bab 4 ruang berdimensi dua

BAB 4

RUANG BERDIMENSI DUA

Penerbit Erlangga

Kompetensi Dasar

• Mengidentifikasi sudut.

• Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah

bangun datar.

• Menerapkan transformasi bangun datar.

A. PENGERTIAN SUDUT

Sudut terbentuk oleh dua sinar yang saling bertemu

titik pangkalnya atau dapat dikatakan bahwa sudut

terbentuk oleh kemiringan suatu sinar terhadap sinar

lain yang bersekutu pangkalnya.

Titik persekutuannya disebut titik sudut dan dua

sinar yang bersekutu merupakan sisi sudut atau kaki

sudut.

Besarnya suatu sudut dapat diukur menggunakan

satuan sudut.

1. Satuan Sudut

a. Derajat

Derajat adalah satuan ukuran sudut dan

dilambangkan dengan ” ° ”.

b. Radian

1 radian adalah besar sudut yang dibentuk oleh dua jari-

jari pada sebuah lingkaran yang menghadap busur lingkaran

yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran.

1 lingkaran =2∏Rad

c. Grade

Grade adalah satuan sudut yang membagi lingkaran

menjadi 400 bagian yang sama. Sudut 1 putaran = 2π radian

= 400g.

Contoh

B. Konversi Sudut

Dari uraian dan penjelasan di atas terlihat adanya hubungan tiap jenis

satuan sudut, sehingga kita dapat mengkonversikan satuan sudut

yang satu menjadi satuan sudut yang lain menggunakan aturan

sebagai berikut.

Sehingga dapat disimpulkan

Contoh

Selesaikan soal berikut.

a. Ubahlah 30° ke dalam satuan radian dan grade.

b. Ubahlah 2 radian ke dalam satuan derajat dan grade.

c. Ubahlah 100g ke dalam satuan derajat dan radian.

Jawab:

a. 30° = 30 × 0,0174 radian = 0,522 radian

30° = 30 × 1,11g = 33,3g

b. 2 radian = 2 × 57,325° = 114,65°

2 radian = 2 × 63,694g = 127,388g

c. 100g = 100 × 0,9° = 90°

100g = 100 × 0,0157 radian = 1,57 radian

1. Persegi Panjang

Bangun datar seperti Gambar diatas adalah bangun persegipanjang. Adapun sifat-sifat persegi panjang adalah sebagaiberikut.a. Setiap sisi yang berhadapan sama panjang.

b. Setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku.

c. Mempunyai dua diagonal yang sama panjang dan berpotongandi satu titik pada bagian tengah persegi panjang. Titik tersebutmembagi kedua diagonal menjadi dua bagian yang samapanjang.

d. Diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadidua segitiga siku-siku yang kongruen.

e. Persegi panjang mempunyai 2 sumbu simetri, 2 simetri lipat, dan 2 simetri putar.

C. KELILING DAN LUAS DAERAH

BANGUN DATAR

Jika persegi panjang memiliki ukuran panjang = p dan lebar = l,

maka luas dan kelilingnya dapat ditentukan dengan rumus

berikut.

Sedangkan untuk mencari panjang diagonalnya adalah dengan

rumus berikut.

Contoh

2. Persegi

Persegi panjang yang keempat sisinya mempunyai panjang yang sama disebut persegi.

Persegi mempunyai sifat-sifat sebagaiberikut.

a. Setiap sisinya sama panjang.

b. Setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku.

c. Mempunyai dua diagonal yang sama panjang dan berpotongan di satu titik padabagian tengah persegi. Titik tersebut membagi kedua diagonal menjadi dua bagiansama panjang.

d. Diagonal persegi membagi persegi menjadi dua segitiga siku siku sama kaki yang kongruen.

e. Diagonal persegi membagi sudut persegi sama besar dan perpotongannyamembentuk sudut siku-siku.

f. Persegi mempunyai empat sumbu simetri, empat simetri lipat, dan empat simetriputar.

Jika sebuah persegi sisinya adalah s, maka luas keliling, dan

panjang diagonalnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Contoh

3. Jajargenjang

Jajargenjang adalah bangun datar segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Sifat-sifat jajargenjang adalah sebagai berikut.

a. Setiap sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

c. Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180°.

d. Jajargenjang mempunyai dua diagonal yang berpotongan di satu titik dansaling membagi dua sama panjang.

e. Jajargenjang tidak mempunyai simetri lipat, namun mempunyai duasimetri putar.

Jika sebuah jajargenjang memiliki panjang sisi-sisi a dan b

dengan tinggi t, maka keliling dan luasnya dapat ditentukan

dengan rumus berikut.

Contoh

4. Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang mempunyai tiga sisi yang ujungnya salingbertemu dan membentuk tiga buah sudut.

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 180°.

