aula18 escmeiosporosos pit
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1
Escoamento em Escoamento em leitos porosos leitos porosos (fixos e móveis)(fixos e móveis)
• Velocidade mínima de fluidização
• Equação de Ergun
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
• Lei de Darcy
• Porosidade, Diâmetro hidráulico
Leitos fixos
Leitos fluidizados
Transporte pneumático
• Equação de Carman-Kozeny
Lei de DarcyLei de Darcy
Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.
L
PKv
)(
v = velocidade média do fluido (fora do leito),
K = constante que depende das propriedades físicas do leito e do fluído.
(-P) = queda de pressão através do leito;
L = percurso realizado no leito poroso;
3
L
PBv
)( A equação de Darcy
também pode ser escrita da seguinte maneira:
B = coeficiente de permeabilidade;depende apenas das propriedades físicas do leito poroso
Lei de DarcyLei de Darcy
A
Q
Adt
dVv
v = velocidade superficial do fluido(antes ou depois de escoar no leito):
μ = viscosidade do fluído.
Equação de PoiseuilleEquação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.
2
32
D
v
L
P
L
PDv
)(
32
2 Colocando a equação em termos
da velocidade média no tubo:
Onde:∆p é a pressão (N/m2)v é a velocidade no tubo (m/s) D é o diâmetro (m)L é o comprimento (m)µ é a viscosidade (Pa.s)
5
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações:Comparando as equações:
L
PDvtubo
)(
32
2
k
DB
2
Nesta expressão o diâmetro usado deve ser o diâmetro equivalente.
Pode-se pensar em uma expressão para a porosidade:
Darcy modificadaPoiseuille
Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano dentro de um leito de partículas sólidas rígidas?
Precisamos de equações para descrever como varia a pressão, com a distância percorrida (altura do leito) e a velocidade do fluido, em função de:porosidade diâmetro de partícula, primeiro em leitos fixos e depois em leitos móveis (ou fluidizados)
Considerações
• Um leito de percurso curto (L pequeno)
• Usar a pressão piezométrica que incorpora o efeito da pressão (p) e da altura (z) numa variável só: P=p+gz.
• As partículas se distribuem homogeneamente, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos e uniformes.
• O leito pode ser modelado como um conjunto de canais tortuosos em paralelo.
• Que o fluxo é laminar (f F = 16/Re ou f D = 64/Re).
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PorosidadePorosidade
Em um leito poroso existem vazios (zonas sem partículas).
leitodototalVolume
vazioVolume
Fluido
Leito poroso
v
vc LL’
A porosidade () é definida como a razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.
9
Fluxo através de um leito de partículas
Vazio Sólido
Fração
Volume
Massa
ε ε)(1
bb )ρ(SLε)(1 )(SLε)(1 b
fb )ρ(SLε)(1 )(SLε b
10
Dedução de fórmula para calcular a porosidade a partir da densidade do leito e dos materiais:
)(SLV bT
T
T
V
mB
vs )1(B
vbsb )(SLε)(SLε)1(m T
)(B svs sv
s
B
11
Volumes no leito
leitodovolumeSLb
sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLbfluxoparadisponívelvolumeSLb
Volume total do leito
Leito particulado
Conjunto de partículas
Volume = soma dos volumes unitários
Volume vazio
Volume do sólido
12
A vazão fora do leito é igual a vazão dentro do leito:
SuSu 0Balanço
de massa
Velocidade superficial e velocidade média no leito
lsuperficiavelocidade0 u
0uu
5,0
leitono médiavelocidadeu
Quando o leito não tem partículas: 1
02 uu Se a porosidade for 50%:
uu 0
0u
u
13
Diâmetro equivalente
Como não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e raio hidráulico.
úmidoperimetro
fluxodeltransversaárea44 Heq RD
líquidosólidoatritodeárea
fluxooparadisponívelvolume4eqD
Multiplicando por L/L
14
Diâmetro equivalente
líquidosólidoatritodeárea
fluxooparadisponívelvolume4eqD
fluxoparadisponívelvolumeSLb
sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLb
sb
beq aSL
SLD
14
sólidode volume
sólidodeárea sa
s
eq aD
14
Diâmetro equivalente
s
eq aD
14
pp
ps DD
Da
63
61
2
Para uma esfera:
peq DD
16
4
as é a área superficial por unidade de volume.
