กฎของก าซอุดมคติ · 2007-04-17 · จํานวนโมเลก...

กฎของกาซอดมคต

23

Np KEV

=

• The Pressure-Energy relation:

• The Equipartition Principle:

{ }2 2 2 312 2x y zKE m v v v kT= + + =

• เมอรวมทงสองเขาดวยกนจะได กฎของกาซอดมคต หรอ Ideal Gas Law:

p V N kT=

จากการพจารณาแบบจาลองของกาซในอดมคตเราพบวา

คดเฉพาะการเคลอนทของศนยกลางมวล เพราะการหมนและการสนไมมผลตอความดน

P-V diagrams

อณหภมเพมถาใหอณหภมมคาคงท เราจะสามารถเขยนกราฟระหวาง P และ V ไดดงรป

( ) 1P V NkTV

=

เราเรยกการเปลยนแปลงทอณหภมคงทวา “ Isothermal ”

P-T diagram

P

T

V1

V2 > V1

ถาเราพจารณาระบบกาซทมปรมาตรคงท กราฟระหวาง P และ T จะเปนกราฟเสนตรง

( ) NkP T TV

=

จะเหนวาความดนจะเปนศนยเมออณหภม เขาสศนยเคลวน

โมเลกลของกาซไมมความเรว -> ไมมโมเลกลวงชนผนง

ในบางครงเราจะบอกจานวนอะตอมหรอโมเลกลเปน โมล (mole), “ n ”ถาใหจานวนโมเลกลเปน N จานวนโมลนยามโดย

Ideal gas law: pV = NkT = n(NAk) T = n RT

เราจะไดวา R = NAk คอคาคงทของกาซ gas constant มคาเทากบ 8.314 J/mol-K

A

NnN

= NA = 6.023 x 1023 molecules/mole= Avogadro’s constant

( )( )( ) -3 35

1mole 8.31 J/mol×K 273 K22.4 10 m 22.4 liters

1.01 10 PanRTV

p= = = × =

×

ตวอยาง ลองพจารณาปรมาตรของกาซ 1โมล ทอณหภมและความดนมาตรฐาน หรอ standard temperature and pressure (STP):

T = 0 ºC = 273 K p = 1 atm = 1.013 x 105 Pa

Avogadro’s constant และ ideal gas constant

กาซจรงและกาซอดมคต

กฎของกาซอดมคตไมสามารถทจะนามาใชกบกาซจรงไดทกกรณ โดยเฉพาะในกรณทอณหภมลดลงตาใกลจดกลนตว หรอเมอความหนาแนนของกาซมคามากๆ คณสมบตของกาซจรงจะตางกบกาซอดมคตมาก

การกฎของกาซอดมคตใชไมไดกบกาซจรงมเหตผลหลกๆอยสองสวนคอ

1) กาซอดมคตไมมแรงกระทาระหวางกน แตกาซจรงมแรงทางไฟฟากระทาระหวางกนซงเรยกวาแรงแวนเดอวาล

2) โมเลกลของกาซมขนาดทาใหปรมาตรทอยในสตรกฎของกาซไมใชปรมาตรจรงๆ แตรวมเอาปรมาตรของโมเลกลกาซเขาไปดวย

แรงแวนเดอวาล (Van der Waal Force)

V(r)

rreq

E0

โดยปกตแลวแรงดงดดระหวางโมเลกลจะเกดขนเมอโมเลกลอยใกลชดกนมากเทานน โดยปกตแรงระหวางโมเลกลซงเปนแรงแมเหลกไฟฟาจะมศกย (Potential) ดงรป ซงถาทงสองโมเลกลอยหางกนมากกวา req จะเกดแรงดงดดโมเลกลทงสองเขาหากน

แตถาหากวาอยใกลกนเกนกวา req จะเกดแรงผลกโมเลกลทงสองออกจากกน

แรงแวนเดอวาล (Van der Waal Force)

V(r)

r( ) 6

rAe CV rr r

ε−

= −req

E0

แรงผลกrAe

r

ε−

+

แรงดด6

Cr

−

“Van der Waals force are weakly attractive forces that hold non-polar molecules together.”

