96247547 compensacion nivelacion por minimos cuadrados
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COMPENSACIÓN DE CIRCUITOS DE NIVELACIÓN DE PRECISIÓN POR
MÍNIMOS CUADRADOS
Pérez Nieto, S.
Hernández Saucedo F. R.
Profesores-Investigadores del Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo.
Km 38.5, carretera México-Texcoco. Chapingo, Edo de México. Tel (595) 4-32-22. E-mail:
sperezn@chapingo.mx
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Consideraciones generales
El establecimiento de un Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo (SPLCA), comprende dos
etapas, una en la que se define la posición de los Puntos de Control y Apoyo (PCA) en planta
mediante los llamados Procedimientos Topográficos de Planimetría, y la otra en la que se determina
su elevación o cota siguiendo un Procedimiento Topográfico de Altimetría, mediante la operación
de Nivelación o Control Vertical (Pérez, 1995). Ambas etapas deben comprobarse y compensarse
antes de efectuar otros cálculos con la información obtenida con ellas. Los Procedimientos
Topográficos de Planimetría comúnmente empleados en trabajos topográficos ordinarios son: el de
Poligonales (Abiertas o Cerradas), Cuadrícula Rectangular, Triangulación y Trilateración.
Independientemente, de cual de estos procedimientos se emplee para la definición de los PCA en
planta, su nivelación invariablemente se hace por Nivelación Diferencial.
Con el uso actual de instrumentos topográficos modernos, tales como teodolitos, medidores
electrónicos de distancias (MED), estaciones totales, niveles automáticos, de precisión y de rayo
láser, y los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS), entre otros, las mediciones tanto lineales
como angulares y, como consecuencia, el posicionamiento de puntos, pueden hacerse con altas
precisiones. No obstante, los errores siempre están presentes y el trabajo de comprobación y
distribución de los mismos debe realizarse ineludiblemente. En tales casos deben emplearse
preferentemente metodologías acordes a dichas precisiones. En el presente trabajo se sistematiza y
generaliza una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando
la teoría de mínimos cuadrados. La metodología se describe para el caso general en que se
compensan n circuitos de manera simultánea y al final se expone un ejemplo en el que se aplica
dicha metodología para la compensación simultánea de tres circuitos.
1.2. Comprobación y compensación ordinaria
Desde el punto de vista de su comprobación y compensación, en la nivelación se pueden tener uno
de dos casos; el primero se presenta cuando se debe determinar la elevación de un PCA a partir de
otro de elevación conocida, en cuyo caso, la comprobación puede realizarse haciendo el trabajo en
campo por los métodos de "ida y vuelta", "doble altura de aparato" o "doble punto de liga"; en
cualquier caso, se tiene de hecho un doble recorrido, por lo que la compensación se hace asignando
la mitad del error a cada uno. El otro caso se presenta cuando debe determinarse la cota de varios
puntos intermedios localizados entre dos de cota conocida; en tal caso, la comprobación se hace
calculando la diferencia entre la cota de llegada y la previamente conocida para el punto final, y la
distribución del error se hace proporcionalmente a los desniveles, a las distancias horizontales o al
número de puntos de liga entre cada par consecutivo de PCA en el recorrido. (Pérez, 1995)
Aunque los resultados obtenidos de la compensación dependen del criterio de proporcionalidad
elegido, éstos son adecuados para los trabajos que no requieren de altas precisiones. Con la
aplicación de la teoría de mínimos cuadrados, por otra parte, se garantiza que las correcciones
obtenidas sean las mínimas y más probables.
