คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4€¦  · web...

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

ใบความรท 1 เรอง ความหมายของเซตและการเขยนเซต

คำาวา เซต ในวชาคณตศาสตร กลาวถง กลมของสงตางๆ “ ”และเมอกลาวถงกลมใดแลว

สามารถบอกไดวาสงใดอยในกลม และสงใดไมอยในกลม ( เปนความจรงไมใชความรสกสวนตว)เชน เดอนในหนงป จะกลาววา เซตของเดอนในหนงป

ผลไมในประเทศไทย จะกลาววา เซตของผลไมในประเทศไทยคนทดทสดในโลก จะกลาววา ไมเปนเซตเพราะไมสามารถ

ระบไดวาใครดทสดหมบานในตำาบลหองแซง จะกลาวา ......................................................................คนสวยทสดในโรงเรยน จะกลาววา...................................................................... เราจะใชคำาวา เซต กตอเมอเราทราบแนนอนวาสงใดอยในกลม“ ”

นนหรอไมอยในกลมนน เชน เมอเรากลาวถง เดอนทม 30 วน เราทราบไดทนทวาม เมษายน มถนายน กนยายน พฤศจกายน อยในกลมน ในลกษณะเชนนเราจะเรยกกลมดงกลาววา เซตของเดอนทม 30 วน

เราจะไมใชคำาวา เซต แทนกลมดงกลาว ถาเราไมสามารถบง“ ”

บอกไดอยางแจมชดวา สมาชกในกลมนมลกษณะอยางไร เชน กลม“ของคนฉลาด เราจะไมใช เซตของคนฉลาด เพราะเรายงไมสามารถ” “ ”สรปไดวา คนฉลาดนนตองมลกษณะอยางไรบาง คนประเภทใดถงจะเรยกวาคนฉลาด ดงนนเราไมสามารถแยกแยะไดชดเจนวาสมาชกในเซตนมใครบาง

ตวอยางท 1

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

เซตของวนในหนงสปดาห หมายถง กลมของวนจนทร วนองคาร วนพธ วนพฤหสบด วนศกร วนเสาร และวนอาทตย

เซตของพยญชนะของคำาวา สภารตน “ ” หมายถง กลมของพยญชนะ ส ภ ร ต และ น

เซตของจำานวนเตมบวกทนอยกวา 10 หมายถง กลมของจำานวน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 สงทอยในเซตเรยกวา สมาชก element หรอ members)1. การเขยนเซต การเขยนแทนเซตอาจเขยนแทนได 2 แบบ

ดงน1.1 การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก โดยเขยนสมาชกทก

ตวของเซตลงในเครองหมายวงเลบปกกา และใชเครองหมายจลภาค ( , ) คนระหวางสมาชกแตละตว ถามสมาชกมากอาจจะละไวในฐานทเขาใจไดโดยใชจดสามจด (...) และในกรณดงกลาว ถามสมาชกตวสดทายใหเขยนไวดวย เชน เซตของสของธงชาตไทย เขยนแทนดวย

{ สแดง, สขาว, สนำาเงน}เซตของจำานวนนบทนอยกวา 5 เขยนแทนดวย ¿¿1,

2 , 3, 4¿ เซตของจำานวนเตมบวกทนอยกวา 100 เขยนแทนดวย ¿¿

1, 2, 3, … , 99¿

เซตของจำานวนนบ เขยนแทนดวย ¿¿1, 2, 3,… ¿

หมายเหต ในกรณทมสมาชกเหมอนกน เราจะเขยนสมาชกนนเพยงตวเดยว เชน

¿¿1, 1, 5, 7¿ เขยนเปน ¿¿1, 5, 7¿

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

¿¿1, 2, 2, 3, 3¿ เขยนเปน ¿¿1, 2, 3¿

ในการเขยนเซตโดยทวไปจะแทนเซตดวยอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน A, B, C และแทนสมาชกของเซตดวยตวพมพเลก เชน a, b, c เชน

A = ¿¿1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถง A เปนเซตของกำาลงสองของจำานวนนบหกจำานวนแรก

B = ¿¿a, e, i, o, u¿ หมายถง B เปนเซตของสระในภาษาองกฤษ

C = ¿¿1, 2, 3, 4,…, 20¿ หมายถง C เปนเซตของจำานวนนบตงแต 1 ถง 20

Ι+ = ¿¿ 1, 2, 3, 4,… ¿ หมายถง Ι+ เปนเซตของจำานวนเตมบวก

ตวอยางท 2 จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก1. เซตของเดอนทม 28 วน A = ¿¿กมภาพนธ ¿2. เซตของจำานวนนบทนอยกวา 5 B = ¿¿1, 2, 3,

4¿

3. เซตของพยญชนะในภาษาไทย……………………………………………….

