บทที่ 4 influence line ของคาน statically...

Post on 18-Mar-2020

10 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

1

STRUCTURAL ANALYSIS

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

2

บทท 4Influence line ของคาน statically indeterminate

วตถประสงค1. เพอใหสามารถเขยน influence line diagram ของคาน statically

indeterminate ได2. เพอใหสามารถประยกตใช influence line diagram ในการจดวางนาหนกบรรทกจรบนคาน statically indeterminate ได

3. เพอใหสามารถราง influence line diagram ของ statically indeterminate frames ได

3

4.1 บทนาinfluence line diagram เปนแผนภาพทแสดงการเปลยนแปลงคาของ function ใด function หนง ทจดใดจดหนงบนโครงสราง เมอแรงกระทาเคลอนทไปตลอดความยาวของโครงสรางนน

4รอยเชอม

5 6

Influence line diagram: Shear

Influence line diagram โครงสรางถกกระทาโดย moving load ทเคลอนทไปตามความยาว หาคา reaction (หรอ shear หรอ moment) ทจดทเราสนใจ หาลกษณะการวางแรง/นาหนกบรรทก เพอทาใหเกดคา reaction(หรอ shear หรอ moment) สงสดทจดทเราสนใจ

7

Influence line diagram: Bending Moment

8

โครงสรางถกกระทาโดยแรงหรอนาหนกบรรทกทอยกบท (fixed load)

Shear diagram และ Moment diagram

เพอหาคา shear และ moment สงสด เพอนาไปใชในการออกแบบหาขนาดของหนาตดคาน

9

การหาลกษณะการวางแรงหรอนาหนกบรรทกจากแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน VC ของคาน ถาเรามแรง LLF = 4 kN และ LLw = 2 kN/m ทสามารถจดใหมความยาวไดตามตองการ จงหารปแบบของแรงดงกลาวททาใหเกดแรงเฉอน VC สงสดและคาของแรง VC ดงกลาว

4 kN 2 kN/m VC = (4 kN)(พกด)+(2 kN/m)(พ.ท.)

= (4 kN)(0.75)+(2 kN/m)(0.5x7.5x0.75)

= 8.625 kN

10

จงหารปแบบของแรงขางตนททาใหเกด MC สงสดและคาของ MC

ab/L = 2.5(7.5)/10 = 1.875

4 kN 2 kN/mMC = (4 kN)(พกด)+(2 kN/m)(พ.ท.)

= (4 kN)(1.875)+(2 kN/m)(0.5x10x1.875)

= 26.25 kN-m

11

Qualitative Influence Linesหลกการ Muller-Breslau กลาววา

“รปรางของแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา (หรอของแรงเฉอน หรอของโมเมนตดด) ทจดใดๆ บนคานจะเหมอนกบรปรางของการเปลยนตาแหนงของคาน เมอคานถกกระทาโดยแรงปฏกรยา (หรอแรงเฉอน หรอโมเมนตดด) ทจดนนโดยทจดนนของคานจะตองไมมความตานทานตอแรงปฏกรยา (หรอตอแรงเฉอน หรอตอโมเมนตดด) ทกระทาอย”

สมมตฐาน: ในกรณของคาน statically determinate เราพจารณาใหคานมความแกรงมาก ไมเกดการดดตวภายใตแรงปฏกรยา (หรอแรงเฉอน หรอโมเมนตดด)

12

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา

1. เปลยนจดรองรบหมด (pin) ทจด A เปน roller guide

2. ใหแรงปฏกรยา Ay กระทาตอคาน

Ay

Ay 3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงดงกลาวจะเปนแผนภาพ Influence line ของแรงปฏกรยา Ay

13

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน

1. เปลยนจด C ของคานเปน roller guide

2. ใหแรงเฉอน VC ซงมคาเปนบวกกระทาตอคาน

VC

VC

VC

VC

3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงทเกดขนจะเปนแผนภาพ Influence line ของแรงเฉอน VC ของคาน

14

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของโมเมนตดด1. เปลยนจด C ของคานเปน internal

hinge2. ใหโมเมนตดด MC ทมคาเปนบวก

กระทาตอคาน

MC

MC

3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงทเกดขนจะเปนแผนภาพ Influence lines ของโมเมนตดด MC