1.3. Circuitos de nivelación
Moffit y Bouchard (1982) y Wolf y Brinker (1994), coinciden en definir como un Circuito de
Nivelación al Trabajo Topográfico de Nivelación en el que se parte de un PCA o de un Banco de
Nivel (BN) de cota conocida, se determina la cota a una serie de PCA o BN intermedios y se regresa
al punto de partida o se llega a otro de cota conocida para comprobar. Cuando se regresa al punto de
partida se habla de un circuito cerrado, en tanto que cuando se llega a otro distinto se tiene un
circuito abierto. En los circuitos abiertos, los PCA de cota conocida pueden ser parte de un SPLCA
mayor o estar previamente posicionados con GPS, por ejemplo.
En cualquiera de los cuatro Procedimientos Topográficos de Planimetría, se pueden definir circuitos
para la nivelación de los PCA; así por ejemplo, los PCA establecidos mediante una Poligonal
Cerrada o sobre un cuadro principal de Cuadrícula Rectangular se pueden nivelar como circuitos
cerrados y los PCA establecidos con una Poligonal Abierta o sobre el trazo de cuadros secundarios
en una Cuadrícula Rectangular se nivelan como circuitos abiertos. Por otra parte, los PCA
establecidos con Triangulación o Trilateración se pueden nivelar como circuitos cerrados o abiertos
o bien, con una combinación de ellos.
1.4 Mínimos cuadrados
La teoría de mínimos cuadrados establece que los valores más probables de los errores accidentales
que ocurren en cualquier tipo de mediciones, son aquellos que hacen mínima la suma de sus
cuadrados; por lo cual, partiendo del supuesto de que en un trabajo de nivelación dado se han
eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones o errores gruesos, esta teoría puede aplicarse
para el cálculo de las correcciones que se le deben asignar a los desniveles. (Kissam, 1976)
2. OBJETIVO
Desarrollar de manera sistematizada una metodología para la compensación de circuitos de
nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados y generalizarla, de modo que sea
aplicable a los PCA establecidos por cualquier Procedimiento Topográfico de Planimetría y que
posibilite la elaboración de un programa de computadora para la realización de los cálculos.
3. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA
3.1. Aplicabilidad e información necesaria
La metodología es aplicable a cualesquiera circuitos abiertos y/o cerrados o bien a una combinación
de ellos, ya que es posible la compensación simultánea de n circuitos. La distribución del error se
hace con base en la condición que impone la teoría de mínimos cuadrados, e involucrando una
ponderación que puede calcularse proporcional a la distancia horizontal o al desnivel entre los PCA
o BN consecutivos sobre el circuito de nivelación. Cuando los PCA que conforman el circuito se
establecen mediante Poligonales, Triangulación o Trilateración, puede emplearse cualquiera de los
criterios para el cálculo del factor de ponderación, dado que tanto las distancias como los desniveles
resultan heterogéneos; en tanto que en el caso en que los PCA sean establecidos por Cuadrícula
Rectangular (tanto en los cuadros principales como en los secundarios), se deben emplear los
desniveles para el cálculo de dicho factor, debido a que las distancias entre PCA resultan muy
similares y no sería, por ello, conveniente su empleo.
Evidentemente, cuando se emplea la distancia para el cálculo del factor de ponderación, ésta ha de
ser la correspondiente al recorrido de nivelación, misma que puede determinarse con la fórmula de
estadia simple, si se hace el trabajo de nivelación en campo por el método de los tres hilos,
(Hernández y Pérez, 1996).
3.2. Sistematización de la información y obtención de las ecuaciones de condición
Primeramente debe hacerse un esquema de conjunto de los n circuitos a compensar
simultáneamente, señalando en él, la ubicación de los PCA y un sentido definido para cada circuito
de nivelación (indicado con flechas que conectan los PCA), tal como se ilustra en la figura 1 para la
compensación simultánea de los circuitos "El Olivar", "San Pedro" y "Xaltepa".