4. เซตของจำานวนนบทมากกวา 10……………………………………………….

5. เซตของจำานวนเตม.........................................................................

1.2 การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก ใชตวแปรเขยนแทนสมาชกพรอมทงบอกสมบตหรอบอกเงอนไขการเปนสมาชก โดยใชเครองหมาย “ | ” คนระหวางตวแปร และเงอนไข ซง เครองหมาย “ | ” แทนคำาวา

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

โดยท เชน A = ¿¿x | x เปนพยญชนะสามตวแรกในภาษาองกฤษ¿

อานวา A เทากบเซตของ x โดยท x เปนพยญชนะสามตวแรกในภาษาองกฤษ

B = ¿¿x | x เปนจำานวนเตมลบทมากกวา -6 ¿อานวา B เทากบเซตของ x โดยท x เปนจำานวนเตมลบทมา

กกวา -6 ตวอยางท 3 จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมาชก

1. A = ¿¿2, 4, 6, 8, 10¿ A = ¿¿x | x เปนจำานวนคบวกทนอยกวา 12

2. B = ¿¿1, 3, 5, 7¿ B = ¿¿x | x เปนจำานวนคบวกทนอยกวา 9¿

3. C = ¿¿1, 4, 9, 16, …, 100¿

…………………………………………………………4. D = ¿¿8, 7, 6, 5,…¿

…………………………………………………………

2. สมาชกของเซตจะใชสญลกษณ “∈ แทนคำาวาเปนสมาชก เชน”A = ¿¿ 2, 4, 6, 8¿

จะไดวา 2 เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย 2 ∈ A 4 เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย 4 ∈ A

คำาวา ไมเปนสมาชกของ เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ” “∉ เชน” 5 ไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย 5 ∉ A 7 ไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย 7 ∉ A

ตวอยางท 4 กำาหนดให A = ¿¿ก, ข, ค, ¿¿ง¿¿ ขอใดตอไปนถกตอง

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

1. ก ∈ A2.ข ∈ A3.ค ∈ A4. ง ∈ A5. ¿¿ง ¿ ∈ A6.¿¿ข ¿ ∉ A7.¿¿ค ¿ ∈ A

3. จำานวน สมาชกของเซตตวอยาง ให A = {1, 2, 3, 4 }

จะไดวา A มสมาชก 4 ตว คอ 1 , 2 , 3 และ 4 เราจะใช n (A) เพอบอกจำานวนสมาชกของเซต A

นนคอ n(A) = 4 ตวจงบอกจำานวนสมาชกของเซตตอไปน

A = {2148} B = {x | x เปนจำานวนเตมบวกทอยระหวาง 20 และ

30} C = { 1 , 12 , 123 , 1234 }

แบบฝกทกษะท 1 ความหมายของเซต

1. ขอความใดตอไปนสามารถเขยนแทนดวยเซตไดหรอไม ถาไดจงบอกสมาชก

1.1 กลมของผลไมทอรอย1.2 กลมของคนสวย1.3 กลมของเครองใชไฟฟา

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

1.4 กลมของสตวเลยง1.5 กลมของคนด

2. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจงแจงสมาชก 2.1 เซตของสของธงชาตไทย

ตอบ………………………………………………………………………………

2.2 เซตของจำานวนคบวกทอยระหวาง 2 กบ 10

ตอบ………………………………………………………………………………

2.3 เซตของจงหวดทลงทายดวย ธาน “ ”