15

จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RB และ RC แรงเฉอน VD และโมเมนตดด MD ของคาน

EXAMPLE

อนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RB

15/4

16

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RC

1

-1/4

17

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา VD

11/4

b/L = 12/16 = 3/4

a/L = 1/4

18

แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา MD

ab/L = 4(12)/16 = 31

-3

19

4.2 กฎผกผนของ Maxwell (Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacements)ในกรณของ deflection กฎผกผนของ Maxwell กลาววา

BA ABf f=

“คาระยะโกงตวทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะการโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”

ในทน ทศทาง a = ทศทาง b = ทศทางดงลงตามทศของแรง

20

ในกรณของ slope กฎผกผนของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=

“คามมลาดเอยงทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คามมลาดเอยงทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”

ในทน ทศทาง a = -ทศทาง b = ทศทางทวนทศของโมเมนต

21

ในกรณของ deflection และ slope กฎผกผนของ Maxwell กลาววา

คามมลาดเอยงทมหนวยเปนเรเดยนทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b

BA ABfθ =

22

การหาสมการ influence line ใชพนฐานของวธ consistant deformation

By

BB

Bf∆

=

0 B y BBB f= ∆ −

23

4.3 อนฟลเอนไลนของคาน Statically Indeterminateอนฟลเอนไลนของแรงปฏกรยาทจด A

1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหแรงปฏกรยา Ay เปนแรงเกนจาเปน

0 AD y AAf A f↑ + = +

1 ( )y ADAA

A ff

= −

จากกฎผกผนของ MaxwellDAAD ff −=

3. จากเงอนไขความสอดคลอง

24

1 ( )y DAAA

A ff

=

แผนภาพอนฟลเอนไลนของแรงปฏกรยา Ay จะมรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอแรงปฏกรยา Ay ออก จากนน ใหแรงปฏกรยา Ay = 1 กระทาตอคาน

พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการแอนตวของคานทจด x ใดๆเนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A (fxA) หารดวยคาการแอนตวของคานทจด A เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A (fAA)

1 ( )y xAAA

A ff

=

25

อนฟลเอนไลนของแรงเฉอนทจด E1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหแรงเฉอน VE เปนแรงเกนจาเปน

3. จากเงอนไขความสอดคลอง 0 ED E EEf V f↑ + = +

1 ( )E EDEE

V ff

= −

จากกฎผกผนของ Maxwell

ED DEf f= − 26

1E DE

EE

V ff

=

แผนภาพอนฟลเอนไลนของแรงเฉอนทจด E มรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอแรงเฉอนทจด E ออก จากนน ใหแรงเฉอนคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E

พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการโกงตวของคานทจด x ใดๆ เนองจากแรงเฉอนบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fxE) หารดวยคาการโกงตวของคานทจด E เนองจากแรงเฉอนคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fEE)

1E xE

EE

V ff

=

27 28

อนฟลเอนไลนของโมเมนตทจด E1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหโมเมนต ME เปนแรงเกนจาเปน

3. จากเงอนไขความสอดคลอง

จากกฎผกผนของ Maxwell

0 ED E EEMα α= +

1 ( )E EDEE

M αα

= −

ED DEfα = −

29

แผนภาพอนฟลเอนไลนของโมเมนตทจด E มรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอโมเมนตทจด E ออก จากนน ใหโมเมนตคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E

พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการโกงตวของคานทจด x ใดๆ เนองจากโมเมนตบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fxE) หารดวยคา slope ของคานทจด E เนองจากโมเมนตคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E (αEE)

1E DE

EE

M fα

=

1E xE

EE

M fα

=30

31 32

การบาน: influence line

4.1, 4.2, และ 4.5 ในเอกสารคาสอน 1

33

ตวอยางท 4-1จงรางแผนภาพ influence line ของ RA, RE, MC, VCL, VCR, MH, และ VH

xAA

AA

fRf

=

xEE

EE

fRf

=

xCC

CC

fMα

=

34

xHH

HH

fVf

=

xHH

HH

fMα

=

xCRCR

CCR

fVf

=

xCLCL

CCL

fVf

=

35

จงทาการวางนาหนกบรรทกจรทมการกระจายคงทททาใหเกดคาสงสดของแรงปฏกรยา RE และโมเมนตดด MC และ MH

