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Aula teórica 3: Sistemas com resposta inversa e de grandes retardos de Tempo

Conteudo: •Sistemas com resposta inversa•Sistemas com grandes retardos de tempo

Sistemas com grandes retardos de tempo

retardo de transporte

É um fenômeno muito comum em sistemas de fluxo,também lhe chama tempo morto

Considere a seguinte figura na qual um fluxo de líquido q atravessa um tubos isolado de área uniforme A e longitude L

Considere que a densidade e a capacidade calorífica são constantes

O fluído entra no tubos com uma temperatura X e se estivermos em estado estacionário a temperatura de saída Y deve ser igual a de entrada.

A maneira de exemplo

Se se produzir uma mudança em forma de degrau na temperatura de entrada, a mudança não se detecta na saída do tubos até que passe um tempo que chamaremos T, que é o tempo que requer o fluído para atravessá-la

A resposta Y(t) ao final do tubos deve ser idêntica a X(t) somente deslocada o tempo T

T se pode calcular

Desta figura pode observar-se que

)()( TtXtY

Se se transformar pelo Laplace ambos os lados

)()( sXesY ST

A função de transferência entre a temperatura de saída e entrada do fluído no tubos é

STesX

sY )(

)(

STesX

sY )(

)(Observe que esta função de transferência é diferente às que usualmente vemos (divisão de polinômios)

Quando trabalhamos com o Simulink, existe um bloco (Transport Delay) que nos permite simulá-lo

Muitas vezes por isso se utilizam aproximações

Mas não no Matlab propriamente

Tampouco pode aplicar a este tipo de função o critério de estabilidade do Routh.

Mas usada, aproximação do Padé de 1er Ordem

(Há outras)

Resposta de freqüência do retardo de transporte

)()cos()(

)(

)()(

wTjsenwTejwG

esX

sYsG

jwT

ST

)()cos(

)(tan)(

1)()(cos)(

1

22

wTwT

wTsenjwG

wTsenwTjwG

Módulo e fase

Diagrama polar

G(jw) 1G(jw) 0

0G(jw) 1G(jw) 0 o

w

w

O retardo de transporte não contribui nada à magnitude de um sistema mas acrescenta fase negativa crescente com a variação de freqüência

)1)(1(

1)(

SSsGp

)1)(1()(

1.0

SS

esGp

S

O retardo de transporte faz que o sistema se torne instável

Observe o que pode acontecer com a presença de um retardo de transporte devido à soma de fase negativa que ele introduz

Quando se produz uma mudança na entrada não se reflecte na saída até passado muito tempo o qual é geralmente insatisfatório

Para superar essa dificuldade se propõe o que se conhece como

Preditor do Smith

Se este retardo é igual o maior que a constante de tempo dominante do sistema, pode se considerar com grande retardo de tempo.

Nestes casos a correcção chegará muito tarde.

Porque acontece isto?

O efeito do retardo pode se reduzir com uma modificação como a seguinte:

O compensador do retardo reduz o efeito retardado que a variável manipulada terá sobre a saída do processo. Note que a implementação do Predictor de Smith só é possível si se conhece o modelo do processo.

Matematicamente

O sinal medida A

EGcGA

EGcGeEGcGeEGcGA

EGcGeGeEGcATSTS

TSTS

1

O sinal de realimentação ¨não vê o retardo¨

Exemplo com o mesmo sistema que já vimos anteriormente

Um exemplo deste tipo de processos é o Nível do líquido no domo de uma caldeira.

Processos com resposta inversa:

Existem processos que pela combinação de diferentes fenômenos, a resposta a um passo inicialmente se move em sentido oposto ao sentido ao que finalmente tenderá.

Estes processos se denominam de resposta inversa o de não-mínimo desfasaje.

1.A água fria causa uma caída de temperatura, pelo que decresce o volume das borbulhas de vapor. Isto cria uma diminuição do nível do líquido da água fervendo,

2.Com um fluxo de calor constante a produção de vapor permanece constante e o nível do líquido de água fervendo começa a crescer em forma integral.

11 1

2112

1

12

ss

KsKK

s

K

s

K

X

Y

Ante uma mudança tipo degrau ocorre na entrada

Para K21 < K1, o segundo termo domina inicialmente a resposta.

11 1

2112

1

12

ss

KsKK

s

K

s

K

O modelo resultante tem um zero positivo no ponto

0 112

2

KK

Ks

LGR do sistema exposto

Observe que o zero na parte direita provoca que as raízes se desloquem fazia ali e portanto o sistema pode muito facilmente tornar-se instável

.

Os processos com resposta inversa são difíceis de controlar

Tem duas formas básicas de controle:

Controle com PID.Usa-se um controlador PID sintonizado por Ziegler-Nichols. A ação derivativa antecipa-se ao movimento em forma oposta da resposta e provoca uma ação corretiva para limitar (nunca é eliminado totalmente) o pico inverso

Compensador de resposta inversa.Nos casos de sistemas com grandes retardos de tempo, utilizava-se um Predictor de Smith para compensar esse retardo. Neste caso, se utilizará um compensador similar ao Predictor de Smith, concebido para atuar contra a resposta inversa.

Suponhamos o sistema:

Que terá um zero positivo na malha aberta no ponto:

Esse processo terá uma resposta inversa se

12

1

2

1 K

K

0KKKK

z1221

21

Agregando um compensador 

21

2112 KKk

onde

1

1

1

1

12 ssk

Com isso obtém-se que o zero na função de transferência de malha aberta resultante seja não positiva:

0211221

21

kKK

KKz

O sistema será:

Exemplo

21

2112 KKk

3

1

3

12

14

1*14*5.0

k

1k

O esquema de controle anterior pode reordenar-se assim

Comparando sem e com a compensação

Conclusões:

As imprecisões no 1 y 2 deteriora o comportamento do compensador de resposta inversa, ocasionando incrementos do pico inverso e uma resposta mais lenta

O compensador com resposta inversa predize o comportamento inverso do processo e cria um sinal corretiva para eliminá-lo. A predição é baseada no modelo do processo, que sempre é aproximado.

Exemplo: Encontre o compensador de retardo apropriado (Predictor do Smith) e simule de novo em um terceiro esquema para repetir a comparação

O compensador ou predictor do Smith deve obtê-lo a partir de um esquema como este

.