garis dan bidang dalam ruang euclid berdimensi n
TRANSCRIPT
GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID
BERDIMENSI N
SKRIPSI
Diajukan dalam rangka menyelesaikan Studi Strata Satu
untuk mencapai gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : M SOLIKIN ADRIANSAH
NIM : 4150402019
Program Studi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2006
ii
ABSTRAK
M Solikin Adriansah, Garis dan Bidang Dalam Ruang Euclid Berdimensi N, Semarang, Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang 2006
Sistem geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga sekolah menengah merupakan suatu sistem geometri yang dikembangkan oleh Euclides, sehingga dinamakan Geometri Euclid atau dapat disebut dengan Geometri seperti yang kita kenal sekarang. Meskipun pada tingkatan universitas diperkenalkan sistem lain dari geometri yaitu geometri non-euclid.
Gagasan digunakannya pasangan bilangan terurut lebih dari tiga atau dalam ruang dimensi-3, karena para ahli matematika dan fisika menyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bahwa bilangan – bilangan ganda empat ( ) a ,a ,a ,a 4321 dapat dikorespondensikan sebagai titik – titik dalam ruang dimensi-4 dan seterusnya.
Garis dan bidang merupakan obyek yang cukup penting untuk dibahas dan menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya dan bukan melalui sifat – sifat geometris.
Simpulan dari penulisan ini adalah bahwa persamaan garis lurus (real line) di nR merupakan suatu persamaan parametrik yang berbentuk taX nnn α+= . Bidang datar dalam nR merupakan suatu bidang datar-n (hyperplane) yang memiliki persamaan 2 a a,x = .
iii
HALAMAN PENGESAHAN
iv
MOTTO dan PERSEMBAHAN
MOTTO
Ilmu itu lebih cantik dari mangkuk yang cantik,
orang yang menuntut ilmu itu lebih manis dari
madu, dan ber’amal dengan ilmu yang dimiliki itu
lebih sulit dari meniti sehelai rambut. (Usman bin
Affan)
Sebaik – baik isteri adalah jika kamu memandangnya
membuat hatimu senang, jika kamu perintah dia
mentaatimu, dan jika kamu tinggal maka dia akan
menjaga untukmu harta dan dirinya. ( Ibnu Jahir)
PERSEMBAHAN
Bapak dan Mamah yang memberikan
doa dan kasih sayangnya.
M’Lel, Bekti, Drajat dan Ayu .
Someone in Somewhere, Wait me.
Adit, Pirlo, Bira, dan Pilar
“capek”.
Fina, Asih, Isti, Diana, Cahya
dan Dewi.
M’ Tamie dan Ida.
Raras thanks for everything.
Teman – teman ’02. Ayo berjuang!
v
KATA PENGANTAR
Segala puji hanya bagi ALLAH SWT atas segala limpahan rahmat
dan hidayah-Nya, sehinggga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “
GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N “.
Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai
pihak, oleh karena itu disampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. A. T. Soegito, SH, MM, Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.
3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.
4. Drs. Suhito, M. Pd, Dosen pembimbing utama yang telah membimbing dan
memberikan masukan dalam penulisan skripsi.
5. Drs. Amin Suyitno, M. Pd, Dosen pembimbing pendamping yang telah
membimbing dan memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini.
6. Bapak dan Mamah yang selalu mendoakan.
7. Kakakku terima kasih atas bantuannya semoga aku dapat melakukan hal yang
sama.
8. Teman – teman angkatan 2002 yang memberikan semangat untuk terus
berjuang dalam menyelesaikan skripsi ini.
9. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu yang telah
membantu terselesaikannya skripsi ini.
vi
Bagaimanapun penulisan skripsi ini setidaknya dapat membantu
bagi pembaca, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis menerima
kritik dan saran. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi
pembaca.
Semarang, September 2006
Penulis
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..............................................................................................i
ABSTRAK .............................................................................................................ii
HALAMAN PENGESAHAN ..............................................................................iii
MOTTO dan PERSEMBAHAN .........................................................................iv
KATA PENGANTAR ...........................................................................................v
DAFTAR ISI ........................................................................................................vii
BAB I PENDAHULUAN .........................................................................1
A. Latar Belakang Masalah ............................................................1
B. Permasalahan .............................................................................4
C. Tujuan Penulisan .......................................................................3
D. Manfaat Penulisan .....................................................................5
E. Penegasan Istilah .......................................................................6
F. Sistematika Skripsi ....................................................................7
BAB II LANDASAN TEORI .................................................................10
A. Ruang Linear ...........................................................................11
1. Ruang Linear .....................................................................11
2. Ruang Bagian dari Ruang Linear ......................................23
3. Ruang Linear Bernorma ....................................................23
4. Ruang Inner Product .........................................................25
B. Ruang Vektor .........................................................................12
1. Ruang Vektor ....................................................................11
viii
2. Hasil Kali Dalam dan Norm ..............................................23
C. Ruang Metrik ..........................................................................13
BAB III METODE PENELITIAN ...........................................................20
A. Kajian Pustaka .........................................................................11
B. Perumusan Masalah ................................................................12
C. Pemecahan Masalah ................................................................23
D. Penarikan Simpulan ................................................................56
BAB IV PEMBAHASAN ...........................................................................40
A. Titik .........................................................................................11
B. Garis Lurus Real .....................................................................12
1. Persamaan Garis lurus-n ...................................................22
2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n .......................................33
3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n ...................................36
4. Jarak Antara Dua garis Lurus-n ........................................36
C. Bidang Datar-n ........................................................................13
1. Persamaan Bidang Datar-n ................................................22
2. Persamaan Hesse Bidang Datar-n .....................................33
3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n .................................23
4. Kedudukan Dua Bidang Datar-n .......................................23
BAB V PENUTUP ......................................................................................45
A. Simpulan ...........................................................................11
B. Saran ..................................................................................22
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................22
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “
ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi.
Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan
untuk pertanian orang-orang Babylonia dan Mesir. Kemudian hal tersebut
diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Hasil-
hasil ini sering dinyatakan sebagai deret arimetika yang secara empiris
tidak benar (Wallace dalam Mulyati, 1).
Menurut tradisi, mempelajari geometri penting karena geometri
telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan
berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang
disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari
serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang,
dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri
dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi,
aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema.
Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak
penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah,
pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain
sebagainya.
2
Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam
geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian
ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem
seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide
konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup.
Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang
lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya
didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada
akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi
harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini
dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan
kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).
Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak
terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep
garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah
perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang
terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain
sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang, walaupun bidang
merupakan perpotongan dari beberapa garis. Dari contoh di atas dapat
dipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri,
tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar dari
geometri.
3
Sistem dari geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga
menengah merupakan geometri yang didasarkan atas postulat ataupun
aksioma yang dikemukakan oleh Euclides yang biasa disebut geometri
euclid, meskipun pada tingkat universitas diperkenalkan sistem lain dari
geometri yaitu geometri non-euclid. Gagasan digunakannya pasangan
bilangan terurut lebih dari tiga, karena para ahli matematika dan fisika
menyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa
bilangan ganda empat ( ) a ,a ,a ,a 4321 dapat dianggap sebagai titik pada
ruang dimensi-4, ganda lima ( ) a ,a ,a ,a ,a 54321 sebagai titik pada ruang
dimensi-5 dan seterusnya. Walaupun visualisasi geometrik tidak melebihi
ruang dimensi tiga.
Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3
dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya dan
bukan melalui sifat – sifat geometris. Dari latar belakang di atas maka
judul dari skripisi ini adalah GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG
EUCLID BERDIMENSI N
B. Permasalahan
Permasalahan yang dikaji dalam penulisan ini adalah
1. Bagaimana bentuk dari persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n?
2. Bagaimana persamaan kedudukan dua garis lurus-n dan dua bidang
datar-n?
4
3. Bagaimana persamaan sudut dua garis lurus-n dan dua bidang datar-
n?
4. Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n
dan jarak antara dua garis lurus-n?
5. Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan bidang datar-
n?
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui persamaan dari
garis lurus-n dan didang datar-n serta relasi yang terkait dengan gair lurus-
n dan bidang datar-n
D. Manfaat Penulisan
Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai
sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang,
khususnya Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.
