高等院校非数学类本科数学课程
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高等院校非数学类本科数学课程
—— —— 一元微积分学 一元微积分学 高等数学高等数学 A1A1
主讲:马传秀老师主讲:马传秀老师
电话:电话: 1387311272313873112723
邮箱:邮箱: 942754592@qq.com942754592@qq.com
第三,熟悉基本方法。在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是,课本上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌握定理,要注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总结——不仅总结方法,也要总结错误。这样,做完之后才会有所收获,才能举一反三。
函数 (2 学时,第一章 )( 与中学内容相衔接,以复习为主。 )
1. 理解函数和概念,了解反函数和复合函数的概念。
2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性,熟悉基本初等函数的性质及其图形。
3. 理解初等函数的概念,会建立简单实际问题中的函数关系式。
一、函数的基本概念
1. 函数的定义
)(
,
的定义域。称为函数其中,。,
数,记为上的函为定义在则称
对应,与,按照规则存在唯一的
,使得一个规则为非空实数集。若存在设
fA
Axxfy
Af
xfRyAx
fA
RAf
xfy
:
)( 就是映射实质上,函数
函数的图形。为曲线
的函数;称是为函数,或称习惯上,称
)(
)(
xfy
x
y
xf
处有定义。在点
。此时,称函数或函数值,记为
处的在点称为函数所对应的
)(
0
000
000
0
xf
yyxfy
xfRyAx
xx
。,,即或域,记为
的值,称为函数时的全体函数值的集合
} )( | {)(
)( )(
AxxfyyfR
AffR
fAx
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的
定义域是一件十分重要的事情。
通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开
偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几
何意义等来确定函数的定义域。
. )1ln(
14 2 的定义域求函数
xxy
04 2 x
01x
0)1(ln x
综上所述 , 该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。
由负数不能开偶次方 , 得
由对数函数的定义域 , 得
由分母不能为零 , 得
] 2 ,2[ x
),1( x
2 x
例 1
解解
例 3 )1( xf已知,, 10 2 xx
,, 21 2 xx )( 的表达式。求 xf
解解 1 ,得令 xt
)(tf,, 21 1 22 ttt
32 2 2 ,, tt
tx 代替
故 )(xf,, 21 122 xxx
32 22 ,, xx
x
y
O。。。。
。。。
][xy
1 2 3
123
123
1
2
3
4
4142.012
1]2[
5.015.0 1]5.0[
3.037.2 3]7.2[
033 3]3[
033 3]3[
想想取整函数的图形是什么样子?
,0
,1)(D
为无理数
为有理数
x
xxy
例 6
狄利克雷函数就不能作出几何图形 . Dirichlet
1805—1859
狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。
1.单调性
, )( 21 IxxIxf ,上有定义,在区间设函数
上是单调增加的。间
在区,则称函数若
)( )()( 1212
I
xfxfxfxx
上是严格单调增加的。间
在区,则称函数若
)( )()( 1212
I
xfxfxfxx
在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间 I 上单调增加 , 记为 。Ixf )(
, )( 21 IxxIxf ,上有定义,在区间设函数
的。减少上是单调间
在区,则称函数若
)( )()( 1212
I
xfxfxfxx
的。减少上是严格单调间
在区,则称函数若
)( )()( 1212
I
xfxfxfxx
在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间 I 上单调减少 , 记为 。Ixf )(
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。
若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f ( x ) B
则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
否则 , 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
函数有界性的定义
O x成立,则称函数 y = f ( x )
在区间 I 上是上方有界的 ,
简称有上界。
设函数 y = f ( x ) 在区间
I 上有定义。
若存在实数 M ( 可正,
可负 ) ,对一切 x I 恒有
O x
y
M
y = f ( x )
f ( x )≤ M
O xf ( x )≥m
在区间 I 上是下方有界的 ,
简称有下界。
设函数 y = f ( x ) 在区间
I 上有定义。
若存在实数 m ( 可正,
可负 ), 对一切 x I 恒有
成立,则称函数 y = f ( x )
O x
y
m
y = f ( x )
无穷多个下界,所有下界中最大者称为函数在区
在区间 I 上有下界,则必有若函数 )(xfy
间 I 上的下确界,记为 。)(infI
xfx
无穷多个上界,所有上界中最小者称为函数在区
在区间 I 上有上界,则必有若函数 )(xfy
间 I 上的上确界,记为 。)(supI
xfx
有上 ( 下 ) 界的函数是否必有上 ( 下 ) 确界?
可以证明:有上 ( 下 ) 界的函数必有上 ( 下 ) 确界 .