ตอบ………………………………………………………………………………

2.4 เซตของจำานวนเตมทนอยกวา -10

ตอบ………………………………………………………………………………

2.5 เซตของจำานวนเตมบวกทหารดวย 3 ลงตว

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

ตอบ………………………………………………………………………………3 . จงเขยนเชตตอไปนแบบบอกเงอนไข

3.1 A = {2, 4, 6, 8, 10}

ตอบ………………………………………………………………………………

3.2 B = {1, 3, 5, 7}

ตอบ………………………………………………………………………………

3.3 B = {1, 3, 5, . . . , 99}

ตอบ………………………………………………………………………………

3.4 C = {1, 2, 3, . . . }ตอบ………………………………………………………………………………

3.5 D = {1, 4, 9, 16, . . .}

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

ตอบ………………………………………………………………………………

แบบทดสอบท 1เซตและวธเขยนเซต

คำาชแจง ใหเลอกคำาตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว1. ขอใดใชคำาวาเซตไดถกตองทสดก. เซตของนกรองทมชอเสยงทสดในประเทศไทยข. เซตของคนฉลาดทสดในประเทศไทยค. เซตของคนดทสดในประเทศไทยง. เซตของแหลงมรดกโลกในประเทศไทย

2. ขอใดไมเปนเซตก. เซตของจำานวนเตมบวกข. เซตของประเทศทมพรมแดนตดกบประเทศไทยค. เซตของผลไมไทยทมรสหวานทสดง. เซตของชอจงหวดทลงทายดวย ธาน“ ”

3. ขอใดคอเซตจำานวนเตมทมคามากกวา 3 และนอยกวา 10ก. ¿¿3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10¿ ข. ¿¿3 ,4, 5, 6,

7, 8, 9¿

ค. ¿¿4, 5, 6, 7, 8, 9¿ ง. ¿¿4, 5, 6, 7, 8, 9, 10¿

4. ขอใดคอเซตของพยญชนะในคำาวา สมาชก “ ”ก. ¿¿ส, ม, า, ช, ก} ข. ¿¿ส, ม,า,ชก¿

ค. ¿¿ส, ม, ช, ก}

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

ง. ¿¿สมาชก¿

5. ขอใดคอเซตของจำานวนเตมทอยระหวาง -1 กบ 1ก. ¿¿-1 ¿ ข. ¿¿ 0 ¿ค. ¿¿-1, 1¿ ง. ¿¿-1, 0, 1¿

6. ¿¿ตาก, ตราด, ตรง} ตรงกบขอใดก. ¿¿x | x เปนจงหวดทมพนทนอย¿ ข. {x | x เปนชอจงหวดทขนตนดวย ต “ ” ¿ ค. ¿¿x | x เปนจงหวดทมประชากรมาก¿ ง. ¿¿x | x เปนชอจงหวดทางภาคเหนอทชอขนตนดวย ต“ ”¿

7. ¿¿2, 3, 5, 7¿ ตรงกบขอใดก. ¿¿x | x เปนจำานวนค¿

ข. {x | x เปนจำานวนเฉพาะ¿ค. ¿¿x | x เปนจำานวนคบวกทนอยกวา 10¿

ง. ¿¿x | x เปนจำานวนเฉพาะบวกทนอยกวา 10¿

8. กำาหนด F = ¿¿ x | x เปนจำานวนนบ และ 5 < x < 23 ¿ ขอใดกลาวไมถกตอง

ก. 5 ∉ F ข. 21 ∈ F ค. 23 ∉ F ง. 24 ∈ F

9. ขอใดกลาวถกตองก. 3 ∈ ¿¿ 4, -1, 8, 10¿ ข. 6 ∉ ¿¿ 5, 9¿

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

ค. A = ¿¿ 1, 4, 6¿ ดงนน 5 ∈ A ง. x ∈ ¿¿ 0 ¿ ดงนน x = ¿¿ 0¿

10. ขอใดกลาวไมถกตอง เมอกำาหนด A = ¿¿ -1, 0, ¿¿0, 1¿ , 1, 2¿

ก. ¿¿-1¿ ∈ A ข. 0 ∈ Aค. ¿¿ 0, 1¿ ∈ A ง. 1 ∈ A

เซตวาง , เซตจำากด , เซตอนนต และการเทากนของเซต

1.1 เซตวาง (Empty set หรอ Null set)

บทนยาม เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก สญลกษณทใชแทนเซตวาง

คอ { } หรอ (สญลกษณ เปนอกษรกรก อานวา ฟ (phi)