Figura 1. Esquematización de los circuitos de nivelación "El Olivar", "San Pedro"y
"Xaltepa", para su compensación simultánea por mínimos cuadrados. (Pérez, 1989)
En un cuadro se registran los desniveles observados DOk calculados a partir de los datos de campo,
asignándoles signo positivo si el terreno sube en el sentido del circuito de nivelación o negativo en
el caso contrario; se registran, asimismo cuando sea el caso, las distancias horizontales Lk, para cada
tramo de los circuitos. El subíndice k, denota el número consecutivo de tramos en todo el sistema de
circuitos.
El factor de ponderación fk para cada tramo se obtiene de la expresión (1), si se emplean los
desniveles para su cálculo o de la expresión (2) si se emplean las distancias para tal fin. En ambas
expresiones m, es el número total de tramos en el sistema, de modo que el numerador de la
expresión (1) es el promedio de los valores absolutos de los desniveles y el de la expresión (2) es el
correspondiente para las distancias horizontales entre tramos.
fk =
1
m
m
(1)
fk =
1
m
m
(2)
Partiendo del PCA de cota conocida o del BN de partida para cada circuito, el error de nivelación
para el i-ésimo circuito ENi, se calcula siguiendo el sentido horario con la expresión (3), en la que mi
es el número de tramos involucrados en el circuito i y DOij es el desnivel correspondiente al
j-ésimo tramo del circuito i.
ENi =
mi
(3)
Es importante aquí hacer notar que se usa una doble notación para la denominación de los
desniveles DO (y después para las correcciones C y los desniveles compensados DC) de los tramos
del sistema, una con un sólo subíndice k y otra binomial, con los subíndices i y j. Ello se debe a que,
en un primer momento, los tramos se designan en orden progresivo de 1 a m en el sistema,
denotados por el subíndice k, considerando que cada uno se midió una sola vez en el trabajo de
campo; sin embargo, dado que para fines de comprobación los circuitos deben cerrarse, algunos
tramos resultan comunes a dos circuitos contiguos (como los tramos, 1, 2 y 3 los son a los circuitos
"El Olivar" y "San Pedro" y los tramos 15 y 16 a los circuitos "San Pedro" y "Xaltepa" en la figura
1), lo que implica, por un lado, que los desniveles deben asociarse al circuito (denotado por i) al que
se involucran, dentro del que se denotan por el subíndice j; y por otro, que puedan tener sentidos
diferentes y, como consecuencia, signos distintos según el circuito en el que se consideren; por lo
tanto, debe tenerse clara la asociación entre el k-ésimo tramo del sistema y el j-ésimo tramo del
circuito i.
Por lo anterior, es necesario además asignar lo que denominaremos como Signo de Circuito (Sij) a
cada tramo en todos los circuitos, con base en la siguiente convención: partiendo del PCA de cota
conocida o del BN en cada circuito, y siguiendo el sentido horario, se asigna signo positivo a los
tramos en que éste coincida con el sentido del recorrido de nivelación y signo negativo a los tramos
en que ello no ocurra.
Denotando por Cij a la corrección correspondiente al desnivel del j-ésimo tramo del circuito i, se
establece para cada circuito una ecuación de condición de la forma siguiente:
ENi +
mi
(4)
El signo aquí considerado para las correcciones Cij, debe ser el Signo de Circuito correspondiente.
Es evidente que el número de ecuaciones de condición del tipo (4), es igual al número n de circuitos
de nivelación en el sistema.
Por otra parte, de la teoría de mínimos cuadrados, se tiene que la suma de los cuadrados de los
errores Ek debe ser un mínimo; lo que matemáticamente y en términos de las correcciones Ck se
expresa por la ecuación (5), en la cual se denota a las correcciones C con el subíndice k, pues
corresponden a las que se definen para cada tramo, independientemente del circuito al que
pertenezcan.