Jenis-jenis segitiga antaralain:

a. Segitiga siku-siku, merupakan segitiga yang besar salah satu sudutnya90°.

b. Segitiga sama kaki, merupakan segitiga yang memiliki dua sisi samapanjang.

c. Segitiga sama sisi merupakan segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

d. Segitiga lancip, merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya < 90°.

e. Segitiga tumpul, merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya > 90°.

Jika segitiga memiliki sisi-sisi a, b, c dan tinggi segitiga yang

tegak lurus alas a adalah t, maka luas dan kelilingnya

dirumuskan sebagai berikut.

atau

dengan

5. Layang-layang

Layang-layang adalah bangun datar segi empat yang kedua diagonalnya

berpotongan tegak lurus dan membentuk sudut sikusiku.

Sifat-sifat layang-layang adalah sebagai berikut.

a. Terdapat dua pasang sisi sama panjang yang salah satu titik pangkalnya

saling bertemu.

b. Diagonalnya saling berpotongan membentuk sudut siku-siku.

c. Mempunyai satu sumbu simetri, satu simetri lipat, dan satu simetri putar.

Luas dan keliling layang-layang ABCD dirumuskan

sebagai berikut.

Contoh

6. Trapesium

Trapesium adalah sebuah bangun datar segi empat

yang mempunyai sepasang sisi yang sejajar.

Ada tiga macam trapesium, yaitu:

a. trapesium sembarang

b. trapesium sama kaki,

c. trapesium siku-siku.

Jika panjang sisi-sisi sejajar sebuah trapesium adalah

a dan b, panjang sisi-sisi yang lain adalah c dan d,

serta tingginya t, maka luas dan kelilingnya adalah

sebagai berikut.

7. Lingkaran

Lingkaran adalah bangun datar di mana untuk setiap titik padalingkaran itu mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titiktertentu tertentu yang disebut pusat lingkaran.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari.

Garis tengah lingkaran yang melewati titik pusat lingkaran disebutdiameter.

Panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari atau d = 2r.

Jika sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari r, maka

keliling dan luasnya dirumuskan sebagai berikut.

Contoh

D. TRANSFORMASI BANGUN DATAR

Transformasi terbagi menjadi beberapa jenis, antara

lain :

translasi ( pergeseran),

refleksi ( pencerminan),

rotasi ( perputaran),

dilatasi.

Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) merupakan titik-titik

pada bidang Cartesius, maka jarak PQ didefinisikan

sebagai berikut.

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah suatu transformasi yang

memindahkan suatu bangun datar dengan jarak dan

arah tertentu atau dengan cara digeser, hasilnya

berupa bangun datar yang sama dengan ukuran

tetap.

Sifat-sifat translasi adalah sebagai berikut.

a. Tidak mengubah bentuk dan ukuran.

b. Mengubah kedudukan dari titik, garis, atau bidang.

Translasi ΔPQR menjadi ΔP'Q'R‘

Contoh

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi ( pencerminan) adalah suatu transformasi

(perpindahan) yang memindahkan titik-titik pada

suatu bangun dengan menggunakan sifat bayangan

cermin.

Refleksi terhadap sebuah bangun datar diperoleh

dengan merefleksi titik-titik pada bangun datar

tersebut.

Refleksi ΔPQR terhadap cermin y menghasilkan ΔP′Q′R′.

Refleksi titik P(x, y) terhadap:

a. sumbu X atau y = 0 adalah P(x, y) → P′(x, –y)

b. sumbu Y atau x = 0 adalah P(x, y) → P′(–x, y)

c. pusat O adalah P(x, y) → P'(–x, –y)

d. garis x = h adalah P(x, y) → P′(2h – x, y)

e. garis y = k adalah P(x, y) → P′(x, 2k – y)

f. garis y = x adalah P(x, y) → P′(y, x)

g. garis y = –x adalah P(x, y) → P′(–y, –x)

h. titik (h, k) adalah P(x, y) → P′(2h – x, 2k – y)

Contoh

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat rotasi,

besar sudut rotasi, dan arah rotasinya

(perputarannya).

Arah rotasi ada dua, yaitu:

arah positif yang berlawanan dengan arah putaran jarum

jam,

arah negatif yang searah dengan arah putaran jarum jam.

Rotasi ΔPQR terhadap pusat O sejauh –90° menghasilkan ΔP′Q′R′.

Bayangan titik P(x, y) yang dirotasikan sejauh:

90° berlawanan arah jarum jam adalah P′(–y, x)

90° searah jarum jam adalah P′(y, –x)

180° adalah P′(–x, –y)

Matriks bayangan titik P(x, y) yang dirotasikan sejauhα dengan pusat O(0, 0) adalah:

4. Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran

tetapi tidak mengubah bentuk suatu bangun.

Bayangan titik P(x, y) dilatasi dengan faktor skala k dan

pusat O(0, 0) adalah sebagai berikut.

dalam bentuk perkalian matriks ditulis,

Bayangan titik P(x, y) oleh dilatasi dengan faktor

skala k pusat (a, b) adalah sebagai berikut.

dalam bentuk perkalian matriks di atas,

Contoh