E. Penegasan Istilah
1. Garis
Sebuah garis (garis lurus) dapat dibayangkan sebagai kumpulan
dari titik – titik yang memanjang secara tak terhingga ke kedua arah.
( Kohn, 2003 : 4 )
5
2. Bidang
Sebuah bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yang
jumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yang
melebar ke segala arah sampai tak terhingga.
( Kohn, 2003 : 4 )
3. Ruang Euclid Dimensi N
Jika n bilangan bulat positif maka himpunan dari n bilangan real
(x1 ,x 2 ,...,x n ) adalah sebuah titik atau vektor pada dimensi n yang
dinotasikan dengan ( ){ } R x, ... , x, x x, ... , x,x R n21n21n ∈= . Ruang
linear nR dan ruang vektor nR yang dilengkapi oleh suatu inner
product dan dinotasikan dengan { } y ,x ,R n disebut ruang Euclid
dimensi n (Euclidean n-space).
( Ruckle, 1961 : 31 )
F. Sistematika Skripsi
Bab I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, penegasan istilah,
permasalahan, tujuan, manfaat dan sistematika dari penulisan
skripsi.
Bab II Landasan Teori
Pada bab ini berisi pokok-pokok, dasar-dasar dan teorema yang
akan digunakan sebagai pedoman dalam pembahasan.
6
Bab III Metode Penelitian
Bab ini berisi langkah-langkah yang digunakan dalam
penyusunan skripsi ini.
Bab IV Pembahasan
Bab ini berisi garis dan bidang yang terdiri dari persamaan garis
dan bidang, kedudukan dua garis dan dua bidang serta jarak garis
dan bidang dalam ruang Euclid berdimensi n
Bab V Penutup
Bab ini beisi simpulan dan saran yang diperoleh dari hasil
pembahasan.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Ruang Linear
1. Ruang Linear
Definisi A.1
Sebuah ruang linear atas lapangan F adalah sebuah himpunan
E yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan EEE →× dan
operasi perkalian EEF →× dimana kedua operasi tersebut harus
memenuhi aksioma-aksioma berikut.
a. Untuk semua x, y, z di E berlaku ( ) ( ) z.yxzyx ++=++
b. Untuk semua x,y di E berlaku x.yyx +=+
c. Ada elemen identitas 0 di E sehingga x0x =+ untuk setiap x di E.
d. Untuk semua x di E, ada elemen –x di E sehingga ( ) 0x-x =+ .
e. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku ( ) ( )x.abbxa =
f. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku ( ) bx.axxba +=+
g. Untuk semua a di F dan x, y di E berlaku ( ) ay.axyxa +=+
h. Untuk semua x di E berlaku 1x = x.
( Ruckle, 1961 : 31 )
8
Contoh A.1.1
Selidiki apakah Rn dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan
ruang linear atas lapangan R.
Penyelesaian :
Rn = R×R×R× ...×R = ( ){ }Rx...,,x, x x...,,x,x n21n21 ∈ .
Ambil sembarang x = (x1 , x 2 ,..., x n ), y = (y1 , y 2 ,..., y n ) dan z = ( z1 ,
z 2 ,..., z n ) nR ∈
a). Jelas x + (y + z) = (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n + z1 , z 2 ,..., z n )
= (x1 + y 1 + z1 , x 2 + y 2 + z 2 , ... , x n + y n + z n )
= (x1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n )
= (x + y) + z .
b). Jelas yx × = (x1 , x 2 ,..., x n )× (y1 , y 2 ,..., y n )
= (x1 × y 1 , x 2 × y 2 ,..., x n × y n )
= (y 1 × x1 , y 2 × x 2 ,..., y n × x n )
= xy× .
c). Pilih 0 = (01 , 0 2 ,..., 0 n ) nR∈
Jelas x + 0 = (x1 , x 2 ,..., x n ) + (01 , 0 2 ,..., 0 n )
= 0 + (x1 , x 2 ,..., x n ) = x.
d). Pilih (-x1 , -x 2 ,..., -x n ) nR∈
Jelas x + ( )x− = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (-x1 , -x 2 ,..., -x n )
= (x1 - x1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0.
9
Ambil sembarang a, b R∈
e). ( )bxa = a× ( )n21 bx ,...,bx ,bx
= a× ( )( )n21 x,..., x,xb
= ( )xab .
f). ( )xba + = ( )×+ ba (x 1 , x 2 ,..., x n )
= a× (x1 , x 2 ,..., x n ) + b× (x 1 , x 2 ,..., x n )
= ax + bx.
g). a(x+y) = a ( ) ( ){ } y,...,y,yx,...,x,x n21n21 +
= a × (x1 , x 2 ,..., x n ) + a × (y 1 , y 2 ,..., y n )
= ax + ay.
h). 1x = 1(x1 , x 2 ,..., x n )
= (x1 , x 2 ,..., x n )
= x
Jadi ∀ (x1 , x 2 ,..., x n ), (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan ( z1 , z 2 ,..., z n ) nR ∈ dan a, b ∈
R maka Rn merupakan ruang linear atas R.
2. Ruang Bagian dari Ruang Linear
Jika V ruang linear atas F. Jika B φ≠ dan B ⊂ V. B dengan sifat,
untuk setiap vektor x , y di V dan skalar α, β di F berlaku αx + βy di B
maka B disebut ruang bagian dari ruang linear.
( Wuryanto, 2003 : 36 )
10
Contoh A.1.2
Tunjukan untuk setiap bilangan asli m, n dengan m ≤ n maka Rm
merupakan ruang bagian dari ruang linear terhadap Rn.
Penyelesaian :
Dipunyai Rm = R×R×R× ...×R = ( ){ }Rx...,,x, x x...,,x,x m21m21 ∈ .
Ambil sembarang x = (x1 , x 2 ,..., x m ), y = (y1 , y 2 ,..., y m ) mR ∈ dan ambil
sembarang skalar α, β di R
Jelas Rm merupakan ruang vektor atas Rn sendiri dan untuk setiap x, y di
Rm dan a, b di R sehingga berlaku
α(x 1 , x 2 ,..., x m ) + β(y 1 , y 2 ,..., y m )
= (α x1 + β y 1 , α x 2 + β y 2 , ... , α x m + β y m ) ∈Rn.
Jadi Rm merupakan subruang dari Rn.
3. Ruang Linear Bernorma
Dipunyai V ruang Linear atas R. Jika terdapat fungsi . :V → R
yang memenuhi :
a. αα =x x
b. ≥x 0 dan =x 0 ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V
c. ≤+ yx +x y
maka fungsi . disebut norma pada V.
( Wuryanto, 2003 : 36 )
11
Contoh A.1.3
Di punyai fungsi Rn → R yang didefinisikan 21n
1i
2ixx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
untuk setiap
vektor x = (x1 , x 2 ,..., x n )∈ Rn adalah suatu norm pada ruang euclid Rn.
Tunjukkan fungsi tersebut merupakan suatu norm pada ruang euclid Rn?
Penyelesaian :
Ambil sembarang vektor x = (x1 , x 2 ,..., x n ), y = (y1 , y 2 ,..., y n ),
z = (z1 ,z 2 ,..., z n ) nR∈ dan skalar α ∈R memenuhi:
a. Jelas αα =x x
Karena 21n
1i
2i
221n
1i
2i xxx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑
==
ααα
xx21n
1i
2i αα =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
b. ≥x 0 dan 0xx sebab, 0x0x21n
1i
2i ≥⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==⇔= ∑
=
.
( )⇐ jika x = 0 maka x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n), yang berakibat
21n
1i
2ixx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
= 0.
( )⇒ jika 21n
1i
2ixx 0 dipunyai maka 0x ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∑
=
, sehingga untuk
setiap i dan 0haruslah x n, i 1 2i =≤≤ yang berakibat ix = 0. Karena
x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) ini berarati x = 0.
12
c. ≤+ yx +x y .