36

37

ตวอยางท 4-2a.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา

RB ของคาน เมอคานมคา EI คงท

. . xBB

BB

fI L Rf

=

จากหลกการ Muller-Breslau

หาคาการโกงตวของคานโดยใชวธ conjugate beam

38

สมการโมเมนตดดบน conjugate beam = สมการการโกงตวของคานจรง

2 14 2 2 3xB xL x xf M x xEI EI

⎡ ⎤= = − ⎢ ⎥⎣ ⎦2 33

12L x xEI−

=

แทน x = L ลงในสมการ fxB เราจะได 31

6BBLfEI

=

ดงนน 2 3

3

3. . 2BL x xI L RL−

= 0 x L≤ ≤

เนองจากความสมมาตรของคาน ดงนน 2 3

1 13

3. . 2BL x xI L RL−

= 10 x L≤ ≤

x1

39

b.) จงเขยน moment diagram ของคานจากพกดของ influence line ของแรงปฏกรยา RB

เมอแรง 1 หนวยกระทาทจด D [x = L/2] แลว พกดของ influence line ของแรง RB อยในรป

2 3

3

3. . 2BL x xI L RL−

=

2 3

3

3 ( / 2) ( / 2)2

L L LL−

=1116

=

และแรง RB เนองจากแรง 10 kN เทากบ

11 11010 kN kN16 16BR⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 40

c.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา RA

0;CM =∑(2 ) ( ) 1(2 )A BR L R L L x+ = −

3 2 3

3

4 5. . 4A

L L x xI L RL

− +=

เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด A ถงจด B

เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด C ถงจด B

1(2 ) ( ) 1( )A BR L R L x+ =

0;CM =∑

2 31 1

3. . 4AL x xI L RL

− +=

2 3

3

3. . 2BL x xI L RL−

=

0 x L≤ ≤

2 31 1

3

3. . 2BL x xI L RL−

=

10 x L≤ ≤

41

d.) หาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และเขยน moment diagram เมอ L = 10 mพนทใต influence line ในชวงทนาหนกบรรทกกระทา

3 2 3

30

4 5 74 16

L L L x x dx LL

− +=∫

7 70(10)(2 kN/m) kN16 8AR = =

จาก FBD ของคานและสมการความสมดล

70/8 = 8.75 kN RB RC

12.5 kNBR =

1.25 kNCR = −

0;CM =∑

0;yF =∑42

e.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา RC

0;AM =∑

3 2 31 1

3

4 5. . 4C

L L x xI L RL

− +=

เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด A ถงจด B

เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด C ถงจด B

1(2 ) ( ) 1(2 )C BR L R L L x+ = −

0;AM =∑

2 3

3. . 4CL x xI L RL

− +=

(2 ) ( ) 1( )C BR L R L x+ =

2 3

3

3. . 2BL x xI L RL−

=

0 x L≤ ≤

2 31 1

3

3. . 2BL x xI L RL−

=

10 x L≤ ≤

43

f.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงเฉอน VBL

เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง AB

เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง BC

0;yF =∑ 1BL AV R= −

2 3

3

5. . 4BLL x xI L VL

− +=

0;yF =∑ BL AV R=

2 31 1

3. . 4BLL x xI L VL

− +=

3 2 3

3

4 5. . 4A

L L x xI L RL

− +=

0 x L≤ ≤

2 31 1

3. . 4AL x xI L RL

− +=

10 x L≤ ≤

44

g.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของโมเมนต MB

เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง AB

เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง BC

0;BLM =∑ ( ) 1( )B AM R L L x= − −

3 2

2. . 4B

x xLI L ML−

=

0;BLM =∑ ( )B AM R L=

2 31 1

2. . 4BL x xI L ML

− +=

3 2 3

3

4 5. . 4A

L L x xI L RL

− +=

0 x L≤ ≤

2 31 1

3. . 4AL x xI L RL

− +=

10 x L≤ ≤

45

ตวอยางท 4-3จงหาพกดของแผนภาพ influence line ของแรงเฉอนทจด D ของคาน ทกๆ ระยะ 3 m เมอคานมคา EI คงท