F V= −∇

แวนเดอวาล

แวนเดอวาล (Johannes Diderik van der Waals ) นกฟสกสชาวฮอลแลนด เสนอวาผลรวมของแรงดงดดระหวางโมเลกลขนอยกบ ผลรวมของจานวนพนธระหวางโมเลกล ซงแปรตามกาลงสองของ N/V หรอความหนาแนนของโมเลกลดงนนความดนทวดไดคอ P จะมคาไมเทากบความดนจรงๆหรอ P’ โดย

2NP P aV

⎛ ⎞′= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

เคลาเชยส

เคลาเชยส (Rudolf Clausius) นกฟสกสชาวเยอรมนเสนอวาเราควรแทนปรมาตรของกาซดวย

V V Nb′ = −เมอ b คอสวนลดของปรมาตรของกอนกาซเนองจากปรมาตรของโมเลกลกาซ

b

bbb

VRudolf Clausius 1822 -1888ผเสนอกฎสองขอของเทอรโมไดนามก

สมการแวนเดอวาล (Van der Waal equation)

2NP P aV

⎛ ⎞′ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2NP a V Nb NkT

V⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

แวนเดอวาลเสนอวาควรแทนคา

และ V V Nb′ = −

ลงในกฎของกาซอดมคต P V NkT′ ′ =

ซงจะไดสมการทเรยกวา “สมการแวนเดอวาล”

คณสมบตของสมการแวนเดอวาล

จดวกฤต

( )3 2 2 3 0PV N kT Pb V N aV N ab− + + − =

สมการแวนเดอวาลจดรปไดใหมเปน

T

กราฟ P-V ของกาซจรง

Ideal limitพจารณาสมการแวนเดอวาล

( )2NP a V Nb NkT

V⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

N/V คอจานวนอนภาคตอหนงหนวยปรมาตรหรอความหนาแนนอนภาคซงถามคานอยมากๆ 1N

V2

,

1

NP a PV

NV Nb V b VV

⎫⎛ ⎞+ ≈ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠⎬

⎛ ⎞ ⎪− = − ≈⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

จะไดสมการของกาซอดมคตPV NkT=

การหาคา a และ bจดรปสมการแวนเดอวาลเสยใหม 2

2

NkT aNPV Nb V

= −−

พจารณาคาของ ความดน ปรมาตร และ อณหภม ทจดวกฤต Pc,Vc,Tc ตามลาดบ ซงทจดนน

( )

2

2 3

2 0c

T cc

NkTP aNV VV Nb∂⎛ ⎞ = − + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ −และ

( )

2 2

32 4

2 6 0c

cT c

NkTP aNV VV Nb

⎛ ⎞∂= − =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

จบทงสองสมการหารกนจะไดวา

23

3

cc

c

VV Nb

VbN

− =

=

และ2

8 ,27 27c c

a aT Pbk b

= =

สรป 9 ,8 3

c cV kT Va bN N

= =

ซงสามารถวดไดจากการทดลอง

Vrms (Root mean square speed) จาก Equipartition Principle

ทาใหเราสามารถหาคาเฉลยของอตราเรวกาลงสองของโมเลกลกาซได2 2 2 2 3

x y zkTv v v vm

= + + =

รากทสองของคาเฉลยขางบนมชอวา Vrms หรอ Root mean square speed

2 3rms

kTv vm

= =

{ }2 2 21 32 2x y zKE m v v v kT= + + =

ตารางแสดง vrms ของกาซบางชนดทอณหภมหอง (300K)

34264.1Sulfur dioxide (SO2)

41244.0Carbon dioxide (CO2)

48332.0Oxygen (O2)

51728.0Nitrogen (N2)

64518.0ไอนา (H2O)

13704.0Helium (He)