Ditunjukan sebagai berikut
Karena untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) berlaku
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiiiiiiiiiii2
ii yyxxyxyxyxyxyxyx +++=++≤++=+ maka dengan memanfaatkan teorema Cauchy-Shcwarstz didapat
( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==
+++≤+n
1i
n
1iiiiiii
n
1i
2ii yyxxyxyx
( ) ( )21n
1i
2i
21n
1i
2ii
21n
1i
2i
21n
1i
2ii yyxxyx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+≤ ∑∑∑∑
====
dalam hal 0yx ii ≠+ maka diperoleh
( )
( )
21n
1i
2i
21n
1i
2i21n
1i
2ii
n
1i
2ii
yxyx
yx⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
∑∑∑
∑==
=
=
( )21n
1i
2i
21n
1i
2i
21n
1i
2ii yxyx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⇔ ∑∑∑
===
Dengan kata lain diperoleh ≤+ yx +x y .
Berdasarkan ketiga point a, b dan c maka fungsi Rn → R yang
didefinisikan 21n
1i
2ixx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
untuk setiap vektor x = (x1 , x 2 ,..., x n )∈ Rn
adalah ruang linear bernorma.
13
4. Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)
Dipunyai V ruang linear atas lapangan real R. Jika terdapat
fungsi , :V×V → R sehingga untuk setiap vektor x,y,z ∈ V dan
skalar α∈R memenuhi:
a. xy,yx, =
b. yx,αyαx, =
c. zxyxzyx ,,, +=+
d. 0xx, ≥ dan =⇔= x0xx, θ (θ vektor nol di V)
Sehingga , merupakan ruang inner product.
( Wuryanto, 2003 : 36 )
Contoh A.1.4
nR terhadap perkalian titik yang didefinisikan ∑=
=n
1iii yxyx, merupakan
ruang inner product. Ditunjukan bahwa perkalian titik tersebut adalah
suatu inner product. Dibentuk fungsi , dari RRR nn →× yang
didefinisikan ∑=
=n
1iii yxyx, untuk setiap vektor x = (x1 ,x 2 ,...,x n ), y =
(y 1 , y 2 ,..., y n ) di nR . Fungsi tersebut merupakan suatu inner product
pada nR sebab, untuk setiap vektor x = (x1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n )
di nR dan skalar real α memenuhi:
a. Jelas xy,yx, = oleh sebab, ∑=
=n
1iii yxyx, = xy,xy
n
1iii =∑
=
.
14
b. Jelas yx,αyαx, = oleh sebab,
∑=
=n
1iiiyxyx, αα ∑
=
==n
1iii yx,yx αα .
c. Jelas zxyxzyx ,,, +=+
karena ( ) ( ) ∑ ∑∑ ∑= == =
+=+=+=+n
1i
n
1iiiii
n
1i
n
1iiiiiii zxyxzxyxzyx,
izyx
zx,yx, += .
d. 0xx, ≥ oleh sebab .0xxx,n
1i
2i >= ∑
=
Jadi berdasarkan a, b dan c maka nR terhadap perkalian titik yang
didefinisikan ∑=
=n
1iii yxyx, untuk i = 1, 2, ... , n.
B. Ruang Vektor
1. Ruang Vektor
Definisi B.1
Sebuah ruang vektor V adalah sebuah himpunan dari objek x, y,
z, .... yang disebut vektor. Satu vektor yang dikenal dinamakan vektor
nol yang dinotasikan dengan θ. Untuk setiap vektor x dimana dikenal
sebuah vektor –x, dinamakan invers dari x. Aksioma – aksioma yang
mengikuti agar asumsi dari ruang vektor terpenuhi adalah
a. Untuk setiap sepasang vektor x, y dimana penjumlahan vektor dari
x, y dinotasikan x + y. Penjumlahan dari vektor harus memenuhi:
i). __
y x + = __
x y + .
15
ii). (__y x + ) +
_z =
_x +(
__z y + ).
iii). _
x + 0 = _
x
iv). _
x +(-_
x ) = 0.
b. Untuk setiap skalar k dan setiap vektor x dimana perkalian vektor
dari x oleh k dinotasikan kx. Perkalian vektor oleh skalar harus
memenuhi:
i). k(__y x + )= k
_x + k
_y
ii). (k + j)_x = k
_x + j
_x
iii). (kj) _x = k(j
_x )
iv). 1_x =
_x
Pada b.i) simbol + memiliki dua arti yaitu untuk penjumlahan
skalar dan vektor. Pada b.iii) memiliki dua arti yaitu perkalian dua
skalar atau perkalian sebuah skalar dan sebuah vektor.
( Berberian, 1961 : 1 )
Contoh B.1.1
Tunjukan R n merupakan ruang vektor.
Penyelesaian :
Ambil sembarang x = (x1 , x 2 ,..., x n ), y = (y1 , y 2 ,..., y n ) dan z = (z1 ,
z 2 ,..., z n ) nR ∈
(a) Jelas __
y x + = (x1 , x 2 ,...,x n ) + (y1 , y 2 ,...,y n )
16
= (x1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n )
= (y 1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n )
= (y 1 , y 2 ,...,y n ) + (x1 , x 2 ,...,x n )
= __x y + .
(b) (__y x + ) +
_z = ( ) ( )( ) ( )n21n21n21 z ,...,z ,z y ,...,y ,y x,..., x,x ++
= ( ) ( ) ( )( ) z ,...,z ,z y ,...,y ,y x,..., x,x n21n21n21 ++
= ( ) ( ) ( )( ) z ,...,z ,z y ,...,y ,y x,..., x,x n21n21n21 ++
=_x +(
__z y + ).
(c) Pilih 0 = (01 , 0 2 ,..., 0 n ) nR∈
Jelas 0 x_
+ = _x 0 + = (01 , 0 2 ,..., 0 n ) + (x1 , x 2 ,..., x n ) =
_x .
(d) Pilih x− = (-x1 , -x 2 ,..., -x n ) nR∈
Jelas ( )x- x_
+ = (x1 , x 2 ,..., x n ) + (-x1 , -x 2 ,..., -x n )
= (x1 - x1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0.
Ambil sembarang k, j R∈
(e) k(__y x + ) = k ( ) ( ){ } y,...,y,yx,...,x,x n21n21 +
= k× (x1 , x 2 ,...,x n ) + k× (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k_
x + k_y .
(f) (k + j)_x = (k + j) × (x 1 , x 2 ,...,x n )
= k× (x1 , x 2 ,...,x n ) + j× (x1 , x 2 ,...,x n )
= k_x + j
_x .
17
(g) (kj)_x = (kj) × (x1 , x 2 ,...,x n ) = k ( )( )n21 x, ... , x,x j×
= k(j_x ).
(h) 1×_x = 1× (x1 , x 2 ,...,x n ) = (x1 , x 2 ,...,x n ) =
_x .
Karena aksioma ruang vektor R n dipenuhi, maka R n merupakan ruang
vektor.
Teorema B.1
Jika _x ,
_y ,
_z adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalah
sebarang skalar, maka:
a. _x .
_y =
_y .
_x
b. (__y x + ) .
_z =
_x .
_y +
_y .
_z
c. (k_x ) .
_y = k(
_x .
_y )
d. _x .
_x ≥ 0. Selanjutnya
_x .
_x = 0, jika dan hanya jika
_x = 0
Bukti :
Ambil sembarang _x= (x1 ,x 2 ,...,x n ),
_y = (y1 , y 2 ,..., y n ) dan
_w = (w 1 ,
w 2 ,..., w n )
(a). Jelas _x .
_y = x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n = y 1 x1 + y 2 x 2 + ... + y n x n
= _y .
_x
(b). Jelas (__y x + ) .
_z = (x1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) . (z1 , z 2 ,..., z n )
= (x1 + y 1 ) z1 + (x 2 + y 2 ) z 2 ,...,( x n + y n ) z n
18
=(x1 z1 +x 2 z 2 +...+x n z n )+(y 1 z1 +y 2 z 2 +...+y n z n )
= _x .
_z +
_y .
_z
(c). Jelas (k_x ) .
_y = (kx 1 , kx 2 , ... , kx n ) . (y1 , y 2 , ... , y n )
= k(x1 , x 2 , ... , x n ) . (y1 , y 2 , ... , y n )
= k(x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n )
= k(_x .
_y )
(d). Kita mempunyai _x .
_x = 0x...xx n
n22
21 ≥+++ . Selanjutnya
kesamaan tersebut benar jika dan hanya jika 0x...xx n21 ==== ,
yaitu jika dan hanya jika _x = 0.