m
(5)
3.3. Obtención de la función a optimizar
De lo expresado en el inciso anterior, es claro que se tienen n+1 ecuaciones para un total de m
incógnitas Ck, por lo que en principio el sistema es insoluble; sin embargo, debido a que en realidad,
se tiene un problema de optimización de la función (5) sujeta a las restricciones impuestas por las n
ecuaciones de condición del tipo (4), tal situación se puede resolver aplicando la Técnica de
Multiplicadores de Lagrange, la cual permite transformar un problema de máximos y mínimos con
restricciones, a otro de máximos y mínimos libres (sin restricciones), correlacionando las variables
originales con otras variables intermedias (que son precisamente los Multiplicadores de Lagrange),
para finalmente obtener un sistema de igual número de ecuaciones normales que de incógnitas (los
multiplicadores de Lagrange), que puede resolverse por cualquier método conocido; (Hernández y
Pérez, 1996 y Protter y Morrey, 1969).
Esta técnica, aplicada al problema que se discute, consiste en los siguientes pasos:
a) Cada una de las n ecuaciones de condición del tipo (4), se multiplican por
un multiplicador de Lagrange λi, con lo que se obtienen n ecuaciones de la forma:
λ (6)
b) Cada Ck en la expresión (5), se multiplica por su respectivo factor de ponderación
fk obteniéndose la función F fk,Ck, siguiente:
F (7)
c) Se obtiene la función Ufk,λi,Ck a minimizar formada por la suma de la funcion Ffk,Ck (7)
y las n ecuaciones (6), es decir:
U λ λ (8)
d) Derivando la función Ufk,λi,Ck, con respecto a cada corrección Ck, se obtienen m
ecuaciones de correlación, una para cada Ck en términos de los multiplicadores de
Lagrange λi; esto es:
Ck = Cλi (9)
e) Sustituyendo las ecuaciones de correlación (9), en las ecuaciones de condición originales
(4), resulta un sistema de n ecuaciones normales de primer grado con n incógnitas que son
los n multiplicadores de Lagrange λi, cuya solución arroja sus valores.
f) De la sustitución de los valores de los λi en las ecuaciones de correlación
correspondientes, se obtienen los valores de la correcciones Ck.
g) Los valores de las correcciones (Cij) asociadas a cada circuito difieren solamente en signo
respecto a la Ck correspondiente y se obtiene de multiplicar el Ck y el Signo de Circuito (Sij)
respectivo, asignado al principio del trabajo de compensación; matemáticamente:
Cij = Sij×Ck (10)
Debe ser claro que el número de correcciones Cij será mayor al número de correcciones Ck en
el número de tramos comunes en el sistema, es decir que, Cij = CCk; más aún, Ci,j = Ck y
Ci+1,j = -Ck si los circuitos i e i+1 son contiguos.
h) Por supuesto, los desniveles compensados en cada circuito DCij, resultan de la suma de
desnivel observado (DOij) y la corrección correspondiente; expresión (11).
DCij = DOij + Cij (11)
4. EJEMPLO DE APLICACIÓN
La metodología expuesta en el presente trabajo ha sido validada con su aplicación a la
compensación de diversos circuitos de nivelación; en particular en la nivelación de todos los PCA
establecidos por Triangulación de Precisión para el levantamiento 178 ha de los terrenos de la
Universidad Autónoma Chapingo, en Chapingo, México (Pérez, 1989). Como ejemplo, se aplica en
seguida a la compensación simultánea de los circuitos de nivelación "El Olivar" (circuito 1), "San
Pedro" (circuito 2) y "Xaltepa" (circuito 3), generados en el levantamiento referido, y esquematizado
en la figura 1 (n = 3). El circuito 1, se niveló partiendo del BN y regresando al mismo, de modo que
es un circuito cerrado; la nivelación del circuito 2, partió del PCA F y se llegó al BN; por último, el
circuito 3, se niveló partiendo del PCA P y se llegó al mismo BN. El trabajo se realizó con el nivel
de precisión WILD N3, que permite lecturas de nivelación con aproximación hasta la quinta cifra
decimal de metro y por el Método de los Tres Hilos para el conocimiento de las distancias
horizontales. En la figura, las flechas que unen los PCA indican el sentido del circuito de nivelación.