P
Ps V
Aa
Leito particulado fixo
Como calculamos a perda de pressão no leito?
fff
uff
Ev
gzp
Wv
gzp
22
22
21
11 ˆ
24
2v
D
Lf
PF
f
Para o escoamento de um canal tortuoso temos:
Usamos o Balanço de Energia Mecânica:
f
F Dvf
16
17
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações
L
PDvtubo
)(
32
2
k
DB
2
264
2v
D
L
vD
P
ff
vD
LP
ff
232
L
PDv
tortuosocanal
)(
32
2
18
Substituindo termos:
L
PDv
tortuosocanal
)(
32
1 2
0u
u
peq DD
16
4
lsuperficiavelocidade0 u
leitododentro médiavelocidadeu
L
PDu po
)(
)1(6
4
32
12
L
PDu p
o )(
)1(72 2
32
3
2
2
172
p
o
D
Lup
o
tortuosocanal
uv
Fluxo Laminar
3
2
20 172
pD
Lup
Como a equação não considera o caminho tortuoso do fluido dentro do leito, os dados experimentais revelam que o valor da constante é maior: 150.
3
2
20 1150
pD
Lup
f
fpp
uDRe
)1(0
Equação de Blake-Kozeny, válida para <0.5 e Rep<10.
Reynolds de partícula:
20
2kf
p
1
Re
kf
21
Regimes de escoamentoRegimes de escoamento
f
eqffp
dv
..
Re
Número de Reynolds da partícula:
Definição do regime do fluxo do fluído:
Laminar quando Rep < 40
Turbulento quando Rep > 40
f
fpp
uDRe
0
1
f
fpp
uDRe
)1(0
22
Fluxo Turbulento
Para o regime turbulento pode propor-se:
3
20 13
p
f
D
Lukp
Experimentalmente: 000,1pRe
Equação de Burke-Plummer
3
20 175.1
p
f
D
Lup
24
2u
D
Lk
P
f
kf
0u
u ph DD
16
4
2)1(
4
12
o
pf
u
D
Lk
P
23
Equação geral
Equação de Ergun
75.1150
1
3
20
p
p
ReL
D
u
p
No escoamento de gases se usa o valor médio da densidade no leito (ρm) e a vazão mássica (G=ρmū).
3
20
3
2
20 175.11150
p
bf
p
b
D
Lu
D
Lup
75.1150
1
3
2
p
pf
ReL
D
G
p
24
Escoamento de gases em leitos porosos fixos vG
25
Formas IrregularesNem todas as partículas tem forma esférica. Na indústria se usam partículas feitas especificamente para aumentar a área superficial para favorecer o contato entre fases na troca de massa e/ou calor.
partículadareal
partículadareal
eequivalentesféricap
partícula
esferas
V
S
D
a
a 6
Dp é o diâmetro da esfera do mesmo volume da partícula.
A partícula irregular é tratada como se fosse uma esfera, introduzindo o fator denominado esfericidade s que permite calcular um diâmetro equivalente.
26
Exemplo: Cubo
3
26
aV
aS
Qual é a esfericidade da esfera de volume a3?
33
6 pDa
313
13132
6/6
/)6( a
as
realpartícula
eequivalentesfera
VS
ass
aDp316 81.0 s
aDa
ps
31
31
33
6
66
aa
a
V
S 663
2
partículareal
partículareal Diâmetro equivalente da esfera de volume a3?
ps D
a6
131
32
6 aas
27
Para uma partícula esférica:
22peq dd deq = diâmetro equivalente
dp = diâmetro da partícula
Superfície específica da partículaSuperfície específica da partícula
2
2
.
.
p
eq
d
d
Para partículas quase esféricas do mesmo volume: p
eq
A
d 2.
pp
p
dV
A 6
p
pS V
Aa
partículadavolume
partículadaárea
deesfericida
28
Partículas não esféricas
A equação de Ergun inclui a esfericidade(multiplicando ao diâmetro de partícula):
3
20
3
2
220 175.11150
ps
b
ps
b
D
Lu
D
Lup
3
20
3
2
20 175.11150
p
bf
p
b
D
Lu
D
Lup
29
Resposta ao fluxo superficial
O fluido não fornece força de arraste suficiente para se sobrepor a
gravidade e fazer que as partículas se movimentem: Leito fixo.
A velocidade alta as forças de arraste e flotação superam a força da
gravidade e o leito se expande: Leito fluidizado.
Baixa velocidade
Alta Velocidade
p e o aumento da velocidade superficial u0
Enquanto se estabelece a fluidização o p cresce, depois se mantém constante.
Comprimento do leito quando aumenta u0
A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer.