2. Hasil Kali Dalam (Inner Product) dan Norm
Definisi B.2
Jika V suatu ruang vektor, maka inner product adalah fungsi dari
V×V ke R, didefinisikan dengan (_
x ,_y ) y,x→ ,∀
_x ,
_y ∈V
memenuhi aksioma berikut.
a. V.x,0y,x ∈∀≥
b. .0x jika hanyadan jika 0x,x ==
c. V.y ,x x .yy,x ∈∀=
d. V. z,y,x z ,yz ,xz,yx ∈∀+=+
e. .ya,xy ,xay,xa ==
19
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam (inner
product) dinamakan ruang hasil kali dalam.
( Rochmad, 2000 : 24 )
Contoh B.1.2
R n terhadap perkalian titik yang didefinisikan ∑=
=k
1iii
__
yxy.x merupakan
ruang hasil kali dalam. Ditunjukkan perkalian titik tersebut adalah suatu
inner product. Dibentuk suatu fungsi R n ×R n → R yang didefinisikan
y .xy,x = untuk setiap vektor _x= (x1 ,x 2 ,...,x n ),
_y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan
skalar a di R n maka fungsi tersebut merupakan suatu inner product sebab
memenuhi aksioma dari ruang inner product.
Bukti
a. x .yy,x = sebab x,yx .y xyyxy .xy,xk
1iii
k
1iii ===== ∑∑
==
.
b. sebab, y ,xay,xa =
( ) ( ) y,xay.xayxay xay.xay,xak
1iii
k
1iii ===== ∑∑
==
.
c. sebab z ,yz ,xz,yx +=+
( ) ( ) ( )
z.xy.x
z.xy.x
zxyx
zxyxzyxzy.xzy,x
k
1iii
k
1iii
k
1iiiii
k
1iiii
+=
+=
+=
+=+=+=+
∑∑
∑∑
==
==
20
d. Jelas ( ) .0x jika hanyadan jika 0x.xx,x ===
e. bukan xandaikan 0,y,x > vektor nol karena 0xx.xx,xk
1i
2i >== ∑
=
Jadi R n perkalian titik yang didefinisikan ∑=
=k
1iii
__yxy.x merupakan ruang
hasil kali dalam.
Definisi B.3
Jika V suatu ruang vektor, maka norm pada V adalah fungsi dari
V ke R dinyatakan dengan _x x→ yang memenuhi
a. ≥x 0 dan =x 0 ⇔_x = θ dengan θ vektor nol di V.
b. αα =x x
c. ≤+ yx yx +
Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm dinamakan ruang
bernorm. Panjang suatu vektor x sering disebut sebagai norm x dan
dinyatakan dengan x = x ,xx,x 21
=
( Rochmad, 2000 : 24 )
Teorema B.2 ( Ketaksamaan Cauchy – Schwartz )
Misalkan V suatu ruang inner product dalam R. Untuk setiap
vektor _x dan
_y di V berlaku xy,x ≤ y .
Bukti:
a. Untuk _
y = 0 dipunyai x0y,x == y .
21
b. Untuk _y 0≠
Ambil vektor _
y dengan y = 1 dan vektor y y,xxz −=
Sehingga didapat z ,zz02
=≤
= y y,xx ,y y,xx −−
=2
y,x x,x −
Diperoleh xy,xxy,x22
≤⇔≤
Untuk vektor _y dengan y > 0, sehingga diperoleh
. y xy ,xatau xyy,x ≤≤
Jadi teorema diatas terbukti.
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy – Schwartz diatas
dapat didefinisikan cosinus sudut antara dua vektor. Misalkan _
x , _
y di
R n maka bilangan cos θ =y . x
y ,x disebut cosinus sudut antara vektor
_
x dan vektor _
y dan θ disebut sudut antara vektor _
x dan vektor _
y
Dari pengertian cosinus sudut diatas dapat didefinisikan, jika dua
vektor _
x dan _y dikatakan saling tegak lurus jika 0y,x = .
22
Telah diketahui jika dua vektor di R n tetap dapat dilihat sebagai
dua vektor yang terletak dalam sebuah bidang di R n . Maka dari itu
dipunyai teorema sebagai berikut.
Teorema B.3 (Ketaksamaan Segitiga)
Misalkan_
x dan _
y dua vektor yang terletak di R n . Maka berlaku
≤+ yx yx +
Bukti:
Dengan menggunakan teorema B.2 diperoleh
yx . yxyx2
++=+
______y . y y . x 2 x . x ++=
y.yy . x 2x . x ++≤
22yy . x2x ++=
Atau ( )22 yx yx +≤+
Dengan mengambil akarnya diperoleh ketaksamaan segitiga.
Definisi B.4
Dua titik (vektor) x,y nR∈ dikatakan searah (sejajar) jika ada
bilangan k∈R, k 0≠ sehingga y = kx. Dengan kata lain x dan y tak
bebas linear. Pasangan n bilangan real { }n21 ,...,, ααα disebut bilangan
arah vektor x 0≠ jika
.x:: x: x : : : n21n21 ΛΛ =ααα
23
Dengan kata lain, ada bilangan ( ) 2
12n
22
21 ...
x
ααα +++±=l
Sehingga, terdapat vektor α = ( )n21 ,...,, ααα yang komponennya
terdiri dari bilangan arah vektor x yang disebut vektor arah bagi vektor
x. Secara khusus, pasangan n bilangan real { }n21 ,...,, λλλ disebut
cosinus arah vektor x jika xex,
e xex,
cos kkkk
k
=== θλ untuk setiap k
= 1, 2, ... , n dan ( )n21 ,...,, θθθ disebut sudut arah vektor x.
Teorema B.4
Jika ( )n21 ,...,, λλλ cosinus arah vektor x 0≠ maka
∑=
=+++=n
1k
2n
22
21
2k .... lλλλλ
Bukti :
Diketahui k
n
1kk eex,x ∑
=
= dengan ( )n21 e,...,e,e dengan basis
orthonormal standart pada nR , didapat
xx,x 2 =
∑ ∑= =
=n
1k
n
1kkkkk eex,,eex,
∑=
=n
1k
2kex,
Karena x 0≠ ( )0x ≠ diperoleh ( )∑ ∑= =
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
1k
n
1k
21
2
k
xex,
l λ
24
Atau ∑=
=+++=n
1k
2n
22
21
2k .... lλλλλ
Selanjutnya vektor λ ={ }n21 ,...,, λλλ disebut vektor cosinus arah bagi
vektor x.
Jika vektor λ ={ }n21 ,...,, λλλ merupakan vektor cosinus arah, maka
.l=λ
Jadi untuk setiap x nR∈ , x 0≠ berlaku .:...: : x:... : x: x n21n21 λλλ=
Selanjutnya ada bilangan h sehingga hx...xx
n
n
2
2
1
1 ====λλλ
, dengan
xh ±= .
Dari pemahaman tersebut diatas, disimpulkan sebagai berikut:
(a). Dua titik (vektor) x, y nR∈ searah (sejajar) jika dan hanya jika x
dan y mempunyai sudut arah yang sama jika dan hanya jika
bilangan arah x sebanding dengan bilangan arah y.
(b). Terlihat bahwa (vektor) x nR∈ mempunyai banyak sekali
bilangan arah, tetapi setiap dua bilangan arah sebanding. Oleh
karena itu, jika vektor x = (x1 , x 2 ,...,x n ) dengan salah satu
bilangan arahnya adalah ( )n21 ,...,, ααα dan cosinus arah vektor x
adalah{ }n21 ,...,, λλλ denganαλ
αα
θλ kkkk
ke e,
cos === berarti
.:: : : : : n21n21 λλλααα ΛΛ =
25
Definisi B.5
Himpunan x ={ } nk21 Rx,...,x,x ⊂ dari ruang inner product
disebut himpunan orthonormal jika himpunan tersebut adalah
himpunan orthogonal dan i ,1xi ∀= di x.
( Arifin, 2001 : 106 )
Definisi B.6
Himpunan x ={ } nk21 Rx,...,x,x ⊂ dengan 0x i ≠ dari ruang inner
product disebut himpunan orthogonal jika j.i setiapuntuk ,yx ji ≠≠
( Arifin, 2001 : 106 )
Teorema B.5
Setiap himpunan orthogonal, bebas linear
Bukti:
Bentuk R,...,,dengan ,0x...xx n21nn2211 ∈=+++ αααααα .