El sistema tiene un total de m = 23 tramos; el número de tramos del circuito 1 es m1 = 9; para el
circuito 2 es m2 = 10; y para el circuito 3 es m3 = 9.
En el cuadro 1, se exponen los datos y el valor del factor de ponderación. En la columna 1 se
denomina a los tramos según los PCA entre los que se localizan en el sistema y de acuerdo al valor
del subíndice k; en la columna 2, se registran los desniveles observados para cada tramo como
resultado de la nivelación (DOk); la columna 3 se ocupa para designar las correcciones en el sistema
(Ck), en la columna 4, se anotan las longitudes Lk de los tramos y, en la columna 5, se tabulan los
factores de ponderación fk, calculados con la expresión (2).
De acuerdo con la convención establecida para la asignación del Signo de Circuito, se tiene que las
correcciones (Ck) para todos los tramos del circuito 1 tendrán signo negativo (S1j = - para j = 1, 2, ...,
9); análogamente, para el circuito 2, S2j = + para j = 1, 2,...,10; en tanto que para el circuito 3, S3j = -
para j = 1 y 2 y S3j = + para j = 3,4,...,9. De la ecuación (3), el error de nivelación para los circuitos
1, 2 y 3 respectivamente son: EN1 = -0.03373 m; EN2 = +0.01003; y EN3 = +0.01832.
De lo anterior, las ecuaciones de condición en términos de las Ck para los circuitos 1, 2 y 3,
respectivamente, son:
- 0.03373 - C9 - C8 - C7 - C6 - C5 - C4 - C3 - C2 - C1 = 0 (12)
+0.01003 + C1 + C2 + C3 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 + C15 + C16= 0 (13)
+0.01886 - C16 - C15 + C17 + C18 + C19 + C20 + C21 + C22 + C23 = 0 (14)
y la función Ffk,Ck (7), para el ejemplo es como sigue:
F fk,Ck = 1.41387C12 + 1.78088C2
2 + 0.90371C3
2 + 0.96170C4
2 + 0.63398C5
2 +
0.97677C62 + 1.27042C7
2 + 2.29999C8
2 + 1.16491C9
2 + 1.13677C10
2 + 0.85692C11
2 + 1.56549C12
2 +
1.62084C132 + 0.70566C14
2 + 1.33494C15
2 + 0.77537C16
2 + 1.09293C17
2 + 0.48551C18
2 +
1.40338C192 + 1.12566C20
2 + 1.28590C21
2 + 1.08332C22
2 + 0.53516C23
2 = mínimo. (15)
Cuadro 1. Desniveles observados, distancias medidas y factores de ponderación para todos
los tramos del sistema
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
TRAMOS
DESNIV.
OBSERV.
DOk
CORREC-
CIONES
Ck
LONGITUD
Lk
FACTOR DE
PONDERAC.
fk
POR PCA
k
(m) (m) (adim.)
