d’abord les coûts de gestion
global
PLAN
• Introduction
• Gestion des stocks
• Planification de la production
• Programmation linéaire de la production
• Méthodes de prévision
• Méthodes d’ordonnancement de la production
• Le lancement et le suivi directs
• La gestion globale MRP
75
Ordonnancement
Objectifs
Transforme les décisions de fabrication définies par le programme directeur deproduction en instructions de d’exécution détaillées pour le pilotage et le contrôle àcourt terme de l’activité des postes de travail dans l’atelier
Les sous - fonctions d’ordonnancement
Elaboration des ordres de fabrication (OF): transformer les suggestions de defabrication (informations du PDP) en OF.
76
fabrication (informations du PDP) en OF.
Elaboration du planning d’atelier: En fonction des OF et de la disponibilité desressources consommables (matières premières, composants) et partageables(poste de travail), le calendrier prévisionnel de fabrication sera déterminé(transformer les prévisions à court terme en ordre d’exécution à très courtterme).
Lancement et suivi: distribuer aux postes de travail les documents nécessairesà la bonne exécution des fabrications et assurer leur suivi.
Ordonnancement
Objectifs : Transforme les décisions de fabrication définies par le programme directeur deproduction en instructions de d’exécution détaillées pour le pilotage et lecontrôle à court terme de l’activité des postes de travail dans l’atelier
Les sous - fonctions d’ordonnancement
Elaboration des ordres de fabrication (OF): transformer les suggestions de de fabrication(informations du PDP) en OF.
Elaboration du planning d’atelier: En fonction des OF et de la disponibilité des ressourcesconsommables (matières premières, composants) et partageables (poste de travail), le calendrierprévisionnel de fabrication sera déterminé (transformer les prévisions à court terme en ordred’exécution à très court terme).
77
d’exécution à très court terme).
Lancement et suivi: distribuer aux postes de travail les documents nécessaires à la bonneexécution des fabrications et assurer leur suivi.
Types d’ordonnancement
Le pilotage de la production:
� Centralisé (le plus répondu): elle propose un planning d’atelier très complet (de synthèse),la prise de décision est centralisée
� Décentralisée ou local: la décision est prise en fonction d’informations sur les lots en attentedevant un poste de charge sans avoir à considérer la situation des autres fils d’attente.
Ordonnancement: Elaboration des OF
Définition : Ensemble de documents donnant ordre à la fabrication des produits spécifiésavec des quantités données pour une date donnée. Les OF sont matérialisés parle dossier de fabrication.
PDPGammes de
production
Disponibilité des ressources:
(quantité à fabriquer, dates de
mise à disposition prévisionnelle…)
Politique de l’entreprise:
78
Elaboration des OF
OF
Politique de l’entreprise:
(priorité au délai, aux coûts, ou à
l’utilisation de certains moyens…)
- Taille des lots de fabrication et de transfert
- Processus de réalisation à adopter
Ordonnancement: Elaboration des OF
- Détermination du lot de fabrication = déterminer la quantité de pièces lancées en
fabrication en une seule fois,
� Eclater en plusieurs lots (si lot important)
- De 1 à 500 pièces: lot petit- De 500 à 5000 pièces: lot moyen- Au-delà de 5000: lot important
79
� Regrouper (pour minimiser les effets de lancement de fabrication)
- Détermination du lot de transfert = déterminer la quantité de pièces transportées d’unposte de charge à un autre au cours de la fabrication des produits:
� Egal au lot de fabrication
� Inférieur au lot de fabrication: recouvrement des opérations de fabrication
Ordonnancement: Elaboration des OF
- Détermination du processus de réalisation� En fonction des gammes opératoirespossibles et de substitution, de la disponibilité des ressources, et du lot de fabrication.
Coût ou délai ou,…
Gamme principale
Gamme de
substitution 1
Gamme de
substitution 2
Exemple: Choix de gamme
80
Quantité à fabriquer
substitution 1
Q1 Q2
Question: Selon la quantité à réaliserpour cet OF, déterminer les gammesles mieux adaptées à la politique del’entreprise.
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