Ambil sembarang Li, dengan ( )ni1 ≤≤ , diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) 0x,0x...xx,x nn
22
11
i ==+++ ααα
Karena
( ) jiuntuk ,0x,x ji ≠= ( ) ( ) ( ) j.iuntuk ,0xx,xdan 2iji ===
Diperoleh ( ) 0berakibat dan 0x i
2ii == αα untuk L diatas.
Karena i sembarang, diperoleh 0,...,, n21 =ααα
Dengan kata lain ( ) ( ) ( ){ }n21 x,...,x,x bebas linear.
26
Akibat dari teorema B. 5
Setiap himpunan orthonormal bebas linear.
Bukti:
Bentuk himpunan orthonormal ( )n21 e,...,e,e terdiri dari n vektor
dengan ( ) nk R0,...,0,1,...,0,0e ∈= . Komponen ke-k sama dengan L.
Diperoleh pengertian bahwa untuk setiap vektor x = (x1 ,
x 2 ,...,x n ) nR∈ .
Sehingga x = (x1 , 0,...,0) + (0, x 2 ,...,0) + ...+ (0, 0,...,x n )
⇔ x = x1(1, 0,...,0) + x 2 (0, 1,...,0) + ...+ x 2 (0, 0,...,1)
⇔ x = ∑=
=n
1iiinn2211 exex,...,ex,ex
Jadi himpunan orthonormal ( )n21 e,...,e,e membangun Rn. Oleh karena
( )n21 e,...,e,e bebas linear, maka dia merupakan basis bagi Rn. Karena
himpunan orthonormal ini mempunyai elemen sebanyak n maka
diperoleh bahwa ruang vektor Rn berdimensi n.
Selanjutnya himpunan orthonormal ( )n21 e,...,e,e disebut basis
orthonormal standart bagi ruang vektor Rn.
Akibat
Setiap (n+1) vektor di dalam Rn tak bebas linear.
Teorema B.6
Untuk setiap vektor x = (x1 , x 2 ,...,x n ) nR∈ , dengan ( )n21 e,...,e,e basis
orthonormal standart, maka k,ex,x kk ∀= .
27
Bukti:
Diambil sebarang ek ( )nk1 ≤≤
Dengan inner product x nR∈ , diperoleh
kkkk
kkkknn2211k
xe,ex
0...0e,ex...00e,ex...exexex,
==
++++++=+++=
Teorema B.7
Setiap x nR∈ dapat dituliskan menjadi k
n
1kkk ee,xx ∑
=
=
Bukti:
Diket ( )n21 e,...,e,e basis orthonormal standart Rn, maka untuk setiap x
= (x1 , x 2 ,...,x n ) nR∈ dengan x1 , x 2 ,...,x n R∈ berlaku
x = ∑=
=+++n
1iiinn2211 exex...exex
Karena kk ex,x = untuk setiap k ( )nk1 ≤≤ . Diperoleh
k
n
1kkk xe,xx ∑
=
=
Telah diketahui bahwa di dalam ruang berdimensi n, sebarang
vektor (titik) dapat dihadirkan sebagai kombinasi linear dari n vektor
(titik) yang termasuk di dalam basis ruang Rn. Berikut ini akan
dihadirkan mengenai vektor (titik) yang dihadirkan sebagai kombinasi
linear dari dua vektor (titik). Hal ini dituangkan dalam teorema berikut.
28
Teorema B.8
Jika diberikan dua vektor (titik) y,x nR∈ tidak sama dengan nol maka
ada vektor-vektor n21 Ry,y ∈ sehingga yky1 = untuk suatu skalar k,
21 yy ⊥ dan 21 yyx += lebih lanjut dengan yy
y,xy 21 = dan
yy
y,x-xy 22 = .
Gambar 2.1
Bukti :
Diasumsikan teorema diatas berlaku
Jadi akan ditentukan bilangan k R∈ dengan yky1 = dan vektor-vektor
n21 Ry,y ∈ yang saling orthogonal sehingga x dapat ditulis
sebagai 21 yyx += , berarti didapat 12 yxy −= . Selanjutnya dilakukan
inner product antara vektor x vektor y, didapat
y,yyy,x 21 +=
y,yyk 2+=
y,yyk 2
2+=
2y
1y
x
y
29
Karena 0y,y makay y 22 =⊥ , sehingga persamaan ini menghasilkan
2y
y,xk =
Karena yky1 = diperoleh yy
y,xy 21 =
Dengan demikian diperoleh juga yy
y,x-xy 22 = .
C. Ruang Metrik
Definisi C.1.
Misalkan X φ≠ . Fungsi d : X×X disebut metrik pada X jika
memenuhi aksioma - aksioma sebagai berikut.
(M1) d(x,y) ≥ 0, untuk setiap x, y∈X,
d(x,y) = 0 ⇔ x = y.
(M2) d(x,y) = d(y,x), untuk setiap x, y∈X.
(M3) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z∈X.
( Ruckle, 1961 : 47 )
Contoh C.1.1
Buktikan bahwa fungsi d: RRR nn →× yang didefinisikan
d(x,y)= ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
memenuhi semua sifat metrik.
Penyelesaian :
1. d memenuhi M1, sebab
30
d(x,y) = ( ) 0yx2
1n
1i
2ii ≥⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
, jelas karena ( ) 0yx 2ii ≥−
( )⇒ dipunyai d(x,y) = 0, ditunjukkan x = y.
karena d(x,y) = ( )2
1n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
berakibat ( )∑=
=−n
1i
2ii 0yx
berakibat ( ) n , ... 2, 1,i 0yx 2ii =∀=−
sebab andaikan ( ) 0yx i 2ii >−∋∃
berakibat ( ) 0y-x0n
1i
2ii >= ∑
=
diperoleh fakta 0 > 0, kontradiksi.
jadi n1,2,...,i0yx ii =∀=−
Jadi x = y.
( )⇐ dipunyai x = y, ditunjukkan d(x,y) = 0
karena x = y maka ii yx = n1,2,...,i =∀
berakibat 0yx ii =− n1,2,...,i =∀
berakibat ( ) 0yx 2ii =− n1,2,...,i =∀
berakibat ( )∑=
=−n
1i
2ii 0yx
berakibat ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= 0
jadi d(x,y) = 0.
31
Jadi d memenuhi M1.
2. Ditunjukkan d memenuhi M2
d(x,y) = d(y,x) untuk setiap x,y di R
dipunyai d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
maka d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= ( )( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−∑
=
= ( )21n
1i
2ii xy ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= d(y,x).
3. Ditunjukkan d memenuhi M3
d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z∈R
dipunyai d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= ii yx −
= ii yzzx −+−
( ) ( )
y).d(z, z)d(x,
y-zzx
y-zz-x 21n
1i
2ii
21n
1i
2ii
+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
+≤
∑∑==
Jadi d memenuhi M3.
Jadi d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
merupakan suatu metrik.
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Kajian Pustaka
Terdapat materi yang menarik terkait dengan bidang geometri
yang mungkin pernah disinggung dalam perkuliahan tapi tidak diangkat
dalam bentuk tulisan yaitu mengenai garis dan bidang dalam ruang
berdimensi n.
Dengan melakukan telaah pustaka dari berbagai referensi yang
ada dan melakukan konfirmasi dan konsultasi dengan dosen yang
membidangi masalah tersebut membuahkan gagasan untuk menuliskannya
dalam bentuk skripsi.
B. Perumusan Masalah
Dengan menemukan tema yang cocok, langkah selanjutnya
adalah merumuskan masalah dari tema yang diangkat tersebut sesuai
dengan bahasan yang akan digunakan dengan bantuan dosen pembimbing.
Perumusan masalah dinyatakan dalam bentuk pernyataan yang singkat dan
jelas sehingga mudah untuk dipahami.
C. Pemecahan Masalah
Pada tahap ini, dilakukan analisis dari permasalahan yang telah
dirumuskan dengan didasari teori dan argumentasi yang tepat. Pemecahan
34
masalah ini meliputi penjelasan tema yang telah ditetapkan dan
pembahasan mengenai masalah yang telah diungkapkan sebelumnya
secara lengkap dengan landasan teori yang ada, tentunya dengan
menggunakan referensi yang ada di samping hasil olahan kajian penulis
sendiri disertai konsultasi dengan dosen pembimbing.