30
Resposta a Velocidade Superficial
31
Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade do leito e da altura também. Essa relação é da pela seguinte expressão:
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
)1()1( 2211 LSLS
Altura do leito porosoAltura do leito poroso
32
Velocidade do fluido no canalVelocidade do fluido no canal
Considerando área de fluxo igual, chega-se à equação da velocidade de circulação
do fluído através do canal (vc):
vSSvc .
v = velocidade do fluído livre de partículas;
L’= deslocamento do fluído no interior do leito
L = altura do leito
Fluido
Leito poroso
v
vc LL’.'
L
Lvvc
v
vc
33
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
A fluidização ocorre quando um fluxo de fluido ascendente através de um leito de partículas adquire velocidade suficiente para suportar as partículas, porém sem arrastá-las junto com o fluido.
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
O leito assume então o aspecto de um líquido em ebulição e devido a isso surgiu o termo “fluidizado”
34
FINALIDADEFINALIDADE
A fluidização é empregada em:
• Secagem• Mistura • Revestimento de partículas • Aglomeração de pós • Aquecimento e resfriamento
de sólidos;• Congelamento.
Elevados coeficientes de transferência de calor e massa; Boa mistura dos sólidos; A área superficial das partículas sólidas fica
completamente disponível para a transferência.
Vantagens da Fluidização:
35
EXEMPLO: resfriador de sólidos
Entrada de sólidos quentes
Entrada de ar
Entrada de ar
Leito fluidizado
Água fria
Saída de ar
Saída de sólidos frios distribuidor
36
TIPOS DE FLUIDIZAÇÃOTIPOS DE FLUIDIZAÇÃO
1- Fluidização particulada:
Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno.
Observe como a presença do leito fluidizado melhora a distribuição do calor de um jato de gás quente no reator
Sem partículas Com partículas
37
2. Fluidização agregativa: Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande.
38
Equação de ErgunEquação de Ergun
Pode ser utilizada para ambos os regimes, laminar e turbulento:
A equação de Ergun descreve a variação de pressão por unidade de comprimento do leito fluidizado.
23232
2 )1(75,1
)1(150
)(v
dv
dL
P
pp
f
pp
38
39
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Fg
Fp
O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente que seria a velocidade mínima de fluidização (vmf).
Quando temos esta vmf , a força de pressão do fluido (Fp) se iguala a força peso do leito(Fg).
Logo,
(Fp) = (Fg) (Fp) = (Fg)
40
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Fg
Fp gLSFg p )1.(.).(
SPFp ).( Sabe-se que
Assim, quando Fp = Fg
SPgLSp ).()1.(.).(
S=área transversal da coluna que contém as partículas;
p=densidade da partícula
gL
Pp )1)((
L=altura do leito
gSLF pg )1(
gSLFb )1(
41
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Regime laminar
A parte final da equação de Ergun é insignificante em relação à primeira, logo temos:
mfvdpL
P23
2)1(150
)(
23
.)1(
)(
150
1dpgv p
mf
mfmf
2
3232
2 )1(75,1
)1(150
)(mf
p
fmf
p
vdp
vdpL
P
mfg
L
Pp )1)((
Considerando
1 p
42
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Regime turbulento
O termo de velocidade ao quadrado é o único relevante:
23
)1(75,1
)(v
dpL
P
2/1
32 )(756,0
dpgv mf
pmf
2
3232
2 )1(75,1
)1(150
)(mf
p
fmf
p
vdp
vdpL
P
1 p mfg
L
Pp )1)((
Considerando
43
OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está fluidizado; BC: Com o aumento da velocidade, há pouca variação na pressão de maneira instantânea, devido à mudança repentina da porosidade do leito; CD: A velocidade varia linearmente com a queda de pressão até chegar no ponto D. Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.
vmf = velocidade mínima de fluidização
va = velocidade de arraste
Leito de ebulição (ou fluidização descontínua)
Transporte pneumático
Etapas da fluidizaçãoEtapas da fluidização
44
Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleitomf V
VV
14
1. 3 mfp
Experimentalmente:
Porosidade mínima de fluidizaçãoPorosidade mínima de fluidização
45
Distribuidor do fluidoDistribuidor do fluidoNuma boa distribuição, a perda de carga na placa deve ser: (a) aproximadamente 10% em relação a do leito, ou;(b) 35 cm ca, ou; Escolher sempre o maior valor.
Placa perfurada Desenho de chapéu
Entalhes horizontais contínuos
Desenho de edifício
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