จากหลกการ Muller-Breslau เอาความตานทานตอแรงเฉอนทจด D ออกโดยใส roller ทจดดงกลาว จากนน ใหแรงเฉอนทมทศทางบวกขนาด 1 kN กระทาท roller

46

การเปลยนแปลงรปรางของคานทเกดขนจะเปนรปรางของ influence line ของแรงเฉอนทจด D และ

. . xDD

DD

fI L Vf

=

โดยใชวธ conjugate beam144

DD Df MEI′= =

0AD Af M ′= =

0BD Bf M ′= =

0CD Cf M ′= =

จากรป คาการโกงตวท A, B และ C

47

0;LD

M ′ =∑ 4.5 30(1) (3)L LD D Df M

EI EI′= = −

0;RD

M ′ =∑ 4.5 30 144(1) (3)R RD D Df M

EI EI EI′= = − +

หาคาการโกงตวทจด D:เนองจากความไมตอเนองของโมเมนตทจด D' เราจะตองหาคาโมเมนตทจดทอยทางซายมอและทางขวามอของจด D'

85.5LD Df EI= −

58.5RD Df EI=

48

หาคาการโกงตวทจด E:0;EM ′ =∑

13.5EDf EI

= −

4.5 6(1) (3)ED Ef MEI EI′= = −

49

0/144 = 0C-13.5/144 = -0.0938E

0/144 = 0B58.5/144 = 0.406DR

-85.5/144 = -0.594DL

0/144 = 0Aพกดของ influence line VDx

50

ตวอยางท 4-4จงหาพกดของแผนภาพ influence line ของ bending moment ทจด D ของคาน ทกๆ ระยะ 3 m เมอคานมคา EI คงท

จากหลกการ Muller-Breslau เอาความตานทานตอโมเมนตทจด D ออกโดยใส hinge ทจดดงกลาว จากนน ใหโมเมนตทมทศทางบวกขนาด 1 kN-m กระทาท hinge

51

การเปลยนแปลงรปรางของคานทเกดขนจะเปนรปรางของ influence line ของโมเมนตทจด D และ

. . xDD

DD

fI L Mα

=

โดยใชวธ conjugate beam16

DD DR EIα ′= =

0AD Af M ′= =

0BD Bf M ′= =

0CD Cf M ′= =

จากรป คาการโกงตวท A, B และ C

52

หาคาการโกงตวทจด D:

หาคาการโกงตวทจด E:

0;DM ′ =∑ 1.5 6(1) (3)DD Df MEI EI′= = +

19.5DDf EI

=

0;EM ′ =∑1.5 2(1) (3)ED Ef MEI EI′= = −

4.5EDf EI

= −

53

0/16 = 0C-4.5/16 = -0.281E

0/16 = 0B19.5/16 = 1.219D

0/16 = 0Aพกดของ influence line MDx

54

4.4 การใชอนฟลเอนไลนเพอหารปแบบการจดวางนาหนกบรรทกจรบนคาน statically indeterminateแผนภาพอนฟลเอนไลนมกถกใชในการหารปแบบการวางนาหนกบรรทกจรแบบกระจายสมาเสมอ (uniform live loads) ททาใหเกดคาสงสดของแรงปฏกรยา แรงเฉอน และโมเมนตดด ทจดทเราสนใจบนคาน

การวางนาหนกแบบ span เวน span หรอ alternate span loading กอใหเกดโมเมนตบวกสงสดทจด B (หรอทกงกลาง span ของชวงคาน)

55

การวางนาหนกแบบ span ตดกน หรอ adjacent span loading กอใหเกดโมเมนตลบสงสดทจด C (หรอทจดรองรบภายในของคาน)

56

57

4.5 การรางอนฟลเอนไลนของ statically indeterminate frames

xII

II

fMα

=

58

ตวอยางท 4-5จงรางแผนภาพ influence line ของ moment ทจด A และของแรงเฉอนทจด B ของโครงขอแขง

xAA

AA

fMα

=

59

xBB

BB

fVf

=

60

End of Chapter 4

top related