bab 2 sistem bilangan riil -...

BAB 2 Sistem Bilangan Riil

Bilangan Riil

Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan

q Z, dengan q 0} contoh : Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan

bilangan rasional : * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….} * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

p

q

1 4 57, ,

3 9 1

Himpunan bilangan irasional,

iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } contoh : , e, log 5, Teorema : “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional” Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama : contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818… Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271….. Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….

p

q2

Bilangan Riil

Gambar

N : bilangan

asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N :

1,2,3,….

Z :

…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbab

aq

Q :

IrasionalQR

,3,2

Contoh Bil Irasional

Sifat-Sifat Bilangan Riil

Untuk sebarang R berlaku sifat-sifatnsebagai berikut:

1. Sifat komutatif 2. Sifat asosiatif 3. Sifat distibutif perkalian terhadap

penjumlahan 4. (i).

(ii). (iii).

5. (i). (ii). (iii). 6. (i). , untuk setiap bilangan (ii). tak terdefinisikan (iii). untuk setiap bilangan 7. Hukum Kanselasi (i). Jika dan maka (ii). Jika maka 8. Sifat pembagi nol jika maka atau

abba

abba

..).ii(

).i(

cbacbacba

cbacbacba

......).ii(

).i(

).().().( cabacba

0,1

. bb

ab

a

0,0,.

).().(

db

db

cbda

d

c

b

a

0,0,.

.. db

db

ca

d

c

b

a

).().().( bababa

baba .)).((

aa )(

00

a0a

0

a

1a

a 0a

cbca .. 0c ba

0, cbb

a

cb

ca

.

.

0. ba 0a 0b

Sifat-sifat urutan : Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan

Jika x < y dan y < z → x < z

Penambahan

Jika x < y ↔ x + z < y + z

Perkalian

Misalkan z bilangan positif, x < y ↔ xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, x < y ↔ xz > yz

Sifat-Sifat Bilangan Riil

Latihan 1

Ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi hasil bagi dua bilangan bulat.

a. 0,123123123...

b. 2,56565656...

Selang (Interval)

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu.

Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , ≤ atau ≥.

Contoh Pertidaksamaan:

1. 2x – 7 < 4x – 2

2. –5 ≤ 2x + 6 < 4

3. x2 – x – 6 < 0

4. 3x2 – x – 2 > 0

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

xE

xD

xB

xA

Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara : 0)(

)(

xQ

xP

Pertidaksamaan

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan

Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

53213 x

352313 x

8216 x

48 x

84 x

8,4Hp =

4 8

1.

8462 x

248 x

248 x

842 x

22

1 x

2,

2

1

2 2

1

Hp

2.

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

3,

2

1

0352 2 xx

0312 xx

Titik Pemecah (TP) : 2

1x dan 3x

3

++ ++ --

21

3.

Hp =

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

637642 xxx

xx 7642 6376 xxdan

4672 xx dan 6637 xx

4.

109 x 010 xdan

9

10x 010 xdan

9

10x dan 0x

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

Hp =

,0

9

10,

0 9

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

9

10,0

0

131

3

xx

x

13

2

1

1

xx

013

2

1

1

xx

0131

2213

xx

xx

5.

TP : -1, 3

1, 3

3

++ ++ --

-1

--

31

Hp =

3,

3

11,

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

x

x

x

x

32

1

032

1

x

x

x

x

032

231

xx

xxxx

0

32

322 2

xx

xx

6.

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilai

Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu

positif, Jadi TP : 2,-3

Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2

-- ++ --

,23,Hp =

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

0,

0,

xx

xxx

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x

2xx

axaaax 0,

axaax 0, atau ax

yx 22 yx

1.

2.

3.

4.

5.

Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian

41 x

Contoh :

352 x

Kita bisa menggunakan sifat ke-2.

3523 x

53235 x

822 x

Hp = 4,11 4

1.

Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian

0422 xx

352 x2.

Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,

karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.

9522 x

016204 2 xx925204 2 xx

08102 2 xx

TP : 1, 4

1 4

++ -- ++

Hp = 4,1

5432 xx3.

Kita bisa menggunakan sifat 4

225432 xx

2540169124 22 xxxx

0162812 2 xx

0473 2 xx

3

4TP : , -1

Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian

Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian

Hp = ]1,3/4[

Jika digambar pada garis bilangan :

-1 3

4

++ -- ++

Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian

272

x

272

x

272

x

52

x

92

x

10 x 18x

18,,10

4.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10

Soal Latihan

372 x

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

732 xx

1.

2.

3.

2472 xx

4.

4625 x

5.

25

3

x