19202.02Hydrogen (H2)

vrms (m/s)มวลตอโมล (10-3 kg/mol)Gas

มวลเพมมากขน

ความเรวลดลง

การแจกแจงความเรวของโมเลกลกาซ

vN…v3v2v1ความเรว

N…321โมเลกลท

เราทราบกนแลววา vrms สามารถคานวณไดจากอณหภมของกาซ ความเรวนเปนคาเฉลยชนดหนง จงไมไดหมายความวาทกๆโมเลกลของกาซมความเรวเทากบ vrmsยกตวอยางเชน พจารณากาซ N โมเลกลในกลองปด

เราอาจจะเขยนตารางแจกแจงความเรวของโมเลกลแตละตวไดดงน

vN…v3v2v1ความเรว

N…321โมเลกลท

จากตารางแจกแจงความเรวน เราสามารถคานวณหา vrms ไดเปน

{ }2 2 2 21 2 3

1rms Nv v v v v

N= + + + +

คา vrms โดยทวไปจะมคาไมเทากบคาอตราเรวเฉลย (Average speed) หรอ vavgโดยท

{ }1 2 31

avg Nv v v v vN

= + + + +

ตวอยาง พจารณากาซในภาชนะปดทมการแจกแจงความเรวของแตละโมเลกลดงตารางขางลาง

515701202403203802508020จานวนโมเลกล

1,000900800700600500400300200100ความเรว(m/s)

จานวนโมเลกลทงหมดคอ 20 80 250 380 320 240 120 70 15 5 1,500N = + + + + + + + + + =

จานวนโมเลกลทมอตราเรวเทากบ 300 m/s มทงหมดเทากบ N300 = 250จะไดวาความนาจะเปนทจะเจอโมเลกลทมความเรวเทากบ 300 m/s มคาเทากบ

300300

250 1 0.1661,500 6

vv

NPN=

= = = = =

515701202403203802508020จานวนโมเลกล

0.0030.0100.0460.0800.1600.2130.2530.1660.0530.013Pv

1,000900800700600500400300200100ความเรว(m/s)

อตราเรวเฉลยของโมเลกลกาซสามารถคานวณไดจาก1,000 1,000

100 100

1

20 80 5100 200 1,0001,500 1,500 1,500

707,500 471.67 m/s1,500

avg v vv v

v n v P vN = =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × + + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

∑ ∑

515701202403203802508020จานวนโมเลกล

0.0030.0100.0460.0800.1600.2130.2530.1660.0530.013Pv

1,000900800700600500400300200100ความเรว(m/s)

vrms ของโมเลกลกาซสามารถคานวณไดจาก

1,000 1,0002 2

100 100

2 2 2

1

20 80 5100 200 1,0001,500 1,500 1,500

249233.3 499.23 m/s

rms v vv v

v n v P vN = =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × + + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

∑ ∑

515701202403203802508020จานวนโมเลกล

0.0030.0100.0460.0800.1600.2130.2530.1660.0530.013Pv

1,000900800700600500400300200100ความเรว(m/s)

v (x 100 m/s)

จานวน

โมเลก

ล

Vp ความเรวทมจานวนโมเลกลมากทสด(most probable speed)

vavg= 471.67

vrms= 499.23

การแจกแจงอตราเรวของโมเลกลกาซ

ในป ค.ศ. 1852 นกฟสกสชาวสกอต เจมส คราก แมกซเวลล เสนอการแจกแจงอตราเรวของกาซในอดมคต ซงเรยกกนวา การแจกแจงอตราเรวแบบแมกซเวลล หรอ (Maxwell speed distribution)