BN - H
1
+8.00225
C1
187.40
1.41387
H - G
2
+3.39053
C2
148.78
1.78088
G - F
3
+6.17651
C3
293.19
0.90371
F - E
4
+2.48410
C4
275.51
0.96170
E - D
5
-11.51430
C5
417.93
0.63398
D - C
6
-12.11648
C6
271.26
0.97677
C - B
7
- 2.68721
C7
208.56
1.27042
B - A
8
+1.87271
C8
115.20
2.29999
A - BN
9
+4.42562
C9
227.45
1.16491
F - T
10
- 0.64426
C10
233.08
1.13677
T - S
11
- 5.03969
C11
309.20
0.85692
S - R
12
+1.97295
C12
169.25
1.56549
R - Q
13
- 5.58121
C13
163.47
1.62084
Q - P
14
+1.26874
C14
375.50
0.70562
P - O
15
- 8.41731
C15
198.48
1.33494
O - BN
16
- 1.11848
C16
341.72
0.77537
P - N
17
- 9.77214
C17
242.43
1.09293
N - M
18
- 5.76817
C18
545.73
0.48551
M - L
19
- 2.62274
C19
188.80
1.40338
L - K
20
+0.69498
C20
235.38
1.12566
K - J
21
- 0.03763
C21
206.05
1.28590
J - I
22
- 0.04356
C22
244.58
1.08332
I - BN
23
+8.03233
C23
495.10
0.53516
Multiplicando por los multiplicadores de Lagrange -2λ1, +2λ2 y -2λ3, las ecuaciones de condición
(12), (13) y (14), respectivamente y luego, sumándolas con la función Ffk,Ck (15), se obtiene la
función Ufk,λi,Ck, que se debe optimizar:
Ufk,λi,Ck =1.41387C12 + 1.78088C2
2 + 0.90371C3
2 + 0.96170C4
2 + 0.63398C5
2 +
0.97677C62 + 1.27042C7
2 + 2.29999C8
2 + 1.16491C9
2 + 1.13677C10
2 + 0.85692C11
2 + 1.56549C12
2 +
1.62084C132 + 0.70562C14
2 + 1.33494C15
2 + 0.77537C 16
2 + 1.09293C 17
2 + 0.48551C18
2 +
1.40338C192 + 1.12566C20
2 + 1.28590C21
2 + 1.08332C22
2 + 0.53516C23
2 + 0.06746λ1 + 2λ1C9 +
2λ1C8 + 2λ1C7 + 2λ1C6 + 2λ1C5 + 2λ1C4 + 2λ1C3 + 2λ1C2 + 2λ1C1 + 0.02006λ2 + 2λ2C1
+ 2λ2C2 + 2λ2C3 + 2λ2C10 + 2λ2C11 + 2λ2C12 + 2λ2C13 + 2λ2C14 + 2λ2C15 + 2λ2C16 - 0.03772λ3
+ 2λ3C16 + 2λ 3C 15 - 2λ 3C 17 - 2λ 3C 18 - 2λ 3C 19 - 2λ 3C 20 - λ 3C 21 - 2λ3C22 - 2λ3C 23 = mínimo (16)
Derivando (16) con respecto a cada Cij, y despejándolas de las expresiones que se obtienen, resultan
las siguientes 23 ecuaciones de correlación:
C1 = -0.70728(λ2 + λ1) (17) C13 = -0.61696λ2 (29)
C2 = -0.56152(λ2 + λ1) (18) C14 = -1.41719λ2 (30)
C3 = -1.10655(λ2 + λ1) (19) C15 = -0.74910(λ2 + λ3) (31)
C4 = -1.03983λ1 (20) C16 = -1.28971(λ2 + λ3) (32)
C5 = -1.57734λ1 (21) C17 = 0.91497λ3 (33)
C6 = -1.02378λ1 (22) C18 = 2.05969λ3 (34)
C7 = -0.78714λ1 (23) C19 = 0.71257λ3 (35)
C8 = -0.43478λ1 (24) C20 = 0.88837λ3 (36)
C9 = -0.85844λ1 (25) C21 = 0.77767λ3 (37)
C10 = -0.87969λ2 (26) C22 = 0.92309λ3 (38)
C11 = -1.16697λ2 (27) C23 = 1.86860λ3 (39)
C12 = -0.63878λ2 (28)
Sustituyendo ahora las ecuaciones de correlación anteriores en las ecuaciones de condición (12),
(13) y (14), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales:
8.09666λ1 + 2.37535λ2 = + 0.03373 (40)
- 2.37535λ1 - 9.13375λ2 - 2.03881λ3 = - 0.01003 (41)
+ 2.03881λ2 + 10.18377λ3 = - 0.01886 (42)
cuya solución simultánea proporciona los valores de los multiplicadores de Lagrange, para ser: λ1 =
0.004023030, λ2 = 0.000487040 y λ3 = - 0.001949470. Sustituyendo estos valores, en las ecuaciones
de correlación correspondientes, se obtienen los valores de las correcciones Ck mostrados en la
columna 2 del cuadro 2. Los valores de las correcciones para cada circuito Cij, resultan de aplicar la
expresión (10) y se consignan en la columna (3) del mismo cuadro. Con los valores de Ck, las
ecuaciones de condición (12), (13) y (14) se satisfacen sin error, lo que se muestra en el último
renglón del cuadro 2.