易知:
例 8
解解
2。:讨论函数函数的有界性 xy
。函数的定义域为: ) ,( fD
) ,(1 0 0 有,,取因为 MxM
,MMMxf 1)1( |)(| 20
在其定义域内是无界的。 故函数 2xy
在任何一个有限区间内有界。2xy
3. 奇偶性
若 x Df , 有
f ( x ) = f ( x )
成立,则称 f ( x )
为偶函数。
偶函数的图形 关于 y 轴对称。
若 x Df , 有
f ( x ) = f ( x )
成立,则称 f ( x )
为奇函数。
奇函数的图形 关于坐标原点对称。
设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df
关于坐标原点对称。
哪些是奇函数 , 哪些是偶函数 :
指出下列函数在其定义域内
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) )8
xy sin xy cos xy
4xxy || xy 5y
xy sgn )1(ln 2xxy
4) 既不是奇函数又不是偶函数
奇 奇
奇 奇
偶
偶 偶
例 9
定理
的形式。
在关于坐标原点对称的区间 I 内有
定义的任何一个函数 f ( x ) ,均可表示为
区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和
2
)()()(
2)()(
)( 。, xfxfxh
xfxfxg
,其中证明提示:令 )()()( xhxgxf
4. 周期性
则称 f ( x ) 为周期函数, 称为函数 f ( x )
设函数 y = f ( x ) , x (, ) 。
若存在 0 , 对一切 x (, ) 恒有
y = f ( x ) = f ( x ) ,
的一个周期。
故称正弦函数 y = sinx 的周期为 2 。
= 2k ( k Z 且 k 0) 均为函数
y = sin x 的周期 , 而它的最小正周期为
T = min{ 2k }= 2 kZ+
例 10
P21 第 5 , 7行有误。
例 11
解解
是否相同?与函数 ln2)( ln)( 2 xxgxxf
的定义域为)(xf
, ) ,0()0 ,( fD
的定义域为 )(xg
, ) ,0( gD gf DD gf DD
)()( 不相同。与 xgxf
, )( )( Rxgxf 的定义域均为实数域与
, )( )( , || 2 的对应关系相同与即又 xgxfxx
)( )( 相同。与函数 xgxf
例 12
解解
是否相同?与函数 )( || )( 2xxgxxf
复合函数
设有映射 ,)(xgu fDuufy ,)( 及 ,Dgx
的每一个 x 所对应的 u 值,都属于 f (u) 的定义域 Df ,
如果对于映射 )(xg 的定义域 ( 或定义域的一部分 ) 中
那么, 将 )(xgu 代入 消去 u 后 , 就有)(ufy
)()())(( xgfxgfy gg DDx ~
其中, u 称为中间变量。
与称之为函数 复合而成的复合函数。)(ufy )(xgu
函数复合而成 ?
uy arccos
它是由以下几个函数复合而成 :
12 xw
vu
例 14
解解
复合函数分解到什么时候为止 ?
以上过程称为 对复合函数的分解 以上过程称为 对复合函数的分解
分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止 .
2 arccos ln( 1) y x 函数 是由哪几个
lnv w
例 15
).( ,,3 ,2 )),(()(
)),(()( ,1
)(
1
12
xfnxffxf
xffxfx
xxf
nnn 求
设
解解
)(1
)())(()(
21xf
xfxffxf
,
21 2x
x
,31)(1
)())(()(
221
112
x
x
xf
xfxffxf
,)1(1
))(()( 21
xk
xxffxf kk
设
. )1(1
)( 2xn
xxfn
由数学归纳法可证得:
是一一对应 (即映射 f 是一一对应 ), 称 f 的
f 的反函数 .
只有在一一对应的前提下才能有反函数 .
)(xfy 与 )(1 yfx 互为反函数 .
反函数的定义
为逆映射 )( ),( , : 1 fDxfRyxyf
)( ),( , : fRyfDxyxf 设函数
自己画一下草图
例 16 的反函数。求函数 ) ,(, 2 xxy
存在。在其定义域内反函数不 2xy
为时,它的反函数存在, ) ,0[ x
) ,0[ , 。 yyx
为时,它的反函数存在, ]0 ,(x
]0 ,( , 。 yyx
反函数的图形
将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时,函数与其反函数的图形相同 .
将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x)
时,
函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于
第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称。
例 17 的反函数。求分段函数
x
xx
xx
yx 4 ,2
,41 ,
,1 ,
2
1 , yyx
161 , yyx
1 , xxy 得由
41 ,2 xxy由 得
yyx 16 ,log2
由 得 xy x 4 ,2
解解
综上所述,所求反函数为
解从而由题意得则令 ,
1
1,
1
tx
x
xt
;1
2)
1
1()(,
1
2)()
1
1(
xxfxf
ttf
tf
即
则得再令 ,1
1,
1
1
1
ux
u
u
x
.)1(2
)1
()1
1(,
)1(2)
1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
u
u
u
uf
uf
即
三者联立,得又已知 ,2)1
()( xx
xfxf
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