ตวอยางของเซตวาง ไดแกA = {x | x2 < 0 }B = {x | 2x2 + 3 = x – 3}C = {x | x เปนจงหวดในประเทศไทยทขนตนดวย ข “ ”}1.2 เซตจำากด (Finite set)

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

บทนยาม เซตจำากด คอ เซตซงมจำานวนสมาชกเปนจำานวนเตมบวกหรอศนย

ตวอยางเซตจำากด ไดแกA = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 11B = {x I+ | x < 5} , n(B) = 4C = {x | x เปนพยญชนะในคำาวา เซตวาง “ ”} , n(C)

= 4

1.3 เซตอนนต (Infinite set)

บทนยาม เซตอนนต คอ เซตซงไมใชเซตจำากด

ตวอยางของเซตอนนต ไดแกA = {x | x เปนจำานวนเตมบวก และ x 7}B = {x | x เปนจำานวนเฉพาะทมากกวา 5}C = {3, 7, 11, 15, . . .}

ขอตกลงทเกยวกบเซต1) เซตวางเปนเซตจำากด2) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกนยมเขยนสมาชกแตละตว

เพยงครงเดยวเทานนเชน เซตของเลขโดดทอยในจำานวน 2, 3 ,2 คอ {2, 3}

3) เซตของจำานวนทมกจะกลาวถงเสมอและใชกนทว ๆ ไป มดงนI เปนเซตของจำานวนเตม หรอ I = {. . . , -2, -1, 0, 1,

2, . . .}

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

I+ เป นเซตของจ ำานวนเต มบวก หรอ I+ = {1, 2, 3, . . .}

I- เปนเซตของจำานวนเตมลบ หรอ I- = {-1, -2, -3, . . .}

N เปนเซตของจำานวนนบ หรอ N = {1, 2, 3, . . .}P เปนเซตของจ ำานวนเฉพาะ หรอ P = {2, 3, 5,

7, . . .}

เซตทเทากน (equal sets or identical sets)

บทนยาม เซต A เทากบเซต B หมายถง สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชก

ของเซต B และสมาชกทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A

เซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B

จากบทนยาม เซต A เทากบเซต B หมายความวา เซต A และเซต B มสมาชกเหมอนกนทกตว และเซต A ไมเทากบเซต B หมายความวา มสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ทไมใชสมาชกของเซต B หรอมสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต B ทไมใชสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย A B

ตวอยางท 1 กำาหนด A = {2, 3} , B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}

จงแสดงวา เซต A เทากบเซต Bวธทำา∵ A = {2, 3}

B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} x2 – 5x + 6 = 0

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

(x – 2)(x – 3) = 0x = 2 หรอ x = 3

B = {2, 3}ดงนน A = B

ตวอยางท 2 กำาหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} ,

C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหาวามเซตใดบางทเทากน

วธทำาA = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6}

จะได A = B เพราะวามสมาชกเหมอนกนทกตวแต A C , B C เพราะวา 7 A และ 7 B

แบบฝกทกษะ

คำาชแจง ใหนกเรยนพจารณาเซตในแตละขอตอไปนขอใดเปนเซตวาง เซตจำากด เซตอนนต

และเซตทเทากน แลวกาเครองหมาย ลงในชองวางใหถกตอง

ขอท

เซตทกำาหนดให คำาตอบเซตวาง

เซตจำากด

เซตอนนต

เซตทเทากน

1 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}

2 A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x | x เปนจำานวนนบทนอยกวา 5}

3 A = {2, 4, 6, 4, 2} ,

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

B = {4, 2, 2, 6, 6}4 A = {1, 2, 3, . . .} ,

B = {x | x 2}5 A = {x I | 0 < x <

1} , B = {x I | x เปนจำานวนค และ 4 < x < 6}

6 A = {x R | x2 = 1} ,B = {x I | x2 < 1}

เอกสารแนะแนวทางคำาชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย ลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตอง

ขอท

เซตทกำาหนดใหความสมพนธของเซตทกำาหนดให

A เปนสบเซต

ของเซต B

A ไมเปนสบเซต

ของเซต B

1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4}2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3,

4}3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d}4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2,

3, 4, 5, 6, 7}5 A = {5, 10, 15, 20} ,

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d,

e, f}7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1,

2, 3, 4, 5}8 A = { } , B = {1, 2, 3}9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c,

e, f, g}10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}

สรป เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ…………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