Cuadro 2. Valores de las correcciones para todos los tramos del sistema Ck y para cada
circuito Cij
(1)
(2)
(3)
TRAMO
k
CORRECCION
Ck
CORRECCIONES POR CIRCUITO Cij
CIRCUITO 1
C1i
CIRCUITO 2
C2j
CIRCUITO 3
C3j
1
- 0.00319
+ 0.00319
- 0.00319
2
- 0.00253
+ 0.00253
- 0.00253
3
- 0.00499
+ 0.00499
- 0.00499
4
- 0.00418
+ 0.00418
5
- 0.00635
+ 0.00635
6
- 0.00412
+ 0.00412
7
- 0.00317
+ 0.00317
8
- 0.00175
+ 0.00175
9
- 0.00345
+ 0.00345
10
- 0.00043
- 0.00043
11
- 0.00057
- 0.00057
12
- 0.00031
- 0.00031
13
- 0.00030
- 0.00030
14
- 0.00069
- 0.00069
15
+ 0.00110
+ 0.00110
- 0.00110
16
+ 0.00189
+ 0.00189
- 0.00189
17
- 0.00178
- 0.00178
18
- 0.00402
- 0.00402
19
- 0.00139
- 0.00139
20
- 0.00173
- 0.00173
21
- 0.00152
- 0.00152
22
- 0.00180
- 0.00180
23
- 0.00364
- 0.00364
mi
ENi
COMPROBACIÓN
+ 0.03373
- 0.03373
0.00000
- 0.01003
+ 0.01003
0.00000
- 0.01887
+ 0.01886
0.00001
Aplicando las correcciones obtenidas para cada desnivel asociadas a cada circuito, se obtienen los
desniveles corregidos HCij aplicando la expresión (11). Para el ejemplo, esto se hace para los
ciscuitos 1, 2 y 3 en los cuadros 3, 4 y 5 respectivamente, en los que además se calculan las cotas
corregidas de los PCA. Nótese en estos cálculos que tanto los desniveles corregidas, como las cotas
corregidas se calculan siguiendo el sentido horario, que es el que se siguió para el cálculo del error
de nivelación.
Cuadro 3. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 1 AEl Olivar@
EST.
P.V.
TRAMO
(1j)
DO1j
C1j
DC1j
ZC1j
BN
100.00000
BN
A
9
-4.42562
+0.00345
-4.42217
95.57783 A
B
8
-1.87271
+0.00175
-1.87096
93.70687
B
C
7
+2.68721
+0.00317
+2.69038
96.39725 C
D
6
+12.11648
+0.00412
+12.12060
108.51785
D
E
5
+11.51430
+0.00635
+11.52065
120.03850 E
F
4
-2.48410
+0.00418
-2.47992
117.55858
F
G
3
-6.17651
+0.00499
-6.17152
111.38706 G
H
2
-3.39053
+0.00253
-3.38800
107.99906
H
BN
1
-8.00225
+0.00319
-7.99906
100.00000 SUMAS
-0.03373
+0.03373
0.00000
Cuadro 4. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 2 ASan Pedro@
EST.
P.V.