Dalam proses pemecahan masalah ini, diterangkan berbagai cara
menyelesaikan masalah dengan pendekatan yang ditetapkan sebelumnya
berdasarkan landasan teori yang sudah ada.
D. Penarikan Kesimpulan
Hasil dari pembahasan ini dituangkan dalam bentuk simpulan
akhir yang menyimpulkan secara umum pemecahan masalah tersebut.
Simpulan ini dijadikan sebagai hasil kajian akhir dan merupakan hasil
akhir dari proses penulisan skripsi.
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Titik
Titik adalah bentuk yang paling sederhana dari geometri, ini
dikarenakan titik hanya digunakan untuk menunjukkan posisi. Dalam
ruang euclid dimensi n titik disimbolkan sebagai pasangan terurut bilangan
real yang biasa dinotasikan dengan, misalkan titik A pada Rn yaitu
A ( )n21 x,...,x,x .
Telah ditunjukkan bahwa d: RRR nn →× yang didefinisikan
d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
memenuhi semua sifat metrik. Jadi jarak antara
dua titik ni
ni Rydan Rx ∈∈ adalah d(x,y) = ( )
21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= ( ) ( ) ( )2nn
222
211 yx...yxyx −++−+− .
Contoh A.4.1
1. Misal A(2, 5, 8) dan B(4, 5, 6) hitung jarak antara titik A dan B.
Penyelesaian :
d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= ( ) ( ) ( )233
222
211 yxyxyx −+−+−
= ( ) ( ) ( ) .5685542 222 =−+−+−
2. Misal A(4, 6, 8, 10) dan B(3, 2, 5, 4) hitung jarak antara dua titik
tersebut.
36
Penyelesaian :
d(x,y) = ( )21n
1i
2ii yx ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−∑
=
= ( ) ( ) ( ) ( )244
233
222
211 yxyxyxyx −+−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( )2222 410582634 −+−+−+−
= 62 .
B. Garis Lurus Real (Real Line)
1. Persamaan Garis Lurus-n
Diberikan X adalah ruang Euclid dan x1 , x 2 ∈X atas lapangan R.
Himpunan G = ( ){ }Rdan t xxtx-x:Xx 121 ∈−=∈ disebut garis lurus
(real line), dengan syarat keanggotaannya adalah
( ) Rdan t xxtx-x 121 ∈−=
Jadi ( ) Rdan t xxtxx 121 ∈−+= .
Jika X = Rn,
( ) ( ) ( ) ( ) nn21
2nn21
1 Rb ..., ,b ,bdan x Ra ..., ,a ,ax ∈=∈= maka persamaan
garis real yang melalui x ( )1 dan x ( )2 adalah
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } a,...,ab,...,b ta,...,ax,...,x x xtx-x n1n1n1n1121 −=−⇔−=
( ) ( ){ }nn11nn11 ab,...,abtax,...,a-x −−=−⇔
⇔( )( )nn11
nn11
ab,...,abax,...,axt
−−−−
=
( )( )
( )( )
( )( )nn
nn
22
22
11
11
a-bax...
a-bax
a-baxt −
==−
=−
=⇔ .
37
Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa garis lurus-n yang
melalui atau memuat titik x ( )1 dan mempunyai bilangan
arah{ }n21 ,...,, ααα mempunyai persamaan dalam bentuk parametrik
adalah
tax 111 α+=
tax 222 α+=
......................
taX nnn α+= .
Jadi persamaan parametrik garis lurus di nR adalah taX nnn α+= .
Contoh B.4.1
a. Tulis persamaan parametrik untuk garis h yang melalui titik A(3, 0, -1,
2) dan titik B(2, -1, 4, 6).
Penyelesaian :
Karena bilangan arah α = AB = (-1, -1, 5, 4) sejajar g dan A(3, 0, -1, 2)
terletak pada g, maka persamaan parametriknya garis g adalah
x = 3 – t, y = – t, z = –1 – 5t dan w = 2 + 4t
b. Tulis persamaan parametrik untuk garis g yang melalui titik A(2, 4, -1)
dan titik B(5, 0, 7).
Penyelesaian :
Karena bilangan arah α = AB = (3, -4, 8) sejajar garis g dan A(2, 4, -1)
terletak pada garis g, maka persamaan parametriknya
x = 2 + 3t, y = 4 – 4t dan z = –1 + 8t
38
2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n
Diberikan dua garis lurus-n g dan h dengan bilangan arahnya
berturut-turut adalah ( )n21 ,...,, ααα dan ( )n21 ,...,, βββ . Selanjutnya,
jika x, y ∈g dan u, v ∈h maka vektor x-y dan vektor u-v berturut-turut
sejajar dengan bilangan arah ( )n21 ,...,, ααα dan ( )n21 ,...,, βββ . Oleh
karena itu, sudut antara g dan h sama dengan sudut antara vektor x-y
dan vektor u-v. Jadi, jika θ sudut antara g dan h diperoleh rumus
βαβαβαβα
βαβα
θ
... ,
cos nn2211 +++== .
Dengan 2
1n
1i
2i
21
n
1i
2i dan ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑
==
ββαα
Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut
a. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h sejajar (g // h) jika dan hanya
jika mempunyai bilangan arah yang sebanding.
....n
n
2
2
1
1
βα
βα
βα
===
b. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h saling tegak lurus (g ⊥ h) jika
dan hanya jika
0...atau 0, nn2211 =+++= βαβαβαβα .
Contoh B.4.2
1). Tentukan besar sudut dua garis lurus-n, jika diketahui
g: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = –1 + 8t, w = 3 + 6t
h: x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = – 3 – 7t, w = 5 + 2t
39
Penyelesaian:
Karena bilangan arah g: (3, –4, 8, 6) dan garis h: (4, 5, –7, 2)
maka βα
βαβαβαβαβα
θ
... ,
cos nn2211 +++==
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
.69,11848,069,918,11
5227546843
26785443
0
22222222
=−=×
−=
+−+++++−+
×+−×+×−+×=
2). Diberikan persamaan parameter garis g: x = 3 – t, y = – t, z = –1 –
5t, w = 2 + 4t dan garis h: x = 2 – 5t, y = – 1 – 2t, z = 4 + 3t, w = 6
+ t. Tentukan besar sudut antara kedua garis tersebut?
Penyelesaian:
Bilangan arah g: (-1, -1, 5, 4) dan garis h: (-5, -2, 3, 1) sehingga
βαβα
θ ,
cos =
βαβαβαβα
... nn2211 +++
=
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
.66,4866,0656,6
2613154511
14352151
0
22222222
==×
=
++−+−+++−+−
×+×+−×−+−×−=
3). Tunjukan garis g dan h sejajar jika x = 6 + 3t, y = 4 – 2t, z = –2 +
4t, w = 4 – 6t adalah persamaan parametrik garis h dan persamaan
parametrik garis g adalah x = 2 – 6t, y = 4 + 4t, z = –2 – 8t, w = 6 +
12t.
40
Penyelesaian:
Bilangan arah dari g adalah (3, –2, 4, –6) dan h adalah (–6, 4, –8,
12).
Maka 12
68
442
63 −
=−
=−
=−
. Jadi kedua bilangan arah tersebut
sebanding sehingga garis g dan h sejajar.
4). Tunjukan garis g dan h tegak lurus jika x = 1 + t, y = 4 + 8t, z = 3 –
9t adalah persamaan parametrik garis h dan x = 2 – 6t, y = 4 +
3t, z = –2 + 2t persamaan parametrik garis g.
Jawab:
Bilangan arah dari g adalah (1, 8, –9) dan h adalah (–6, 3, 2).
Kedua garis tersebut tegak lurus jika 0, =βα .
Diperoleh ( )( ) ( ) ( )( ) 0293861, =×−+×+−×=βα
Jadi kedua garis tersebut saling tegak lurus.
3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n
Jarak antara sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g
adalah jarak terdekat antara titik a dengan setiap titik x ∈g, yang
dinotasikan ( ) ( ){ }gx:x,adinf g,ad ∈= .