สบเซต นยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A  B แตถา สมาชกอยางนอยหนงตวของ A ไมเปนสมาชกของ B เราจะกลาววา A ไมเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย  A B

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

*** สงทควรร *** เซตวาง ( ) เปนสบเซตของทก ๆ เซตตวอยางท กำาหนด A = {1 , 2 , 3} , B = {2 , 3 , 4} , C = {1 , 2 , 3 , 4} , D = {2 , 3 , 4 } จงพจารณาหาสบเซตทเปนไปไดจะไดวา   A  C , B  D , B  C1) ถา  A  C แลว  A ≠ C เรยกวา A เปนสบเซตแทของ B (Proper Subsets)2) ถา   B  D แลว  B = D เรยกวา B เปนสบเซตไมแท ของ D (Proper Subsets)

วธการหาสบเซต

ใหนำาสมาชกของเซตนน ๆ มาใสเครองหมาย { } ทละ 1 ตว หรอ 2 ตว หรอ 3 ตว ....แลวแตวาเซตนนจะมสมาชกกตวตวอยาง 1) จงหาสบเซตทงหมดของ A = {1, 2}

n(A) = 2 จะไดวา มสบเซตทงหมด 22 = 4 ตว ดงนดงนน สบเซตทงหมด คอ {1} , {2} , {1, 2} และ

หมายเหต และ ตวมนเอง จะเปนสบเซตเสมอ

ตวอยาง 2) จงหาสบเซตทงหมดของ B = {3, , {5} }n(B) = 3 จะไดวา มสบเซตทงหมด 23 = 8 ตว

ดงนสบเซตทงหมด คอ {3} , {} , {{5}} , {3, } , {3,{5}

} , { ,{5} } , {3, , {5} } และ

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

แบบฝกหด จงหาสบเซตทงหมดของเซตตอไปน

เซต สมาชกคอ 2n สบเซตทงหมดA = { }A = {}A = {1, 3}A = {2, 3, 4}B = { {1}, {1,2} }B = { 12 ,{} } B = { ,{} }

เพาเวอรเซตเอกสารแนะแนวทาง

คำาชแจง ใหน กเรยนเตมค ำาตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท

เซตทกำาหนดให

สบเซตของเซตทกำาหนดให

จำานวนสบเซต

ทงหมดของเซต

ทกำาหนดให

เพาเวอรเซตของเซตทกำาหนดให

1 A = {a} {a} , 2 = 21 { {a} , }2 A = {1,

2} {1}, {2}, {1, 2},

4 = 22 { {1}, {2}, {1, 2}, }

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

3 A = {1, 2, 3}

4 A = {1, 2, 3, 4}

5 A = {a, b, c}

6 A = {a, b}

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

แบบฝกหดเรอง สบเซตและเพาเวอรเซต

1) ใหนกเรยนเขยนสบเซตทงหมดของเซตตอไปน 1. A = Æ จำานวนสมาชกของเซตม ........ ตว จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต ไดแก............................................................... 2. B = { 1 , 3 } จำานวนสมาชกของเซตม ............ ตว

จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต ไดแก................................................................................. 3. C = { Æ , a . 5 } จำานวนสมาชกของเซตม ............ ตว

จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต ไดแก...................................................................................2) จงพจารณาขอความตอไปนถกหรอผด .......... 1. { 3 } { {3} } .......... 2. Æ { {3} } .......... 3. { 3 } { {3} } .......... 4. { 0 } = { } .......... 5. Æ { } ..........6. Æ = 0 .......... 7. Æ  Æ ..........8. Æ  { Æ } .......... 9. Æ   Æ ..........10. { }  Æ 3) จงหาเพาเวอรเซตของเซตตอไปน 1. A = { Æ } จำานวนสมาชกของเซตม ........ ตว

จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต P(A) = ...............................................................................

คณตพนฐาน ค 31101 ม. 4

2. B = { 8 , {7} } จำานวนสมาชกของเซตม ........ ตว

จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต P(B)...................................................................................... 3. C = { Æ , a . 5 } จำานวนสมาชกของเซตม ........ ตว

จำานวนสบเซตทงหมดม ...............เซต P(C)....................................................................................