แมกซเวลลแสดงใหเหนวา ความนาจะเปนทจะพบโมเลกลทมอตราเรว v นนขนอยกบอณหภมของกาซ

Maxwell speed distribution

โดยทความนาจะเปนทจะพบโมเลกลทมอตราเรว v สามารถเขยนไดเปน

( )3

22 24 exp2 2

M MvP v vRT RT

ππ

⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

โดยทM คอ มวลตอหนงโมลของกาซR คอคาคงทของกาซ (Gas constant)T คออณหภมของกาซ

หรอ เขยนในรปทอยในหนงสอฟสกส 1

( )3

22 24 exp2 2m mvP v vkT kTπ

⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

โดยทm คอ มวลของโมเลกลกาซk คอคาคงท k = 1.38x10-23

T คออณหภมของกาซ

กราฟการแจกแจงอตราเรวกาซแบบแมกซเวลล

กราฟแสดงการแจกแจงอตราเรวของกาซ เปรยบเทยบระหวางกาซทอณหภม 80K กบกาซทอณหภม 300K

สาหรบความเรว v ใดๆ ปรมาณ P(v)dv คออตราสวนของโมเลกลทมความเรวอยในชวง v ถง v+dv ตอโมเลกลทงหมด

จากรป P(v)dv เปนพนทของแทงสนาตาล ซงมความสง P(v) และกวาง dv พนทใตกราฟจะแสดงสดสวนของโมเลกลทมความเรวอยระหวาง 0 ถง เนองจากทกๆโมเลกลของกาซจะมความเรวอยในชวงนเราจงไดวา พนทใตกราฟมคาเทากบ 1

∞

หนงสออเลกทรอนกส

ฟสกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสกส 1 (ความรอน)

ฟสกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวทยาฟสกส เอกสารคาสอนฟสกส 1ฟสกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสกสดวยภาษา c ฟสกสพศวง สอนฟสกสผานทางอนเตอรเนต

ทดสอบออนไลน วดโอการเรยนการสอน หนาแรกในอดต แผนใสการเรยนการสอน

เอกสารการสอน PDF กจกรรมการทดลองทางวทยาศาสตร

แบบฝกหดออนไลน สดยอดสงประดษฐ

การทดลองเสมอน

บทความพเศษ ตารางธาต)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานกรมฟสกส ลบสมองกบปญหาฟสกส

ธรรมชาตมหศจรรย สตรพนฐานฟสกส

การทดลองมหศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหดกลาง

แบบฝกหดโลหะวทยา แบบทดสอบ

ความรรอบตวทวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐ( คดปรศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คาศพทประจาสปดาห ความรรอบตว

การประดษฐแของโลก ผไดรบโนเบลสาขาฟสกส

นกวทยาศาสตรเทศ นกวทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพศวง การทางานของอปกรณทางฟสกส

การทางานของอปกรณตางๆ

การเรยนการสอนฟสกส 1 ผานทางอนเตอรเนต

1. การวด 2. เวกเตอร3. การเคลอนทแบบหนงมต 4. การเคลอนทบนระนาบ5. กฎการเคลอนทของนวตน 6. การประยกตกฎการเคลอนทของนวตน7. งานและพลงงาน 8. การดลและโมเมนตม9. การหมน 10. สมดลของวตถแขงเกรง11. การเคลอนทแบบคาบ 12. ความยดหยน13. กลศาสตรของไหล 14. ปรมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอทหนงและสองของเทอรโมไดนามก 16. คณสมบตเชงโมเลกลของสสาร

17. คลน 18.การสน และคลนเสยง การเรยนการสอนฟสกส 2 ผานทางอนเตอรเนต

1. ไฟฟาสถต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตวเกบประจและการตอตวตานทาน 5. ศกยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหลก 8.การเหนยวนา9. ไฟฟากระแสสลบ 10. ทรานซสเตอร 11. สนามแมเหลกไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน13. ทฤษฎสมพทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นวเคลยร

การเรยนการสอนฟสกสทวไป ผานทางอนเตอรเนต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตม 4. ซมเปลฮารโมนก คลน และเสยง

5. ของไหลกบความรอน 6.ไฟฟาสถตกบกระแสไฟฟา 7. แมเหลกไฟฟา 8. คลนแมเหลกไฟฟากบแสง9. ทฤษฎสมพทธภาพ อะตอม และนวเคลยร

ฟสกสราชมงคล