Jadi terdapat 1x ∈ g sehingga ( ) ( )1
x,ad g,ad = . Perlu diingat
bahwa vektor a – 1x saling tegak lurus dengan arah g.
41
Gambar 4.1
Teorema 3.1
Jika diberikan sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g
dengan bilangan arah ( )n21 ,...,, ααα dan suatu titik b ∈ g, maka jarak
antara titik a dan g adalah
( ) ( ) ,b-a
b-a g,ad 2 αα
α−=
Bukti
Akan ditentukan jarak antara titik a dan garis lurus-n g (ditulis:
d( a ,g)). Diketahui titik ∈b g. Dibentuk vektor ba − 0≠ , maka d( a ,g)
adalah besar (norm) dari komponen orthogonal vektor ba − terhadap
vektor arah α dengan ba − = 0.k ,k , 121 ≠=+ αααα
Dengan kata lain diperoleh
( ) ( ) ,b-a
b-a g,ad 2 αα
α−= .
Terbukti.
.b
g ( )g,ad =
x1
.
a
42
4. Jarak Antara Dua Garis Lurus-n
Definisi
Jarak antara dua garis lurus-n adalah jarak terpendek antara titik – titik
pada salah satu garis lurus-n dengan titik – titik pada garis lurus-n
lainya. Dari definisi diatas jika diketahui dua garis lurus-n g dan h,
maka jarak antara g dan h dapat ditulis
d(g,h) = inf ( ){ }hy g,x:y ,xd ∈∈
a. Jarak antara dua garis lurus-n yang sejajar
Ambil dua garis lurus-n yang sejajar g dan h.
Misal g : x = a + tα , t∈R
h : y = b + tα , t∈R.
Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈g dan b ∈h.
Dibentuk vektor b – a dengan vektor arah α diperoleh
( ) ( ) ,a-b
a-b h,ad 2 αα
α−= .
Dengan kata lain, didapat jarak antara garis lurus-n g dan h adalah
d(g,h) = d( a ,h).
b. Jarak antara dua garis lurus-n yang bersilangan
Ambil dua garis lurus-n yang bersilangan g dan h.
Misal g : x = a + tα , t∈R dan h : y = b + t β , t∈R.
Ambil satu titik di g, misal a ∈g
43
Karena pada setiap titik di garis lurus-n h dapat dibuat garis lurus-n
yang sejajar g dan melalui titik ib sehingga dapat dibentuk
himpunan sebagai berikut
{ } R t,tb y :Ry h in
i ∈+=∈= α
Dimana ih untuk setiap i = ( )3,... ,2 ,1i = adalah garis lurus-n yang
memotong h dan sejajar g. Sehingga jarak garis lurus-n g dan garis
lurus-n h adalah
d ( )ih ,g = d ( )ih ,a ( ) ,b-a
b-a 2
ii α
α
α−=
Dengan kata lain d ( )ih ,g = inf ( ){ } h ,ad i .
Contoh B.4.3
Gambar 4.2
1). Pada sebuah balok pada gambar 4.1 hitung
(a). Jarak titik A terhadap garis BC.
(b). Jarak garis BC terhadap garis AD.
x
y
z
A B
C D
E F
G H A(4, 0, 0) E(4, 0, 8)
B(4, 6, 0) F(4, 6, 8)
C(0, 6, 0) G(0, 6, 8)
D(0, 0, 0) H(0, 0, 8)
44
Penyelesaian:
(a). Misal garis BC ≡ g
Maka bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0) = α .
Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 6, ,40 0, ,40 6, 0,baACba −=−=−⇒≡−
Jadi d(A, BC) = d ( )g ,a ( ) αα
α2
,b-ab-a −=
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )0,6,00,0,40,6,4
0,0,416
00160,6,4
0,0,4004
0,0,4,0,6,40,6,4 2
222
=−−−=
−×++
−−=
−×⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
−−−−=
26=
= 6.
(b). Misal BC ≡ g dan AD ≡ h
Sehingga bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0)
=( )1
α dan bilangan arah h = (0, 0, 0) - (4, 0, 0) = (–4, 0, 0) =
( )2α .
Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈g dan b ∈h
Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 6, ,00 0, ,40 6, 4,abABab =−=−⇒≡−
Jadi ( ) ( ) αα
α2
,a-ba-bh,ad −=
45
= ( ) ( ) ( )
( )( )0,0,4
004
0 0, 4,-,0,6,00,6,0 2
222−×
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
−
( )6060
0,6,0222 =++=
=
C. Bidang Datar-n
1. Persamaan Bidang Datar-n
Diberikan x nR∈ , dan ( )a-x , dengan a adalah vektor tetap di Rn.
Himpunan V = ( ){ } a a - x,Rx n ⊥∈
= ( ){ } 0 a,a - x:Rx n =∈ Disebut hyperplane di Rn
Karena 0 a,a - x =
0a,aa,x =−⇔
a,aa,x =⇔
......... a a,x 2=⇔ disebut persamaan bidang datar-n
(hyperplane).
Jika x = ( )n21 x...,, x,x dan a = ( )n21 a...,,a ,a
maka persaman bidang datar-n berbentuk
2n
22
21nn2211 a...aaxa...xa xa +++=+++ γ=⇔ ∑
=
n
1iiixa .
46
Contoh C.4.1
(a) Tulis persamaaan bidang datar di 3R , 4R , 5R
Penyelesaian:
Persamaan bidang datar di 3R , artinya n = 3 diperoleh
D CzByAxxaxa xa 332211 =++⇔=++ γ .
Persamaan bidang datar di 4R , artinya n = 4 diperoleh
EDw CzByAxxaxaxa xa 44332211 =+++⇔=+++ γ .
Persamaan bidang datar di 5R , artinya n = 5 diperoleh
FEuDw CzByAxxaxaxaxa xa 5544332211 =++++⇔=++++ γ.
2. Persamaaan Hesse Bidang Datar-n
Persamaan Hessee bidang datar-n adalah persamaan bidang datar-n
dengan norm vektor arah sama dengan satu. Jika bidang datar-n V
dengan persamaan cx , a = a1cx,a
a1
=⇔
acx,
aa
=⇔
px , =⇔ λ
Jadi persamaan Hesse : px , =λ dengan ae , a
cos kkk == θλ
3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n
Jika a adalah vektor arah dan sekaligus titik yang termuat di V, maka
persamaan bidang datar-n V menjadi
47
0ax ,a:V =− atau a ax ,a:V =
Jadi persamaan Hesse dari V adalah ax,aa
=
Hal ini menunjukkan bidang jarak titik O terhadap bidang datar-n
d ( ) aVO, = .
a. Jarak titik O terhadap bidang datar-n V
Jika bidang datar-n V mempunyai persamaan umum cx , a = ,
maka jarak V terhadap titik O adalah
d ( )acVO, =
b. Jarak titik a ∈ Rn terhadap bidang datar-n V
Diberikan sebarang titik a ∈ Rn dan bidang datar-n V: c, =γα
Maka jarak antara titik a dengan V adalah
( )α
γα a, va,d
−=
Bukti:
Bidang datar-n V : 0p,c, =−⇔= γλγα
dengan ααλ = dan cp
α=
gambar 4.3 x
a
a – x d(a,V) = d α V
V1
48
Ditentukan d(a,V)
Melalui a dibuat bidang datar-n V1 // dengan V
Jarak V dan V1 terhadap O sebut d
Jadi persamaan bidang datar-n V1 adalah
V1 = 0dpx, =±−λ
Bidang datar-n melalui a, diperoleh
V1 = 0dpa, =±−λ
Karena d(a,V) = d, diperoleh
d = ( )a
ca, Va,d px,
−=⇔−
αλ . Terbukti
di R3 : V ≡ Ax +By + Cz + D = 0 dan P(x1, y1, z1)
maka jarak P terhadap V
d(P,V) = 222
111
C B A
D Cz By Ax
++
+++
di R4 : V ≡ Ax1 +Bx2 + Cx3 + Dx4 + E = 0 dan P(v1, x1, y1, z1)
maka jarak P terhadap V
d(P,V) = 2222
1111
DC B A
E Dz Cy Bx Av
+++
++++
49
Contoh C.4.3
Gambar Kubus 4.4
(a) Tentukan jarak titik E terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ?