TRAMO
(2j)
DO2j
C2j
DC2j
ZC2j
BN
100.00000
BN
H
1
+8.00225
-0.00319
+7.99906
107.99906 H
G
2
+3.39053
-0.00253
+3.38800
111.38706
G
F
3
+6.17651
-0.00499
+6.17152
117.55858 F
T
10
-0.64426
-0.00043
-0.64469
116.91389
T
S
11
-5.03969
-0.00057
-5.04026
111.87363 S
R
12
+1.97295
-0.00031
+1.97264
113.84627
R
Q
13
-5.58121
-0.00030
-5.58151
108.26476 Q
P
14
+1.26874
-0.00069
+1.26805
109.53281
P
O
15
-8.41731
+0.00110
-8.41621
101.11660 O
BN
16
-1.11848
+0.00189
-1.11659
100.00001
SUMAS +0.01003
-0.01002
+0.00001
A diferencia del circuito 2, que se parte del BN, para el cáclculo de desniveles y de cotas corregidas,
y se regresa al mismo para mostrar el cierre, (lo cual no es necesario), enseguida se calculan
desniveles y cotas corregidas para el circuito 3, partiendo del PCA P que fue de donde se inició el
trabajo de nivelación, y cerrando en el BN, para verificar el cierre. Por supuesto que esto implica que
no se puede mostrar en las sumas, que el error es igual a la suma de las correcciones con signo
contrario.
Cuadro 5. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 3 AXaltepa@
EST.
P.V.
TRAMO
(3j)
DO3j
C3j
DC3j
ZC3j
P
109.53280
P
N
17
-9.77214
-0.00178
-9.77392
99.75889 N
M
18
-5.76817
-0.00402
-5.77219
93.98669
M
L
19
-2.62274
-0.00139
-2.62413
91.36257 L
K
20
+0.69498
-0.00173
+0.69325
92.05582
K
J
21
-0.03763
-0.00152
-0.03915
92.01667 J
I
22
-0.04356
-0.00180
-0.04536
91.97131
I
BN
23
+8.03233
-0.00364
+8.02869
100.00000
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que, la teoría de mínimos cuadrados
con sus ventajas intrínsecas, puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en
trabajos de nivelación topográfica, si los recorridos se manejan como circuitos, lo cual es
particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder
compensar n circuitos simultáneamente; además, la metodología aquí generalizada es aplicable
independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee para el establecimiento en planta
del Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo.
La sistematización y generalización de la metodología presentada, posibilita la elaboración de un
programa de computadora que agilice la realización de los cálculos, lo cual es muy recomendable,
pues su ejecución manual es muy laboriosa; esta tarea será motivo en un trabajo próximo es esta
temática.
6. LITERATURA CITADA.
Hernández Saucedo, F. R. y Pérez Nieto, S. 1996. Triangulación de Precisión y
su compensación Planialtimétrica por Mínimos Cuadrados. Dirección de Difusión Cultural
de la Universidad Autónoma Chapingo. En prensa. Chapingo, Méx.
Kissam, C.E. P. 1976. Topografía para Ingenieros. Primera edic. Ed. McGraw-Hill de México S. A.
de C. V. México, D. F.
Moffitt, F. H. y Bouchard, H. 1982. Surveying. Seventh Edition. Harpper & Row Publishers.
New York, U.S.A.
Pérez Nieto, S. 1989. Información básica para la planeación del riego en el Campo Experimental
de la Universidad Autónoma Chapingo; Tesis profesional. Departamento de Irrigación de
la Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.
Pérez Nieto, S. 1995. Topografía Aplicada. Primera edición. Departamento de Suelos de la
Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.
Protter, M. H. y Morrey, C. 1969. Análisis Matemático, Modern Mathematical Analysis.
Editión Bilingua. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México, D. F.
Wolf, P. R. y Brinker, R. C. 1994. Elementary Surveying. Ninth edition. HarpperCollins
College Publishers. New York, U.S.A.
C:\CURSOS\TOPOIRRI\DOCUMENTOSVARIOS\EJEM-NIVELAC-MINCUAD.WPD
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