Penyelesaian:
Persamaan Bidang BDG
a = CE = ( 4, -4, 4 ) = ( 1, -1, 1 ) dan ⊥a BDG
Sehingga ( ) 0bx , a =−
⇔ ( ) ( ) 0 b , a x , a =−
⇔ b , a x , a =
⇔ ( ) ( ) ( ) 0 4, 4, , 1 1,- 1, x , 1 1,- 1, =
⇔ ( ) 0 x , 1 1,- 1, =
Jarak titik E terhadap bidang BDG :
d( E, BDG ) = ( ) ( )
( ) 222 111
04 0, 4, , 1 1,- 1,
+−+
− = .
338
x
y
z
A B
C D
E F
G H A(4, 0, 0) E(4, 0, 4)
B(4, 4, 0) F(4, 4, 4)
C(0, 4, 0) G(0, 4, 4)
D(0, 0, 0) H(0, 0, 4)
50
(b) Tentukan jarak titik A terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ?
Jawab:
Persamaan Bidang BDG
BD= (-4, -4, 0), BG = (4, 0, 4) dan DG = (0, 4, 4)
Misalkan a = ( )321 a ,a ,a dan ⊥a BDG
Sehingga berlaku 0 BD , a =
0 BG , a =
0 DG , a =
Maka
( ) ( ) 0a4a4 a ,a ,a , 0 4,- 4,- BD , a 21321 =−−== ….……..(1)
( ) ( ) 0a4a4 a ,a ,a , 4 0, 4, BG , a 31321 =+== …………….(2)
( ) ( ) 0a4a4 a ,a ,a , 4 4, 0, DG , a 32321 =+== ……...….…(3)
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh a = ( )321 a ,a ,a
= (1, -1, 1)
Sehingga ( ) 0dx , a =−
⇔ ( ) ( ) 0 d , a x , a =−
⇔ d , a x , a =
51
⇔ ( ) ( ) ( ) 0 0, 0, , 1 1,- 1, x , 1 1,- 1, =
⇔ ( ) 0 x , 1 1,- 1, =
Jarak titik A terhadap bidang BDG :
d( A, BDG ) = ( ) ( )
( ) 222 111
00 0, 4, , 1 1,- 1,
+−+
− = .
334
(c) Tentukan jarak A(2, 4, -3, 0) terhadap bidang yang melalui empat
titik yaitu B(1, 3, -5, 2), C(3, 4, -1, 4), D(4, -2, 1, 0) dan E(2, 4, -3,
0)?
Penyelesaian:
Persamaan bidang datar-n di R4
BC = (2, 1, 4, 2), BD= (3, -1, 6, 2)
CD = (1, -2, 2, -4), BE = (1, 1, 2, 2)
Misalkan a = ( )4321 a ,a ,a ,a dan ⊥a BCDG
Sehingga berlaku 0 BC , a = 0 DE , a =
0 BE , a = 0 BD , a =
Maka
1. ( ) ( ) 0a2a4aa2 a ,a ,a ,a , 2 4, 1, 2, BC , a 43214321 =+++==
2. ( ) ( ) 02aa61aa3 a ,a ,a ,a , 2 6, 1,- 3, BD , a 43214321 =++−==
3. ( ) ( ) 0a2a2aa a ,a ,a ,a , 2 2, 1, 1, BE , a 43214321 =+++==
4. ( ) ( ) 0a4a2a2a a ,a ,a ,a , 4- 2, 2,- 1, CD , a 43214321 =−+−==
52
Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh a = ( )4321 a ,a ,a ,a
= (2, -2, -1, 1)
Bidang BCDG:
( ) ( ) ( ) 0 3,- 4, 2, , 1 1,- 2,- 2, x , 1 1,- 2,- 2, Cx,a =⇔=
( ) 1-x ,1 1,- 2,- 2, =⇔
Jarak titik A terhadap bidang BCDG di R4 :
d(A, BCD) = ( ) ( ) ( )
10
11 1,- 2,- 2, , 0 3,- 4, 2, −−0= .
4. Kedudukan dua bidang datar-n
Misal diberikan dua bidang datar-n
α=a x,:V
β=b x,:U
θ adalah sudut antara U dan V sehingga
( )b . a
b a,- coscos == θπθ
a. Dua bidang tegak lurus
2V U πθ =⇒⊥
( )b . a
b a,2- cos2 cos ==⇒ πππ
ba0b a, ⊥⇔=⇒ .
53
b. Dua bidang sejajar
0V/ / U =⇒ θ
( )b . a
b a, cos0 cos ==⇒ π
b . ab a, =⇒
Ambil sebarang ba =α sehingga
a . aa a, αα =⇒
2a . a a, αα =⇒ 22 a . a αα =⇔ .
BAB V
PENUTUP
A. Simpulan
Dari hasil pembahasan dapat ditarik simpulan sebagai berikut.
1. Persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n (hyperplane)
a. Garis lurus-n adalah taX nnn α+= .
b. Bidang datar-n adalah 2 a a,x = .
2. Kedudukan antara dua garis lurus-n dan dua bidang datar-n (hyperplane)
a. Kedudukan antara dua garis lurus-n
i). Dua garis lurus-n g dan h dikatakan sejajar jika dan hanya jika
mempunyai bilangan arah yang sebanding.
....n
n
2
2
1
1
βα
βα
βα
===
ii). Gais lurus-n g dan h dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya
jika 0...atau 0, nn2211 =+++= βαβαβαβα .
b. Kedudukan antara dua bidang datar-n
i). Dua bidang datar-n tegak lurus
2V U πθ =⇒⊥
( )b . a
b a,2- cos2 cos ==⇒ πππ
ba0b a, ⊥⇔=⇒ .
54
ii). Dua bidang sejajar
0V/ / U =⇒θ
( )b . a
b a, cos0 cos ==⇒ π
b . ab a, =⇒
Ambil sebarang ba =α sehingga
a . aa a, αα =⇒
2a . a a, αα =⇒ 22 a . a αα =⇔ .
3. Persamaan sudut antara dua garis lurus-n dan bidang datar-n
a. Sudut antara dua garis lurus-n
βαβαβαβα
βαβα
θ
... ,
cos nn2211 +++== .
b. Sudut antara dua bidang datar-n
( )b . a
b a,- coscos == θπθ .
4. Persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n dan jarak antara
dua garis lurus-n
i). Jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n adalah
( ) ( ) ,b-a
b-a g,ad 2 αα
α−= .
ii). Jarak antara dua garis lurus-n adalah ( ) ( ) ,b-a
b-a g,ad 2 αα
α−= .
55
5. Persamaan jarak sebuah titik terhadap bidang datar-n
adalah ( )α
γα a, va,d
−= .
B. Saran
1. Diharapkan penulisan ini dapat digunakan untuk membantu dalam
pemecahan soal – soal geometri pada ruang dimensi 3 khususnya garis
dan bidang.
2. Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumbangan
pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang, khususnya
Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.
56
DAFTAR PUSTAKA
ARIFIN, Achmad. 2001. Aljabar Linear. Bandung : ITB
BERBERIAN, Sterling. K. 1961. Introduction to Hilbert Space. New York : Oxford University Press
CARICO, Charles. C. 2005. Analytic Geometry. New York : John Wiley & Sons
CHOW, Wung Yung. 1997. Linear Geometry in Euclidean 4-Space. Singapore : SEAMS
CLEMENTS, Stanley. R. 1984. Geometry With Application and Problem Solving. USA : Addison-Wesley Publishing Company
GANS, David. 1973. An Introduction to non-Euclidean Geometry. New York : Academic Press Inc
KOHN, Ed. 2003. Cliffs Quick Review Geometry. Bandung : Pakar Karya
MARSDEN, Jerrold. E. 1993. Basic Multivariabel Calculus. New York : Springer-Verlag
MULYATI, Sri. . Geomeri Euclid. Malang : JICA
SUHITO. 2004. Geometri Analit Rangkuman Hasil Penelitian / Magang. Yogyakarta. UGM
ROCHMAD. 2001. Analisis Real II. Semarang : UNNES
RUCKLE, William. H. 1960. Modern Analysis. Boston : PWS – KENT Publishing Company
WURYANTO. 2003. Analisis Real I. Semarang : UNNES